Google

This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct

to make the world's books discoverablc onlinc.

It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct

to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc

publishcr to a library and fmally to you.

Usage guidelines

Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc
public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to
prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying.
Wc also ask that you:

+ Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for
personal, non-commercial purposes.

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

About Google Book Search

Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs
discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb

at|http://books.qooqle.com/|

NEWTONS PRINCIPIA.

MDCCCLXXI.

Published by
JAMES MACLEHOSE, GLASGOW, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY.

LOXDOy, CAMBRIDGE AND NEiy VORK:
MACMILLAX AND CO.

SIR ISAAC NEWTONS

PRINCIPIA

REPRINTED FOR

SIR WILLIAM THOMSON LL.D.

LATB FBLLOW OP ST. PBTBR'S COLLBCB, CAMBRIZXIB

AND

HUGH BLACKBURN M.A.

LATB PBLLOW OP TRINITY COLLBGB, CAMBRIDGB
PROFESSORS OF NATURAL FHILOSOFHY AND MATHEMATICS IN THE UNIVERSITY OF GLASGOW

GLASGOW
JAMES MACLEHOSE, PUBLISHER TO THE UNIVERSITY

PRINTED BY ROBERT MACLEHOSE
MDCCCLXXI

NOTICE.

Finding that all the Editions of the PRINCIPIA are now out of

print, we have beeft induced to reprint Newton's Uist Edition without

note or comment, only introducing the *' Corrigenda' of the old copy

and correcting typographical errors.

W. T.
H. B.

University of Glasgow, 1871.

1S71 A\/-rtfi/t\/ h MkTf i7/./r/,«-//«'.f.-.
Piihlhh^J hy yiimfs Macl^^hose^ (ihs;^^^\ l^iNishcr to tkt ('ithrrsity

ILLUSTRISSIMyE

SOCIETATI REGALI

A

SERENISSIMO REGE

C A RO LO II

AD PHILOSOPHIAM PROMOVENDAM

FUNDATiE

ET

AUSPICIIS

SERENISSIMI REGIS

G EO RG I I

FLORENTI
TRACTATUM HUNC D.D.D.

/S. NEIVTON.

IN

VIRI PRiESTANTISSIMI

I S A AC I N E WT O N I

OPUS HOCCE

MATHEMATICO-PHYSICUM

SECULI GENTISQUE NOSTRyE DECUS EGREGIUM,

T^ N tibi norma poli, & divae libramina molis,

^-^ Computus en Jovis ; & quas, dum primordia rerum

Pangeret, omniparens leges violare creator

Noluit, atque operum quae fundamenta locirit.

Intima panduntur victi penetralia caeli,

Nec latet extremos quae vis circumrotat orbes.

Sol solio residens ad se jubet omnia prono

Tendere descensu, nec recto tramite currus

Sidereos patitur vastum per inane moveri ;

Sed rapit immotis, se centro, singula gyris.

Jam patet horrificis quae sit via flexa cometis ;

Jam non miramur barbati phaenomena astri.

Discimus hinc tandem qua causa argentea Phoebe

Passibus haud aequis graditur ; cur subdita nuUi

Hactenus astronomo numerorum fraena recuset :

Cur remeant nodi, curque auges progrediuntur.

Discimus & quantis refluum vaga Cynthia pontum

Viribus impellit, fessis dum fluctibus ulvam

Deserit, ac nautis suspectas nudat arenas ;

Alternis vicibus suprema ad littora pulsans.

Quae toties animos veterum torsere sophorum,

xii /y VIRI PR^STANTISSIML

Quaeque scholas frustra rauco certamine vexant,
Obvia conspicimus, nubem pellente mathesi.
Jam dubios nuUa caligine praegravat error,
Queis superum penetrare domos atque ardua caeli
Scandere sublimis genii concessit acumen.

Suigite mortales, terrenas mittite curas ;
Atque hinc caeligenae vires dignoscite mentis,
A pecudum vita longe lateque remotae.
Qui scriptis jussit tabulis compescere caedes,
Furta & adulteria, & perjurae crimina fraudis ;
Quive vagis populis circundare moenibus urbes
Auctor erat ; Cererisve beavit munere gentes ;
Vel qui curarum lenimen pressit ab uva ;
Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos
Consociare sonos, oculisque exponere voces ;
Humanam sortem minus extulit : utpote pauca
Respiciens miserae tantum solamina vitae.
Jam vero superis convivae admittimur, alti
Jura poli tractare licet, jamque abdita caecae
Claustra patent terrae, rerumque immobilis ordo,
Et quae praeteriti latuerunt secula mundi.

Talia monstrantem mecum celebrate camaenis,
Vos d caelicolum gaudentes nectare vesci,
Newtonum clausi reserantem scrinia veri,
Newtonum Musis charum, cui pectore puro
Phoebus adest, totoque incessit numine mentem :
Nec fas est propius mortali attingere divos.

EDM. HALLEY.

A UCTORIS PR^FA TIO

AD LECTOREM.

r^UM veteres mechanicam {uti auctor est Pappus) tn rerum natur-
alium investigatione maximi fecerint ; & recentioreSj missis
formis substantialibus & qualitatibus occultisj phcenomena naturce ad
leges mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc tractatu
mathesin excolere, guatenus ea ad philosophiam spectat. Mechanicam
vero duplicem veteres constituerunt : rationalem, guce per demon-
strationes accurate procedit, & practicam. Ad practicam spectant
artes omnes manuales, a quibus utique mechanica nomen mutuata est.
Cum autem artifices parum accurate operari soleanty fit ut mechanica
omnis a geometria ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad
geometriam referatur, quicquid minus accuratum ad mechanicam.
Attam^ errores non sunt artis^ sed artifcum. Qui minus accurate
operatur^ imperfectior est mechanicus, & si quis accuratissime operari
possety hic foret mechanicus omnium perfectissimus. Nam & linearum
rectarum & circulorum descriptiones, in quibus geometria fundatur,
ad mechanicam pertinent. Has lineas describere geometria non docet,
sed postulat. Postulat enim ut tyro easdem accurate describere prius
didicerety quam limen attingat geometriae ; dein, quomodo per /las
operationes problemxta solvantur, docet ; rectas & circulos describere
problemata sunt, sed non geometrica. Ex mech2Lnica postu/atur horum
solutioy in geometria docetur solutorum usus. Ac gloriatur geometria
quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa prcestet. Fun-
datur igitur geometria in praxi mechanica, & nihil aliud est quam
mechanicai universalis pars illa, quce artem mensurandi accurate pro-
ponit ac demonstrat. Cum autem artes manuales in corporibus moven-
dis prcBcipue versentur^ fit ut geometria ad magnitudinem, mechanica
ad motum vulgo referatur. Quo sensu mechanica rationalis erit
scientia motuum, qui ex viribus quibuscunque resultant, & virium

AUCTORIS PRjEFATIO.

guce ad ntotns gitosatngue reguiruniur, accurate proposUn ac dcnwn--
strata. Pars hcEc mechanicie a vcleribus in potentiis quinque ad
artes manuales spectantibus exmlta /uit, gui gravifalem (cum potentia
manualis uon sit) viv aliter guam in ponderibns per potentias U/as
movendis considerarunt, Nos autcm non artibus sed philosophiir con-
sulcntes, degne potetttHs tion manitalibus sed naturalibus scribentes, ea
maxiinc tnutatntts. gute ad gravitatetn, levitatem, vini elasticam,
resistentiatn fiuidorum &f cjusinodi vires seu attraciivas seu impulsivas
spectant : Et ex propter, hcec nostra tanqtiam philosopliiw principia
niathemettica proponimus. Omnis enim philosophiie difficultas in eo
versari vtdetur, ut a phtenonuitis motiitim investigemus vircs natitra;
deinde ab his viribus dentonstrcmits phttnomena religua. Et huc
spectant propositiones genera/es, guas libro priino & sccitndo pertrac-
tavimus. In libro autent tcrtio exemplum hujus rei proposuimus per
explieationem systematis mundani. Ibi eniin, ex phcenomcnis ca'/estibrts,
per propositimcs in /ibris prioribus inat/tematice demonstratas, deri-
vanttir vires gravitatis, guibiis corpora ad so/etn & p/anetas singit/os
tendunt. Deittde cx his viribtts per propositiones etiam matheinaticas,
dedticuntitr mottis p/aiutarttm, comctarum, luncs & maris. Utinam
ctettra natura phsnomena cx prindpiis mec/tanids eodem argummtandi
gmere derivare licerct. Nam mu/ta me tnovent, ut nonnihi/ suspiccr
ea omnia ex viribits quibusdam pendere posse, guibus corponttn
Particu/te per causas nondum cognitas ve/ in se mutuo impel/untur &
secundum figuras regu/ares cokarent, ve/ ab invicem fugatitur & rece-
dunt : gtiibus mribus ignotis, pht/osophi hactcnus naturam frustra
tentaritnt. Spero autem guoii vc/ htiic phi/osopltandi tnodo, ve/ veriori
aticuifPrincipia hic posita /ucem a/igitam prcfbebitnt.

Itt his edendis, vir actttissimus & iii omtti /iterarum gcnere eru-
ditissimus Edmundus Halleius operam navavit, nec so/um typot/tetarum
spha/mata corredt & schemata incidi curavii, sed eliam aiictor fuit,
Ht horum editioncm aggredercr. Quippe cum demottstratam a tne
figuram orbiutn cff/estium impctraverai, rogare non destitii, ut eandem
cum Societate Regali cominunicarcin, guce ddnde hortatibus & be-
nigttis suis auspiciis effecit, ut de eadem in /itccm einittcndti cogitare
indperem. Ai postguatn ntotuttm /itnarium iutequaliiates aggrcssus
essern, ddnde etiam a/ia tentare capisscm, gua ad /eges & matsuras
gravitatis & aiiarum virium. dT* figuras a corporibus secundum

A UCTORIS PR^FA TIO. XV

datas quascunque leges atiractis describendaSy ad motus corporum
plurium inter sCy ad motus corporum in mediis resistentibus, ad vires,
densitates & motus mediorum, ad orbes cometarum & similia spectanty
editionem in aliud tempus differendam esse putavi^ ut ccstera rim^Lrer &
una in publicum darem. Quce ad motus lunares spectant (imperfecta
cum sint) in corollariis propositionis LXVI simul complexus sum^
ne singula metkodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, &
sigillatim demonstrare tenerer^ & seriem reliquarum propositionum
interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere
malui, quam numerum propositionum & citationes mutare. Ut omnia
candide legantur, & defectus in materia tam difficili non tam repre-
heftdantury quam novis lectorum conatibus investigentur^ & benigne
suppleanturj enixe rogo.

Dabam CantabriguBy e CoUegio
5. TrinitatiSy Maii 8, 1686.

IS. NEWTON.

A UCrORIS PR^FA TIO

IN

EDITIONEM SECUNDAM.

TN hac secunda Prifuipiorum editione mulia sparsim emendantur,
& nonnulla adjiciuntur, In libri primi sectione 1 1 tnvefitio
viriumy quibus corpora in orbibus datis revolvi possint, facilior redditur
& amplior. In libri secundi sectione VII theoria resistentice fluidortim
accuratius investigatur^ & novis experimentis conflrmatur. In libro
tertio tlieoria luncs & prcecessio cequinoctiorum ex principiis suis
plenius deducuntur^ & theoria cometarum pluribus & accuratius
computatis orbium exemplis conflrmatur.

Dabam Londini^ Mar. 28, 17 13.

IS. NEWTON.

EDITORIS PR^FA TIO

IN

EDITIONEM SECUNDAM.

XJEWTONIANiE philosophiae novam tibi, lector benevole,
^ ^ diuque desideratam editionem, plurimum nunc emendatam
atque auctiorem exhibemus. Quse potissimum contineantur in hoc
opere celeberrimo, intelligere potes ex indicibus adjectis : quse vel
addantur vel immutentur, ipsa te fere docebit auctoris prsefatio.
Reliquum est, ut adjiciantur nonnulla de methodo hujus philosophiae.

Qui physicam tractandam susceperunt, ad tres fere classes revo-
cari possunt, Extiterunt enim, qui singulis rerum speciebus quali-
tates specificas & occultas tribuerint ; ex quibus deinde corporum
singulorum operationes, ignota quadam ratione, pendere voluerunt.
In hoc posita est summa doctrinae scholasticae, ab Aristotele & Peri-
pateticis derivatae : Affirmant utique singulos efifectus ex corporum
singularibus naturis oriri ; at unde sint illae naturae non docent ; nihil
itaque docent Cumque toti sint in rerum nominibus, non in ipsis
rebus ; sermonem quendam philosophicum censendi sunt adinvenisse,
philosophiam tradidisse non sunt censendi.

Alii ergo melioris diligentiae laudem consequi sperarunt rejecta
vocabulorum inutili farragine. Statuerunt itaque materiam univer-
sam homogeneam esse, omnem vero formarum varietatem, quae in
corporibus cernitur, ex particularum componentium simplicissimis
quibusdam & intellectu facillimis affectionibus oriri. Et recte
quidem progressio instituitur a simplicioribus ad magis composita, si
particularum primariis illis affectionibus non alios tribuunt modos.

EDITORIS PRMFATIO.

quam quos ipsa trlbuit natura. Verum ubi licentiam sibi assumunt,
ponendi quascunque libet ignotas partium figiiras & magnitudines,
incertosque situs & motiis ; quin & fingendi fluida qua;dam occulta,
qu^ corponim poros liberrime permeent, omnipotente prsdita sub-
tilitate, motibusque occultis agitata ; jam ad somnia delabuntur,
neglecta rerum constitutione vera : quse sane frustra petenda est ex
fallacibus conjectiiris, cum vix etiam per certissimas observationes
investigari possit. Qui speculationum suarum fundamentum desu-
munt ab hypothesibus ; etiamsi deinde secundum leges mechanicas
accuratissime procedant; fabulam quidem elegantem forte & venus-
tam, fabulam tamen concinnare dicendi sunt.

Relinquitur adeo tertium genus, qui philosophiam scilicet expe-
rimentalem profitentur. Hi quidem ex simplicissimis quibus possunt
principiis rerum omnium causas derivandas esse volunt : nihil autem
principii loco assumunt, quod nondum ex phsenomenis coniproba-
tum fueriL Hypotheses non comminiscuntur, neque in physicam
recipiunt, nisi ut quiestiones de quarum veritate disputetur. Duplici
itaque methodo incedunt, analytica & synthetica. Natur;e vires
legesque virium simpliciores ex selectis quibusdam phienomenis
per analysin deducunt, ex quibus deinde per synthesin reliquorum
constitutionem tradunt. Ha^c illa est philosophandi ratio longe
optima, quam pra; csteris merito amplectendum censuit celeberrimus
auctor noster. Hancsolam utique dignam judicavit, in qua excolenda
atque adornanda operam suam collocaret Hujus igitur illustrissi-
mum dedit exemplum, mundani nempe systematis explicationem e
theoria gravitatis felicissime deductam. Gravitatis virtutem universis
corporibus inesse suspicati sunt vel finxenint alii ; primus ille &
solus ex apparentiis demonstrare potuit, & speculationibus egregiis
firmissimum ponere fundamentum.

Scio equidem nonnullos magni etiam nominis viros, prcejudiciis
quibusdam plus requo occupatos, huic novo principio scgre assentiri
potuisse, & certis incerta iJcntidem pnetulisse. Horum famam
vellicare non est animus : tibi potius. benevoie lector, illa paucis
exponere lubet, ex quibus tute ipse judicium non iniquum feras.

Igitur ut argumenti sumatiir exordium a simplicissimis & proximis ;
dispiciamus paulisper qualis sit in terrestribus natura gravitatis, ut
deinde tutius progrediamur ubi ad corpora Cielestia, longissime a se-

EDITORIS PRjEFATIO. xix

dibus nostiis remota, perventum fuerit. Convenit jam inter omnes
philosophos corpora universa circumtefrestria gravitare in terram.
Nulla dari corpora vere levia jamdudum confirmavit experientia
multiplex. Quse dicitur levitas relativa, non est vera levitas, sed
apparens solummodo; & oritur a praepoUente gravitate corporum
contiguorum.

Porro, ut corpora universa gravitent in terram, ita terra vicissim
in corpora aequaliter gravitat ; gravitatis enim actionem esse mutuam
& utrinque aequalem sic ostenditur. Distinguatur terrae totius moles
in binas quascunque partes, vel aequales vel utcunque inaequales :
jam si pondera partium non essent in se mutuo aequalia; cederet
pondus minus majori, & partes conjunctae pergerent recta moveri ad
infinitum, versus plagam in quam tendit pondus majus: omnino contra
experientiam. Itaque dicendum erit pondera partium in aequilibrio
esse constituta : hoc est, gravitatis actionem esse mutuam & utrinque
sequalem.

Pondera corporum, aequaliter a centro terrae distantium, sunt ut
quantitates materiae in corporibus. Hoc utique colligitur ex aequali
acceleratione corporum omnium, e quiete per ponderum vires
cadentium : nam vires quibus inaequalia corpora aequaliter acceleran-
tur, debent esse proportionales quantitatibus materiae movendae. Jam
vero corpora universa cadentia aequaliter accelerari ex eo patet,
quod in vacuo Boyliano temporibus aequalibus aequalia spatia cadendo
describunt, sublata scilicet aeris resistentia : accuratius autem
comprobatur per experimenta pendulorum.

Vires attractivae corporum, in aequalibus distantiis, sunt ut quan-
titates materiae in corporibus. Nam cum corpora in terram & terra
vicissim in corpora momentis aequalibus gravitent; terrae pondus in
unumquodque corpus, seu vis qua corpus terram attrahit, aequabitur
ponderi corporis ejusdem in terram. Hoc autem pondus erat ut
quantitas materiae in corpore : itaque vis qua corpus unumquodque
terram attrahit, sive corporis vis absoluta, erit ut eadem quantitas
materiae.

Oritur ergo & componitur vis attractiva corporum integrorum
ex viribus attractivis partium : siquidem aucta vel diminuta mole
materiae ostensum est proportionaliter augeri vel diminui ejus
virtutem. Actio itaque telluris ex conjunctis partium actionibus

XX EDITORIS PR^FATIO.

conflari censenda erit ; atque adeo corpora omnia terrestria se mutiio
trahere oportet viribus absolutis, quae sint in ratione materiae trahentis.
Haec est natura gravitatis apud terram : videamus jam qualis sit in
ceelis.

Corpus omne perseverare in statu suo vel quiescendi vel movendi
uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur
statum illum mutare ; naturae lex est ab omnibus recepta philosophis.
Inde vero sequitur corpora, quae in curvis moventur, atque adeo
de lineis rectis orbitas suas tangentibus jugiter abeunt, vi aliqua
perpetuo agente retineri in itinere curviHneo. Planetis igitur in
orbibus curvis revolventibus necessario aderit vis aliqua, per cujus
actiones repetitas indesinenter a tangentibus deflectantur.

Jam illud concedi aequum est, quod mathematicis rationibus
colligitur & certissime demonstratur ; corpora nempe omnia, quae
moventur in linea aliqua curva in plano descripta, quaeque radio ducto
ad punctum vel quiescens vel utcunque motum describunt areas circa
punctum illud temporibus proportionales, urgeri a viribus quae ad
idem punctum tendunt. Cum igitur in confesso sit apud astronomos
planetas primarios circum solem, secundarios vero circum suos
primarios, areas describere temporibus proportionales ; consequens
est ut vis illa, qua perpetuo detorquentur a tangentibus rectilineis
& in orbitis curvilineis revolvi coguntur, versus corpora dirigatur
quae sita sunt in orbitarum centris. Haec itaque vis non inepte vocari
potest, respectu quidem corporis revolventis, centripeta ; respectu
autem corporis centralis, attractiva ; a quacunque demum causa oriri
fingatur.

Quin & haec quoque concedenda sunt, & mathematice demon-
strantur : Si corpora plura motu aequabih' revolvantur in circuHs
concentricis, & quadrata temporum periodicorum sint ut cubi
distantiarum a centro communi ; vires centripetas revolventium fore
reciproce ut quadrata distantiarum. Vel, si corpora revolvantur in
orbitis quae sunt circulis finitimae, & quiescant orbitarum apsides ;
vires centripetas revolventium fore reciproce ut quadrata distantiarum.
Obtinere casum alterutrum in planetis universiis consentiunt astronomi.
Itaque vires centripetae planetarum omnium sunt reciproce ut
quadrata distantiarum ab orbium centris. Si quis objiciat planetarum,
& kma^ prsesertim, apsides non penitus quiescere ; sed motu quodam

EDITORIS PR^FATIO. xxi

lento ferri in consequentia : responderi potest, etiamsi concedamus
hunc motum tardissimum exinde profectum esse quod vis centripetse
proportio aberret aliquantum a duplicata, aberrationem illam per
computum mathematicum inveniri posse & plane insensibilem esse.
Ipsa enim ratio vis centripetse lunaris, quae omnium maxime turbari
debet, paululum quidem duplicatam superabit; ad hanc vero sexaginta
fere vicibus propius accedet quam ad triplicatam. Sed verior erit
responsio, si dicamus hanc apsidum progressionem, non ex aberrati-
one a duplicata proportione, sed ex alia prorsus diversa causa ofiri,
quemadmodum egregie commonstratur in hac philosophia. Restat
ergo ut vires centripetae, quibus planetse primarii tendunt versus
solem & secundarii versus primarios suos, sint accurate ut quadrata
distantiarum reciproce.

Ex iis quae hactenus dicta sunt constat planetas in orbitis suis
retineri per vim aliquam in ipsos perpetuo agentem : constat vim
illam dirigi semper versus orbitarum centra : constat hujus efficaciam
augeri in accessu ad centrum, diminui in recessu ab eodem : & augeri
quidem in eadem proportione qua diminuitur quadratum distantiae,
diminui in eadem proportione qua distantiae quadratum augetur.
Videamus jam, comparatione instituta inter planetarum vires centri-
petas & vim gravitatis, annon ejusdem forte sint generis. Ejusdem
vero generis erunt, si deprehendantur hinc & inde leges eaedem,
eaedemque affectiones. Primo itaque lunae, quae nobis proxima est,
vim centripetam expendamus.

Spatia rectilinea, quae a corporibus e quiete demissis dato tempore

sub ipso motus initio describuntur, ubi a viribus quibuscunque

urgentur, proportionalia sunt ipsis viribus : hoc utique consequitur

ex ratiociniis mathematicis. Erit igitur vis centripeta lunae, in orbita

sua revolventis, ad vim gravitatis in superficie terrae, ut spatium

quod tempore quam minimo describeret luna descendendo per vim

centripetam versus terram, si circulari omni motu privari fingeretur,

ad spatium quod eodem tempore quam minimo describit grave

corpus in vicinia terrae, per vim gravitatls suae cadendo. Horum

spatiorum prius aequale est arcus a luna per idem tempus descripti

sinui verso, quippe qui lunae translationem de tangente, factam a vi

centripeta, metitur ; atque adeo computari potest ex datis tum lunae

. b

■n

xxii EDITORIS PR.EFATIO.

tempore periodico, tum distantia ejus a centro terrae. Spatium poste-
rius invenitur per experimenta pendulorum, quemadmodum docuit
Htigenius, Inito itaque calculo, spatium prius ad spatium posterius,
seu vis centripeta luna^ in orbita sua revolventis ad vim gravitatis in
superficie terrae, erit ut quadratum semidiamctri terrae ad orbitae
semidiametri quadratum. Eandem habet rationem, per ea quae
superius ostenduntur, vis centripeta lunae in orbita sua revolventis
ad vim lunae centripetam prope terrse superficiem. Vis itaque
ceritripeta prope terrae superficiem aequalis cst vi gravitatis. Non
ergo diversae sunt vires, sed una atque eadem : si enim diversae essent,
corpora viribus conjunctis duplo celerius in terram caderent quam ex
vi sola gravitatis. Constat igitur vim illam centripetam, qua luna
perpetuo de tangente vel trahitur vel impellitur & in orbita retine-
tur, ipsam esse vim gravitatis terrestris ad hmam usque pertingentem.
Et rationi quidem consentaneum est ut ad ingentes distantias illa sese
virtus extendat, cum nullam ejus sensibilem imminutionem, vel in
altissimis montium cacuminibus, observare h'cet. Gravitat itaque
luna in terram : quin & actione mutua terra vicissim in lunam
aequahter gravitat : id quod abunde quidem confirmatur in hac
philosophia, ubi agitur de maris aestu & aequinoctiorum praecessione,
ab actione tum lunae tum soHs in tcrram oriundus. Hinc & illud
tandem edocemur, qua nimirum lege vis gravitatis decrescat in
majoribus a tellure distantiis. Nam cum gravitas non diversa sit a
vi centripeta lunari, haec vero sit reciproce proportionaHs quadrato
distantiae ; diminuetur & gravitas in eadem ratione.

Progrediamur jam ad planetas rcHquos. Quoniam revolutiones
primariorum circa solem & secundariorum circa jovem & saturnum
sunt phaenomena generis ejusdem ac revolutio lunae circa terram,
quoniam porro demonstratum est vires centripetas primariorum
dirigi versus centrum soHs, secundariorum vcrsus centra jovis &
saturni, quemadmodum lunae vis centripeta versus terrae centrum
dirigitur ; adhaec, quoniam omnes iHae vires sunt reciproce ut quadrata
distantiarum a centris, quemadmodum vis hmae est ut quadratum
distantiae a terra : conchidendum erit eandcm esse naturam universis.
Itaque ut luna gravitat in terram, & terra vicissim in lunam ; sic etiam
gravitabunt omnes secundarii in primarios suos, & primarii vicissim

EDITORIS PR^FATIO, xxiii

in secundarios; sic & omnes primarii in solcm, & sol vicissim in
primarios.

Igitur sol in planetas universos gravitat & universi in solem. Nam
secundarii dum primarios suos comitantur, rcvolvuntur interea circum
solem una cum primariis. Eodem itaque argumento, utriusque
generis planeta^ gravitant in solem, & sol in ipsos. Secundarios vero
planetas in solem gravitare abunde insuper constat ex ina,*qualitatil)us
lunaribus ; quarum accuratissimam theoriam, admiranda sagacitate
patefactam, in tertio hujus operis libro expositam habemus.

Soh's virtutem attractivam quoquoversum propagari ad ingent(*s
usque distantias, & sese diffundere ad singulas circumjecti spatii
partes, apertissime coHigi potest ex motu cometarum; qui ab immensis
intervaUis profecti feruntur in viciniam soHs, & nonnunquam adeo atl
ipsum proxime accedunt ut globum ejus, in perihehis suis versantcs,
tantum non contingere videantur. Horum theoriam, ab astronomis
antehac frustra qusesitam, nostro tandem saiculo fcHciter inventam &
per observationes certissime demonstratam pra^stantissimo nostro
auctori debemus. Patet igitur cometas in sectionibus conicis umbi-
licos in centro soHs habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas
temporibus proportionales dcscribere. Ex hisce vero pha^nomenis
manifestum est & mathematice comprobatur vires illas, quibus
cometae retinentur in orbitis suis, respicere solem & csse reciproce ut
quadrata distantiarum ab ipsius centro. Gravitant itaque cometai
in solem : atque adeo sohs vis attractiva non tantum ad corpora
planetarum in datis distantiis & in eodem fere plano collocata, sed
etiam ad cometas in diversissimis calorum reglonibus & in diversissi-
mis distantiis positos pertingit Ha:c igitur est natura corponim
gravitantium, ut vires suas edant ad omnes distantias in omnia corpora
gravitantia. Inde vero sequitur planetas & cometas universos se
mutuo trahere, & in se mutuo graves esse : quod etiam confirmatur
ex perturbatione jovis & saturni, astronomis non incognita, & ab
actionibus horum planetarum in se inviccm oriunda ; quin & ex motu
illo lentissimo apsidum, qui supra memoratus est, quique a causa
consimih proficiscitur.

Eo demum pervenimus ut dicendum sit & tcrram & solem & cor-
pora omnia caelestia, quae solem comitantur, se mutuo attrahcre.

BDITORIS PR^.FATIO-

Singulorum ergo particulee quaique mininiie vires suas attractivas
habebunt, pro quantitate materias pollenles ; quemadmodLim supra de
terrestribus ostensum est. In dlversis autem distantiis erunt &
harum vires in duplicata ralione distantianim reciproce : nam ex
particulis hac lege tralientibus componi debere globos eadem lege
trahentes mathematice demonstratur.

Conclusiones priecedentes huic innituntur Axiomati, quod a nullis
non recipitur philosophis ; effectuum scilicet ejusdem generis, quoruni
nempe qua; cognoscuntur proprietates eiedem sunt. easdem esse
causas & easdem esse proprietates quie nondum cognoscuntur. Quis
enim dubitat, si gravitas sit causa descensus lapidis in Enropa. quin
eadem sit causa descensus in Anterka ? Si gravitas mutua fuerit inter
lapidem & terram in Eurapa ; quis negabit mutuani esse in Atucrica ?
Si vis attractiva lapidis & terrae componatur in Ettropa ex viribus
attractivis partium ; quis negabit similem esse compositionem in
America ? Si attractio terrai ad omnium corporum genera & ad omnes
distantias propagetur ih Enropa ; quidni pariter propagari dicamus in
America ? In hac regula fundatur omnis philosophia : quippe qua
sublata nihil afiirmare possimus de universis. Constitutio rerum
singularum innotescit per observationes & experimenta : inde vero non
nisi per hanc regutam de rerum unlversarum natura jiidicamus.

Jam cum gravia sint omnia corpora, quae apud terram vel in caells
reperiuntur, de quibus experimenta vel observationes instituere Hcet ;
omntno dicendum erit gravitatem corporlbus universls competere.
Et quemadmodum nulla concipi debent corpora, qua; non sint ex-
tensa, mobilia & impenetrabllla ; ita nulla conclpi debere, quse non
sint gravia. Corporum extensio, mobllitas & impenetrabilitas non
nisi per experimenta innotescunt : eodem plane modo gravitas
innotescit Corpora omnia de quibus observationes habemus, ex-
tensa sunt & mobilla & impenetrabilia : & Inde concludlmus corpora
universa, etiam illa de quibus observationes non habemus, extensa
esse & mobiUa & impenetrabllia. Ita corpora omnla sunt gravia, de
quibus observationes habemus: & inde concludimus corpora universa,
etiam Ula de quibus observationes non habcmus, gravia esse. SI quis
dicat corpora stellarum Inerrantium non esse gravia, quandoquidem
eonim gravitas nondum est observata ; eodem argumento dicere ii-

EDITORIS PR^FATIO, xxv

cebit neque extensa esse, nec mobiHa, nec impenetrabilia, cum hae
fixarum afifectiones nondum sint observatae. Quid opus est verbis ?
inter primarias qualitates corporum universorum vel gravitas habebit
locum ; vel extensio, mobilitas & impenetrabilitas non habebunt.
Et natura rerum vel recte explicabitur per corporum gravitatem,
vel non recte explicabitur per corporum extensionem, mobilitatem
& impenetrabilitatem.

Audio nonnullos hanc improbare conclusionem, & de occultis
qualitatibus nescio quid mussitare. Gravitatem scilicet occultum esse
quid, perpetuo argutari solent; occultas vero causas procul esse
ablegandas a philosophia. His autem facile respondetur; occultas
esse causas, non illas quidem quarum existentia per observationes
clarissime demonstratur, sed has solum quarum occulta est & ficta
existentia nondum vero comprobata. Gravitas ergo non erit occulta
causamotuum caelestium; siquidem ex phaenomenis ostensum est, hanc
yirtutem revera existere. Hi potius ad occultas confugiunt causas ;
qui nescio quos vortices, materiae cujusdam prorsus fictitiae & sensibus
omnino ignotae, motibus iisdem regendis praeficiunt.

Ideone autem gravitas occulta causa dicetur, eoque nomine
rejicietur e philosophia, quod causa ipsius gravitatis occulta est &
nondum inventa ? Qui sic statuunt, videant nequid statuant absurdi,
unde totius tandem philosophiae fundamenta convellantur. Etenim
causae continuo nexu procedere solent a compositis ad simpliciora : ubi
ad causam simplicissimam perveneris, jam non licebit ulterius progredi.
Causae igitur simplicissimae nulla dari potest mechanica explicatio : si
daretur enim, causa nondum esset simplicissima. Has tu proinde
causas simplicissimas appellabis occultas, & exulare jubebis ? Simul
vero exulabunt & ab his proxime pendentes & quae ab illis porro
pendent, usque dum a causis omnibus vacua fuerit & probe purgata
philosophia.

Sunt qui gravitatem praeter naturam esse dicunt, & miraculum
perpetuum vocant. Itaque rejiciendam esse volunt, cum in physica
praeternaturales causae locum non habeant. Huic ineptae prorsus
objectioni diluendae, quae & ipsa philosophiam subruit universam, Vix
operae pretium est immorari. Vel enim gravitatem corporibus
omnibus inditam esse negabunt, quod tamen dici non potest : vel

xxvi EDITORIS PR.^FATIO,

eo nomine prceter naturam esse affirmabunt, quod ex aliis corponim
affectionibus atque adeo ex causis mechanicis originem non habeat.
Dantur certe primariee corporum affectiones ; quae, quoniam sunt
primarise, non pendent ab aliis. Viderint igitur annon & hae omnes
sint pariter praeter naturam, eoque pariter rejiciendai : viderint vero
qualis sit deinde futura philosophia.

Nonnulli sunt quibus haec tota physica cselestis vel ideo minus
placet, quod cum Cartcsii dogmatibus pugnare & vix conciliari
posse videatur. His sua licebit opinione frui ; ex aequo autem agant
oportet : non ergo denegabunt aHis eandem libertatem quam sibi
concedi postulant Newtoxianam itaque philosophiam, quae nobis
verior habetur, rctinere & amplecti Hcebit, & causas sequi per
phaenomena comprobatas, potius quam fictas & nondum comprobatas.
Ad veram philosophiam pertinct, rerum naturas ex causis vere
existentibus derivare : eas vero leges quaerere, quibus voluit summus
opifex hunc mundi pulcherrimum ordinem stabiHre ; non eas quibus
potuit, si ita visum fuisset. Rationi enim consonum est, ut a
pluribus causis, ab invicem nonnihil diversis, idem possit effectus
proficisci : haec autem vera erit causa, ex qua vere atque actu
proficiscitur ; reHquae locum non habent in philosophia vera. In
horologiis automatis idem indicis horarii motus vel ab appenso
pondere vel ab intus concluso elatere oriri potest. Quod si oblatum
horologium revera sit instructum pondere ; ridebitur qui finget
elaterem, & ex hypothesi sic praepropere conficta motum indicis
expHcare suscipiet : oportuit enim internam machinae fabricam
penitius perscrutari, ut ita motus propositi principium verum explo-
ratum habere posset. Idem vel non absimile feretur judiciimi de
philosophis iHis, qui materia quadam subtiHssima caelos esse repletos,
hanc autem in vortices indesinentur agi voluerunt Nam si phaeno-
menis vel accuratissime satisfacere possent ex hypothesibus suis ;
veram tamen philosophiam tradidisse, & veras causas motuum
ccelestium invenisse nondum dicendi sunt; nisi vel has revera existere,
vel saltem aHas non existere demonstraverint Igitur si ostensum
fuerit, universorum corporum attractionem habere verum locum in
rerum natura ; quinetiam ostensum fuerit, qua ratione motus omnes
caelestes abinde solutionem recipiant ; vana fuerit & merito deridenda

EDITORIS PR2EFATIO, xxvii

objectio, si quis dixerit eosdem motiis per vortices explicari debere,
etiamsi id fieri posse vel maxime concesserimus. Non autem conce-
dimus : nequeunt enim ullo pacto phaenomena per vortices explicari ;
quod ab auctore nostro abunde quidem & clarissimis rationibus evin-
citur ; ut somnis plus aequo indulgeant oporteat, qui ineptissimo fig-
mento resarciendo, novisque porro commentis omando infelicem
operam addicunt

Si corpora planetarum & cometarum circa solem deferantur a
vorticibus ; oportet corpora delata & vorticum partes proxime ambi-
entes eadem velocitate eademque cursus determinatione moveri, &
eandem habere densitatem vel eandem vim inertiae pro mole materiae.
Constat vero planetas & cometas, dum versantur in iisdem regionibus
caelorum, velocitatibus variis variaque cursus determinatione moveri.
Necessario itaque sequitur, ut fluidi caelestis partes illae, quae sunt
ad easdem distantias a sole, revolvantur eodem tempore in plagas
diversas cum diversis velocitatibus : etenim alia opus erit directione
& velocitate, ut transire possint planetae ; alia, ut transire possint
cometae. Quod cum explicari nequeat; vel fatendum erit, universa
corpora caelestia non deferri a materia vorticis ; vel dicendum erit,
eorundem motus repetendos esse non ab uno eodemque vortice, sed
a pluribus qui ab invicem diversi sint, idemque spatium soli circum-
jectum pervadant.

Si plures vorticcs in eodem spatio contineri, & sese mutuo pene-
trare motibusque diversis revolvi ponantur ; quoniam hi motus debent
esse conformes delatorum corporum motibus, qui sunt summe regu-
lares, & peraguntur in sectionibus conicis nunc valde eccentricis, nunc
ad circulorum proxime formam accedentibus ; jure quaerendum erit,
qui fieri possit, ut iidem integri conserventur nec ab actionibus
materiae occursantis per tot saecula quicquam perturbentur. Sane si
motus hi fictitii sunt magis compositi & difficilius explicantur, quam
veri illi motus planetarum & cometarum ; frustra mihi videntur in
philosophiam recipi : omnis enim causa debet esse effectu suo sim-
plicior. Concessa fabularum licentia, affirmaverit aliquis planetas
omnes & cometas circumcingi atmosphaeris, adinstar telluris nostrae ;
quae quidem hypothesis rationi magis consentanea videbitur quam
hypothesis vorticum. Affirmaverit deinde has atmosphaeras, ex na-

EDITORIS PRyEFATIO.

tura siia, circa solem moveri & sectiones conicas describere ; qui sane
motus multo facilius concipi potest, quam consimilis motus vorticum
se invicem permeantium. Denique planetas ipsos & comctas circa
solem deferri ab atmosphKris suis credendum esse statuat, & ob
repertas motuum cslestium causas iriumphum agat. Quisquis autem
hanc fabulam rejiciendam esse putet. idem & alteram fabulam rejiciet:
nam ovum non est ovo similius, quam hypothesis atmosph^erarum
hypothesi vorticum.

Docuit GaliiiTits lapidis projecti & in parabola moti deflexionem
a cursu rectilineo oriri a gravitate lapidis in terram, ab occulta sci-
licet qualitate. Fieri tamen potest ut alius aliquis, nasi acutioris,
philosophus causam allam comminiscatur. Finget igitur ille mate-
riam quandam subtilem, qu2e nec visu nec tactu neque ullo sensu
percipitur, versari in regionibus qus proxime contlngnnt telluris
superficiem. Hanc autem materiam, in diversas plagas, variis &
plerumque contrariis motlbus ferri, & Ilneas parabolicas describere
contendet. Deinde vero lapidls deflexlonem pulchre sic expediet, &
vulgi plausum merebitur. Lapis, inqulet, in fluido illo subtlll natat
& cursul ejus obsequendo, non potest non eandem una semitam de-
scribere. Fluidum vero movetur in lineis parabolicis ; ergo lapidem
in parabola moveri necesse est. Quis nunc non mirabitur acutis-
simuni hujusce philosophi ingenium, ex causis mechanlcis, materia
scilicet & motu, phjenomena naturae ad vulgi etiam captum prfeclare
deducentis ? Quis vero non subsannabit bonum illum Galilmim, qui
magno molimine mathematico qualitates occultas, e philosophia feli-
citer exclusas, denuo revocare sustinuerit ? Sed pudet nugis diutius
immorari.

Summa rei huc tandem redlt : cometanim ingens est numerus ;
motus eorum sunt summe regulares, & easdem leges cum planetarum
motibus observanL Moventur in orbibus conicis. hl orbes sunt valde
admodum eccentrici. Feruntur undique in omnes ca^loruni parles,
& planetarum regioncs libcrrime pertranseunt, & s^pe contra signo-
rum ordinem incedunt. Hsc pha;nomena certissime confirmantur
ex observationibus aHtronomicis : & per vortices nequeunt explJcari.
Imo, ne quldem cum vorticlbus planetarum conslstere possunt. Co-

EDITORIS PR^FATIO. xxix

metarum motibus omnino locus non erit; nisi materia illa fictitia
penitus e cselis amoveatur.

Si enim planetae circum solem a vorticibus devehuntur ; vorticum
partes, quae proxime ambiunt unumquemque planetam, ejusdem
densitatis erunt ac planeta ; uti supra dictum est Itaque materia illa
omnis, quae contigua est orbis magni perimetro, parem habebit ac
tellus densitatem : quae vero jacet intra orbem magnum atque orbem
satumi, vel parem vel majorem habebit Nam ut constitutio vorticis
permanere possit, debent partes minus densae centrum occupare,
magis densae longius a centro abire. Cum enim planetarum tempora
periodica sint in ratione sesquiplicata distantiarum a sole, oportet
partium vorticis periodos eandem rationem servare. Inde vero
sequitur vires centrifugas harum partium fore reciproce ut quadrata
distantiarum. Quae igitur majore intervallo distant a centro, nituntur
ab eodem recedere minore vi : unde si minus densae fuerint, necesse
est ut cedant vi majori, qua partes centro propiores ascendere con-
antur. Ascendent ergo densiores, descendent minus densae, &
locorum fiet invicem permutatio ; donec ita fuerit disposita atque
ordinata materia fluida totius vorticis, ut conquiescere jam possit in
aequilibrio constituta. Si bina fluida, quorum diversa est densitas,
in eodem vase continentur; utique futurum est ut fluidum, cujus major
est densitas, majore vi gravitatis infimum petat locum : & ratione
non absimili omnino dicendum est, densiores vorticis partes majore
vi centrifuga petere supremum locum. Tota igitur illa & multo
maxima pars vorticis, quae jacet extra telluris orbem, densitatem
habebit atque adeo vim inertiae pro mole materiae, quae non minor
erit quam densitas & vis inertiae telluris : inde vero cometis trajectis
orietur ingens resistentia, & valde admodum sensibilis ; ne dicam,
quae motum eorundem penitus sistere atque absorbere posse merito
videatur. Constat autem ex motu cometarum prorsus regulari,
nullam ipsos resistentiam pati quae vel minimum sentiri potest ;
atque adeo neutiquam in materiam ullam incursare, cujus aliqua sit
vis resistendi, vel proinde cujus aliqua sit densitas seu vis inertiae.
Nam resistentia mediorum oritur vel ab inertia materiae fluidae, vel a
defectu lubricitatis. Quae oritur a defectu lubricitatis, admodum ex-
igua est ; & sane vix observari potest in fluidis vulgo notis, nisi valde

EDI70EIS PRjEFATIO.

tenacia fiicrinl adinstar olei & mellis. Resistentia quae scntitur in
aere, aqua, hydrarijyro, & hujusmodi fluidis non tenacibiis fere tota
est prioris generis ; & minui non potest per ulteriorem quemcunque
gradum sublilitatis, manente fluidi densitale vel vi inerlia:, cui semper
proportionalis est hHec resistentia; quemadmodum clarissime demon-
stratum est ab auctore nostro in peregregia resistentiarum theoria,
qu^ paulo nunc accuratius exponitur, hac secunda vice, & per experi-
menta corpomm cadentium plenlus confirmatur.

Corpora progrediendo motum suum fluido ambienti paulatim
communlcant, & commimicando amlttunt. amittendo autem retardan-
tur. Est itaque retardatio motui communicato proportionalis ;
motus vero communicatus, ubi datur corporis progredientis velocitas,
est ut fluidi densitas ; ergo retardatio seu resistentia erit ut eadem
fluidi densitas ; neque ullo pacto tolii potest. nisi a fluido ad partes
corporis posticas recurrente restituatur motus amissus. Hoc autem
ilici non poterit, nisi impressio fluidi in corpus ad partes postlcas
^qualis fuerit impressioni corporis in fluidum ad partes antlcas,
hoc est, nisi velocitas relativa qua fluidum irruit in corpus a tergo,
a;qualis fuerit velocitati qua corpus irruit in fluidum, id est. nisi
velocitas absoluta fluidi recurrentis duplo major fuerit quam velocitas
absoluta fiuidi propulsi ; quod fieri nequit. Nullo iyitur modo tolli
potest fluidonim resiatentia, quae oritur ab eorundem densitale &
vi inertiar. Itaque concludendum erit ; fluidi cielestis nullam esse
vim inertiae, cum nulla sit vls resistendi : nullam esse vim qua mo-
tus communicetur, cum nulla slt vis inertia^ : nullam esse vim qua
mutatio quiellbet vcl corporibiis singulis vel pluribus inducatur,
cum nulla sit vis qua motiis communicetur ; nullam esse omnino
efiicaciam, cum nulla sit facultas mutationcm quamlibet inducendi.
Quidni ergo hanc hypothesin, qu.x fundamento plane destituitur,
quxque natura; rerum explicand<'e ne minimum quidem inservit, In-
cptissimam vocare liceat & philosopho prorsus indignam. Qui ca:lo5
materia fiuida repletos esse volunt, hanc vero non inertem esse sta-
tuunt ; hi verbis tollunt vacuum, re ponunt. Nam cum hujusmodj
matcria fiuida ratione nulla seccrni possit ab Inani spatlo ; disputatio
tota fit de renim nominibus, non de naturis. Quod si aliqui sint adeo
iisque dediti malerix, ut spatium a corporibus vacuum nullo pacto

EDITORIS PR^FATIO, xxxi

admittendum credere velint; videamus quo tandem oporteat illos
pervenire.

Vel enim dicent hanc, quam confingunt, mundi per omnia pleni
constitutionem ex voluntate dei profectam esse, propter eum finem,
ut operationibus naturse subsidium praesens haberi posset ab aethere
subtilissimo cuncta permeante & implente; quod tamen dici non
potest, siquidem jam ostensum est ex cometarum phaenomenis, nullam
esse hujus aetheris efficaciam : vel dicent ex voluntate dei profectam
esse, propter finem aliquem ignotum ; quod neque dici debet, siquidem
diversa mundi constitutio eodem argumento pariter stabiliri posset :
vel denique non dicent ex voluntate dei profectam esse, sed
ex necessitate quadam naturae. Tandem igitur delabi oportet
in faeces sordidas gregis impurissimi. Hi sunt qui somniant fato
universa regi, non providentia ; materiam ex necessitate sua semper
& ubique extitisse, infinitam esse & aeternam. Quibus positis, erit
etiam undiquaque uniformis : nam varietas formarum cum necessitate
omnino pugnat. Erit etiam immota : nam si necessario moveatur in
plagam aliquam determinatam, cum determinata aliqua velocitate ;
pari necessitate movebitur in plagam diversam cum diversa velocitate ;
in plagas autem diversas, cum diversis velocitatibus, moveri non
potest; oportet igitur immotam esse. Neutiquam profecto potuit
oriri mundus, pulcherrima formarum & motuum varietate distinctus,
nisi ex liberrima voluntate cuncta providentis & gubernantis dei.

Ex hoc igitur fonte promanarunt illae omnes quae dicuntur naturae
leges : in quibus multa sane sapientissimi consilii, nulla necessitatis
apparent vestigia. Has proinde non ab incertis conjecturis petere,
sed observando atque experiendo addiscere debemus. Qui vere
physicae principia legesque rerum, sola mentis vi & interno rationis
lumine fretum, invenire se posse confidit ; hunc oportet vel statuere
mundum ex necessitate fuisse, legesque propositas ex eadem necessitate
sequi; vel si per voluntatem dei constitutus sit ordo naturae, se tamen,
homuncionem misellum, quid optimum factu sit perspectum habere.
Sana omnis & vera philosophia fundatur in phaenomenis rerum : quae si
nos vel invitos & reluctantes ad hujusmodi principia deducunt, in qui-
bus clarissime cernuntur consilium optimum & dominium summum
sapientissimi & potentissimi entis ; non erunt haec ideo non admittenda

EDITOEIS PRMFATIO.

principia, quod quibusdam forsan hominibus mimis grata sJnt futura.
His vel miracula vel qualitates occultas dicantur, quae displicent :
verum nomina malitiose indtta non sunt ipsis rebus vitio vertenda ;
nisi illud fateri tandem velint, utique debere philosophiam in atheismo
fundari. Horum hominum gratia non erit labefactanda philosophia,
siquidem rerum ordo non vult immutari.

Obtinebit igltur apud probos & ^equos judices prsstantissima
philosophandi ratio, qu^ fundatur in experimentis & observationibus.
Huic vero, dici vlx poterit, quanta lux accedat, quanta dignitas,
ab hoc opere praeclaro illustrissimi nostri auctoris ; cujus eximiam
ingenii felicitatem, difficillima qusque problemata enodantis, & ad ea
porro pertingentls ad qua: nec spes erat humanam menteni assurgere
potuisse, merito admirantur & suspiciunt quicunque paulo profundius
in hisce rebus versati sunL Claustris ergo rescratis, aditum nobis
aperuit ad pulcherrima rerum mysteria. Systcmatls mundani
conipagem elegantissimam ita tandem patefecit & penitius perspec-
taiidam dedit ; ut ncc ipse, si nunc revivisceret, rex Alphonms vel
simplicitatem vel harmonia; gratiam in ea desideraret, Itaque natura^
majestatem propius jam Hcet intueri, & dulctssima conlemplatione
frui, conditorum vero ac dominum universorum impensius colere
& venerari, qui fructus est philosophise multo uberrimus. Ccecum
esse oportet, qui ex optimis & sapientissimis rerum structuris non
statim videat fabricatoris omiiipotentis infinitam sapicntiam &
bonitatem : insanum, qui profiteri nolit.

Extabit igitur eximium Newtoni opus adversus atheonim impetus
munitissimum pnesidium : neque enim alicunde felicius, quam ex hac
pharetra, contra impiam catcrvam tela deprompserls. Hoc scnsit
pridem, & in pererudltis concionibus anglice latineque editis, primus
egregie demonstravit vir In omni literarum genere prsclarus idemque
bonarum artium fautor eximius Richardus Bentlkius. seculi sui
& academix nostr^ magnum ornamentum. collegli nostri ^. Tnnilatts
magister dignissimus & integerrlmus. Huic ego me pluribus
nomlnibus obstrictum fateri dcbeo : hulc & tuas qux debentiir gratias.
lector bcnevole, non denegabis. Is enim. cum a longo tempore
celeberrimi auctorls amlcltia intima frueretur. (qua etiam apud
posteros censeri non mlnorls a-stlmal, quam propriis scrlptis qu.-e

EDITORIS PR^FATIO, xxxiii

literato orbi in deliciis sunt inclarescere) amici simul famae & scien-
tiarum incremento consuluit Itaque cum exemplaria prioris editiohis
rarissima admodum & immani pretio coemenda superessent ; suasit
ille crebris efflagitationibus, & tantum non objurgando perpulit
denique virum praestantissimum, nec modestia minus quam eruditione
summa insignem, ut novam hanc operis editionem, per omnia
elimatam denuo & egregiis insuper accessionibus ditatam, suis
sumptibus & auspiciis prodire pateretur : mihi vero, pro jure suo,
pensum non ingratum demandavit, ut quam posset emendate id fieri
curarem.

CatitabrigicB^ Maii 12, 17 13.

RoGERUS CoTES collegii S. Trinitatis socius,
astronomiae & philosophiae experimentalis
professor Plumianus.

AUCTORIS PR^FATIO

■

IN

EDITIONEM TERTIAM.

T N Editione hacce tertia, quam Henricus Pemberton M.D. vir

karum rerum peritissimus curavit, nojmulla in libro secundo de

resistentia mediorum paulo /usius explicantur quam antea^ & adduntur

experim^nta nova de resistentia gravium qtice cadunt in aere. hi

libro tertio argumentum qua lunam in orbe suo per gravitatem retineri

probatury paulo fusius exponitur : & novce adduntur observationes de

proportione diametrorum yovis ad invicem a D. Poundio /actcr,

Adduntur etiam observatiofies aliquot cometce illius qui anno 1680

apparuit, a D. Kirk mense Novembri in Germania habitcB, quce nupcr

ad manus fiostras venerunt^ & quarum ope constet qtiam prope orbes

parabolici motibus cometarum respondent. Et orbita cometce illius,

computante Halleio, paulo accuratius determifiatur quam anteay idque

in ellipsi. Et ostefiditur cometam in hac orbita elliptica, per novem

ccelorum signa^ non vtinus accurate cursum peregissCy quam solerit

plaftetce in orbitis ellipticis per astronomiam dejinitis moveri. Orbis

etiam cometcB qui anno 1723 apparuit^ a D. Bradleio astronomice apud

Oxonienses professore comptitatus, adjicitur.

IS. NEWTON.

Dabam Lofuiini, Jan. 12, 1725-6.

INDEX CA P I TU M

TOTIUS OPERIS.

Pag.

Definitiones, I

AXIOMATA, SIVE LeGES MoTUS, I3

DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.

Sect. I. De methodo rationum primarum & ^ilttmartim^ . 28
II. De tnventione vtrium cefitripetarumy . . .38

III. De 7710 tu corpoT^m in conicis sectionibus eccentT^ciSy 54

IV. De i7ive7itio7te orbium ellipticorumy parabolicorum

& hyperbolicorum ex umbilico datOy . . .65

V. De inventio7ie orbium ubi umbilicus ne^iter datur^ . 73

VI. De i7tve7itio7te motuum in orbibus datisy . .104

VI I. De corporu7n asce7isu & descensu rectilineo, . . 112

VIII. De inventione orbiu7n in quibus corpora viribus

quibuscunque centripetis agitata revolvuntur^ . 123
I X. De motu corporum i7t orbibus mobilibuSy deque motu

apsidum, . . . . * . . . .129

X. De m^tu corporum in stiperficiebu^ datiSy deque

fu7tependulorum motu reciproco^ . . .142

XI. De motu corporum viribus centripetis se mutuo

petentium, . . . . . . .160

XII. De corpo7^m sphcericorum viribus attractivisy . 189

XIII. De corporum non sphcericorunt viribus attractivisy 210

XIV. De motu corporum mi^timorum, qucB vi^nbus cent^n,-

petis ad singulas mag7ti alictijus corporis partes
tendentibus agitantur, . . . . .222

xxxvi INDEX CAPITUM.

DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.

Sect. I. De mottc corporum quibiis resistittir in ratione

velocitatiSy . . . . . . .230

II. De motu corporum quibus resistitur in duplicata

ratione velocitatis^ . . . . . .239

III. De motu corporum quibus resistitur partim in

ratione velocitatis^ partim in ejusdem ratione
dtiplicata, . . . . . . .265

IV. De corporum circulari motu in msdiis resistentibus^ 274
V. De densitate & compressione fluidorum^ deque hydro-

stattca^ .......

VI. De nwtu & resistentia corporum funepe)iduloru7n,
VII. De ntotufluidorum & resistentia projectilium,
VIII. De motu per fluida propagatOy
I X. De motu circulari fluidorum^ ....

DE MUNDI SYSTEMATE LIBER TERTIUS.

282
294

318

357
374

Regul^ Philosophandi, 387

PHiENOMENA, .......... 390

Propositiones, 395

ScHOLiuM General?:, 526

PHILOSOPHI.E NATURALIS

PRINCIPIA MATHEMATICA

DEFINITIONES.

DEFINITIO I.

Quantitas materue est mensura ejusdem orta ex illius densitate et

magnitudine conjunctim.

AER densitate duplicata, in spatio etiam duplicato, fit quadruplus ;
in triplicato sextuplus. Idem intellige de nive & pulveribus
per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio
corporum omnium, quae per causas quascunque diversimode conden-
santur. Medii interea, si quod fuerit^ interstitia partium libere per-
vadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub
nomine corporis vel massae in sequentibus passim intelligo. Innotescit
ea per corporis cujusque pondus : Nam ponderi proportionalem esse
reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac
docebitur.

DEFINITIO II.

Quantitas motus est mensura gusdem orta ex velocitate et quantitate

maieruB conjunctim.

Motus totius est summa motuum in partibus singulis ; ideoque in
corpore duplo majore, aequali cum velocitate, duplus est, & dupla cum
velocitate quadruplus.

y

DEFJNJTIONES.

DEFINITIO III.

Materics vis insita est potentia resistendi^ qua corpus U7tumquodquey
quantum in se esty perseverat in statu suo vel quiesce^idi vel movendi
uni/ormiter in directum.

Haec semper proportionalis est suo corpori, neque differt quic-
quam ab inertia massse, nisi in modo concipiendi. Per inertiam
materiae fit, ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi
difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo
vis inertise dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo
in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta ;
estque exercitium illud sub diverso respectu & resistentia & impetus :
Resistentia, quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur
vi impressae ; impetus, quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi
difficulter cedendo, conatur statum obstaculi illius mutare. Vulgus
resistentiam quiescentibus & impetum moventibus tribuit : sed
motus & quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur
ab invicem; neque semper vere quiescunt, quae vulgo tanquam
quiescentia spectantur.

DEFI NITIO IV.

Vis impressa est actio in corpus exercita^ ad mutandum gus statum
vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.

Consistit haec vis in actione sola, neque post actionem permanet
in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam
vim inertiae. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex
ictu, ex pressione, ex vi centripeta.

DEPINITIONES.

DEFINITIO V.

Vis centripeta esty qua corpora versus punctum aliquody ta?iquam ad
centrum, undique trakuntur, impelluntur^ vel utcunque tendunt,

Hujus generis est gravitas, qua corpora tendunt ad centrum

terrse ; vis magnetica, qua ferrum petit magnetem ; & vis illa, quae-

cunque sit, qua planetse perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis,

& in lineis curvis revolvi coguntur. Lapis, in funda circumactus,

a circumagente manu abire conatur ; & conatu suo fundam distendit,

eoque fortius quo celerius revolvitur; &, quamprimum dimittitur,.

avolat. Vim conatui illi contrariam, qua funda lapidem in manum

perpetuo retrahit & in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis

centrum dirigitur, centripetam appello. Et par est ratio corporum

omnium, quae in, gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris

orbium recedere ; & nisi adsit vis aliqua conatui isti contraria,

qua cohibeantur & in orbibus retineantur, quamque ideo centripetam

appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Projectile,

si vi gravitatis destitueretur, non deflecteretur in terram, sed in

linea recta abiret in coelos ; idque uniformi cum motu, . si modo

aeris resistentia tolleretur. Per gravitatem suam retrahitur a cursu

rectilineo & in terram perpetuo flectitur, idque magis vel minus

pro gravitate sua & velocitate motus. Quo minor fuerit ejus gravitas

pro quantitate materiae, vel major velocitas quacum projicitur, eo

minus deviabit a cursu rectilineo & longius perget. Si globus plum-

beus, data cum velocitate secundum lineam horizontalem a montis

alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in linea

curva ad distantiam duorum milliarium, priusquam in terram deci-

deret : hic dupla cum velocitate quasi duplo longius pergeret, &

decupla cum velocitate quasi decuplo longius : si modo aeris resi-

stentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri posset pro lubitu

distantia in quam projiceretur, & minui curvatura lineae quam de-

scriberet, ita ut tandem caderet ad distantiam graduum decem vel

triginta vel nonaginta; vel etiam ut terram totam circuiret vel

denique ut in coelos abiret, & motu abeundi pergeret in infinitum.

Et eadem ratione, qua projectile vi gravitatis in orbem flecti posset &

DEFINITIONES.

terram totam circuire, potest & luna vel vi gravitatis, si modo gravJs
sit, ve! alia quacunque vi, qua in terram urgeatur, retrahi semper a
cursu rectilineo terram versus, & in orbem suum flecti : & sine
tali vi luna in orbe suo retineri non potest. H^ec vis, si justo minor
esset, non satis flecteret lunam de cursu rectilineo : si justo major,
plus satis flecteret, ac de orbe terram versus deduceret. Requiritur
quippe, ut sit justae magnitudinis : & Mathematicorum est invenire
vim, qua corpus in dato quovis orbe data cum velocitate accurate
retineri possit; & vicissim invenire viam curvilineam, in quam corpus
e dato quovis loco data cum velocitate egressum a data vi flectatur,
Est autem vis hujus centripets quantitas trium generum, absoluta,
acceleratrix, & motrix.

DEFINITIO VI.

Vis centripet<c qitantitas absoluta est menmra ejusdem major vel
ntinor pro efficacia causce eam propagantis a centro per regiones
in circuitii.

Ut vis magnetica pro mole magnetis vel intensione virtutis major
in uno magnete, minor in alio.

DEFINITIO VII.

Vis ccntripet<e quantttas acceleratrix est ipsius mcnsura velocitati
proportionalis, guam dato tenipore generat,

Uti virtus magnetis ejusdem major in minori distantia, minor
in majori : vel vis gravitans major in vallibus, minor in cacumini-
bus altonim montium, atque adhuc minor (ut posthac patebit)
in majoribus distantils a globo terra: ; in lequalibus autem distantiis
eadem undique, propterea qiiod corpora omnia cadentia (gravia an
levia, magna an parva) sublata aeris resistentia, sequaliter accelerat.

DEFINITIONES.

DEFINITIO VIII.

Vis centripcts quantitas motrix est ipsius mensiira proportionalis
motui, guem dato ietnpore generat.

Uti pondus majus in majore corpore, mlnus in minore ; & in
corpore eodem majus prope terram, minus in coelis. Hecc quantitas
est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum, &. {ut ita
dicam) pondus; & innotescit semper per vim ipsi contrariam &
iequalem, qua descensus corporis impediri potest

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires
motrices, acceleratrices, & absolutas ; & distinctionis gratia referre
ad corpora centrum petentia, ad corporum loca, & ad centrum
virium : nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum totius
in centnim ex conatibus omnium partium compositum ; & vim
acceleratricem ad locum corporis, tanquam efiicaciam quandam, de
centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora
quEc in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam
causa aliqua praeditum, sine qua vires motrices non propagantur
per regiones in circuitu ; sive causa illa sit corpus aliquod centrale
(quale est magnes in centro vis magneticae, vel terra in centro vis
gravitantis) sive alia aliqua quse non apparet. Mathematicus
duntaxat est hic conceptus : Nam virium causas & sedes physicas
jam non expendo.

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum.
Oritur enim quantitas motus ex celcritate & ex quantitate materise,
& vis motrix ex vi acceleratrice & ex quantitate ejusdem materi^
conjunctim. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas
corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta superficiem
terra, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus
universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus ; at si
in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus
pariter minuetur, eritque semper ut corpus & gravitas acceleratrix
conjunctim. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo
minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo
vel sextuplo minus.

6 DEFtNITlONES.

Porro attractiones & impulsus eodem sensu acceleratrices &
motrices nomino. Voces autem attractlonls, impulsus, vel propen-
sionis ciijuscunque in centnim, indifferenter & pro se mutuo promiscue
usurpo ; has vlres non physice sed mathematice tantum considerando.
Unde caveat lector, ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel
modum actionis causamve aut rationem physicam ahcubi definire, vel
centris (quae sunt puncta mathematica) vlres vere & physice tribuere ;
si forte aiit centra trahere. aiit vires centrorum esse di.xero.

SchoUitm.

Hactenus voccs mlnus notas, quo sensu in sequentlbus acclpiendze
sint, explicare visum est. Tempus, spatium, locus & motus, sunt
omnibus notissima. Notandum tamen, quod vulgus quantitates
hasce non aliter quam ex relatione ad sensibilia conciplat. Iit
inde oriuntur prsjudicia quiedam, quibus tollendis convenit easdem
in absohitas & relativas, veras & apparentes, mathematicas & vulgares
di.stingui.

I. Tempus absolutum, verum, & mathematicum, in se & natura
sua sine relatlone ad externum quodvis, ^quabiliter flult, alioque
nomine dicitur duratio : Relativum, apparens, & vulgare est senslbilis
& externa qua;vis durationis per motum mensura (seu accurata
seu incequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut hora, dles,
mensls, annus.

II. Spatium absolutum. natura sua sine relatione ad extemum
quodvis, semper manet simiiare & immobile : Relativum est spatii
hujus mensura seu dimensio quxlibet mobiUs, qu.x a sensibus noiitris
per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobili
usurpatur ; uti dimensio spatii subterranei, adrii vel ccelestis definita
per situm suum ad terram. Idem sunt spatium absoUitum &
relativum, specie & magnltudine ; sed non permanent idem semper
numero. Nam si terra, verbi gratia, moveatur, spatium aSris nostri,
quod rclative & respectu terra; semper manet idem. nunc erit una
pars spatii absohiti in quam atir transit. nunc alia pars ejus ; & sic
absolute mutabitur perpetuo.

DEFINITIONES. 7

III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estque pro ratione
spatii vel absolutus vel relativus. Pars, inquam, spatii ; non situs cor-
poris, vel superficies ambiens. Nam solidorum sequalium sequales
semper sunt loci ; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut
plurimum insequales sunt; Situs vero proprie loquendo quantitatem
non habent, neque tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus
totius idem est cum summa motuum partium ; hoc est, translatio totius
de suo loco eadem est cum summa translationum partium de locis
suis ; ideoque locus totius idem est cum summa locorum partium, &
propterea intemus & in corpore toto.

IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in
locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in navi quae
veHs passis fertur, relativus corporis locus est navigii regio illa in qua
corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet,
quseque adeo movetur una cum navi : & quies relativa est permansio
corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At quies
vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti, in
qua navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur.
Unde si terra vere quiescat, corpus, quod relative quiescit in navi,
movebitur vere & absolute ea cum velocitate, qua navis movetur in
terra. Sin terra etiam moveatur ; orietur verus & absolutus corporis
motus, partim ex terrse motu vero in spatio immoto, partim ex navis
motu relativo in terra. Et si corpus etiam moveatur relative in
navi ; orietur verus ejus motus, partim ex vero motu terrae in
spatio immoto, partim ex relativis motibus tum navis in terra tum
corporis in navi : & ex his motibus relativis orietur corporis
motus relativus in terra. Ut si terrae pars illa, ubi navis versatur,
moveatur vere in orientem cum velocitate partium looio; & velis
ventoque feratur navis in occidentem cum velocitate partium decem ;
nauta autem ambulet in navi orientem versus cum velocitatis parte
una : movebitur nauta vere & absolute in spatio immoto cum velo-
citatis partibus loooi in orientem, & relative in terra occidentem
versus cum velocitatis partibus novem.

Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per
sequationem temporis vulgi. Inaequales enim sunt dies naturales
qui vulgo tanquam aequales pro mensura temporis habentur. Hanc
inaequalitatem corrigunt Astronomi, ut ex veriore tempore mensurent

DEFINITIONES.

motus coelestes. Possibile est, ut nullus sit motus asquabilis, quo
tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus
omnes, sed fluxus temporis absoluti mutari nequit. Eadem est
duratio seu perseverantia existentiie rerum, sive motus sint celeres,
sive tardi, sive nulli : prolnde haec a mensuris suis sensibilibus merito
distinguitur, & ex iisdem colligitur per tcquationem astronomicam.
Hujus autem xquationis in determinandis phienomenis necessitas,
tum per experimentum horologii oscillatorii, tum etiam per eclipses
satellitum jovis evlncitur,

Ut ordo partium temporis est immutabilis, sic etiam ordo partium
spatiL Moveantur hse de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de
seipsis. Nam tempora & spatia sunt sui ipsomm & rerum omnium
quasi loca. In tempore quoad ordinem successionis, in spatio quoad
ordinem situs, locantur universa. De illorum essentia est ut sint
loca : & loca primaria moveri absurdum est. H^ec sunt igitur
absoluta loca ; & solce translationes de his locis sunt absoluti
motus.

Verum quoniam hse spatii partes videri nequeunt, & ab invicem
per sensus nostros distingui ; earum vice adhibemus mensuras
sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore ali-
quo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa : deinde
etiam & omnes motus sestimamus cum respectu ad praedicta loca,
quatenus corpora ab iisdem transferri conclpimus. Sic vice locorum
& motuum absolutorum relativis utimur ; nec incommode in rebus
humanis : in philosophicis autcm abstrahendum est a sensibus. Fieri
etenim potest, ut nuUum revera quiescat corpus, ad quod loca
motusque referantur.

Distingoiuntur autem quies & motus absoluti & relativi ab invicem
per proprietates suas & causas & eflTectus. Quietis proprietas est,
quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoque cum
possibile sit, ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra,
quiescat absolute ; sciri autem non possit ex situ corporum ad
invicem in regionibus nostris, horumne aliquod ad longinquum illud
datam positionem servet necne; quies vera ex horum situ inter se
definiri nequiL

Motus proprietas est, quod partes, quie datas servant positiones
ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam g)Tantium

DEFINITIONES.

partes omnes conantur recedere ab axe motus, & progredientium
impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Motis
igitur corporibus ambientibus, moventur quas in ambientibus rela-
tive quiescunt. Et propterea motus venis & absolutus definiri
nequit per translationem e vicinia corporum, quae tanquam quies-
centia spectantur. Debent enim corpora extema non solum tanquam
quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa
omnia, prseter translationem e vicinia ambientium, participabunt
etiam ambientium motus veros ; & sublata illa translatione non
vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur.
Sunt enim ambientia ad inclusa, ut totius pars exterior ad partem
interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nu-
cleus etiam, sine translatione de vicmia corticis, ceu pars totius,
movetur.

Prtccedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una
locatum : ideoque corpus, quod de loco moto movetur, participat
etiam locl sui motum. Motus igitur omnes, qui de locis motis
fiunt, sunt partes solummodo motuum integromm & absolutorum :
& motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo
primo, & motu loci hujus de loco suo, & sic deinceps ; usque dum
perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo nautse supra me-
morato. Unde motus integri & absoluti non nisi per loca immota
definiri possunt : & propterea hos ad loca immota, relativos ad
mobilia supra retuli. Loca autem immota non sunt, nisi quce
omnta ab infinito in infinitum datas servant positiones ad invicem ;
atque adeo semper manent immota, spatiumque constitimnt quod
immobile appello.

Causae, quibus motus veri & relativi distinguuntur ab invicem,
sunt vires in corpora impressse ad motum generandum. Motus vems
nec generatur nec mutatur, nisi per vires in ipsum corpus motum
impressas : at motus relativus generari & mutari potest sine viribus
impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia solum
corpora ad quse fit relatio, ut iis cedentibus mutetur relatio illa, in
qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursum motus verus
a viribus in corpus motum impressis semper mutatur; at motus
relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si ejedem
vires in alia etiam corpora, ad quse fit relatio, sic imprimantur, ut

DEFINITIONES.

situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus rela-
tivus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus, ubi
verus conservatur, & conservari ubl verus mutatur; & propterea
motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.

Effectus. quibus motus absoluti & relativi distingoiuntur ab
invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in
motu circulari nude relativo hae vires nulL-e sunt, in vero autem
& absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat
situla a filo pr^longo, agaturque perpetuo in orbem, donec filum
a contorsione admodum rigescat. dein impleatur aqua, & una cum
aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in
orbem, & filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu ; super-
ficies aquffi sub initio ptana erit, quemadmodum ante motum vasis :
At postquam vas, vi in aquam paulalim impressa, effecit ut ha!c
quoque sensibiliter revolvi inclpiat ; recedet ipsa paulatim a medio,
ascendetque ad latera vasJs, figuram concavam induens (ut ipse
expertus sum), & Incitatiore semper motu ascendet magis & magis,
donec revolutiones in .-equalibus cum vase temporibus peragendo,
quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum rece-
dendi ab axe motus, & per talem conatum innotescit & mensura-
tur motus aquie circuiaris verus & absolutus, motuique relativo
hic omnino contrarius. Initio, ubi maximus erat aqu^ motus
relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi
ab axe : aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera
vasis, sed plana manebat. & propterea illius vcrus motus circularis
nondum inceperat. Postea vero, ubi aqu^ motus relalivus decrevit,
ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe ;
atque hic conatus monstrabat motum illius circularem verum per-
petuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat
in vase relative. Quare conatus iste non pendet a translatione
aqua^ respeclu corporum ambientium, & propterea motus circularis
venis per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis
cujus<iue revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam
proprio & ada:quato effectui respondens : motus autem relativi
pro variis rclationibus ad externa innumeri sunt ; & relationum
instar, cffectibus veris omnino deslituuntur. nisi quatenus venuii
illum & unicura motum pariicipanL Unde & in systemate eorum,

DEFINITIONES, 1 1

qui coelos nostros infra coelos fixarum in orbem revolvi volunt,
& planetas secum deferre; singulae coelorum partes, & planetae
qui relative quidem in coelis suis proximis quiescunt, moventur
vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in
vere quiescentibus) unaque cum coelis delati participant eorum
motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere
conantur.

Quantitates relativse non sunt igitur ese ipsse quantitates, quarum
nomina prse se ferunt, sed sunt earum mensurae illae sensibiles (verae
an errantes) quibus vulgus loco quantitatum mensuratarum utitur.
At si ex usu definiendae sunt verborum significationes ; per nomina
illa temporis, spatii, loci & motus proprie intelligendae erunt hae
mensurae sensibiles ; & sermo erit insolens & pure mathematicus, si
quantitates mensuratae hic intelligantur. Proinde vim inferunt sacris
literis, qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpre-
tantur. Neque minus contaminant mathesin & philosophiam, qui
quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris
confundunt.

Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab
apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod
partes spatii illius immobilis, in quo corpora vere moventur, non
incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam
argumenta desumi possunt, partim ex motibus apparentibus qui sunt
motuum verorum differentiae, partim ex viribus quae sunt motuum
verorum causae & effectus. Ut si globi duo, ad datam ab invicem
distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune
gravitatis centrum ; innotesceret ex tensione fili conatus globorum
recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari
posset. Deinde si vires quaelibet aequales in altemas globorum
facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul im-
primerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione
augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri
possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus
maxime augeretur ; id est, facies posticae, sive quae in motu circulari
sequuntur. Cognitis autem faciebus quae sequuntur, & faciebus
oppositis quae praecedunt, cognosceretur determinatio motus. In
hunc modun^ inveniri posset & quantitas & determinatio motus

1 2 DEFINITIONES.

hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret extemum
& sensibile quocum globi conferri possent Si jam constituerentur
in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se posidonem
servantia, qualia sunt stellae fixae in reg^onibus ccelorum : sciri quidem
non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum
his an illis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum,
& deprehenderetur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus
globorum requireret; concludere liceret motum esse globorum,
& corpora quiescere; & tum demum ex translatione globorum
inter corpora, determinationem hujus motus coUigere. Motus autem
veros ex eorum causis, effectibus, & apparendbus differentiis coUigere,
& contra ex motibus seu veris seu apparentibus eorum causas
& effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem
tractatum sequentem composui.

A XIOMA TA,

SIVE

LEGES MOTUS.

LEX I.

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni"
formiter in directumy nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur
statum suum mutare.

PROJECTILIA perseverant in motibus suis, nisi quatenus a
resistentia aeris retardantur, & vi gravitatis impelluntur deor-
sum. Trochus, cujus partes cohaerendo perpetuo retrahunt sese a
motibus rectilineis, non cessat rotari, nisi quatenus ab aere retardatur.
Majora autem planetarum & cometarum corpora motus suos &
progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos con-
servant diutius.

LE X II.

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressa, & fieri
secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Si vis aliqua motum quemvis generet; dupla duplum, tripla
triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive
impressa fuerit Et hic motus (quoniam in eandem semper plagam
cum vi generatrice determinatur) si corpus antea movebatur, motui
ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo
oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusque determinationem
componitur.

L E X III.

Actioni contrariam scmper & ccijnalem csse rcacfionem : sivc corporiivt
duorum actiones in se mutuo semper esse ceqitales & in paiies
contrarias dirigi.

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur
vcl trahitur. Si quis lapidem digito premit, premitur & hujus
digitus a lapide. Si equus lapidem funi alligatum trahit, retrahe-
tur etiam & equus (ut ita dicam) Eequaliter in lapldem : nam funis
utrinque distentus eodem relaxandi se conatu urgeblt equum versus
lapidem, ac lapidem versus equiim ; tantumque impedlet progressum
unius quantum promovet progressum aherius. Si corpus aliquod
in corpus aliud impingens. motum ejus vi sua quomodocunque
mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutatlonem
in partem contrariani vi alterius (ob .-equalitatem presslonis mutuje)
subibit. His actionibus ccquales fiunt mutationes, non veloci-
tatum, sed motuum ; scilicet in corporibus non aliunde impeditis.
Mutationes enim velocitalum, in contrarias itidem partes factae,
quia motus iequaliter mutantur, sunt corporibus reciproce propor-
tionales. Oblinet etiam hsec lex in altractionibus, ut in scholio
proximo probabitur.

COROLLARIUM I.

Corptis viridus conjunctis diagonaiem parallelogrammi codem tonpore
descri&ere, quo latera stparatts.

Si corpus dato tempore, vi sola M
in loco A impressa, ferretur uniformi
cum motu ab .^ ad .5 ; & vi sola N in
eodem loco impressa, ferrctur ab .(4 ad C:
compleatur parallelogrammum ABDC,
& vi utraque feretur corpus illud eodem

tempore in diagonali ab A ad £>. Nam quoniam vis JV agit secun-
dum lineam A C ipsi BD parallelam, hrec vis per legem 1 1 nihil

LEGES MOTUS.

15

mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam BD a vi altera
genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BDy
sive vis N imprimatur, sive non ; atque ideo in fine illius temporis
reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in fine
temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CDy & idcirco in utri-
usque linese concursu D reperiri necesse est Perget autem motu
rectilineo ah A zd D per legem i .

COROLLARIUM II.

B^ hinc patet compositio vis directce AD
ex viribtis quibusvis obliquis AB c2f
BD, c2f vicissim resolutio vis cujusvis
directcB AD in obliquas quascunque AB
<5t* BD. Quce quidem compositio &
resolutio abunde confirmatur ex m^chanica.

Ut si de rotae alicujus centro O exeuntes radii inaequales O My
O N filis M A, N P sustineant pondera A & P, & quaerantur vires
ponderum ad movendam rotam : Per centrum O agatur recta K O L
filis perpendiculariter occurrens in K and Z, centroque O & inter-
vallorum O Ky O L majore OL
describatur circulus occurrens filo
M A in /?: & actae rectse OD
parallela sit AC, & perpendicu-
laris DC. Quoniam nihil refert,
utrum filorum puncta K, L, D
affixa sint an non affixa ad planum
rotae ; pondera idem valebunt, ac
si suspenderentur a punctis K &
L vel D & L, Ponderis autem
A exponatur vis tota per lineam
A D, & haec resolvetur in vires
A Cy CDy quarum A C trahendo
radium OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis
autem altera D C, trahendo radium D O perpendiculariter, idem

i6

AXIOMATA, srVE

valet, ac si perpendiculariter traheret radium O L ipsi O D ^qualem ;
hoc est, idem atque pondus P, si modo pondus illud sit ad pondus
A ut vis j9 C ad vim DA, id est (ob similia triangula ADC,
DOK.) ut OK z.d OD seu O L. Pondera igitur A & P, qu;e
sunt reciproce ut radii in directum positi OK & OL, idem pollebunt,
& sic consistent in aequilibrio : qus est proprietas notissima Hbrae,
vectis, & axis in peritrochio. Sin pondus alterutrum sit majus
quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto
major.

Quod si pondus^ ponderi P sequale partim suspendatur filo /^/>,
partim incumbat plano obliquo / G: agantur / //, N H^ prior
horizonti, posterior plano / G perpendicularis ; & si vis ponderis p
deorsum tendens, exponatur per lineam / H, resolvi potest hsec in
vires p N, HN. Si filo / N per-
pendiculare esset planum aliquod

P Q, secans planum alterum p G
in linea ad horizontem parallela ;
& pondus p his planis P Q^P G
solummodo incumberet ; urgeret
illud ha;cplanaviribus/ N, HN,
perpendiculariter nimirum planum

p Q vi p N, & planum p G v\
H N. Ideoque si tollatur planum

p Q, ut pondus tendat filum ;
quoniam filum sustinendo pondus
jam vicem prsestat plani sublati,
tendetur illud eadem vi / N, qua planum antea urgebatur. Unde
tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis
PN, Ml p N ■aA. p H. Ideoque si pondus / sit ad pondus A
in ratione, quK componitur ex ratione reciproca minimarum
distantiarum filorum suorum p N, A Af a cenlro rots. & ratione
directa p H ad p N; pondera idem valebunt ad rotam movendam,
atque ideo se mutuo sustinebunt. ut quilibet experiri potest

Pondus autem p, planis illis duobus obliquis incumbens, rationem
habet cunei inter corporis fissi facies intemas : & inde vires cunei
& mallei innotescunt : utpote cum vis qua pondus fi urget planum

/ Q sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impelHtur

LEGES MOTUS.

IT

secundum Hneam p H \n plana, ut/ N ^Ap H ; atque ad vim, qua
ui^et planum alterum/ G,vX p N zA N H. Sed & vis cochleae
per similem virium divisionem colligitur ; quippe quae cuneus est a
vecte impulsus. Usus igitur corollarii hujus latissime patet, & late
patendo veritatem ejus evincit ; cum pendeat ex jam dictis me-
chanica tota ab auctoribus diversimode demonstrata. Ex hisce
enim facile derivantur vires machinarum, quae ex rotis, tympanis,
trochleis, vectibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique
ascendentibus, caeterisque potentiis mechanicis componi solent, ut
& vires tendinum ad animalium ossa movenda.

COROLLARIUM III.

Qtiantitas motus qtue colligitur capiendo suntmam motuum fac-
torum ad eandem partemy & differentiam factorum ad contrarias,
non mutatur ab aciiofie corporum inter se.

Etenim actio eique contraria reactio aequales sunt per legem iii,
ideoque per legem ii aequales in motibus efficiunt mutationes
versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem ;
quicquid additur motui corporis fugientis, subducetur motui corporis
insequentis sic, ut summa maneat eadem quae prius. Sin corpora
obviam eant ; aequalis erit subductio de motu utriusque, ideoque
differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut si corpus sphaericum A sit triplo majus corpore sphaerico B,
habeatque duas velocitatis partes ; & B sequatur in eadem recta cum
velocitatis partibus decem, ideoque motus ipsius A sit ad motum
ipsius By ut sex ad decem : ponantur motus illis esse partium sex
& partium decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum
igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor
vel quinque, corpus B amittet partes totidem, ideoque perget corpus
A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim,
& B cum partibus septem vel sex vel quinque, existente semper
summa partium sexdecim ut prius. Si corpus A lucretur partes novem
vel decem vel undecim vel duodecim, ideoque progrediatur post
concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim
vel octodecim ; corpus By amittendo tot partes quot A lucratur,

B

AXWAfATA, SliE

vel cum una parte progredietur amissis partibus novetn, vel quiescet
amisso motu suo progressivo partium decem, vel cum una parte
i-egredietur amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius,
vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progres-
sivum partium duodecim. Atque ita summs motuum conspirantium
15+ I vel 16 + 0, & differentiBe contrariorum 17— i & 18 — 2 semper
erunt partium sexdecim. ut ante concursum & reflexionem. Cog-
nitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent,
invenietur cujusque velocitas, ponendo eam esse ad velocitatem
ante reflexionem, ut motus postest ad motum ante. Ut in casu ullimo,
ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem & partium
octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reflexionem ;
invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo,
ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim
postea, ita velocitatis partes du^e ante reflexionem ad velocitatis
partes sex postea,

Quod si corpora vel non sphaerica vel diversis in rectis moventia
incidant in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post
reflexionem ; cognoscendus est situs plani a quo corpora concur-
rentia tangimtur in puncto concursus : dein corporis utriusque motus
(per Corol. 11.) distinguendus est in duos, unum huic plano per-
pendicularem, alterum eidem parallelum : motus autem paralleli,
propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic
plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem atque
antea ; & motibus perpendicularibus mutationes Gcquales in partes
contrarias tribuenda: sunt sic, ut summa conspirantium & differentia
contrariorum maneat eadem quai prius. Ex hujusmodi reflexionibus
oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria.
Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset
omnia huc spectantia demonstrare.

LEGES MOTUS.

COROLLARIUM

IV.

Commiine gravitatis centrum corporum duorum vel plurium, ab ac-
tionibits corporum inter se, non inutat statum sujim vel motus
vel guietis; & propterea corporum omnium in se mutuo agentium
(exclusis actionibus & impedimentis externis) commune centrum
gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis
rectis, & distantia eorum dividatur in ratione data. punctum dividens
vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta. Hoc postea
in lemmate xxiii ejusque corollario demonstratur, si punctorum
motus fiant in eodem plano; & eadem ratione demonstrari potest,
si motus illi non fiant in eodem plano. Ergo si corpora quotcunque
moventur uniformiter in lineis rcctis, commune centrum gravitatis
duorum quorumvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea
recta; propterea quod linea, horum corporum centra in rectis uni-
formiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in
ratione data. Similiter & commune centnim horum duorum &
tertii cujusvis,vel quiescit vel progreditur uniformiter in linearecta;
propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum
duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo &
commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel
progreditur uniformiter in linea recta; propterea quod ab eo divi-
ditur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti
in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum,
qua actionibus in se invicem aliisque omnibus in se extrinsecus
impressis omnino vacant, ideoque moventur singula uniformiter in
rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel
movetur uniformiter in direclum.

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium,
cum distantise centrorum utriusque a communi gravitatis centro sint
reciproce ut corpora; erunt motus relativi corporum eorundem. vel
accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, jequales inter
se. Proinde centrum illud a motuum £equalibus mutationibus in

20

AX/OAfJTJ, SIVE

partes contrarias factis, atqiie ideo ab actionibus horum corporum
inter se. nec protnovetur nec retardatur nec mutationem patitur
in statu suo quoatl motum vel quietem. In systemate autem cor-
porum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium
commune gravitatis centmm ob actionem illam nuliatenus mi
statum suum : & reliquorum. quibuscum actio illa non intercedit,
commune gravitatis centrum nihil inde patitur ; distantia autem
horum duorum centrorum dividitur a communi corporum omnium
centro in partes summis totalibus corponim quorum sunt centra
reciproce proportionales ; ideoque centris illis duobus statum suum
movendi vel quiescendi servantibus. commune omnium centrum
servat etiam statum suum : manifestum est quod commune illud
omnium centrum ob actiones binorum corporum inter se nunquam
mutat statum suum quoad motum & quietem, In tali autem syste-
mate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora,
vel ab actionibus inter bina composit.x ; & propterea communi om-
nium centro mutationem in statu motus ejus vel quietis nunquam
inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se
invicem. vel quiescit. vel in recta aliqua progreditur uniformiter;.
perget idem. non obstantibus corporum actionibus inter se, vel
semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum
nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc
statu. Est igitur systematis corporum plurium lex eadem, quae
corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel qutetis.
Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum
ex motu centri gravitatis ^estimari semper debet.

COROLLARIUM V.

Corporum daio spaiio itulusorum iidem mnt molus inter se, sivt
spa/ium illttd quieseai, sive moveaiur idetn unifomtiter in direetum
sine motu circulari.

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, &
summie tendentium ad contrarias, eardem sunt sub initio in utroque
casu (ex hyp>othesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur con-

LEGES MOTUS, 2 1

gressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per legem
1 1 aequales erunt congressuum effectus in utroque casu ; & propterea
manebunt motus inter se in uno casu aequales motibus inter se
in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes
eodem modo se habent in navi, sive ea quiescat, sive moveatur
uniformiter in directum.

COROLLARIUM VI.

Si corpora moveantMr quonwdocunqtie inter se, & a viribus accelera-
tricibus ceqtialidus secundum lineas parallelas urgeantur; pergeni
omnia eodem modo moveri inter se, ac si viribus illis non essent
incitata.

Nam vires illae aequaliter (pro quantitatibus movendorum cor-
porum) & secundum Hneas parallelas agendo, corpora omnia aequaliter
(quoad velocitatem) movebunt per legem 1 1 . ideoque nunquam
mutabunt positiones & motus eorum inter se.

Scholium,

Hactenus principia tradidi a mathematicis recepta & experientia
multiplici confirmata. Per leges duas primas & corollaria duo prima
GalilcBus invenit descensum gravium esse in duplicata ratione tem-
poris, & motum projectilium fieri in parabola; conspirante ex-
perientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum
retardantur. Corpore cadente gravitas uniformis, singulis temporis
particulis aequalibus aequaliter agendo imprimit vires aequales in
corpus illud, & velocitates aequales generat : & tempore toto vim
totam imprimit & velocitatem totam generat tempori proportionalem.
Et spatia temporibus proportionalibus descripta, sunt ut velocitates
& tempora conjunctim ; id est in duplicata ratione temporum. Et
corpore sursum projecto gravitas uniformis vires imprimit & velo-
citates aufert temporibus proportionales ; ac tempora ascendendi ad
altitudines summas sunt ut velocitates auferendae, & altitudines illae
sunt ut velocitates ac tempora conjunctim, seu in duplicata ratione

AXIOMATA, SJVE

velocitatum. Et corporis secundum rectam quamvis projecti motus
a projectione oriundus cum motu a gravitate oriundo componi-
tur. Ut si corpus yf motu solo projectionis dato
tempore describere posset rectam A B &. motu
so!o cadendi eodem tempore describere posset
ahitudinem A C: compleatur parallelogrammum
A B D C. & corpus illud motu composito repe-
rietur in fine temporis in loco D ; 81 curva linea
AED, quam corpus illud describet, erit parabola
quam recta A £ tangit in A, & cujus ordinata
BD est ut ABq. Ab ilsdem legibus & corollariis
pendent demonstrata de temporibus oscillantium
pendulorum, sufiTragante horologiorum experientia quotidiana. Ex his
iisdem & lege tertia Christophorus Wre7imis eques auratus, yohannes
Wallisius S. T.D. & Christiamis Hugeniiis, ^tatis superioris geome-
trarum facile principes, regulas congressuum & reflexionum durorum
corporum seorsim invenerunt, & eodem fere tempore cum Socictate
Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes :
& primus quidem Wallisius. deinde Wrmnus & Hugenius inventum
prodiderunt. Sed & veritas comprobata est a Wrenno coram Regia
Socielate per experimentum pendulorum : quod etiam Clarissmms
Mariottus libro integro exponere niox dignatus est, Verum, ut
hoc experimentum cum theoriis ad amussim congruat, habenda est
ratio, cum resistentias aeris. tum etiam vis elasticas concurrentium
corporum. Pendeant corpora sphairica A, B fiUs parallelis &
a;qualibus A C. B D, a centris C, D. His centris & intervallis de-
scribantur semicirculi E A F, - „ .. r, ,,11

GBH radiis CA, DB bisecti. r~[ ~"

Trahatur corpus A ad arcus \ \

EAF punctum quodvis R, & s\ \

(subducto corpore B) demitta- \\ \

tur inde, redeatque post unam \/\

oscillationem ad punctum V. "■

Est R V retardatio ex resisten-

tia aeris. Hujus 7? F fiat S T pars quarta sita Jn medio, ita scilicet

MXRS^i TV aquentur, sitque ^ 6" ad ^ T ut 3 ad 2. Et ista S T

exhibebit retardationem in descensu ab ^ ad A quam proxime.

LEGES MOTUS.

23

Restituatur corpus B in locum suum, Cadat corpus A de puncto
S, & velocitas ejus in loco reflexionis j4 sine errore seiisibili tanta
erit, ac si in vacuo cecidisset de loco T. Exponatur igitur h^ec
velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem penduli in
puncto infimo esse ut chordam arcus, quem cadendo descripsit,
propositio est geometris notissima. Post reflexionem perveniat
corpus A ad locum s, & corpus B ad locum i. Tollatur corpus B
& inveniatur locus z' ; a quo si corpus A demittatur & post unam
oscillationem redeat ad locum r, sit s / pars quarta ipsius rv sita in
medio, ita videlicet ut r s & i v Equentur ; & per chordani arcus i A
exponatur velocitas, quam corpus A proxime post reflexionem habuit
in loco A. Nam / erit locus ille verus & correctus, ad quem corpus
A, sublata aeris reslstentia, ascendere debuisset. Simili methodo
corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus
locus /, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc
pacto experiri Hcet oninia, perinde ac si in vacuo constituti essemus.
Tandem ducendum erit corpus A (ut ita dicam) in chordam arcus
TA, quie velocltatem ejus e.xhibet, ut habeatur motus ejus in loco A
proxime ante reflexionem ; deinde in chordam arcus / A, ut habeatur
motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B
ducendum erit in chordam arcus B i, ut habeatur motus ejus proxime
post refle.xionem. Et simili melhodo, ubi corpora duo simul
demittuntur de locls diversis, inveniendi sunt motus utriusque tam ante,
quam post reflexionem ; & tum demum conferendi sunt motus inter se
& colligendi efiectus reflexionis. Hoc modo in pendulis pedum
decem rem tentando, Idque in corporibus tam in^eqiialibus quam aequali-
bus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo
vel duodecim vel sexdecim, concurrerent ; reperi semper sine errore
trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurre-
bant, aequales esse mutationes motuum corporibus in partes contrarias
illats, atque ideo actionem & reactionem semper esse sequales. Ut
si corpus A incidebat in corpus B quiescens cum novem partibus
motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum
duabus ; corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora
obviam ibant. A cum duodecim partibus & B cum sex, & redibat A
cumduabus; redibat j9 cum octo, facta detractione partiuni quatuorde-
dm utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & resta-

AXIOMATA, SIVE

bit nihil : subducantur aliie partes duai, & fiet motus duarum par-
tium in plagam contrariam : & sic de motu corporis B partium
sex subducendo partes qiiatuordeclm, fient partes octo in plagani
contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A veloclus
cum partibus quatuordecim, & B tardius cum partibus quinque, &
post reflexionem pergebat A
cum quinque partibus ; perge-
bat B cum quatuordeclm, facta
translatione partium novem de
A in B. Et sic in reliquts.
A congressu & collisione cor-
porum nunquam mutabatur
quantitas motus, quce ex
summa motuum conspirantium
& differentia contrariorum colligebatur, Nam errorcm digiti unius
& alterius in mensuris tribuerim difiicultati peragendi singula satis
accurate, Difficile erat, tum pendula simul demittere sic, ut corpora
in se mutuo impingerent in loco infimo A B : tum loca s, k notare, ad
quae corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis corporibus
pendulis inarqualis partium densitas. & textura aliis de causis ir-
regularis, errores inducebant.

Porro nequis objiciat regiilam, ad quam probandam inventum est
hoc experimentum, pnesupponere corpora vel absolute dura esse,
vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in com-
positionibus naturalibus ; addo quod experimcnta jam dcscripta
succedunt in corponbus mollibus sque ac in duris. nimirum a con-
ditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si regula illa in cor-
poribus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio
minui in certa proportione pro quantitate vis elasticae. In theoria
Wrentti & Hugenii corpora absolute dura rcdeunt ab invicem
cum velocitate congressus. Certius id afiirmabitur de perfecle
elasticis. In imperfecte elasticis velocitas reditus minucnda est simul
cum vi elastica ; proptcrea quod vis iila, (nisi ubi partes corporum
ex congressu Ia.duntur, vel extensionem aliqualem quasl sub
malleo paiiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatque
ut corpora redeant ab invicem ciim velocitate relativa, quae sit ad
relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex

LEGES MOTUS.

25

lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum
demittendo pendula & mensurando reflexionem, inveni quantitatem
vis elasticae ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis
casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper
pilae ab invicem cum velocitate relativa, quae esset ad velocitatem
relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate
redibant pilae ex chalybe : aliae ex subere cum paulo minore : in
vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atque hoc pacto
lex tertia quoad ictus & reflexiones per theoriam comprobata est, quae
cum experientia plane congruit.

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus
quibusvis A, B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis
interponi, quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutruni
A magis trahitur versus corpus alterum By quam illud alterum B
in prius Ay obstaculum magis urgebitur pressione corporis A quam
pressione corporis B; proindeque non manebit in aequiUbrio. Prae-
valebit pressio fortior, facietque ut systema corporum duorum &
obstaculi moveatur in directum in partes versus B, motuque in spatiis
liberis semper accelerato abeat in infinitum. Quod est absurdum &
legi primae contrarium. Nam per legem primam debebit systema
perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in
directum, proindeque corpora aequaliter urgebunt obstaculum, &
idcirco aequaliter trahentur in invicem. Tentavi hoc in magnete &
ferro. Si haec in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita,
in aqua stagnante juxta fluitent; neutrum propellet alterum, sed
aequalitate attractionis utrinque sustinebunt conatus in se mutuos,
ac tandem in aequilibrio constituta quiescent.

Sic etiam gravitas inter terram & ejus partes mutua est. Sece-
tur terra /^/ plano quovis ^6^ in partes
duas EGF & EGI: & aequalia erunt
harum pondera in se mutuo. Nam si plano
alio //A" quod priori EG parallelum sit, pars
major EG/ secetur in partes duas EGKH y|
& HKIy quarum HKI aequalis sit parti
prius abscissae EFG : manifestum est quod
pars media EGKH pondere proprio in
neutram partium extremarum propendebit,

36

AXJOMATA, SIVE

sed inter utramque in squilibrio, ut ita dicam, suspendetur, &

quiescet. Pars autem extrema HKI toto suo pondere incumbet in

partem mediam, & urgebit illam in partem

alteram extremam EGF ; ideoque vis qua

partium H K I 8c E G K H snmma. E G I /

tendit versus partem tertiam EGF, sequalis /

est ponderi partis H K I, id est ponderi W

partis tertije EGF. Et propterea pondera

partium duarum EGI, EGF in se mutuo

sunt Eequalia, uti volui ostendere. Et nisi

pondera illa aequalia essent, terra tota in

libero £ethere Buitans ponderi majori cederet, & ab eo fugiendo abiret

in infinitum,

Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum
velocitates sunt reciproce ut vires insitas : sic in movendis instrumentis
mechanicis ageniia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo
sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium
scstimatae, sunt reciproce ut vires. Sic pondera ^quipollent ad
movenda brachia librae, quie oscillante hbra sunt reciproce ut
eorum velocitates sursum & decrsum ; hoc est, pondera, si recta
ascendunt & descendunt. a^quipollent, qu^e sunt reciproce ut punc-
torum a quibus susptenduntur distanti^ ab axe librEc ; sin planis
obliquis aiiisve admolis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt
oblique, ^quipollent. qus sunt reciproce ut ascensus & descensus,
quatenus facti secundum perpendiculum : idque ob determlnationem
gravitatis deorsum. Similiter in trochlea seu polyspasto vis manus
funem directe trahentis, quEc sit ad pondus vel direcle vel oblique
ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem
manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis &
similibus instrumentis, qus ex rotulis commissis constructa sunt,
vires contrarix ad motum rotularum promovendum & impe-
diendum, si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas
imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis cochlese ad premendum
corpus est ad vim manus manubrium circumagentis. ut circularis
velocitas manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem
progressivam cochles versus corpus pressum. Vires quibus Cu-
neus urget partes duas ligni fissi sunt ad vim mallei in cuneum, ut

LEGES MOTUS, 2 7

prpgressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum
impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum
lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio machinarum
omnium.

Harum efficacia & usus in eo solo consistit, ut diminuendo velo-
citatem augeamus vim, & contra : Unde solvitur in omni aptorum
instrumentorum genere problema, Datum pondus data vi movendiy
aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si machinae
ita formentur, ut velocitates agentis & resistentis sint reciproce ut
vires ; agens resistentiam sustinebit : & majori cum velocitatum dis-
paritate eandem vincet Certe si tanta sit velocitatum disparitas,
ut vincatur etiam resistentia omnis, quae tam ex contiguorum &
inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab
invicem separandorum cohaesione & elevandorum ponderibus oriri
solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem
motus sibi proportionalem, partim in partibus machina, partim in
corpore resistente producet. Caeterum mechanicam tractare non
est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere, quam late pateat
quamque certa sit lex tertia motus. Nam si aestimetur agentis actio
ex ejus vi & velocitate conjunctim; & similiter resistentis reactio
aestimetur conjunctim ex ejus partium singularum velocitatibus &
viribus resistendi ab earum attritione, cohaesione, pondere, & accel-
eratione oriundis ; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum
usu, sibi invicem semper aequales. Et quatenus actio propagatur
per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens,
ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit
contraria.

DE

MOTU CORPORU M

LIBER PRIMUS.

SECTIO I.

De methodo rationum primarum & ultimarumy cujus ope sequentia

demonstranttir.

LEMMA I.

Quantitates, ut & quantitatum rationeSy quce ad cBqualitatem tempore
quovis finito constanter tendunt^ & ante fi^iem temporis illius
propius ad invicem accedunt quam pro data quavis differentiaj
fiunt ultimo cBquales.

SI negas ; fiant ultimo inaequales, & sit earum ultima differentia
D. Ergo nequeunt propius ad aequalitatem accedere quam
pro data differentia D : contra hypothesin.

LEMMA II.

Si in figtira quavis A a c E, rectis A a, A E & ctirva a c E com-
prehensay inscribantur parallelogramma
quotcunque A b, B c, C d, &c. sub basi- ^
bus A B, B C, C D, &c. ceqtialibus^ &
lateribus B b, C c, D d, &c. figurcB lateri
A a parallelis contenta; & compleantur
parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn,
&c. Dein horum parallelogrammorumy
latitudo minuatury & numerus augeatur
in infinitum : dico quod ultinue rationes
quas habent ad se invicemfigura inscripta k itf

DE MOTU CORPORUM, 6-r. 29

A K b L c M d D, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea
AabcdE, sunt rationes cequalitatis.

Nam figurae inscriptae & circumscriptae differentia est summa
parallelogrammorum K l, Lm^ Mnj Doj hoc est (ob aequales omnium
bases) rectangulum sub unius basi Kd &. altitudinum summa A a,
id est, rectangulum A B la. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo
ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. Ergo
(per lemma i) figura inscripta & circumscripta & multo magis figura
curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. Q. E. D.

LEMM A III.

Eadem rationes ultimce sunt etiam rationes cBqualitatiSy ubi parallelo-
grammorum latitudines A B, B C, C D, &c. sunt incequales^ &
omnes minuuntur in infinitum.

Sit enim A F aequalis latitudini maximae, & compleatur parallelo-
grammum FA af, Hoc erit majus quam differentia figurae inscriptae
& figurae circumscriptae ; at latitudine sua A Fin infinitum diminuta,
minus fiet dato quovis rectangulo. Q. E. D.

Corol. I. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium
coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quae chordis evanes-
centium arcuum aby bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo
cum figura curvilinea.

Corol. 3. Ut & figura rectilinea circumscripta quae tangentibus
eorundem arcuum comprehenditur.

Corol. 4. Et propterea hae figurae ultimae (quoad perimetros acE^
non sunt rectilineae, sed rectilinearum limites curvilinei.

LEMMA IV.

Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duce
parallelogrammorum serieSy sitque idem amborum numerus, &
ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimce parallelo-
grammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum

DE AfOTU CORPORUM

ad singula, sint mdent; dico quodfigura duee A a c E, P p r T, sun.
ad iftvicem in eadem illa ratione.

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (compo-
nendo) fit summa omnlum ad summam omnium, & ita figura ad
figuram ; existente nimirum figura priore (per iemma 1 1 1) ad summam
priorem, & figura posteriore ad summam posteriorem in ratione
Kqualitatis. Q. E. D.

Corol. Hinc si duae cujuscunque generis quantitates in eundem
partium numerum utcunque dividantur; & partes illx, ubi numeru»
earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obti-'
neant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundanipi
cEeterjeque suo ordine ad c^eteras : erunt tota ad invicem in eadem,
illa data ratione. Nam si in lemmatis hujus figuris sumantuf
parallelogramma inter .se ut partes, summae partium semper erunt
ut summtE parallelogrammorum ; atque ideo, ubi partium & parallelo-
grammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinititm^
in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est {per
hypolhesin) in ultima ratione partis ad partem.

LEMMA V.

Stmilium figurarum latera omnia, gua sibi muiuo respondent, surUX
proportionalia, iam eurvilinea quam rectilinea ; & area sunt in i
dupliioia raiione laierum. *

LIBER PRIMUS,

31

LEMMA VI.

*SV arcus quilibet positione datus A C B subtendatur ckorda A B,
& in puncto aligtco A, in
medio curvaturce contintue^
tangatur a recta utrinque
producta AD; deinpuncta
A, B ad invicem accedant
& coeant ; dico guod aug-
ulus BAD, sub chorda
& tangente contenttis, min-
uetur in infinitum &
ultimo evanescet.

Nam si angulus iUe non evanescit, continebit arcus ACB cum
tangente AD angulum rectilineo aequalem, & propterea curvatura
ad punctum A non erit continua, contra hypothesin.

LEMMA VIL

lisdem positis; dico quod ultima ratio arcus, chordcBy & tangentis

ad invicem est ratio cequalitatis.

Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur sem-
per AB & AD ad puncta longinqua b ac ^produci, & secanti BD
parallela agatur b d. Sitque arcus A cb semper similis arcui A CB.
Et punctis A, B coeuntibus, angulus dA by per lemma superius,
evanescet ; ideoque rectae semper finitae A b, A d, & arcus interme-
dius Acb coincident, & propterea aequales erunt Unde & hisce
semper proportionales rectae A B, A D^ & arcus intermedius A CB
evanescent, & rationem ultimam habebunt aequalitatis. Q. E. D.

Corol. I. Unde si per -ff ducatur tangenti parallela j9 /% rectam
quamvis A F per A transeuntem

perpetuo secans in F, haec B F a je^

ultimo ad arcum evanescentem

A CB rationem habebit aequalita- ^^

tis, eo quod completo parallelo-

grammo A FB D rationem semper habet aequalitatis ad A D.

■^ —

A G. siecsnie? tar.

« • • •

ak. ^. i jce--« e. .» . ^i

C"r../. -. E:

V • •

: j;»er -d *N: .-i ducanmr p]ures rectaE: ££. BD. Af,
^er.reir. .-' P «S: ip?:u5 parsLelain -ff /^: rado ultiina
m -tP, --iZ'. BF, BG, chord^E^ue & airus AB

•^ *^K_.^kA-. « 11« h_>^

r-rc"::erea h.^ omnes line^., in omni de
lione., '^-To se ir.^-icem usurpari possimL

LEMMA VIII.

..* AR. BR .";-v; .r-vj ACB. cc.t^j AB c^ iam^aUi
-i.j .-'Tj RAB. RACB. RAD .vscj-v^arafir/, i£rfjf^«rf»

f — . ...

r- -T*» -

'.■7;

^ * --^ • ..^ T"-

ji'ii^_n"Z'— i .* - ^ ^ irr»— — C-. -

« «^

E:

^d

i?'

vV -I:

-rrrr >~-:.:;a ic p

iT- O— .n: »ie rsDccurcis u-:im:S'

1 E :.: M A I x

LIBER PRIMUS.

33

applicmtur BD, CE, curva occurrmtes in B, C, ddn puncta
B, C sitnul accedant ad punctum A : dico guod area triangulorum
ABD, ACE erunt ultimo ad invicem in duplicata ratiom laterum,

Etenim dum puncta B, C accedunt ad punctum A, intelligatur
semper A D produci ad puncta longinqua d %l e, \A sint Ad, A e
ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinatae db, ec otdi-
natis D B, E C parallelae quae
occurrant ipsis AB, ^Cproductis
in iS & r. Duci intelligatur, tum
curva Abc ipsi ABC similis, tum
recta Ag, quae tangat curvam
utramque in A, & secet ordinatim
applicatas DB, EC, db, ec in F,
G,f,g. Tum manente longitu-
dine A e coeant puncta B, C cum
puncto A ; & angulo c^^evanes-
cente, coincident arese curvilinKe
Abd, Ace cum rectilineis A/d,
Age ; ideoque (per lemma v.) erunt in duplicata ratione laterum A d,
Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, &
his lateribus latera A D, A E. Eigo & areae ABD, ACE sunt
ultimo in duplicata ratione laterum A D, AE. Q.E.D.

LEMMA X.

Spatia qu<s corpus urgente quacunque vi finita describit, sive vts illa
determinata & immutabilis sit, sive eadem conUnuo augeatur vel
continuo diminuatur, sunt ipso motus initio in dup/icata ratione

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitse
per ordinatas DB, EC; & spatia his velocitatibus descripta, erunt
ut areae ABD, ACE his ordinatis descriptae, hoc est, ipso motus
initio ^>er lemma ix.) in duplicata ratione temporum AD, AE.
Q.E.D.

DE MOTU CORPORUM

Corol. I. Et hinc facile colligitiir. quod corporum similes similium
figuranim partes temporibus proportionallbus describentium errores,
qui viribus quibusvis ^equalibus ad corpora similiter applicatis
generantur, & mensurantur per distantias corponim a figurarum
similium locis ilHs, ad quce corpora eadem temporibus iisdem pro-
portionalibus sine viribus istis pervenirent, sunt ut quadratatemporum
in quibus generantur quam proxime.

CoroL 2. Errores autem qui viribus proportionalibus ad similes
figurarum similium partes simiHter appHcatis generantur. sunt ut vires
& quadrata temporum conjunctim.

Corol. 3. Idem intelUgendum est de spatiis quibusvis quae corpora
urgentibus diversis viribus describunt. Hsec sunt, ipso motus initio.
ut vires & quadrata temporum conjunctim.

Corol. 4. Ideoque vires sunt ut spatia, ipso motus initio, descripta
directe & quadrata temporum inverse.

Corol. 5. Et quadrala temporum sunt ut descripta spatia directe
& vires inverse.

Scholium.

Si quantitates indeterminatae diversorum generum conferantur
inter se. & earum aHqua dicatur esse ut est alia quKvis directe vel
inverse : sensus est, quod prior augetur vel diminuitur in eadem
ratione cum posteriore, vel cum ejus reciproca. Et sl earum aliqua
dicatur esse ut sunt ali^ dux vel plures directe vel inverse : sensus
est, quod prima augetur vel diminuitur in ratione qua: componitur
ex rationibus in quibus aliae vel aliarum reciprocae augentur vel
diminuuntur. Ut si A dicatur esse ut B directe & C directe & D
inverse : sensus est, quod A augetur vel diminuitur in eadem ratione

cum B X C X T^ hoc est, quod A & -rr- sunt ad invicem in ratione

data.

L E M M A XI.

Sitbttnsa evancscens anguli contaclus, in eun-is omnibus (urvaturam
finitam ad punctum contaclus habentibus, est ultimo in ratione
dupliiata sttbtcnscr arcus conta-mini.

<

LIBER PRTMUS.

35

Cas. I. Sit arcus ille A B, tangens ejus A D, subtensa anguli
contactus ad tangentem perpendicularis B D. subtensa arcus A B.
Huic subtensEe A B Bl tangenti A D perpendiculares erigantur A G,
B G, concurrentes in G ; dein accedant puncta D, B. G, ad puncta d,
6, g, sitque / intersectio Hnearum B G, A G ultimo facta ubi puncta
D, B accedunt usque ad A. Manifestum est ,v d x>

quod distantia GI minor esse potest quam
assignata qusevis. Est autem (ex natura circu-
lorum per puncta A B G, A bg transeuntium)
AB quad. ^equale AG-X.BD, & Ad qiiad.
Kquale Agy.bd; ideoque ratio AB quad. ad
Ab quad. componitur ex rationibus A G ad Ag
& BD ad bd. Sed quoniam G/ assumi potest
minor longitudine quavis assignata, fieri potest
ut ratio A G ad A g minus differat a ratione
aequalitatis quam pro differentia quavis assignata,
ideoque ut ratio A B qiiad. a.d A b quad. minus ^ /
differat a ratlone BD ad bd quam pro differentia
quavis assignata. Est ei^o. per lemma i, ratio ultima AB quad.
ad A b quad. eadem cum ratione ultima B D 2.d bd. Q. E. D.

Cas. 2. Inclinetur jam BD ad A D in angulo quovis dato, &
eadem semper erit ratio ultima B D ad bd quae prius, ideoque eadem
ac A B quad. ad A b quad. Q. E. D.

Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, sed recta B D ad
datum punctum convergat, vel alia quacunque lege constituatur ;
tamen angull D, d communi lege constituti ad aequalitatem semper
vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavls
assignata, ideoque ultlmo aequales erunt. per lem. 1, & propterea
linese BD. bdsMnt in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D.

Corol. 1. Unde cum tangentes A D, A d, arcus A B, A b, &
eorum sinus BC, bc fiant ultlmo chordls A B, .^ li jequales ; erunt
etiam Illorum quadrata ultimo ut subtensae B D, bd,

Corol. 2. Eorundem quadrata sunt etiam ultlmo ut sunt arcuum
sagittEB, quse chordas bisecant & ad datum punctum convergunt.
Nam sagittae ilte sunt ut subtensse B D, bd.

Corol. 3. Ideoque sagitta est in duplicata ratione temporis quo
corpus data velocltate describit arcum.

DE SfOTU CORPORUM

Corol. 4. Triangiila rectilinea A D B, Adb sunt ultimo in tripli-
cata ratione laterum A D, A d, inque sesquipJicata laterum D B,
db; utpote in composila ratione kterum AD
& D B, Ad Sl db existentia. Sic & triangula
A B C, Abc sunt ultimo in triplicata ratione
laterum B C, bc. Rationem vero sesquiplicatam
voco triplicatje subdupHcatam, quae nempe ex
simplici & subduplicata componitur.

Corol. 5. Et quoniam D B, db sunt ultimo
paiallelse & in duplicata ratione ipsarum A D,
Ad: erunt arcEe ultimEe curvilineae A D B,
A db (ex natura parabolas) duae tertise partes
triangulorum rectilineorum A D B. Adb ; &
segmenta A B, Ab partes tertiie eonmdem
triangulorum. Et inde hae areie & hsc segmenta
erunt in tripHcata ratione tum tangentium A D, A d ; tum chordarum
& arcuum A B, A b.

Sclwliunt.

Cteterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec
infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli conlinent cum
tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem ; hoc est, curvaturam
ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinile magnam, seu
intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB
ut A D^ : quo in casu circuius nullus per punctum A inter tangen-
tem A D Si curvam A B duci potest, proindeque angulus contactus
erit infinite minor circularilxis. Et simili argumento si fiat DB
successive ut A />', A D^, A D", A D'', &c. habebiuir series
angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior
est infinite minor priore. Et si fiat D B successive ut A D', A D%,
A Ds, A Dj, A D%, A Di, &c. habebitur alia series infinita an-
gulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circu-
laribus, secundus infinite major, & quilibet posterior infinite major
priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series
utrinque in infinitum pergens angulorum intermedionmi inseri.
quorum quilibet posterior erit infinite major minorve priore. Ut
si inter terminos A D' & A D' inseratur series A D'i. A D\\ ADl,

LIBER PRIMUS.

37

A D\, A m A D%, A D\\ A D\\ A D\\ &c. Et Rirsus inter
binos quosvis angulos hujus seriei inseri pctest series nova angulorum
intermediorum ab invicem infinitis intervalHs differentium. Neque
novit natura limitem.

Qua: de curvis lineis deque superficiebus comprehensis demon-
strata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas &
contenta. Praemisi vero hsc lemmata, ut effugerem taedium de-
ducendi longas demonstrationes, more veterum geometrarum, ad
absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per
methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium
hypothesis, & propterea methodus illa minus geometrica censetur ;
malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum
evanescentium summas & rationes, primasque nascentium, id est,
ad limites summarum & rationum deducere ; & propterea limitum
illorum demonstrationes qua potui brevitate praemittere. HIs enim
idem pra!statur quod per methodum indivisibilium ; & principiis
demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando
quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro
rectis usurpavero lineolas curvas ; nollm indivisibilia, sed evanescentia
divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed sum-
marum & rationum limites semper intelllgi ; vimque talium demonstra-
tionum ad methodum prsecedentium lemmatum semper revocari.

Objectio est, quod quantltatum evanescentium nulla sit ultima
proportio ; quippe qus, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi
evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento teque 'contendi
posset nullam esse corporis ad certum locum, ubi motus finiatur,
pervenientis velocitatem ultimam : hanc enim, antequam corpus
attingit locum, non esse ultimam, ubi attingit, nullam esse. Et
responsio facilis est : Per velocitatem ultimam intelHgi eam, qua
corpus movetur, neque antequam attingit locum ultimum & motus
cessat, neque postea, sed tunc cum attingit ; id est, Illam ipsam ve-
locitatem quacum corpus attlngit locum ultimum & quacum motus
cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescen-
tium, intelligendam esse rationem quantitatum, non antequam eva-
nescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima
nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima
est quacum esse (vel augeri aut minui) incipiunt & cessant. Extat

38 OE MOTU COSPORUM

limes quem velocitas in fine motus attingere potcst, non autem
transgredi, Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quan-
titatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum-
que hic limes sit certus & delinitus, problema est vere geometricum
eundem delerminare. Geometrica vero omnia in aliis geometricis
determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.

Contendi etiam potest, quod si dentur ultims quantitatum eva-
nescentium rationes. dabuntur & ultimae magnitudines : & sic quan-
titas omnis constabit ex indivislbilibus, contra quam EncUdcs de
incommensurabilibus, in libro decimo elementorum. demonslravit
Verum h:ec objectio falsffi innititur hypothesi. Ultim^e rationes
illas quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes
quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine Hmite
decrescentium rationes semper appropinquant ; & quas propius
assequl possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero
transgredi, neque prius attingere quam quantitates diminuuntur in
infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates
dua: quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur
harum ultima ratio, nlmirum ratio cequalitatis, nec tamen ideo da-
buntur quantitates ultimae seu maximae quarum ista est ratio. In
sequentibus igitur, siquando facili rerum conceptui consulens dixero
quantitates quam minimas, vel evanescentes, vel ultimas ; cave
intePigas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper
diminuendas sine limite.

S E CT I O II.
De invcnliane mrium cmtripetarum.

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Areas, quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum
virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere,
& esse temporibus proportionales.

Dividatur tempus in partes Eequales, & prima temporis parte de-
scribal corpus vi insita rectam A B. Idem secunda temporis parte, si
nil impediret, recta pergeret ad c, (per leg. i.) describens lineam Bc

1

LIBER PRIMVS.

39

aequalem ipsi A B ; adeo ut radiis AS,BS,cS2A centnun actis,
confectae forent aequales arese ASB, BSc. Verum ubi corpus
venit ad B, agat

SC ; & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, aequale erit trian-
gulo SBc, atque ideo etiam triangulo S A B. Simili argumento si
vis centripeta successive agat in C, D, E, &c faciens ut corpus singulis
temporis particulis singulas describat rectas C D, DE, E F, &c.
jacebunt hae omnes in eodem plano; & triangulum SCD triangulo
SBC,^SDE\^%\ SCD,Si.SEF\^s\SDEsx^-s!L^^T\t. ^qua-
libus igitur temporibus aequales ares in plano immoto describuntur :
& componendo, sunt arearum summje qusevis S A D S, S A FS inter
se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minu-
atur latitudo triangulorum in inBnitum; & eorum ultima perimeter
ADF, (per coroUarium quartum lemmatis tertii) erit linea curva:
ideoque vts centripeta, qua corpus a tangente hujus curvse perpetuo
retrahitur, aget indesinenter ; areae vero qusevis descript*e SADS,
SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt
iisdem temporibus in hoc casu proportionales. Q. E. D.

40

DE ArOTU CORfOMUM

Corol. I, Velocitas corporis in centrum immobile attracti est in
spatiis non resistentibus reciproce ut perpendiculum a centro illo in
orbis tangentem rectilineam demissum. Est enim velocitas in locis
\\\sA.B,C,D,

/

,/L

<A

//

E, ut sunt bases
Bequalium trlan-
gulorum A B,
BC, CD.DE,
EF; & h^
bases sunt reci-
proceutperpen-
' dicula in ipsas
demissa.

Corol. 2. Si
arcuum duorum
sequalibus tem-
poribus in spa-
tiis nonresisten-
tibus ab eodem
corpore sflcces-
sive descriptor-
um chord^e AB,
B C complean-

tur in parallelogrammum A B C V, & hujus di^onalts B y in ea
positione quam ultimo habet ubi arcus illi in infinitum diminuuntur,
producatur utrinque ; transibit eadem per centrum virium.

Corol. 3. Si arcuum squallbus temporlbus In spatiis non resisten-
tibus descriptorum chordse A B, B C, ac D E, EF compleantur in
parallelogramma ABCV, DEFZ; vires in B & £" sunt ad invi-
cem in ultima ratione diagonallum B V, E Z, ubi arcus isti in infini-
tum diminuuntur. Nam corporis motus BC & EF componuntur
(per legum corol. i.) ex motibus Bc, B V Sl E/, E Z : atqui B V &
EZ, ipsis Cc & F/ xqiiales, in demonstratione proposltionls hujus
generabantur ab impulsibus vis ce"ntripet£e m B Sc E, ideoque sunt
his impulsibus proportionales.

Coroi. 4. Vires quibus corpora qu^elibet in spatils non resistenti-
bus a motibus rectilineis retrahuntur ac delorquentur in orbes curvos

LIBER PRIMUS.

41

sunt inter se ut arcuum ^equalibus temporibus descriptorum sagittEc
illEe quae convergunt ad centrum virium, & chordas bisecant ubi
arcus illi in infinitum diminuuntur. Nam hs sagittae sunt semisses
diagonalium, de quibus egimus in corollario tertio.

CoroL 5. Ideoque vires eEcdem sunt ad vlm gravitatls, ut hs
sagitts ad sagittas horizonti perpendiculares arcuum parabolicorum.
quos projectilia eodem tempore describunt.

Corol. 6. Eadem omnia obtinent per legum corol. v. ubi plana, in
quibus corpora moventur, una cum cenlris virium, quae in ipsis sita
sunt, non quiescunt, sed moventur uniformiter in directum.

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Corpus omne, quod ntovetur ifi linea aligua curva in plano descripta,
& radio ducto ad punctum vel immobile, vel moiu rectilineo
umformiler progrediens, describit areas circa punctum illud tempor-
ibus proportionales, urgelura vi centripeia tendente ad idcm puiutum.

Cas. I. Nam corpus omne, quod movetur in Hnea curva, detor-
quetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem (per
leg. I.). Et vis illa, qua corpus de cursu rectilinco detorquetur, &
cogilur triangula quam minima S A B, SBC, S C D, &c. circa
punctum immobile 6" temporibus a^qualibus sequalia describere, agit
in loco B secundum lineam parallelam ipsi c C (per prop. xl. lib. i.
elem. & leg. 11.) hoc est, secundum lineam BS; & in loco C se-
cundum lineam ipsi d D parallelam, hoc est, secundum lineam S C,
&c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud
immobile S. Q.E.D.

Cas. 2. Et, per legum corollarium quintum, perinde est, sive qui-
escat superficies, in qua corpus describlt figuram curvilineam, slve
moveatur eadem una cum corpore, figura descripta, & puncto suo
S uniformiter in directum.

Corol I. In spatiis vel mediis non resistentibus, si area; non sunt
temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radio-
rum ; sed Inde declinant in consequentia, seu versus plagam in quam
fit motus, si modo arearum descriptio acceleratur : sin retardatur,
declinant in antecedentia.

42

DE MOTU CORPORUM

Corol. 2. In mediis etiam resistentibus, si arearum descriptio acce-
leratur, virium directiones declinant a concursu radiorum versus
plagam, in quam fit motus.

Scholmm.

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viri-
bus, In hoc casu sensus propositionis est, quod vis illa qus ex
omnibus componitur, tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat
perpetuo secundum lineam superficiei descriptje perpendicularem ;
hac faciet ut corpus deflectatur a plano sui motus : sed quantitatem
superficiei descriptte nec augebit nec minuet, & propterea in com-
positione virium negligenda est.

PROPOSITIO III. THEOREMA III.

Corpus omne, quod radio ad centntm corporis alterius vtcunqiu
tnoti ducto describit areas circa centrum illud temportbtis f>ropor-
(ionales, urgetur vi comj>osita ex vi centripeta tendente ad corpus
illud alterunt, Gf ex vi omni acceleratrice qua corpus itlud
alterum urgetnr.

Sit corpus primum L, & corpus alterum T: & (per legum coroL
vi.) si vi nova, quEc iequaHs & contraria sit illi, qua corpus alterum
T urgetur, urgeatur corpus utrumque secundum lineas parallelas;
perget corpus primum L describere circa corpus alterum T areas
easdem ac prius : vis aulem, qua corpus alterum T urgebatur, jam
destruetur per vim sibi iequalem & contrariam ; & propterea (per
leg. i.) corpus illud alterum T sibimet ipsi jam relictum vel quies-
cet, vel movebitur uniformiler in directum : & corpus primum L
urgente differentia virium, id est, urgente vi reliqua perget areas
temporibus proportionales circa corpus alterum 7"describere. Ten-
dit igitur (per thcor. 1 1.) differentia virium ad corpus illud alterum
/"ut centrum. Q.E.D.

Corol. I. Hinc si corpus uiium L radio ad alterum 7" ducto
describit areas temporibus proportionales ; alque de vi tota (sive sim-
plici, sive ex viribus pluribus juxta legum corollarium secundum

^

LIBER PRIMVS,

43

composita) qua corpus prius L urgetur, subducatur (per idem legum
coroUarium) vis tota acceleratrix, qua corpus alterum urgetur :
vis omnis reliqua, qua corpus prius ui^etur, tendet ad corpus alterum
T ut centrum.

Corol. 2. Et, si areae illae sunt temporibus quamproxime propor-
tionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum T quamproxime.

CoroL 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad
corpus alterum T^ erunt areae illae temporibus quamproxime propor-
tionales.

Corol. 4. Si corpus L radio ad alterum corpus T ducto describit
areas, quae cum temporibus collatae sunt valde inaequales ; & corpus
illud alterum T vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum :
actio vis centripetae ad corpus illud alterum T tendentis vel nulla est,
vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus
aliarum virium : visque tota ex omnibus, si plures sunt vires,
composita ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur.
Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque movetur ; si modo
vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius in
corpus illud alterum /'agentis.

Scholium.

Quoniam aequabilus arearum descriptio index est centri, quod
vis illa respicit, qua corpus maxime afficitur, quaque retrahitur a
motu rectilineo, & in orbita sua retinetur; quidni usurpemus in
sequentibus aequabilem arearum descriptionem ut indicem centri,
circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur ?

PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.

Corporuntj qtue diversos circulos cequabili motu describunty vires
centripetas ad centra eorundem circulorum tendere ; & esse inter se,
ut sunt arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circu-
lorum radios.

Tendunt hae vires ad centra circulorum per prop. 11. & corol. 2.
prop. I. & sunt inter se ut arcuum aequalibus temporibus quam

44

DE MOTU CORPORUM

minimis descriptorum sinus versi per corol. 4. prop. i. hoc est, ut
quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum applicata per
lem. vii. & propterea, cum hi arcus sint ut arcus temporibus quibusvis
aequalibus descripti, & diametri sint ut eorum radii ; vires erunt
ut arcuum quorumvis simul descriptorum quadrata applicata ad
radios circulorum. Q.E.D.

Corol. I. Cum arcus illi sint ut velocitates corporum, vires cen-
tripetae erunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum
directe, & ratione simplici radiorum inverse.

Corol. 2. Et, cum tempora periodica sint in ratione composita
ex ratione radiorum directe, & ratione velocitatum inverse; vires
centripetae sunt in ratione composita ex ratione radiorum directe, &
ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

Coro/. 3. Unde si tempora periodica aequentur, & propterea
velocitates sint ut radii ; erunt etiam vires centripetse ut radii : &
contra.

Corol. 4. Si & tempora periodica, & velocitates sint in ratione
subduplicata radiorum ; aequales erunt vires centripetae inter se : &
contra.

Coro/. 5. Si tempora periodica sint ut radii, & propterea vdocitates
aequales ; vires centripetae erunt reciproce ut radii : & contra.

Coro/. 6. Si tempora periodica sint in ratione sesquiplicata radio-
rum, & propterea velocitates reciproce in radiorum ratione subdu-
plicata ; vires centripetae erunt reciproce ut quadrata radiorum :
& contra.

Corol. 7. Et universaliter, si tempus periodicum sit ut radii jR
potestas quaelibet H^, & propterea velocitas reciproce ut radii potestas
-^*^* ; erit vis centripeta reciproce ut radii potestas H^'^ : & contra.

Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, & viribus,
quibus corpora similes figurarum quarumcunque similium, centraque
in figuris illis ^similiter posita habentium, partes describunt, con-
sequuntur ex demonstratione praecedentium ad hosce casus applicata.
Applicatur autem substituendo aequabilem arearum descriptionem
pro aequabili motu, & distantias corporum a centris pro radiis
usurpando.

Corol. 9. Ex eadem demonstratione consequitur etiam; quod
arcus, quem corpus in circulo data vi centripeta uniformiter revol-

LIBER PRIMUS.

45

vendo tempore quovis describit, medius est proportionalis inter dia-
metrum circuli, & descensum corporis eadem data vi eodemque
tempore cadendo confectum.

Scholium.

Casus coroUarii sexti obtinet in corporibus coelestibus, (ut seorsum
coUegerunt etiam nostrates Wrennus, Hookius & Hallceus) & prop-
terea quae spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata
ratione distantiarum a centris, decrevi fusius in sequentibus expo-
nere.

Porro prsecedentis propositionis & corollariorum ejus beneficio,
colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam^
qualis est ea gravitatis. Nam si corpus in circulo terrse concentrico
vi gravitatis suae revolvatur, hsec gravitas est ipsius vis centripeta.
Datur autem ex descensu gravium & tempus revolutionis unius,
& arcus dato quovis tempore descriptus, per hujus corol. ix. Et
hujusmodi propositionibus Hugenitis in eximio suo tractatu de Horolo-
gio Oscillatorio vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis
contulit

Demonstrari etiam possunt prsecedentia in hunc modum. In cir-
culo quovis describi intelligatur polygonum laterum quotcunque.
Et si corpus in polygoni lateribus data cum velocitate movendo
ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis, qua singulis re-
flexionibus impingit in circulum, erit ut ejus velocitas : ideoque
summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa, & numerus re-
flexionum conjunctim : hoc est (si polygonum detur specie) ut lon-
gitudo dato illo tempore descripta, & aucta vel diminuta in ratione
longitudinis ejusdem- ad circuli praedicti radium ; id est, ut quadratum
longitudinis illius applicatum ad radiym : ideoque, si polygonum
lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus
dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis centrifuga,
qua corpus urget circulum ; & huic sequalis est vis contraria, qua
circulus continuo repellit corpus centrum versus.

DE MOTU CORPOHUM

PROPOSITIO V. PROBLEMA I.

\

I

P

Dala quibuscunque in locis velocitate, qua corpus Jiguram dalani
viribus ad commune aiiquod ccntrum lcndentibus describit,
centrum iilud invenire.

Figuram descriptam tangant rectse tres P T, TQ K VR In punc-
tis totidem P, Q, R, concurrentes in T &. V. Ad tangentes eri-
gantur perpendicula P A, QB, RC velocitatibus corporis in punctis
iliis P, Q, R, a quibus eriguntur, reciproce proportionalia ; id est,
ita ut sit P^ ad Q B ut velocitas in Q ad velocitatem m P, & Q B
zd R C ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per perpendiculorum
terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur A D, D B E, EC
concurrentes in /? & E: Et actoe T D. V E concurrent in centro
quxsito S.

Nam perpendicula a centro Sm tangentes P T, Q ydemissa (per
corol. I. prop. i.) sunt reciproce

ut velocitates corporis in punctis
P %L Q; ideoque per constnic-
tionem ut perpendicula A P,
BQ directe, id est ut perpendi-
cula a puncto D in tangentes
demissa. Unde facile colHgi-
tur quod puncta S, D, 7"suntin
una recta. Et simili argumento
puncla S, E, V sunt etiam in

ina recta ; & propterea centrum ^

\

^^^^ St corpus ttt spatto non resisiettie ctrca cenirum imnwbiie in orbe

^^^H^ quocunque revoivaiur, & arcum quemvis jamjam nasceniem

^^^^B tempore quam minimo describat, & sagitia arcus duci inieiii-

^^^^^L gaiur, quee cAordam bisecet, & producta transeat per centrum

W k

in concursu rectarum TD. F^versatur. Q.E.D.

PROPOSITIO VI. THEOREMA V.

LIBER PRIMUS. 47

virium: erit vis centripeta in ntedio arcuSj ut sagitta directe &
tempus bis inverse.

Nam sagitta dato tempore est ut vis (per corol. 4. prop. i.) &
augendo tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem
ratione sagitta augetur in ratione illa duplicata (per corol. 2 & 3,
lem. XI.) ideoque est ut vis semel & tempus bis. Subducatur du-
plicata ratio temporis utrinque, & fiet vis ut sagitta directe & tempus
bis inverse. Q. E. D.

Idem facile demonstratur etiam per corol. 4. lem. x.

Corol. I. Si corpus P revol-

vendo circa centrum S describat

lineam curvam APQ; tangat vero

recta ZPR curvam illam in puncto

quovis Pj & ad tangentem ab alio

quovis curvae puncto Q agatur

QR distantiae SP parallela, ac

demittatur Q T perpendicularis

ad distantiam illam SP : vis centripeta erit reciproce ut solidum

SP guad. y. Q T guad. . . .... .„.

f)~B » s* modo solidi illms ea semper sumatur

quantitas, quse ultimo fit, ubi coeunt puncta P & Q. Nam QR
aequalis est sagittae dupli arcus Q P, in cujus medio est P, & duplum
trianguli SQPy sive SP xQT^ tempori, quo arcus iste duplus describi-
tur, proportionale est ; ideoque pro temporis exponente scribi potest.
Coro/. 2. Eodem argumento vis centripeta est reciproce ut solidum

SYqxQPq. jox^ j-i

h^r^ -y si modo or perpendiculum sit a centro vinum m or-

bis tangentem PR demissum. Nam rectangula SYx QP & SP xQT
aequantur.

Corol. 3. Si orbis vel circulus est, vel circulum concentrice tangit,
aut concentrice secat, id est, angulum contactus aut sectionis cum
circulo quam minimum continet, eandem habens curvaturam eun-
demque radium curvaturae ad punctum P ; Bl ^ P V chorda sit
circuli hujus a corpore per centrum virium acta : erit vis centripeta

O P n

reciproce ut solidum SYqxPV. Nam P F est ^ ^ »

LIBER PRIMUS. 49

QTquad. ut AVguad. ad PVquad. Ideoque Q^^^PV ^^<^^

^ AV quad.

aequatur Q T quad. Ducantur hsec aequalia in -^^ — ^, & punctis

QR

P&Q coeuntibus scribatur P Fpro RL. Sic fiet ^^ 9^'>^P^ ^^^^

^ A Vquad.

, SP guad. y^QT guad. ^? / 10 \

sequale ^ j^ ^ . Ergo (per corol. i. & 5. prop. vi.)

vis centripeta est reciproce ut — ^-7^^ -7 ^; id est (ob datum

A V quad.) reciproce ut quadratum distantiae seu altitudinis SP &
cubus chordae P V conjunctim. Q.E.I.

Idem aliter.

Ad^tangentem PR productam demittatur perpendiculum SY:
& ob similia triangula SYP, VPA ; erit AV 2.^ PVmISP ^ASY:

.. SPxPV . o T^ o ^^ 9^' X P V cub. -

ideoque 'TIJ — aequale SY.gl a j/ v aequale

S Y quad. xP V. Et propterea (per corol. 3. & 5. prop. vi.) vis

SPg X P V CUb. , . , , A rr

centnpeta est reciproce ut ^ ^hoc est, ob datam A V

reciproce ut SPq x PVcub. Q.E.I.

Corol. I. Hinc si punctum datum S^ ad quod vis centripeta semper
tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad V ; erit vis
centripeta reciproce ut quadrato-cubus altitudinis SP.

Corol. 2. Vis, qua corpus P in circulo A P TV circum virium
centrum S revolvitur, est ad vim, qua
corpus idem P in eodem circulo &
eodem tempore periodico circum aliud
quodvis virium centrum R revolvi po-
test, ut RP quad. x SP ad cubum rec-
\3t SGy quae a primo virium centro 6*
ad orbis tangentem PG ducitur, & di-
stantiae corporis \ secundo virium cen-
tro parallela est Nam per construc-
tionem hujus propositionis vis prior est ad vim posteriorem ut
RPqxPT cub. ad SPqxPV cub. id est, ut SPxRPg ad

D

DE MOTU CORPORUM

, sive (ob similia triangula P S G, TP V^ ad

50

SP cub.y. PV ettb.

PTcub.
SG cub.

Corol. 3, Vis, qua corpus P in orbe quocunque circum virium
centrum S revolvitur, est ad vim, qua
corpus idem P in eodem orbe eodem-
que tempore periodico circum aliud
quodvis virium centrum R revolvi po-
test, ut SPy.RPg, contentum utique
sub distantia corporis a primo virium
centro ■5" & quadrato distanti;e ejus
a secundo virium centro R, ad cubum
rect^ SG, qiise a primo virium centro
^ ad orbis tangentem PG ducitur, & corporis a secundo virium centro
distantiae RP parallela est. Nam vires in hoc orbe ad ejus punctum
quodvis P ea:dem sunt ac in circulo ejusdem curvaturK.

PROPOSITIO VIII. PROBLEMA III.

M&veaiur corpus iu semkirciilo PQA : arf kunc effectum requiritur
lex vis ceniripcta; tendentis ad punctum adeo longinquum S, ut /tnece
omnes PS, RS ad id d!ut^,pro parallelis Itaberi possint

A semicirculi centro C agatur
semidiameter CA parallelas istas
perpendiculariter secans in M %l N,
& jungatur CP. Ob similia triangula
CPM, PZT &. RZQ est CPq ad
PMq ut PRq ad Q Tq, & ex na- a
tura circuli PRg sequale est rectan-
gulo QRy. RN+ QN, sive coeun-
tibus punctis P & Q rectangulo
QR X 2PM. Ergoest CPg ad PM quad. ut QR x 2PMa.d Q T
QTquad. , 2PM cub. „ Q T quad. x SP auad

eequale

%PM cub.xSP guad.
CPquad.

Est et^ (per corol. 1. & 5. prop.

LIBER PRIMUS, 5 I

V . ^ . ^ . 2 PMcub. X SP qttad, , , ,

VI.) vis centnpeta reciproce ut -p—^ -j^ , hoc est (neglecta

C P quad,

ratione determinata __ ^ — r') reciproce ut P M cub. Q. E. I.

CP quad.

Idem facile coUigitur etiam ex propositione prsecedente.

Scholium. •

Et argumento haud multum dissimili corpus invenietur moveri in
ellipsi, vel etiam in hyperbola vel parabola, vi centripeta, quae sit
reciproce ut cubus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime
longinquum tendentis.

«

PROPOSITIO IX. PROBLEMA IV.

Gyretur corpus in spirali P Q S secante radios omnes S P, S Q, &c. in an-
gulo dato: requiritur lex vis centripetcB tendentis adcentrum spiralis.

Detur angulus indefinite parvus PSQ^ & ob datos omnes an-

Q T
gulos dabitur specie figura SPRQ T. Ergo datur ratio -y-^, estque

— pr^ — '' ut Q Ty hoc est (ob datam specie figuram illam) ut S P.

Mutetur jam utcunque angulus PSQ^ & recta QjR angulum contac-
tus QPR subtendens mutabitur (per lemma xl) in duplicata ratione

ipsius PR vel Q T. Ergo manebit — -p^ — '- eadem quse prius, hoc

/^ ^T^ C* D

est ut SP. Quare np — est ut ^^P cub. ideoque (per corol.

I. & 5. prop. VI.) vis centripeta est reciproce ut cubus distantiae S P.
Q.E.I.

52

DE MOTU CORPORUM

Idem aliter.

Perpendiculum SY va tangentem demissum, & circuli spiralem
concentrice secantis chorda P V sunt ad altitudinem S P xn datis
rationibus ; ideoque SP ctib. est ut 6* Yq x P F, hoc est (per corol.
3. & 5. prop. VI.) reciproce ut vis centripeta.

LEMMA XII.

Parallelogramma omnia circa daUe ellipseos vel hyperbohe diameiros
gtmsvis conjugatas descripta esse inter se agucUia.

Constat ex conicis.

PROPOSITIO X. PROBLEMA V.

Gyretur corpus in ellipsi: requiritur lex vis centripetiB tendetUis

ad centrum ellipseos.

Sunto CA, CB semiaxes ellipseos; GP^ DK diametri
conjugatae \ P F^ Q T perpendicula ad diametros ; Q v ordinatim appli-
cata ad diametrum
GP ; & si comple-
atur parallelogram-
mum QvPR, erit
(ex conicis) rectan-
gulum PvG zd Qv
quad. ut P C quad.
ad CD quad. &
(ob similia triangula
QvT, PCF) Qv
quad. est 2A Q T
quad. ut PCquad. ad
P F quad. & con-
junctis rationibus,
rectangulum Pv G
ad QT qtiod. ut PC
quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est, vG ^

LIBER PRIMUS,

53

QT quad. „^ ^ ^ CDqxPFg ^ ., ^^
p^ ut PC quad. ad ^^^ ^. Scribe (^i? pro

Pv, 8i (per lemma xii.) BCy.C A pro CZ? x P /% nec non (punctis

P Si Q coeuntibus) 2 P C pro vG, & ductis extremis & mediis in

^ (2 7* ^«^. xPCq ' 2BCqx CA q ^
se mutuo fiet ^~OR ^equale — -p; -. Est ergo

/ I .. ^.^ . 2 BCqy. CAq
(per corol. 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce ut ^-p^ ;

id est (ob datum 2 BCqy. CA q) reciproce ut -5-^ ; hoc est, directe
ut distantia PC. Q. E. I.

Idem aliter.

In recta P G^ ab altera parte puncti T^sumatur punctum ^ ut 7"^
sit aequalis ipsi Tv ; deinde cape u V, quae sit zAvG wt est D C quad.
Sid PC quad. Et quoniam ex conicis est Qv quad. ad PvG ut
D C quad. ad P C quad. erit Q v quad. sequale Pvxu V. Adde
rectangulum uPv utrinque, & prodibit quadratum chordae arcus P Q
aequale rectangulo VPv; ideoque circulus, qui tangit sectionem
conicam in P & transit per punctum (2, transibit etiam per punctum V.
Coeant puncta P Sl Qy and ratio u V ^d vG, quae eadem est cum
ratione D Cq ad P Cq, fiet ratio P F ad P G seu PV sid 2 PC;

ideoque P V aequalis erit p^ . Proinde vis, qua corpus P in ellipsi

»-\ ^
revolvitur, erit reciproce ut p ^ in P Fq (per corol. 3. prop. vi.)

hoc est (ob datum 2 DCqmPFq) directe ut P C. Q. E. I.

Corol. I. Est igitur vis ut distantia corporis a centro ellipseos : &
vicissim, si vis sit ut distantia, movebitur corpus in ellipsi centrum
habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem utique ellipsis
migrare potest.

Corol. 2. Et aequalia erunt revolutionum in ellipsibus universis
circum centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora
illa in ellipsibus similibus aequalia sunt (per coroL 3. & 8. prop. iv.)
in ellipsibus autem communem habentibus axem majorem sunt ad
invicem ut ellipseon areae totae directe, & arearum particulae simul
descriptae inverse; id est, ut axes minores directe, & corporum

DE MOTU CORPOHUM

velocitates in verticibus principalibus inverse; hoc est, ut axes illi
minores directe, & ordinatlm applicatae ad idem punctum axis com-
munis inverse ; & propterea (ob ffiqualitatem rationum directarum
& inversarum) in ratione aequalitatis.

Scholinm.

Si ellipsis centro in infinitum abeunte vertatur in parabolam,
corpus movebitur in hac parabola ; & vis ad centrum infinite
distans jam tendens evadet sequabllis. Hoc est theorema Gaiilai.
Et si coni sectio parabolica (inclinatione plani ad conum sectum
mutata) vertatur in hyperbolam, movebltur corpus in hujus perime-
tro vi centripeta in centrifugam versa. Et quemadmodum in
circulo vel elHpsi si vires tendunt ad centrum figura: in abscissa
positum ; hse vlres augendo vel diminuendo ordinatas in ratione
quacunque data, vel etiam mutando angulum inclinationis ordina-
tarum ad absclssam, semper augentur vel dlmlnuuntur in ratione
distantiarum a centro, si modo tempora periodica maneant sequalia ;
sic etiam in figuris universis si ordinatae augeantur vel diminu-
antur in ratione quacunque data, vel angulus ordlnationis utcunque
mutetur. manente tempore periodlco ; vires ad centrum quodcunque
■ in absclssa positum tendentes in singulis ordinatis augentur vel
diminuuntur in ratlone distantlarum a centro.

SECTIO I 11.
De motu corporum in conicis sectionibus excentricis.

PROPOSITIO XI. PROBLEMA VI.

Revolvatur corpus iti ellipsi ; reqttiritur Ux vis cetitripeta tendmHs
ad umbiiicum eliipseos.

Esto ellipseos umbilicus S. Agatur SP secans ellipseos tum
diametrum D K In E, tum ordinatim appllcatam Qv \x\ x, & com-
pleatur parallelogrammum QxPR. Patet EP arqualem esse semiaxi
majori A C. eo quod, acta ab altero ellipseos umbilico // iinea J//
ipsi £C parallela, ob sequales CS. CH aequentur E S, EJ.

LIBER PRIMUS,

55

adeo ut E P semi-
summa sit ipsarum
PS,P//id est (ob
parallelas/f/, Py?,
& angulos aequales
/Py?,ZrPZ)ipsarum
PSjP H, quse con-
junctim axem totum
2 A C adaequant
kd, SP demittatur
perpendicularis Q T,
& ellipseos latere
recto principali (seu
2 B C guad,. ,.

— 'ac — ^ ^^^^

Ly erit LxQ R ad

Ly.Pv\xt QR ad Pv, id est, ut PE seu AC^dPC;%iL x Pv ad

GvP Mt L ad Gv; & GvP ad Qv qtuid. ut PCguad. ad CZ? y/W. &

(per corol. 2. lem. vii.) ^z/ gtmd. ad (2^ ^^mj^. punctis Q & P coeuntibus

est ratio aequalitatis ; & Qx guad. seu Q v guad. est ad Q T guad. ut

EP gtiad. ad PFguad. id est, ut C-^ ^«^. ad PFguad. sive (per lem.

XII.) ut CD gtmdy ad CB guad. Et conjunctis his omnibus rationibus,

L X (2i? fit ad Q Tguad. ut ACxLx PCg x CL>g, seu 2 CBg x PCg

xCDg ad P CxGvxC DgxC B g, sive ut 2PCad Cz^. Sed

punctis Q 81 P coeuntibus aequantur 2P C & Gv. Ei^o & his

proportionalia LxQ R & Q T guad. aequantur. Ducantur haec

-. . SPg „ ^ _ ^^ - S P gxQTq ^ ,
aequalia m ^ ^ , & net LxSP g aequale rTp - Ergo (per

corol. I. & 5. prop. vi.) vis centripeta reciproce est ut LxSPg^ id
est, reciproce in ratione duplicata distantiae SP. Q. E. I.

Idem aliter.

Cum vis ad centrum ellipseos tendens, qua corpus P in ellipsi
illa revolvi potest, sit (per corol. i. prop. x.) ut CP distantia corporis
ab ellipseos centro C ; ducatur C E parallela ellipseos tangenti P R;
& vis, qua corpus idem P circum aliud quodvis ellipseos punctum

5 revolvi potest, si C£ & PS concurrant in £, erit ut — ^-p — - (per

corol. 3. prop. vn.) hoc est, si punctum S sit umbilicus elUpseos,
ideoque P E detur, xxX S Pq reciproce. Q. E. I.

Eadem brevitate, qua traduximus problema quintum ad parabolam,

6 hyperbolam, liceret idem hic facere : verum ob dignitatem
problematis, & usum ejus in sequentibus non pigebit casus caeteros
demonstratione confirmare.

PROPOSITIO XII. PROBLEMA VII.

Moveatur corpus in hyberbola : requiritur lex vis centripeta tendentis

ad umbilicum figur^.

Sunto C A, CB semiaxes hyperbolse ; P G, KD diametri alia:
conjugat^e; Z' T^ perpendiculum ad diametrum KD; & ^ziordina-
tim applicata ad diametrum G P. Agatur 6"/' secans cum diame-
trum D K\w E, tum ordinatim applicatam Qv \n x, ^ compleatur
parallelogrammum Q RP x, Patet E P asqualem esse semiaxi
transverso A C, eo quod, acta ab altero hyperbolas umbilico //"linea
// / ipsi EC parallela, ob sequales CS, CH ^equentur ES, E / ;
adeo ut E P semidifferentia sit ipsarum PS, P /, id est (ob parallelas
///, PP & angulos Eequales / P P, // P Z) ipsarum P S, P H,
quarum differentia axem totum 2 A Cadsequat Ad S P demittatur

perpendicularis Q T. Et hyperbolae latere recto principali (seu . )

dicto Z. erit LxQ R 3.A L x P v ut Q R ia.d P v, s^vt. Px ad P v,
id est (ob similia triangula /'.arz', /'^'O ut /*£" ad /" C, seu y^ Cad
P C. Erit etiam LxPv^A G v x Pv ut L ad Gv ; & (ex natura
conicorum) rectangulum G v P ad Qv quait ut PCq ad CDg ; &
(per corol. 2. lem. vii.) Qv quad. ad Qx qtiad. punctis Q Sl P coe-
untibus fit ratio asqualitatis ; & Qx quad. seu Q v qmd. est ad Q Tq
ut E Pg ad P Fq, id est, ut CAq ad P Fq, sive (per lem. xii.) ut
C D q 'A.6. C Bq : & conjunctis his omnibus rationibus L xQ R f\t ad
Q Tq ut A CxLxPCqxCDq, seu 2 CBqxPCqxCDq ad
PCxGvxCDqxCBq. sive ut 2 P C ad G v. Sed punctis/'& g
coeimtibus jequantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionalia

LIBER PRIMUS,

57

SPq

L X QR & Q Tg aequantur. Ducantur haec aequalia in 77-—, &

QR

fiet L X SPg sequale np — ^^&^ (P^^ corol. i. & 5. prop. vi.)

vis centripeta reciproce est ut Z x SPq^ id est, reciproce in ratione
duplicata distantiae SP. Q. E. I.

Idem aliter.

Inveniatur vis, quae tendit ab hyperbolae centro C. Prodibit haec

distantiae CP proportionalis. Inde vero (per corol. 3. prop. vii.)

PE cub
vis ad umbilicum S tendens erit ut — :?=r;=^ — ^, hoc est, ob datam PE^

reciproce ut SPq. Q. E. I.

SPq

58 DE AfOTU CORPORUM

Eodem modo demonstratur, quod corpus hac vi centripeta in
centrifugam versa movebitur in hyperbola opposita.

LEMMA XIII.

Latus rectum parabola ad zferticetn quemvis pertinens est quadruplum
distantiee verticis illius ab umbilico figurs.
Patet ex conicis.

LEMMA XIV.

Perpendicubim, quod ab nmbilico parabola ad tangentem ejus demittitur,
medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus
& a vertice principali figurtr.

Sit enim AP parabola, 6" umbilicus ejus, A vertex principalis,
P punctum contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum princi-
palem, PJ/tangens diametro

principali occurrens in M. & py^

SN linea perpendicularis ab /'W '

umbilico in tangentem. Jun-
gatur A N 8Loh Eequales MS
& SP, MN. & NP, MA & ^ \J\

A O parallelce erunt rects A N _
& OP; & inde triangulum " a b o

^.^ A'" rectangulum erit ad A, & sJmile triangulis xqualibus SNAf,
SNP: ergo P S esi ad S N ut SN ad SA. Q.E.D.

Corol. I. 7»^^ est ad ^'A^^ ut /'^ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA est SNq ut P S.

Coroi. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta ^A'', quae
ab umbillco In ipsam perpendlcularis est, incidit in rectam A N,
qux parabolam tangit in vertice principali.

PROPOSITIO XIII. PROBLEMA VIII.

Moveatnr corpus in perimetro parabola: requiritur lex vis cenlripeta
tcndentis ad umbiUcum /lujus figttrar.

Maneat constructio lemmatis, sitque P corpus in perimetro para-
bolie, & a loco Q, in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP

LIBER PRIMUS,

59

parallelam QR & perpendicularem Q 7", necnon Q v tangenti pa-
rallelam, & occurrentem tum diametro P G \n v, tum distantiae
SP in X, Jam ob similia triangula Pxv, SPM, & sequalia unius
latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QP & Pv.
Sed ex conicis quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub
latere recto & segmento diametri Pv, id est (per lem. xiii.) rec-
taingulo^PSxPv^seu ^PSxQR; & punctis P&Q coeuntibus,
ratio Qv 2id Qx (per corol. 2. lem. vii.) fit ratio aequalitatis. Ergo
Qx qtiad. eo in casu
aequale est rectangulo
4PSxQP. Est au-
tem (ob similia triangu-
Isi QxT,SPN)Qxq^d
QTqutPSq^idSNg,
hoc est (per corol. i.
lem. XIV.) ut -PkS" ad
SAy id est, ut ^PS
xQPad 4SAX QR,
& inde (per prop. ix.
lib. V. elem.) QTq & 4 SA xQR aequantur. Ducantur haec aequalia

in -Qpy & fiet ^Yp — aequale SPq x 4SA : & propterea (per

coroL I. & 5. prop. vi.) vis centripeta est reciproce ut SPqx^SA,
id est, ob datam 4S Ay reciproce in duplicata ratione distantiae
SP. Q.E.I.

Corol. I. Ex tribus novissimis propositionibus consequens est, quod
si corpus quodvis P secundum Hneam quamvis rectam PR quacunque
cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta, quae sit reciproce
proportionalis quadrato distantiae locorum a centro, simul agitetur;
movebitur hoc corpus in aliqua sectionum conicarum umbilicum ha-
bente in centro virium ; & contra, Nam datis umbilico, & puncto
contactus, & positione tangentis, describi potest sectio conica, quae
curvaturam datam ad punctum illud habebit Datur autem curvatura
ex data vi centripeta, & velocitate corporis : & orbes duo se mutuo
tangentes eadem vi centripeta eademque velocitate describi non possunt

Carol. 2. Si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit,
qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi possit ;

6o

DE MOTU CORPORUM

& vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere
per spatium QR: movebitur hoc corpus in conica aliqua sectione,

cujus latus rectum principale est quantilas illa yr-^, qu^e ultimo fit,

ubi lineolje P R, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his
corollariis refero ad ellipsin ; & casum excipio, ubi corpus recta

descendit ad centrum.

PROPOSITIO XIV. THEOREMA VI.

Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta
sit reciproce in duplicata ratione distantis locorum a centro ; dico
guod orbium latera recta principalia sunt in dnplicata ratione
arearum, quas corpora radiis ad centrum ductis codem tcmpore
describunt.

Nam (per corol 2. prop, xiii.) latus

rectum L asquale est quantitati

QTq
QR-

quae ultimo fit, ubi coeunt puncta/' &
Q. SedIineaminima(2^datotempore
est ut vis centripeta generans, hoc est
(per hypothesin) reciproce ut SPq.

Ergo ^-^ est \x\.QTqy(. SPg, hoc est,

latus rectum L in dupHcata ratione arese Q Ty. S P. Q. E. D.

Corol. Hinc elHpseos area tota, eique proportionale rectangulum
sub axibus est jn ratione composita ex subduplicata ratione lateris
recti, & ratione temporis periodici. Namque area tota est ut ar^a
QTV.SP, quae dato tempore describitur, ducta in tempus periodi-
cum.

PROPOSITIO XV. THEOREMA VII.

lisdem positis, dieo quod tempora periodica in ellipsibus sunt in ratioHe
sesquiplicafa majontm axium.

Namque axis minor est medius proportionalis inter axem majo-
rem & latus rectum, atque ideo rectangulum sub axibus est jn ra-

LIBER PRIMUS. 6l

tione composita ex subduplicata ratione lateris recti & sesquiplicata
ratione axis majoris. Sed hoc rectangulum (per corol. prop, xiv.)
est in ratione composita ex subduplicata ratione lateris recti & ratione
periodici temporis. Dematur utrobique subduplicata ratio lateris
recti, & manebit sesquiplicata ratio majoris axis eadem cum ratione
periodici temporis. Q. E. D.

CoroL Sunt igitur tempora periodica in ellipsibus eadem ac in
circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus ellipseon.

PROPOSITIO XVI. THEOREMA VIII.

lisdem positisj & actis ad corpora lineis rectis^ qtue ibidem tangant
orbitaSj demissisqne ab umbilico communi ad ha^ tangentes perpen-
dicularibus : dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita
ex ratiofie perpendiculorum inversCj & subdupliccUa ratione laterum
rectorum principalium directe.

Ab umbilico vS* ad tangentem P R
demitte perpendiculum S Y, & velo-
citas corporis P erit reciproce in sub-

duplicata ratione quantitatis — ^r-^.

Nam velocitas illa est ut arcus quam

minimus P Q \n data temporis parti-

cula descriptus, hoc est (per lem. vii.)

ut tangens P R, id est, ob proportion-

ales PR ad e r & ^P ad ^ K, ut

SPxO T

TT^ — , sive Mt S Y reciproce & SP X.QT directe; estque

SP X Q T ut area dato tempore descripta, id est (per prop. xiv.)
in subduplicata ratione lateris recti. Q. E. D.

Corol. I. Latera recta principalia sunt in ratione composita ex
duplicata ratione perpendiculorum, & duplicata ratione velocita-
tum.

Corol. 2. Velocitates corporum, in maximis & minimis ab umbi-
lico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distan-

62

DE MOTU CORPORUM

tiarum inverse, & subduplicata ratione laterum rectorum principalium
directe. Nam perpendicula jam sunt ipss; distanti^e.

CoroL 3. Ideoque velocitas in conica sectione. in maxima vel
minima ab umbillco distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a
centro distantia in subduplicata ratione lateris recti principalis ad
dupiam illam distantiam.

Corol. 4. Corporum in ellipsibus gjTantium velocitates in medio-
cribus distantiis ab umbilico communi sunt eardem, qu^e ccrporum
gyrantium in circulis ad easdem distantias ; hoc est (per corol. 6.
prop. IV,) reciproce in subduplicata ratione distantiarum, Nam
perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae
proportionales inter distantias & latera recta. Componatur Iiec
ratio inverse cum subduplicata ratione laterum rectorum directe, &
fiet ralio subduplicata distantiarum inverse.

Corol. 5. In eadem figura, vel etiam in figuris diversJs, quarum
latera recta principalia sunt fequalia, velocitas corporis est reciproce
ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem,

CoroL 6. In parabola velocitas est reciproce in subduplicata ratione
distantize corporis ab umbiHco figurae ; in ellipsi magis variatur,
in hyperbola minus quam in hac ratione. Nam (per corol. 2. lem.
XIV.) perpendiculum demissiim ab umbilico ad tangentem parabolae est
in subduplicata ratione distanti^. In hyperbola perpendiculum minus
variatur, in ellipsi magis.

CoroL 7. In parabola velocitas corporis ad quamvis ab umbilico
distantiam est ad velocitatem corporis revolventis in circiilo ad
eandem a centro distantiam in subduplicata ratione numeri binarii
ad unitatem ; in ellipsi minor est, in hyperbola major quam in hac
ratione. Nam per hujus coroUarium secundum velocitas in vertice
parabolae est in hac ratione, & per corollaria sexta hujus &
propositionis quartie servatur eadem proportio in omnlbus distantiis.
Hinc etiam in parabola velocitas ubique aequalis est velocitati
corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in ellipsi
minor est, in hyperbola major,

CoroL 8. Velocitas gyrantis in sectione quavis conica est ad
velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti prin-
cipalis sectionis. ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in
tangentem sectionis demissum. Patet per corollarium quintum.

LIBER PRIMUS,

63

Corol. 9. Unde cum (per corol. 6. prop. iv.) velocitas gyrantis in
hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio reciproce
in subduplicata ratione distantiarum ; fiet ex aequo velocitas gyrantis
in conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem dis-
tantia, ut media proportionalis inter distantiam illani communem
& semissem principalis lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab
umbilico communi in tangentem sectionis demissum.

PROPOSITIO XVII. PROBLEMA IX.

Posito qtcod vis centripeta stt reciproce proportionalis quadrato dis-
tantics locorum a centrOy & quod vis illius quantitas absoluta sit
cognita; requiritilr lineay quam corpus describit cU loco dato cum
data velocitate secundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum 6" ea sit, qua corpus / in
orbita quavis data / q gyretur, & cognoscatur hujus velocitas
in loco /. De loco P secundum lineam P R exeat corpus P
cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat
illud in coni section-
em PQ. H anc igitur
recta P R tanget in
P. Tangat itidem
recta aliqua / r orbi-
tam / ^ in /, & si
ab S ad eas tangen-
tes demitti intelligan-
tur perpendicula, erit
(per corol. i. prop.
XVI.) latus rectum
principale coni secti-
onis ad latus rectum

principale orbitae in ratione composita ex duplicata ratione perpen-
diculorum & duplicata ratione velocitatum, atque ideo datur. Sit
L coni sectionis latus rectum. Datur praeterea ejusdem coni sectionis
umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat

64 OB MOTU CORPORUM

angulus RP H ; & dabitur positione linea P//, in qua umbilicus alter
If locatur. Demisso ad P// perpendiculo SIC, erigi intelligatur
semiaxis conjugatus B C, & erit SP q—2 KP H-^P Hq=SHq=
^CHq = ^BHq-/^BCq = SP-^PH: quad.-Ly.S P-\-P H=
SPq+2SPH + PHq-LxSP + PH. Addantur utrobique
^KPH-SPq-PHq+LxSP+PH, & fiet LxSP+PH=
2SPH+7KPH,%t\i SP+PH adPHut 2SP+2KP^L.
Unde datur P H tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit
corporis in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 S P
+ 2 KP, jacebit P H 2A eandem partem tangentis PR cum Hnea
PS; ideoque figura erit ellipsls, & ex datis umbilicis S, H, & axe
principali SP+PH,

dabitur. Sin tanta " ^ ^ ^

sit corporis velocitas,

ut latus rectum L

aequale fuerit 2SP

+ 2 KP, longitudo

PH infinita erit; &

propterea figura erit

parabolaaxem habens

5"/^ parallelum lineae

PK,8i indedabitur.

Quod si corpus ma-

jori adhuc cum vel-

ocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo P H ad alteram

partem tangentis ; ideoque tangente inter umbilicos pergente, figura

ent hyperbola axem habens principalem xqualem differentix linearum

SP & PH, & inde dabitur. Nam si corpus in his casibus revolvatur

in conica sectione sic inventa, demonstratum est in prop. xi, xii, &

XIII, quod vis centripeta erit ut quadratum distantiae corporis a centro

virium S reciproce ; ideoque linea P Q recte exhibetur, quam corpus

tali vi describet, de loco dato P, cum data velocitate, secundum

rectam positione datam P R egrediens. Q. E. F.

Corol. I. Hinc in omni coni seclione ex dato vertice principali D,
latere recto Z, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo
DH ^ DS ut est latus rectum ad differentiam inter latus rectum
& ^DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP+ 2 KP ad L

LIBER PRIMUS.

65

in casu hujus coroUarii, • fit DS+DH ad D H \xt 4 D S ad L^ &
divisim DSadDHut^DS-Lsid L.

CoroL 2. U nde si datur corporis velocitas in vertice principali /?,
invenietur orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus ad
duplam distantiam D S^ in duplicata ratione velocitatis hujus datae
ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam D S gyrantis (per
corol. 3. prop. xvi. ;) dein DH ^d D S Mt latus rectum ad differentiam
inter latus rectum &l 4 D S.

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in sectione quacunque
conica, & ex orbe suo impulsu quocunque exturbetur; cognosci
potest orbis, in quo postea cursum suum perageL Nam componendo
proprium corporis motum cum motu illo, quem impulsus solus
generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco,
secundum rectam positione datam, exibit

CoroL 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo
perturbetur, innotescet cursus quam proxime, coUigendo mutationes
quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia
mutationes continuas in locis intermediis aestimando.

Scholium.

Si corpus P vi centripeta ad

punctum quodcunque datum R

tendente moveatur in perimetro

datae cujuscunque sectionis coni-

cae, cujus centrum sit C; & requi-

ratur lex vis centripetae : ducatur

C G radio RP parallela, & orbis

tangenti PG occurrens in (7; &

vis illa (per corol. i . & schol. prop.

01 V . CGcub.

X. & corol. 3. prop. vii.) ent ut ^p ^

66 DE MOTU CORPORUM

SECTIO IV.

De inventiofie orbium ellipticorum, parabolicortim & hyperbolicomm

ex timbilico dato,

LEMMA XV.

Si ab ellipseos vel hyperbolce cujusvis umbilicis duobus S, H, o^/
punctum quodvis tertium V inflectantur rectce dv^ S V, H V,
quarum una H V csqualis sit axi prin-
cipali figurcs, id est^ axi in quo timbilici
Jacent^ altera S V a perpefidiculo T R in tJ
se demisso bisecetur in T ; perpendiculum

illud T R sectiotiem conicam alicubi tan- sL=:rrnZ ;:::i^H

get : & contra^ si tangit^ erit H V cequalis axi principali figurte.

Secet enim perpendiculum TR rectam H V productam, si opus
fuerit, in R ; & jungatur S R. Ob aequales T S^ T V, aequales erunt
& rectae S R, VR8i anguli TRS, TR V. Unde punctum R erit
ad sectionem conicam, & perpendiculum TR tanget eandem : &
contra. Q. E. D.

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA X.

Datis umbilico & axibus principalibus describere trajectorias ellip-
ticas & hyperbolicas^ qu4B transibunt per puncta data, & rectas
positione cUitas contingetit.

Sit S communis umbilicus figurarum ; A B longitudo axis prin-

cipalis trajectoriae cujusvis; P punc-

tum per quod trajectoria debet tran- ^ , ^

sire; & TR recta quam debet tangere. ^v ^^ P

Centro P intervallo AB-SP, si \^ \\

orbita sit ellipsis, vel A B+S P, si ^^ "^v h/

ea sit hyperbola, describatur circulus \ //

H G. Ad tangentem TR demittatur v' ^^

LIBER PRIMUS, 67

perpendiculum STyBa producatur idem ad Vy ut sit T V aequalis S T ;

centroque V & intervallo AB describatur circulus jF//. Hac

■^methodo sive dentur duo puncta P,/>, sive duae tangentes TJiy /r,

sive punctum P & tangens TP, describendi sunt circuli duo. Sit

H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato

describatur trajectoria. Dico factum. Nam trajectoria descripta

(eo quod P H+SP in ellipsi, & P H—SP in hyperbola aequatur

a axi) transibit per punctum P, & (per lemma superius) tanget rectam

rj TjR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo

P,/, vel tanget rectas duas TR, tr. Q.E.F.

PROPOSITIO XIX. PROBLEMA XI.

Circa datum umbilicum trajectortam parabolicam describerey qu^
transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriae descri-
bendae. Centro P, intervallo PS describe circulum PG. Ab um-
biiico ad tangentem demitte perpendicularem S T, & produc eam
ad F, ut sit T V aequalis S T. Eodem modo describendus est alter
circulus fg, si datur alterum punctum / ; vel inveniendum alterum
punctum V, si datur altera tangens tr; dein du-
cenda recta / F quae tangat duos circulos F G,
fg si dantur duo puncta P, p, vel transeat per
duo puncta K, v, si dantur duae tangentes TR,
tr, vel tangat circulum FG &, transeat per
punctum Vy si datur punctum P & tangens
TR. Ad FI demitte perpendicularem S ly
eamque biseca m K ; & axe SK, vertice prin-
cipali K describatur parabola. Dico factum.
Nam parabola, ob aequales S K Si IKy SP &
F P, transibit per punctum P; & (per lem. xiv.

corol. 3.) ob aequales S T &i T V & ang^lum rectum S TR, tanget
rectam TR. Q.E.F.

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XX. PROBLEMA XII.

Circa datiim umdiiicurn trajectoriam qimmvis spccie dalam describere.
qtue per data pitncta transibit & rectas tangct positione datas.

Cas. I. Dato umbilico S, describenda sit trajectoria A BC per
puncta duo B, C. Quoniam trajectoria datur specie, dabitur ratio
axis principalis ad distantiam um-
bilicorum. In ea ratione cape
KB ad BS, & LC ad CS.
Centris B. C, intervallis B/iT, CL,
describe circulos duos, & ad rectam
K L, quEe tangat eosdem in K
& L, demitte perpendiculum S G, Idemque seca in y} & a, ita ut
sit GA ad A S & Ga ad aS ut est A' B ad BS & axe A a,
verticibus A, a, describalur trajectoria. Dico factum. Sit enim
L/ umbilicus alter figurar descriptse, & cum sit GA ad A S ut
Ga ad aS. erit divisim Ga—GA seu Aa ad aS—AS seu SH
in eadem ratione, ideoque in ratione quam habet axis principalis
figune describenda; ad distantiam umbilicorum ejus ; & propterea
figura descripta est ejusdem speciei cum describenda, Cumque
sint KB ad B S 8i L C aid CS in eadem ratione, transibit haec figura
per puncta B, C, ut ex conicis manifestum est.

Cas. 2. Dato umbilico .S", describenda sit trajectoria quae rectas
duas TR, tr alicubi contingat Ab umbllico in tangentes demitte
perpendicula S T, S t & produc ea-
dem ad V.v, ut sint TV, tv aequa-
les TS. tS. Biseca Vv in 0,&
erige perpendiculum inBnitum O H,
rectamque V S infinite productam
seca in K & k, ita ut sit VK ad ^"^9
& VA' ad kS ut est trajectorias descri-
bendai axis principalis ad umbilico-
rum distantiam. Super diametro Kk

describatur circulus secans ON in //; & umbilicis S, H, axe princij
ipsam K/^iequante, describaturtrajectoria. Dicofactuni. Nam biseca
Kk in X, & junge HX. HS, HV, Hv. Quoniam est VK ad A'^ul

LIBER PRIMUS, 69

Vk ad kS ; & composite ut VK-^- Vk ad KS+kS ; divisimque ut

Vk^ VKsid kS-KS, id est, ut 2 VX ad 2KX & 2 KXad 2 SX,

ideoque ut VX Sid I/X & H X ad SX^ similia erunt triangula

VXH, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, ideoque

ut VKsid KS. Habet igitur trajectoriae descriptae axis principalis

V H eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam S H^ quam

habet trajectoriae describendae axis principalis ad ipsius umbilicorum

distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH^

vH aequentur axi principali, & V S^v S 2l rectis TR, tr perpen-

diculariter bisecentur, liquet (ex lem. xv.) rectas illas trajectoriam

descriptam tangere. Q. E. F.

Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit trajectoria quae rectam
TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendi-
cularem *S Z| & produc eandem ad V, ut sit T^K aequalis ST. Junge
VR & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit
VK ^d SK & Vk ad Sk ut ellipseos describendae axis principalis
ad distantiam umbilicorum; cir-
culoque super diametro Kk de-
scripto secetur producta recta
VR in H, & umbilicis S, H,
axe principali rectam VH
aequante, describatur trajectoria.
Dico factum. Namque VH
esse ad SH ut VK ad SK,
atque ideo ut axis principalis trajectoriae describendae ad distantiam
umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in casu secundo, & propterea
trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda, rectam
vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere trajectoriam in puncto
R, patet ex conicis. Q. E. F.

Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit trajectoria A P B^
quae tangat rectam T R, transeatque per punctum quodvis P extra
tangentem datum, quaeque similis sit figurae apby axe principali ab
& umbilicis s, h descriptae. In tangentem T R demitte perpendicu-
lum S T,&i produc idem ad V, ut sit T V aequalis 6* T. Angrulis
autem VSP, S V P fac angulos hsqy shq aequales ; centroque q &
intervallo quod sit Sid ab ut SP 2id V S describe circulum secan-
tem figuram apb in /. Junge sp & age SH quae sit ad ^^ ut est

^:

T

R /

70

DE MOTU CORPORUM

S P ad sp, quaeque angulum P S H angulo psh &, angulum V S H
angulo psq aequales constituat Denique umbilicis S^ H^ & axe
principali AB distantiam VH aequante, describatur sectio conica.
Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sg^
quaeque constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vs/i an-
gulo psq aequales, triangula svhy spq erunt similia, & propte-
rea vh erit a,d pq ut est s h 2Ld s q, id est (ob similia triang^la VSP^
hsq) ut est VS ad SP seu a^ ad pq. ^Equantur ergo vh & a6.

•wV

V\:..

/

.• .»• --•

r^'"

Porro ob similia triangula VSH, vsh, est V H zid S H xxtvh ^d
shy id est, axis conicae sectionis jam descriptae ad illius umbilico-
rum intervallum, ut axis ab 2A umbilicorum intervallum sh; &
propterea figura jam descripta similis est figurse ap b. Transit autem
haec figura per punctum P^ eo quod triangrulum P S H simile sit
triangulo psh; & quia V H aequatur ipsius axi & VS bisecatur
perpendiculariter a recta TRy tangit eadem rectam TR. Q.E.F.

L E M M A XVI.

A datis Inbtis punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas

quartim differenticc vcl dantur vel nullcc stint.

Cas. I. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z,
quod invenire oportet; ob datam differentiam linearum A Z, B Z^

LIBER PRIMUS.

71

locabitur punctum Z in hyperbola cujus umbilici sunt A & B, &
principalis axis differentia illa data. Sit axis tlle M N. Cape P M
ad MA ut est MN ad A B, Sc erecta P R perpendiculari ad A B,
demissaque Z R perpendiculari ad P R ; erit, ex natura hujus hyper-
bolK, Z R dA A Z xiX. est MN ad A B. Simili discursu punctum Z
locabitur in alia hyperbola, cujus umbilici sunt A, C Bl principalis
axis differentia inter AZ & CZ, ducique potest QS ipsi AC
perpendicularis, ad quam si ab hyperbolae hujus puncto quovis Z
demittatur normalis Z S, hsec fuerit a.d A Z ut est differentia inter
AZ&CZadAC. Dantur ergo rationes ]psa.rum Z R &. Z S ad
A Z, & idcirco datur earundem ZR
& ZS ratio ad invicem; ideoque si
rectae R P, SQ concurrant in T, &
agantur TZ & TA, figura TRZS
dabitur specte, & recta TZ in qua
punctum Z alicubi locatur, dabitur
positione. Dabitur etiam recta TA,
ut & angulus ATZ ; & ob datas
rationes ipsarum A Z ac TZ 2A Z S
dabitur earundem ratio ad invicem ;
& inde dabitur triangulum A TZ,
cujus vertex est punctum Z. Q.E.I.

Cas. 2. Si duae ex tribus lineis, puta AZ & BZ, sequantur, ita
age rectam TZ, ut bisecet rectam AB; dein qusere triangulum
A T Z ut supra.

Cas. 3. Si omnes tres sequantur, locabitur punctum Z in centro
circuli per puncta A, B, C transeuntis. Q. E. I.

Solvitur etiam hoc lemma problematicum per librum tactionum
Apolbnii a Vieta restitutum.

PROPOSITIO XXI. PROBLEMA XIII.

TraJ^ioriam circa dalum timbilicitm describere, qua transibit per

Puncta data & rectas Positione datas contingel.

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & inveniendus
sit umbilicus alter /f. Ad tangentem demitte perpendiculum ^ 7^ &
produc idem ad V, ut sit T Y aequalis S T, & erit YH aequalis axi

72

DE MOTU CORPORUM

principali. Junge SP, H P, & erit SP differentia inter IfP &

axem principalem, Hoc modo si dentur plures tangentes T^Ji, vel

plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem V/I, vel PH,

a dictis punctis V vel P ad umbilicum

I/ ductas, quffi vel sequantur axibus, vel

datis longitudinibus SP differuntab iis-

dem, atque ideo qua; vel sequantur sibi

invicem, vel datas habent differentias;

& inde, per lemma superius, datur um-

bilicus ille alter //. Habitis autem um-

bilicis una cum axis longitudine (quse vel est V// ; vel, si trajectoria

ellipsis est, P//+SP; sin hyperbola, P//—SP) habetur trajectoria.

Q. E. /.

Sckolium.

Ubi trajectoria est hyperbola, sub nomine hujus trajectoriae oppo-
sitam hyperbolam non comprehendo. Corpus enim pergendo in motu
suo in oppositam hyperbolam transire non potest

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta
B, C, D. Junctas B C, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC
ut^^ad SC, & FC ad FD ut ^Cad SD. Ad^/"ductam &
productam demitte normales SG, B //, inque G^S" infinite producta
cape t7^ ad y^ ^ & G^a ad (Z 5" ut est // B ad BS; & erit A vertex,
8c Aa axis principalis trajectoriae : qux, perinde ut GA major,
Ecqualis, vel minor
fuerit quam A S,
erit ellipsis, para-
bola vel hyperbola ;
puncto a in primo
casu cadente ad ean-
dem partem lines
GFcum puncto A;
in secundo casu ab-
eunte in infinitum ;
in tertio cadente ad
contrariam partem
lineje GF. Nam
si demittantur ad G^^perpendicula C/, D/C;ent /Cad //B \xtEC

LIBER PRIMUS.

73

ad EB, hoc est, ut SC ad SB ; & vicissim /C ad SC ut H B ad SB
sive \xt G A ad vS*-^. Et simili argumento probabitur esse K D zA
SD \n eadem ratione. Jacent ei^o puncta B, C, D in coni sectione
circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes, ab umbilico S ad
singula sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem
ad rectam G F demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem
tradit clarissimus geometra de la Hirey conicorum suorum lib. viii.
prop. XXV.

S E C T I O V.
Inveniio orbium ubi umbilicus neuier datur.

LEMMA XVII.

Si a data conica sectionis puncto quovis P ad trapezii alicujus
A B D C, in conica illa sectione inscripti^ latera quatuor infinite
producta A B, C D, A C, D B totidem recta P Q, P R, P S, P T
in daiis angulis ducantur, singulce ad singula: rectangulum
ductarum ad opposita duo latera P Q x P R, erit ad rectangulum
ductarum ad alia duo latera opposita P S x P T /« data ratione.

Cas. I. Ponamus primo lineas ad opposita latera ductas parallelas
esse alterutri reliquorum laterum, puta PQ & PR lateri A C, &
P S 2LC P T lateri A B. Sintque insuper latera duo ex oppositis,
puta A C & BDy sibi invicem parallela. Et recta, quae bisecat pa-
rallela illa latera, erit una ex diametris conicae sectionis, & bisecabit
etiam RQ. Sit O punctum in
quo JiQ bisecatur, & erit PO
ordinatim applicata ad diametrum
illam. Produc PO ad Tif, ut sit
OJC aequalis PO, & erit OK or-
dinatim applicata ad contrarias
partes diametri. Cum igitur puncta
A, By P & JC sint ad conicam
sectionem, & P K secet -^ ^ in
dato angulo, erit (per prop. 17,
19, 21 & 23 lib. III. conicorum

74

DE MOTU CORPORUM

Apollonii) rectangulum PQ K ■aA rectangulum A Q B\n data ratione.
Sed QK 8l P R aequales sunt, utpote aequalium OK, OP, 8i OQ.
OR differentiae, & inde etiam rectangula /'^A' & /*(3 x/^T? squa-
lia sunt ; atque ideo rectangulum P Qy. P R est ad rectangulum
A QB, hoc est ad rectangulum PSxP Tin data ratione. Q .£. D.

Cas. 2. Ponamus jam irapezii latera opposita A C &.S D non esse
parallela. Age Bd parallelam A C &. occurrentem tum rectae S T
in /, tum conica; sectioni in d. Junge Cd secantem PQ In r, &
ipsi P Q parallelam age D M
secantem Cd In Af & A B in JV.
Jam ob similia triangula B Tt.
DBN; est Bt seu PQ ad Tt
ut DNziNB. S\cSLRr est
a.dAQseuPS ut DMzd A N.
Ergo, ducendo antecedentes in
antecedentes & consequentes in
consequentes, ut rectangulum P Q
\n Rr est ad rectangulum P S \n
Ti, ita rectangulum N D M est

ad rectangulum ^ A''^?, & (per cas. i.) ita rectangulum PQ in Pr
est ad rectangulum P S \n P t, ac divisim ita rectangulum PQx
PR est ad rectangulum PSy.PT. Q. E. D.

Cas. 3- Ponamus denique lineas c
quatuor PQ. PR, P S, PT non
esse parallelas lateribus A C, A B,
sed ad ea utcunque inclinatas.
Earum vice age Pg. Pr parallelas
ipsi A C ; & Ps, Pt parallelas ipsi
A B ; & propter datos angulos trian-
gulorum PQq,PRr,PSs.P Tl.
dabuntur rationes P Q sA P g, P R
adPr,PS ad Ps.& P T ad Pt;
atque ideo rationes compositai PlJ

xPR ad PqxPr, & PSxPT^d PsxPt. Sed. per superius
demonstrata, ratio PqxPr ad PsxPt data est : ergo & ratio

PQxPR ad PSxPT

'. E. D.

LIBER PRIMUS.

75

LEMMA XVIII.

lisdetn podtisy si rectangulum ductarutn ad opposita duo latera trapezii
PQ X PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera
PS X P T in data ratione ; punctum P, a quo linece ducuntur^
tanget conicam sectionem circa trapezium descriptam.

Per puncta Ay By C^ D 81 aliquod infinitorum punctorum P,
puta /, concipe conicam sectionem describi : dico punctum P hanc
semper tangere. Si negas, junge AP secantem hanc conicam sec-
tionem alibi quam in P, si fieri potest, puta in b. Ergo si ab his
punctis/ & b ducantur in datis angulis ad latera trapezii rectae/ ^,
pr,pSypt & b ky bn, b/, bd; erit ut bkxbn ad b/y. bd itdL
(per lem. xvii.) pqxpr did psxpt^ & ita (per hypoth.) PQy.PR
ad PSy.PT. Est & propter similitudinem trapeziorum bk A/
P Q A S, ut bk ad ^y ita P Q ad P S. Quare, applicando ter-
minos prioris proportionis ad terminos correspondentes hujus, erit
bndidbd\xtPR2.dPT. Er-
go trapezia aequiangula Dnbd,
D RP T similia sunt, & eorum
diagonales Db, D P propterea
coincidunt. Incidit itaque b
in intersectionem rectarum AP,
D P ideoque coincidit cum
puncto P. Quare punctum
P, ubicunque sumatur, incidit
in assignatam conicam sectio-
nem. Q. E. D.

Corol. Hinc si rectae tres ^

PQ, PR, PS a puncto com- ^ "^ ^^

muni P ad alias totidem positione datas rectas AB, CDy A C, singulae
ad singulas, in datis angulis ducantur, sitque rectangulum sub duabus
ductis PQxPR ad quadratum tertiae PS \n data ratione : punc-
tum P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione conica
quae tangit lineas AB, CD m A Sl C; & contra. Nam coeat linea
B D cum linea A C, manente positione trium A B, C D, A C ; dein

76 DE AfOTU CORPORUM

coeat etiam linea /* 7" cum linea PS: & rectangulum PSxP T
evadet P S quad. rectjeque A B. C D, quae curvam in punctis A Bc B,
C 8i. D secabant, jam curvam in punctls Illis coeuntlbus non amplius
secare possunt, sed tantum tangent.

Schoiium.

Nomen conics sectionis in hoc lemmate late sumitur, ita ut sectio
tam rectilinea per verticem coni transiens. quam circularis basi pa-
rallela Includatur. Nam si punctum / incidlt in rectam, qua puncta
A Bl D vel C Sn B juiiguntur, conica sectlo verletur in geminas
rectas, quarum una est recta illa in quam punctum / incldit, &
altera est recta qua alta duo ex punctis quatuor junguntur. Si tra-
pezli anguli duo oppositi simul sumpti ^equentur duobus rectls, & lineae
quatuor P Q, P R, PS, P T ducantur ad latera ejus vel perpendi-
cularlter vel In angulis qulbusvls
aequalibus, sitque rectangulum
sub duabus ductis PQ x PR
Eequale rectangulo sub duabus
aliis P SxP T, sectio conlca
evadet clrculus. Idem fiet, si
lineae quatuor ducantur in an-
gulis quibusvis, & rectangulum
sub duabus ductis PQxPR
sit ad rectangulum sub allls
duabus PSxPT ut rectan-
gulum sub sinubus angulorum
S, T, in quibus duce ultlniai
PS. /'yducuntur. ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in
quibus du3B prima; P Q, P R ducuntur. Caeteris In casibus locus
puncti P erit aliqua trlum figurarum, quEe vulgo nomlnantur sectiones
conicse. Vice autem trapezii ABCD substitui potest quadrilatenim,
cujiis latera duo opjx)sita se mutuo instar diagonallum decussant
Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire ad
infinitum, eoque pacto latera figur^, qus ad puncta illa convergunt.
evadere parallela : quo in casu sectio conlca transiblt per cattera
puncta, & in plagas parallelanim abibit in infinltum.

UBER PRIMUS.

LEMMA XIX.

L Invenire puncttim P, a quo sz
recles qttahwr P Q, P R,
P S, P T ad alias totidem
positione datas rectas A B,
CD, AC, B D, singiilcB ad
singulas, in datis angulis
ducantur, rectaftgubim sttb
duabus dtictis, P Q x P R,
sit ad rectangulum sub aliis
duabns, P S x PT, in data
ratione.

Line^e A B, C D, ad quas recte diiae P Q. P R unuin rectangu-
llorum continentes ducuntur, convenJant cum aiiis duabus positione
Idatis lineis in punctis A. B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam
Iquamlibet A H, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas
loppositas B D, C D, nimirum B D in /f & C D in /, & ob datos
lomnes angulos figurse, dabuntur rationes PQ ad P A & PA ad
° S, ideoque ratio P Q ad P S. Auferendo hanc a data ratione P Q
\xPR ad PSy.PT, dabitur ratio P P ad P T, & addendo datas
Irationes P / ad P P, & P Tad P N dabitur ratJo P / ad P //, atque
lideo punctum P. Q.E.I.

Corol. i. Hinc etiam ad loci punctorum infinitorum P punctum

quodvis D tangens duci potest Nam chorda P D, ubi puncta P

D conveniunt, hoc est, ubi A // ducitur per punctum D, tan-

gens evadit. Quo in casu, ultima ratlo evanescentlum / P & P //

invenietur ut supra. Ipsi igitur A D duc parallelam C F, occurren-

tem B D m F, &. m ea ultima ratione sectam in E, & Z?£"tangens

, propterea quod C P Si. evanescens / // parallelie sunt, & in £"

E P similiter sectse-

CoroL 2. Hinc etiam locus punctorum omnium /' definiri potest

quodvis punctonim A, B, C, D, puta A, duc loci tangentem

( E, & per aliud quodvls punctum B duc tangenti parallelam B F

7»

DE MOTC CORPORCM

cxrcurrentem loco in F. Inven-
ietur autem punctum F per
lem. XIX- Biseca B F\n G, &
acta indefinita A G erit positio
diametri ad quam B G &, F G
ordinatim applicantur. Haec
A G occurrat loco in Hy &
erit A H diameter sive latus
transversum, ad quod latus rec-
tum erit wx, B G q ^A. A Gy.
G H. Si A G nusquam oc-
currit loco, linea A H existente
infinita, locus erit parabola, &

r

BGq

latus rectum ejus ad diametrum A G pertinens erit ^ ^ . Sin ea

alicubi occurrit, locus hyperbola erit, ubi puncta A 8i H sita sunt ad
easdem partes ipsius G: & ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte
angulus A G B rectus sit & insuper B G qiiad. sequale rectangulo
A G Hy quo in casu circulus habebitur.

Atque ita problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide
inccepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio
geometrica, qualem veteres quaerebant, in hoc corollario exhibetur.

LEMMA XX.

Si paraiielogrammum quodvis A S P Q angulis duobus oppositis A &
P tangit sectionem quamvis conicam in punctis \ & Y\ Cf lateribus
unius angulorum illorum infinite productis A Q, A S occurrit eidem
sectioni coniop in B dJ* C ; a punctis autem occursuum B df C ad
quintum quodvis sectionis coniar punctum D agantur rectce duct B D,
C D occurrentes alteris duobus infinite prodtutis parallelogrammi
lateribus P S, P Q /Vf T dj* R : erunt semper abscissiP laierum partes
P R df P T fl^ invicem in data ratione. Et contra^ si partes illce
abscissce sunt ad invicem in data rationCy punctum D tanget secticmem
conicam per puncta quatuor A, B, C, P transeuntcfu.

LIBER PRIMVS,

79

Cas. I. Jungantur B P, CP & a puncto Z? agantur rectse duae
DG, D Ey quarum prior D G ipsi A B parallela sit & occurrat P B,
PQy CA in H, /, G ; altera D E parallela sit ipsi A C & occurrat
PC, PSy A B in Fy K, E : & erit (per lem. xvii.) rectangulum
DExDE ad rectangulum D GxD I/ in ratione data. Sed est
PQsid DE (seu /Q) ut PB
ad I/By ideoque ut P T 2A
D//; & vicissim PQadPT
ut DE ad D//. Est & P/i
ad DF\xtRC2.d D C, ideo-
que ut {/G vel) PS3,d D G,
& vicissim P7? ad PS ut DF
ad Z? G; & conjunctis rationi-
bus fit rectangulum PQ x PR
ad rectangulum PS x PTvX
rectangulum D E x D F ad
rectangulum D GxD //y at-
que ideo in data ratione. Sed
dantur PQ & PS, & propterea ratio PR ad PT^datur. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si P R & P T ponantur in data ratione ad invicem,

tum simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE

xD F did rectangulum D GxD //in ratione data, ideoque punctum

D (per lem. xviii.) contingere conicam sectionem transeuntem per

puncta A, B, C, P. Q.E.D.

Corol. I. Hinc si agatur B C secans PQ in r, & in P /'capiatur
P t in ratione ad Pr quam habet P T ^d P R: erit Bt tangens
conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire
cum puncto B^ ita ut, chorda BD evanescente, BT tangens evadat;
& C D diC B /'coincident cum CB & B t.

Corol. 2. Et vice versa si Bt sit tangens, & ad quodvis conicae
sectionis punctum D conveniant BD, CD ; erit P R did P T\xt P r
ad P t. Et contra, si sit P R ad P T ut Pr ad P t: convenient,
B D, CZ? ad conicae sectionis punctum aliquod D.

Corol. 3. Conica sectio non secat conicam sectionem in punctis
pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae conicae
sectiones per quinque puncta A^B, C, P, O ; easque secet recta B D
in punctis Z?, d, & ipsam P Q secet recta C^ in q. Ergo P R est ad

8o -OA MOTU CORPORUM

P T \xt Pg ad P T; unde PR & P$ sibi invicem sequantur, contra
hypothesin.

LEMMA XXI.

Si rectts dua mobiles & infinita B M, C M per data puncta B, C
ceu polos ductee, concursu suo M describant tertiam positione dtUam
reciam M N ; (5r' alia dua infinita rectm B D, C D cum priori6us
duabus ad puncia ilia data B, C datos angulos M B D, M C D
efficientes ducantur: dico guod ka dtia BD, CD concursu suo D
describent secHonem conicam per puncta B, C transeuntem. Et tnct
versa, si recta B D, C D concursu sito D describant sectionem
conicam per data puncta B, C, A transeuntem, & stt angit/us
D B M semper agualis angulo dato A B C, angulusque D C M
semper aqualis angulo dato A C B : puncium M continget r^tem
positione daiam.

Nam in recta M N detur punctum N, & ubi punctum molule
M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P.

Junge CN, BN, C P, B P, & a puncto P age rectas P T, PR
occurrentes ipsis BD, CD in T &. R, 81. facientes angulum SP T

LIBER PRIMVS. 8l

aequalem angulo dato B N M, 8i. angulum CPR sequalem angu-
lo dato C N M. Cum ergo (ex hypothesi) Eequales sint anguH
MBD, NBP, ut & anguli MCD,NCP; aufer communes NBD
& NCD, & restabunt sequales NBMSlPB T, NCM & PCR:
ideoque triangfula N B M, PB /"similia sunt, ut & triangula N CM,
PCR. Quare P T tstzd NM ut P B zd N B, & P R ad N M ut
PC ad NC. Sunt autem puncta B, C, N, P immobilia. Ergo P T
Si P R datam habent rationem ad A' M, proindeque datam rationem
inter se ; atque ideo (per lem. xx.) punctum D, perpetuus rectarum
mobilium B T & CR concursus, contingit sectionem conicam, per
puncta B, C, P transeuntem. Q.E.D.

Et contra, si punctum mobile D contingat sectionem conicam
transeuntem per data puncta B, C, A, & sit angulus DB M semper
aequalis angulo dato A B C, 81 angulus /JCJ/semper jequalis an-
gulo dato A CB, & ubi punctum D incidit successive in duo qu;e-
vis sectionis puncta immobilia p, P, punctum mobile M incidat suc-
cessive in puncta duo immobilia n, N: per eadem «, N agatur

recta n N, & hsc erit locus perpetuus puncti ilHus mobilis M. Nam,
si fieri potest, versetur punctum M in Unea aliqua curva. Tanget
ergo punctum D sectionem conicam per puncta quinque B, C, A,
p, P transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam curvam.
Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem co-

82 ^E MOTU CORFOkUM

nicam per eadem quinque puncta By C, A, /, P, transeuntem, ubi
punctum M perpetuo tdngit lineam rectam. Ergo duse sectiones
conicae transibunt per eadem quinque puncta, contra corol 3. lemmat
XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est Q. E.D.

PROPOSITIO XXII. PROBLEMA XIV.
Trajectoriam per data quinqtu puncta describere.

Dentur puncta quinque A, B^ C, P, D. Ab eorum aliquo A ad
alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age rectas A B, A C,
hisque parallelas TPS, P RQ per punctum quartum P. Deinde a
polis duobus B, C age per punctum quintum D infinitas duas B D Ty
C R Dy novissime ductis TP S, P R Q (priorem priori & posteri-
orem posteriori) occurrentes in T & R. Denique de rectis P Z)
PR, acta recta tr ipsi 77? parallela, abscinde quasvis Pt, Pr ipsis P 7|
PR proportionales ; & si per earum terminos t, r & polos B, C actae
Bty Cr concurrant in cl, locabitur punctum illud cl in trajectoria quae-

sita. Nam punctum illud cl (per lem. xx.) versatur in cpnica sectione
per puncta quatuor A^ B, C, P transeunte ; & lineis Rr, Tt evanes-
centibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio conica
per puncta quinque AyByC, P, D. Q.E.D.

Idem aliter.

E punctis datis junge tria quaevis AyByC; & circum duo eorum
By C, ceu polos, rotando angulos magnitudine datos A BC, A CB,

LIBER PRIMUS.

83

applicentur crura B Ay CA, primo ad punctum Z?, deinde ad punc-
tum P, & notentur puncta M, N in quibus altera crura B L, CL
casu utroque se decussant Agatur recta infinita M N, & rotentur
anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut crurum B L,
C L vel B M, CM intersectio, quse jam sit m, incidat semper in
rectam illam infinitam MN ; 81 crurum B A, CA, vel BD, CD
intersectio, quae jam sit d, trajectoriam quaesitam P A D dB delinea-
bit. Nam punctum d (per lem. xxi.) continget sectionem conicam

per puncta B, C transeuntem ; & ubi punctum m accedit ad puncta
Z, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A D P.
Describetur itaque sectio conica transiens per puncta quinque A, B,
C,P,D. Q.E.F.

Corol. I. Hinc recta expedite duci potest, quae trajectoriam
qusesitam in puncto quovis dato B continget Accedat punctum d ad
punctum By & recta B d evadet tangens quaesita.

Coro/. 2. Unde etiam trajectoriarum centra, diametri & latera
recta inveniri possunt, ut in corollario secundo lemmatis xix.

Scholium.

Constructio prior evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea, si
opus est, producta capiendo Bp ad BP ut est P B 2id PT; &

84

DE MOTU CORPORUM

per / agendo rectam infinitam / e ipsi S P T parallelam, & in ea
capiendo semper / e aequalem Pr ; &. agendo rectas B e, C r con-
currentes in d, Nam cum sint P r ad P t, P R ad P T,p B 2A
P Byp e^A P t in eadem ratione ; erunt p e &. P r semper aequales.
Hac methodo puncta trajectoriae inveniuntur expeditissime, nisi mavis
curvam, ut in constructione secunda, describere mechanice.

PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA XV.

Trajectoriam describerey qtuB per data quatuor puncta transibitj &.

rectam continget positione datam.

Cas. I. Dentur tangens H By punctum contactus By & alia tria
puncta C, Dy P. Junge B C, Sc agendo P S parallelam rectae B H,
& P Q parallelam rectae B C, comple parallelogrammum B SPQ.
Age B D secantem S P m T, 8l C D secantem P Q m R. Denique,

agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, de P Q^ PS abscinde
P r, P t ipsis P R, P T proportionales respective ; & actarum C r,
Bt concursus d (per lem. xx.) incidet semper in trajectoriam
describendam.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus C B H circa polum B^
tum radius quilibet rectilineus & utrinque productus D C circa polum

C. Notentur puncta M^ N, in quibus anguli crus B C secat
radium illum, ubi crus alterum B H concurrit cum eodem radio in
punctis P Sl D. Deinde ad actam infinitam MN concurrant per-

LIBER PRIMUS.

85

petuo radius ille CP vel CD & anguli
crus BC^ & cruris alterius BI/ con-
cursus cum radio delineabit trajecto-
riam quaesitam.

Nam si in constructionibus proble-
matis superioris accedat punctum A ad
punctum B, lineae CA & CB coinci-
dent, & linea A B in ultimo suo situ
fiet tangens BI/; atque ideo construc-
tiones ibi positae evadent esedem cum
constructionibus hic descriptis. De-
lineabit igitur cruris BI/ concursus
cum radio sectionem conicam per
puncta C, Z?, P transeuntem, & rectam
-ff //" tangentem in puncto B. Q.E.F,

Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, Z?, P extra tangentem
HI sita. Junge bina lineis B D, CP concurrentibus in G^ tangen-
tique occurrentibus in H & I. Secetur tangens in A, ita ut sit
HA ad lA, ut est rectangulum sub media proportionali inter C G
& GP & media proportionali inter B H & H Dy ad rectangulum
sub media proportionali inter D G & G B &, media proportionali
inter P I 8l I C ; & erit A

punctum contactus. Nam si a p c

rectae PI parallela HX trajec-

toriam secet in punctis quibus-

vis X & V: erit (ex conicis)

punctum A ita locandum, ut

fuerit HA qiuid. 2A A I qtuid.

in ratione composita ex ratione

rectanguli XHY ad rectan-

g^Ium BHDy seu rectanguli

CG P 2id rectangulum D G By

& ex ratione rectanguli B HD

ad rectangulum P I C. Invento autem contactus puncto A, descri-

betur trajectoria ut in casu primo. Q. E. F.

Capi autem potest punctum A vel inter puncta H 81 1^ vel extra ;
& perinde trajectoria dupliciter describi.

DE MOTU CORPORU.M

PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA XVI.

Trajecloriam describere, picE transibit pcr data tria puncia, & *
diias positione datas continget.

Dentur tangentes H I, K L & puncta B, C, D. Per punctoi
duo qusvis B, D age rectam infinitam B D tangentibus occun
tem in punctis H, K. Deinde etiam per alia duo qu^evis C, D age
infinitam C D tangentibus occurrentem in punctis /, L. Actas ita
seca in y? & S, ut sit H R ad K R ut est media proportionalis tnter
B H 8i. HD ad mediam proportionalem inter B K &. KD; &
I S ad L S nX. est media proportionalls inter C I & I D ad mediam
proportionalem inter C L &. LD. Seca autem pro lubitu vel inler
puncta K Sc H, I 81. L, vel extra eadem ; dein age RS secantem
tangentes \n A 81. P, Sl erunt A & P puncta contactuum. Nam si
A & P supponantur esse puncta contactuum alicubi in tangentibus
sita; & per punctonim H, /, K, L quodvis /, in tangente altenibj
H I situm. agatur recta / Y tan-
genti alteri K L parallela, quie
occurrat curva: in A' & }' & in
ea sumatur I Z media propor-
tionalis inler IX & I Y : erit,
ex conicis. rcctanguluni X I Y
seu I Z quad. a(\ L P qtiad. ut
rectangulum C I D ad rectangu-
lum CLD,\<\ est (per constnic- /'

tionem) ut Sf guad. ad SL quad. ./

atque ideo l Z aA L P \\1 S J ad -y.-

S L. Jacent ergo puncta S. P, Z
in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G, erit {e.x conicis)
rectangulum A' / Y seu I Z quad. ad I A quad. vX G P q7tad. ad G A
qnad. idcoque I Z ad I A ut G P ad G A. jacent ergo puncta P, Z
& A in una recta. ideoque puncta S, P & A sunt in una recta. Et
eodem argumento probabitur quod puncta R, P Sc A sunt in una
recta. Jacent igitur puncta contactuum A & P in recta R S.
autem inventis, trajectoria describetur ut in casu primo problej
superioris. Q.E.F.

/

UBER PRIMUS.

87

In hac propositione, & casu secundo propositionis superioris con-
structiones eaedem sunt, sive recta X Y trajectoriam secet m X Sl Yy
sive non secet ; eseque non pendent ab hac sectione. Sed demon-
stratis constructionibus ubi recta illa trajectoriam secat, innotescunt
constructiones, ubi non secat ; iisque ultra demonstrandis brevitatis
gratia non immoror.

LEMMA XXII.
Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.

Transmutanda sit figura qusevis HGI. Ducantur pro lubitu
rectae duae parallelae A O, B L tertiam quamvis positione datam
A B secantes in -^ & ^, & a figurae puncto quovis G, ad rectam
A B ducatur quaevis G D, ipsi O A parallela. Deinde a puncto ali-
quo Oy in linea O A dato, ad punctum D ducatur recta O Z?, ipsi BL
occurrens in £/, & a punc-
to occursus erigatur recta
dg datum quemvis angulum
cum recta BL continens,
atque eam habens rationem
2A O d quam habet DG zA
OD; & erit g punctum
in figura nova Agi puncto
G respondens. Eadem ra-
tione puncta singula figurae
primae dabunt' puncta toti-
dem figurae novae. Concipe
igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figurae
primae, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia
figurae novae & eandem describet Distinctionis gratia nominemus
D G ordinatam primam, dg ordinatam novam ; A D abscissam
primam, a d abscissam novam ; O polum, O D radium abscindentem,
O A radium ordinatum primum, & Oa (quo parallelogrammum
O A B a completur) radium ordinatum novum.

Dico jam quod, si punctum G tangit rectam lineam positione da-
tam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam. Si
punctum G tangit conicam sectionem, punctum g tanget etiam
conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Por-

*■ ^ ■ --',«'

lllll-MIII

i'>. ■

^ri r:;;. -^ .zZ. Irt

z' V

x
•

?• ^ ^

• :

-, .'T.--' ^r ^j: X r iii , .-=

."£7

-_=.»,

<r f, <^ <^/ >.

\ A f t

1 - ■

"j^/'."^ ,-£ -*-

' 'x-j^J^.

■">!'- *-^'

^r .i'Xi^' <:/'.*^

I » «•. ... 9.»,. ^

O A / /i /i

%•", /f /y <Jc

o , ; X

•^ '

sr ;!

* - • *

■ ■■ • •■•*/ ^* -■ 0 m ' t m t p » 0 . ^ m * «««-

»11/ '*»«. • ^» r • ,

*-j7

T

1

y J « 4 « . '•

// // ''/ //^/. v i *>.',*::, ;;.
t/ r **/'!, ;#'// ;/i' f/ijfit. ;;/: ^: ,;:';

j//*Mf*i, ;r/' ;i'l';if. ii>>::j ////
/'/ //y/ ;i/| *|ij;j'. ffi ;i 'jw^jtiofi':
</ ' ii;!'!*!. I',t 'J' '!'• iril/>i'*

7« I |/lilf il;il'> 'lifll''(l'Jofiil/iJ'«^

lfi'l« I' f ifftft.it. r ////, ///; i;t ;r'jij:jt.I//;)': s':ounda, & A D^ DGvcl

ii .< < ft'|f fit %<'tti|;('f' :ifi riiiifl<'fft (iiffi<:i)sioiHjm numerum, & proptcrea

Ifft' .1 , 'ju.rv )iiiit' t;i (t, y^ l:ifi;Mifit, mjmI rjusd^rm ordinis anal^ticL

|)fMi j/f.f tifi ;i, (jiiod \\ n-rt;! ;ilirju:i tan^^at lineam cur\*ain in
li|Mif.i jitiiii.i; li.f ( fci t.L fodcin iiiodo ciim curva in figuram novaxn
h.iii'il.it.1 i.ifi^Mt liiKMin ilhiin < urv;iin in ii^^ura nova; & contra. Nam
M 1 111 v.i jHiiif t.i <jii.rvi*i (liio ;i<('('(liint ad invicem & coeunt in figrura
jMiiii.i, jiiitiil.i c.idcin HMnsl;it;i ;i('('c(l(*nt ;id invicem & coibunt in
li|Mii.i iiov.i ; .il(ju(* idco nct.r, (juilius h;rc puncta junguntur, simul
r\.iil«til (iiiv.iruin l.in)'rntrs in li>^ur;i utnujur.

( uuijMiiii jioss(*nl h.iruin .iss(M'tinuuin drinonstnitiones more magis

piiiiurMiiii. Si d |irr\it.lli ( oiViUlo.

LIBER PRIMUS. 89

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit recta-
rum, a quibus conflatur, intersectiones transferre, & per easdem in
figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare opor-
tet, transferenda sunt puncta, tangentes, & aliae rectse, quarum ope
curva linea definitur. Inservit autem hoc lemma solutioni difficiliorum
problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam
rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo
pro radio ordinato primo lineam quamvis rectam, quae per con-
cursum convergentium transit; idque quia concursus ille hoc pacto
abit in infinitum; lineae autem parallelae sunt, quae nusquam
concurrunt. Postquam autem problema solvitur in figura nova;
si per inversas operationes transmutetur haec figura in figuram
primam, habebitur solutio quaesita.

Utile est etiam hoc lemma in solutione solidorum problematum.
Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione
problema solvi potest, transmutare licet earum akerutram, si hyper-
bola sit vel parabola, in ellipsin : deinde ellipsis facile mutatur in
circulum. Recta item & sectio conica, in constructione planorum
problematum, vertuntur in rectam & circulum.

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA XVII.

Trajectoriant describerCy qucB per data duo puruta transibit, & rectas

tres continget positione datas.

Per concursum tangentium qua-
rumvis duarum cum se invicem, &
concursum tangentis tertiae cum recta
illa, quae per puncta duo data tran-
sit, age rectam infinitam ; eaque
adhibita pro radio ordinato primo,
transmutetur figura, per lemma su-
perius, in figuram novam. In hac
figura tangentes illae duae evadent

sibi invicem parallelae, & tangens ^ ,

tertia fiet parallela rectae per puncta

duo data transeunti. Sunto hi, kl tangentes illae duae parallelae, ik

DE MOTU CORPORUM

tangens tertia, Bl hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, 6,
per quae conlca sectio in hac figura nova transire debet, & parallelo-
grammum /i ikl complens. Secentur rectre hi, ik, kl in c, d, £, ita ut
sit hc ?i6. latus quadratum rectanguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est
summa rectarum ht & k / ad summam trium linearum, quarum prima
est recta ik, & alterae duae sunt latera quadrata rectangulorum aA6
Si. al6: & erunt c, d, e puncta contactuum. Etenlm, ex conicis, sunt
hc quadratum ad rectangulum ah6, & ic quadratum ad id quadratum,
Si ke quadratum ad ^rf quadratum, 8l el quadratum ad rectangulum
ald in eadem ratione ; & propterea
hc a.6. latus quadratum ipsius ahd,
ic ad id, ke ad kd, & el ad latus
quadratum ipsius alb sunt in sub-
duplicata illa ratione. & composite,
in data ratione omnium antecedentium
hi &. kl ad omnes consequentes, quae
sunt latus quadratum rectanguli ahd,
& recta ik, & latus quadratum rec-
tanguli alb. Habentur igjtur ex data
illa ratione puncta contactuum c, d, e.
in figura nova. Per inversas operationes lemmatis novissimi trans-
ferantur hsec puncta in figuram primam, & ibi (per prob. xr\'.)
describetur trajectoria. Q. E, F. Csterum perinde ut puncta a, b
jacent vel inter pimcta h, t, vel extra, debent puncta c, d, e vel inter
puncta h, i, k, l, capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit
Inter puncta h, l, & alterum extra, problema impossible est.

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA XVIII.

Trajectoriam dcscribere, ques transibit per punctum datum, & reetm
guatuor positione datas contingct.

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangeniium ad
intersectionem communem reliquarum duariim agatur recta infinita,
& eadem pro radio ordinato primo adhibita. transmutetur figura
(per lem. xxii.) in figuram novam, & tangentes bins, qu£e ad
radium ordinatum primum concurrebant, jam evadent parallelie. Siin-

LIBER PRIMUS,

91

to illae hi 81 kl^ik 81 hl continen-

tes parallelogrammum hikL Sit-

que/ punctum in hac nova figura

puncto in figura prima dato respon-

dens. Per figurae centrum O aga-

Xmx pqy & existente Oq sequali O py

erit q punctum alterum per quod

sectio conica in hac figura nova

transire debet Per lemmatis xxii.

operationem inversam transferatur

hoc punctum in fig^ram primam, ^

& ibi habebuntur puncta duo per quae trajectoria describenda est.

Per eadem vero describi potest trajectoria illa per problema xvii.

Q.E.F.

LEMMA XXII I.

Si rectcB duce positione datce A C, B D ^ data puncta A, B, terminentur,
datamque habeant rationem ad invicem^ & recta C D, qua puncta
indeterminata C, Yi junguntur^ secetur in ratiane data in K: dico
quod punctum K locabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectae A C, B D in ^, & in B E capiatur B G
ad ^ i? ut est B D ad ^ C, sitque FD semper aequalis datae E G ;
& erit ex constructione E C

ad G Dy hoc est, ad EF ut ^

ACad BDy ideoque in ratio-
ne data, & propterea dabitur
specie triangulum E F C
Secetur CFm L ut sit C L
ad C F \vi ratione C K ^d
C D ; & ob datam illam ra-
tionem, dabitur etiam specie
triangulum E F L ; proin-
deque punctum L locabitur
in recta EL positione data. Junge LK,&l similia erunt triangula
CLK, CFD; & ob datam FD&, datam rationem ZA' ad FD,

92

DE MOTU CORPORUM

dabitur LK. Huic sequalis
capiatur E H, &. erit semper
ELKH parallelogrammum.
Locatur igitur punctum K
in parallelogrammi illius la-
tere positione dato H K.
Q.E.D.

CoroL Ob datam specie
figuram E FL C, rectse tres
EF, EL&EC, id est, GD,
HK &E C, datas habent rationes ad invicem.

LEMMA XXIV.

Si redcB tres tangant quamcunque coni sectionemy quarum dua paral-
lelcB sint ac denttir positiom ; dico quod sectionis semidiameter htsce
dtuibus parallelay sit media proportionalis inter harum segmenta^
punctis contactuum & tangenti tertice interjecta.

Sunto A Fy GB parallelae duae coni sectionem A DB tangentes in
A & B; E F recta tertia coni sectionem tangens in /, & occurrens
prioribus tangentibus in F & G ; sitque C D semidiameter fig^rse
tangentibus parallela : dico
quod A F, CDy B G sunt
continue proportionales.

Nam si diametri con-
jugatae A B, D M tangenti
FG occurrant in E Sl H,
seque mutuo secent in C,
& compleatur parallelo-
grammum I K C L ; erit
ex natura sectionum con-
icarum ut ^ C ad CA ita
C-^ ad CZ, & ita divisim
EC-CA ad CA-CL

seu E A ad A L, & composite EA ad EA+A L seu EL ut £C
ad EC+CA seu EB; ideoque, ohsimilitudinem triangulorumiF-/^/;

\

\

LIBER PRIMUS,

93

ELI,ECH,EBG,AF^ALI\xt CH ad^a Est itidem, ex
natura sectionum conicarum, Z/seu CA^ad CZ? ut CD ad C H ;
atque ideo ex sequo perturbate A F ^A C D xiX, C D ^d B G, Q.E.D.

CoroL I. Hinc si tangentes duae F G, P Q tangentibus parallelis
AFy BG occurrant in F & G, P & Q, seque mutuo secent in O; erit
ex aequo perturbate A F a,d BQ ut A P sid B G, & divisim ut FP
ad G Q, atque ideo ut FO B,d O G.

Corol. 2. Unde etiam rectae duae P Gy FQ, per puncta P &, G,
F & Qy ductae, concurrent ad rectam A CB per centrum figurae &
puncta contactuum Ay B transeuntem.

LEMMA XXV.

Si parallelogrammi latera qtiattwr infinite producta tangant section-
em qtiamcunque conicam, & abscindantur ad tangentem quamvis
quintam; sumantur autem laterum quorumvis duorum coniermi-
norum aiscissce terminatce ad angulos oppositos parallelogrammi :
dico quod abscissa alterutra sit ad lafus illud a quo est abscissa^ ut
pars lateris alterius contermini inter punctum contactus & latus
tertium est ad abscissarum alteram.

Tangant parallelogrammi M L I K latera quatuor M L,I Ky K L,
MI sectionem conicam in AyBy C,D, & secet tangens quinta-F^

F M A I,

haec latera in F, Qy H &, E ; sumantur autem laterum MI, K I
abscissae M E, KQ, vel laterum K L, M L abscissae KH, MF:

94

DE MOTU CORPORUM

dJco quod sit M E ad MI ut BK ad KQ; & K H ad K.
AMzAMF. Na

r corolla

llarium primum lemmatis supenc
ME ad ^ / ut AM scu BK adBQ.Si componendo Af E ad J// ut
BKsdKQ. Q.E.D. Item A'// zA H L uX. B K s^u A M zd
AF,& dividendo K H a.A K L ut A ^/ad ^/^ (2. ^. £>.

Corol. r. Hinc si datur parallelogrammum I K L M, circa datam
sectionem conicam descriptum, dabltur rectangulum K Q 'X.M E, ut
& huic tcquale rectangxilum KHy.MF. ^quanturenim rectangula
illa ob similitudinem triangulorum K Q H, M F E.

Carol. 2. Et si sexta ducatur tangens e^ tangentibus ,
occurrens in {^ & e ; rcctangulum KQ x3f E lequabitur rectangulo
AV X Me,- eritque KQ ad Me ut A> ab AfE, & divisim ut Q^ ad E<:.

Corol. 3. Unde etiam si E q, ri? jungantur & bisecentur, & recta
per puncta bisectionum agatur, transibit hscc per centrum sectionis
conicx. Nam cum sit Qq ^A Eeut KQ atd Afe, transibit eadem
recta per medium omnium Eq, eQ, M K (per lem. xxiil) & medium
recta J/A*est centrum sectionis.

PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA XIX.
Trajectoriam descridere, gute recfas qvinque positime datas contingH.

Dentur positione tangentes ^ 5 tP, 5 C /^ GCD, F D E. EA.
Figurx quadrilatera; sub quatuor qulbusvis contentae A B F E dxat-
gonales A F, B E biscca in J/ & W, & (per corol. 3. ]em xxv.)
recta M N per puncta bisectionum acta transibit per centrum trajectD-

LIBER PRIMUS,

95

riae. Rursus figurae quadrilaterae B GDF, sub aliis quibusvis qua-
tuor tangentibus contentae, diagonales (ut ita dicam) B D, GF
biseca in P & ^: & recta PQ per puncta bisectionum acta tran-
sibit per centrum trajectoriae. Dabitur ergo centrum in concursu
bisecantium. Sit illud O, Tangenti cuivis B C parallelam age K L,
ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur,

& acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangentes
alias quasvis duas GC D, FD E m L & K. Per harum tangentium
non parallelarum CZ, FK cum parallelis CF, KL concursus C Sl K,
F Sl L age CK, FL concurrentes in R, & recta OR ducta & pro-
ducta secabit tangentes parallelas C/% KL in punctis contactuum.
Patet hoc per corol. 2. lem. xxiv. Eadem methodo invenire licet
alia contactuum puncta, & tum demum per construct prob. xiv.
trajectoriam describere. Q. E. F.

Scholium.

Problemata, ubi dantur trajectoriarum vel centra vel asymptoti,
includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangentibus
una cum centro, dantur alia totidem puncta aliaeque tangentes a
centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem
pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita
loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punc-

96 DE MOTU CORPORUM

lum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur m Asympto-
ton, atque constructiones problematum pr^ecedentium vertentur in
constructiones ubi Asymptotos datur.

Postquam trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos
ejus hac methodo. In constnictione & figura lemmatis xxl fac ut
angulorum mobilium PBN, P C N, crura B P. C P, quorum con-
cursu trajectoria describebatur, sint sibi Invicem parallela, eumque
servantia sttum revolvantur circa polos suos B, C in figura illa. Inte-
rea vero describant altera angulorum illorum crura C N. B N, con-
cursu suo K vel k. circulum BGKC. Sit circuU hujus centrum O.

\

\\

Ab hoc centro ad regulam M N, ad quam altera illa crura C N,
B N interea concurrebant, dum trajectoria describebatur, demitte
normalem O H circulo occurrentem in ^ & Z, Et ubi crura ilU
altera C K. B K concurrunt ad punctum illud K quod regulEe propius
est, crura prima C P, B P parallela enmt axi majori, & perpendicu-
laria minori ; & contrarium eveniet, si crura eadem concurrunt ad
punctum remotius L. Unde si detur trajectoris centrum, dabuntur
axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut A" //■ ad LH, & inde
facilc est trajectoriam specie datam per data quatuor puncta descri-
bere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B. tertium
dabit angulos mobiles, PCK, PBK; his autem datis describi potesl
circulus BGKC Tum ob datam specie trajectoriam, dabitur
ratio OH ad OK, ideoque ipsa O H. Centro O & intervallo OH

LIBER PRIMUS,

97

describe alium circulum, & recta, quae tangit hunc circulum, &
transit per concursum crurum CKy B K, ubi crura prima CP, B P
concumint ad quartum datum punctum, erit regula illa MN cujus
ope trajectoria describetur. Unde etiam vicissim trapezium specie
datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sec-
tione conica inscribi potest

Sunt & alia lemmata quorum ope trajectoriae specie datae, datis
punctis & tangentibus, describi possunt Ejus generis est quod, si
recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quae da-
tam coni sectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum
intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam coni sectionem
ejusdem speciei cum priore, atque axes habentem prioris axibus
parallelos. Sed propero ad magis utilia.

L E M M A XXVI.

Trianguli specte & magnttudine dati tres angulos ad rectas totidem
positione datcLSy qtue non sunt omnes parallelcey singulos ad singulas
ponere.

Dantur positione tres rectae infinitae A B^ A C, B C, & oportet
triangulum D E Fxtdi locare, ut angulus ejus D lineam A By angulus
E lineam A Cy & angulus F lineam B C tangat Super D Ey D F
&, E F describe tria circulorum segmenta D RE^ D G Fy E M F,
quae capiant angulos angulis B A Cy A B Cy A C B aequales
respqctive. Describantur autem haec segmenta ad eas partes linea-
rum D Ey D Fy E Fy ut literae DRED eodem ordine cum
literis BACBy literae DGFD eodem cum literis ABCAy
& literae EMFE eodem cum literis A CBA in orbem redeant;
deinde compleantur haec segmenta in circulos integros. Secent
circuli duo priores se mutuo in Gy sintque centra eorum P & Q.
Junctis G Py P Qy cape Ga^A A B ut est G^ P ad P (2» & centro Gy
intervallo G a describe circulum, qui secet circulum primum D G E
\vi a. Jung^tur tum aD secans circulum secundum DFG in by
tum aE secans circulum tertium E MFm c. Et jam licet figuram
A B Cdef constituere similem & aequalem figurae abc D E F. Quo
facto perficitur problema.

Agatur enim Fc ipsi a D occurrens in », & jungantuf aGy bG^

G

gS DE MOTV CORPORVM

Q G, Q D, P D. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo
C A B, & angulus a^^jequalis angulo A CB, ideoque triangulum
a « t triangulo ^ ^ C lequiangulum. Ergo angulus anc seu FnD
angulo A BC, ideoque angulo Fb D aequalis est ; & propterea

punctum n incidit in punctum 6. Porro angulus G P Q, qut dimi-
dius est anguli ad centrum GPD, aequalis est angulo ad circum-
ferentiam GaD; & angulus GQP, qui dimidius est anguli ad
centrum GQD, sequalis est complemento ad duos rectos anguli ad

LIBER PRIMUS,

99

circumferentiam GbD, ideoque aequalis angulo Gba; suntque
ideo triangula G P Q, G ab similia ; & G^ a est ad a b ut GP sid
P Q ; id est (ex constructione) ut G^ ^ ad ^ -5. -/Equantur itaque
ab & A B ; & propterea triangula abc, A B C, quae modo similia
esse probavimus, sunt etiam cequalia. Unde, cum tangant insuper
trianguli D E F anguli Z?, E, F trianguli abc latera ab, ac, b c
respective, compleri potest figura A B C d ef figurae abc D E F
similis & aequalis, atque eam complendo solvetur problema. Q. E. F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis
tribus positione datis interjacebunt Concipe triangulum D E F,
puncto D ad latus E F accedente, & lateribus D E, DFin directum
posids, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE rectis positione
datis A B, A C, & pars data D F rectis positione datis A B, B C
interponi debet ; & applicando constructionem praecedentem ad hunc
casum solvetur problema,

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA XX.

Trajectoriam specie & magnitudine datam describerCy cujus partes

datce rectis tribus positione datis interjcu;ebunt.

Describenda sit trajectoria, quae sit similis & aequalis lineae curvae
D E Ff quaeque a rectis tribus A B^ A C, B C positione datis, in

partes datis hujus partibus D E & E F similes & aequales secabitur.
Age rectas D Ey E F, D F, & trianguli hujus D EF pone an-
gulos Z?, E, F ad rectas illas positione datas (per lem. xxvi) dein
circa triangfulum describe trajectoriam curvae DEF similem &
sequalem. Q. E. F.

sz j/:ri ssjij^cjtrji

LEMMA XXVII

/^^ifrv

V*"-"

.V7V. nr.*k> an^uli ad rectas quaiuof
'j- pjrjlul^ suKt^ neque ad commwu

zS szK^Sas ctmszsUm/,

Denr^ r-?s:r:r.r rrrrat r^n::r .-i B C J /?. -/yxA c z: / quanim
pnr::2 >ece: >-rrj:r.ii=: ::: A. :er£in in -ff . & quartaxn in C; &de-
scnber.iu:r. si: —c-=j: .:=:•/ ^ :. cu->i s:t trapezio /^G ^/ slmik;
& cuius 3Lr.^-/-5 < 3r.^£? c2.:o /* scualis. tangat rectam ABC:
cjererique an^-Ii ^- :. :. C2::er!s ar.^-Iis datis G, I/. I sequales, tan-
gant ca::er:is lir.eo^ A P. S P. C E respective. Jungatur FH &
super FG. F H. FI cescrrrGr.r.:r toifdem circulonun segmenta

:>:

.\

J

-t

FS G, F T IL F y I : quorum primum F S G capiat anguluxn
aqualem angulo B A A secundum F TH capiat angulum aequalem
angulo C B D. ac tertium F l' I capiat angulum aequalem angulo
A CE. Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum
FG, FH, F I, ut literarum FSG F idem sit ordo circularis qui
literanim B A D B. utque litene F THF eodem orxline cum
literis CBDQ & literae FVI F eodem cum literis A CEA in
orbem redeant Compleantur segmenta ia circulos int^rrx^s, sitque

LIBER PRJMUS.

P centnim circuli primi FSG, & Q centrum secundl F T H,
Jungatur & utrinque producatur /'(J, & in ea capiatur^V? in ea
ratione ad P ^ quam habet j5 C ad A B. Capiatur autem Q R ^A
eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo atque ii-
terarum A, B, C: centroque R & intervallo ^ /^ describatur circulus
quartus FNc secans circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc
secans circulum primum in «, & secundum in b. Agantur a G,
6If, c /, Si figurae abcFG H I similis constitui potest fignra A B C
fgh i. Quo facto erit trapeziumy"^ k i illud ipsum, quod constituere
oportebat.

Secent enim circulj duo primi FSG, FTH se mutuo in K.
Jungantur P K. QK. RK, aK, b K, cK, & producatur QP ad L.
Anguli ad circumferentias FaK, FbK. FcK sunt semisses angu-
lorum FPK. FQK, FR K ad centra, ideoque angulonim illorum
dimidiis LPK.LQKLRK jequales. Est ergo figura PQRK
figur^ abcK requiangula & simiHs, & propterea ab est ad bc ut
PQa.dQR,id est, \xt A B ad B C. Angulis insuper FaG.FbH
Fcl !t.(\\iant\ir /A g,/B k,/C i, per constructionem. Ergo figurtc
abc FG H I figura similis A B C/gh i compleri potest. Quo facto
trapeziumy^A? constituetur simile trapezio F G H I, & angulis suis
/ g, h, i tanget rectas A B C, A D, B D, C E. Q. E. F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione
datis dato ordine interject^e, datam habebunt proportionem ad invicem.
Augeantur anguH FG H, G H I usque eo, ut rectse FG, G H, HI
in directum jaceant, & in hoc casu construendo problema ducetur
recta. /ghi, cujus partes /^, gh, ki, rectis quatuor positione datis
A B & A D, AD 8l B D, BD & CE interjectse, erunt ad invicem
ut linese FG, G H, H I, eundemque servabunt ordinem inter se.
Idem vero sic fit expeditius.

Producantur A B ad K, & B D ad L, ut sk B K ad A B ut HI
ad GH; &DL adBDut Glad FG; &jungatur j^Z occurrens
recttc CE in i. Producatur i L ad Jlf, ut sit L Af ad i L ut G H ad
HI, & agatur tum A/Q ipsi L B parallela. rectseque A D occunrens
in^, tum^?"secans A B, B D \n/, k. Dico factum.

Secet enim Mg rectam A B m Q, Sc A D rectam K L in S, &
agatur A P quas sit ipsi B D parallela & occurrat i L in P, & erunt
^^ad Lh (gi ad ki, MiadLi. G / ad H I, A K ad B K) &

\f,'J

I)h MOTU CORFORUJt

A /' iiM // // in i\w\i\m ratione. SecetnrZ^Z,

I< A in •"At\*'\x\ illa rationr:, & ob proportxonales
// /'. /'• /^' .V a/j /^ A ; r:rit. cx aequo, ut /'5' ad
/'y /):, a/l // A ; /fe mixtim. li L-RL ad Z>£-
a/l /; // // .V, f rl rst // /t' ad /? A ut yf /> ad -r
a/li'(A IJ vi/iv;im // /«' a/1 /iDnlBh^^Q
/'/ ///fi';frii/ fi/ir»/' linz-a // A r;ad^:m ratione secta
liri/M A / in d t^ //; id/r/Kjuc cst B R zA B £> isx.

^S atJ.
Bi: :a:AS^Z

:a:3

bj. £> ± JL ane

\K/

lc

M

f

ir

/// rsl ad />; ul /'// ad /'7/. Cum ij^^itur sit etiam^/ad >6/ ut J/i
ad A /*, id r',i, iii ^' / ad // /. \k\{cX lincas /^/, /i in^ & ^, G & H

siinililrr srrla?i rssr. (>. /f. /*'.

In conslnu li<»n«' rf»rolLirii hnjns postquam ducitur L A^secans CE
in /', pnMJncrrr licfi / /:' :id / '. nt sit /i V ad Ei ut FH ad H L &
an<M'c / 'y parallrlinn ipsi ///>. b-odcm recidit si centro /, intervallo
/ //, dcsirihalnr rinnlns strans li D \\\ X, & producatur iX ad K
ul sil / )* ii'<|nalis / /\ iS: ay;alnr i'/ ipsi B D parallela.

rrohlcinatis hnjns solntionrs alias irrcnnus & lVd//isius clim
t*xcoj.jilarnnt.

LIBER PRIMUS.

103

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA XXI.

Trajectoriam specie datam describere^ qtue a rectts quattior positione
datis in partes secabitur^ ordinCy specie & proportione datas.

Describenda sit trajectoria, quae similis sit lineae curvae FGHI^
& cujus partes, illius partibus FG, GH, H I similes & proportio-
nales, rectis AB&AD, AD&BD, BDSlCE positione datis,
prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis
recds FG, GH, H I, FI, describatur (per lem. xxvii) trapezium

fghi quod sit trapezio FGHI simile, & cujus anguH f,gyh,i
tangant rectas illas positione datas A By A D^ B D^ C E^ singuli
sing^las dicto ordine. Dein circa hoc trapezium describatur trajec-
toria curvae lineae FGHI consimilis.

Scholium,

Construi etiam potest hoc problema ut sequitur. Junctis FGy
GHy Hly FI produc G F dA Vy jungeque FHy I Gy & angulis
FGHy VFHidJi angulos CAKyDAL aequales. Concurrant AKy
A L cum recta B D m K 81 Ly 81 inde agantur K My LNy quarum
K M constituat angulum A KMa^quBlQm angulo GHIy sitque ad
AK ut est HI ad GH; 81 L N constituat angulum ALN aequalem
angulo FHIy sitque ad AL ut //'/ ad FH. Ducantur autem A K^
K My A Ly L N 2id eas partes linearum A Dy A Ky A Ly ut literae

I04

DE MOTU CORPORUM

CAKMC, ALKA, DALND eodem ordine cum Hteris FGHIF
in orbem redeant ; & acta M N occurrat rectae C E xn i. Fac an-
gulum i£ P sequakm angulo I G Fy sitque P E ad Ei ut FG ad
GI ; & per P agatur P Qf, quae cum recta ADE contineat angulum
PQE aequalem angulo FIG^ rectaeque A B occurrat in^ & jung^tur

fi. Agantur autem P E & PQ Sid eas partes linearum CE.PE^
ut literarum P EiP & PEQ P idem sit ordo circularis qui literanun
FGHIFy & si super linea /"^' eodem quoque literarum ordine con-
stituatur trapezium fghi trapezio FG H I simile, & circumscribatur
trajectoria specie data, solvetur problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum
in orbibus inventis determinemus.

SECTIO VI.
De inventione motuum in orbibus datis.

PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XXII.

Corporis in data trajectoria parabolica moti invenire locum ad ten^ms

assignatum.

Sit ^y umbilicus & A vertex principalis parabolae, sitque 4 AS x M
aequale areae parabolicae abscindendae APS, quae radio SP, vel post
excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus

j

LIBER PRIMUS, 105

ad verticem describenda est Innotescit
quantitas areae ilHus abscindendae ex tem-
piore ipsi proportionali. Biseca -^ ^S* in Gy
erigeque perpendiculum G^jyaequale 3 M,
& circulus centro J7, intervallo H S de-
scriptus secabit parabolam in loco quaesito
P. Nam, demissa ad axem perpendiculari
PO&dMCtdiPH, ^^tAGg+ GHq {=HPg

-A 0--A G: guad. + PO--GH: quad) a & s
=A0g+P0g-2 GA0^2 GHxP 0+A Gg+GHg. Unde
2GHxP0{^A0g+P0g-2 GA0)=A0g+iP0g. Pro

A Og scribe A Ox . ^; & applicatis terminis omnibus ad 3 P (9
ductisquein 2 AS.Het^ GHxAS {= i A OxPO+i A SxP O

D O

=areae APS. Sed GH ersit 3 M, & inde I GHx AS est 4 ^^ x M.
Ergo area abscissa APS aequalis est abscindendae 4.ASXM.
Q.E.D.

Corol. I. Hinc G H est ad A S, ut tempus quo corpus descripsit
arcum A P did tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A
& perpendiculum ad axem ab umbilico ^S* erectum.

Coro/. 2. Et circulo A SP per corpus motum P perpetuo transe-
unte, velocitas puncti H est ad velocitatem quam corpus habuit in
vertice A ut 3 ad 8 ; ideoque in ea etiam ratione est linea G H ad
lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab -^ ad P, ea cum
velocitate quam habuit in vertice A, describere posset

Corol. 3. Hinc etiam vice versa inveniri potest tempus quo corpus
descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium
ejus punctum erige perpendiculum rectae G H occurrens in H.

I06

DE MOTU CORPORUM

LEMMA XXVII r.

NvUa extatfigura ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit
per squationes nuntero temtinorum acditnensionumfinit^sgefuraHter
inveniri.

Intra ovalem detur punctum quodvis, clrca quod ceu polum re-
volvatur perpetuo linea recta. uniformi cum motu, & interea in
recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatque semper ea cum
velocitate, qux sit ut rect^ illius intra ovalem quadratum. Hoc
motu punctum illud describet spiralem g>Tis infinitis. Jam si are^e
ovalis a recla illa absciss^e portio per finitara a^quationem inveniri
potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a
polo, quae huic areEC proportionalis est, ideoque omnia spiralis puncta
per aequationem finitam inveniri possunt : & propterea rectie cu-
jusvis posittone datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest per
sequationem finitam, Atqui recta omnis infinite producta spiralem
secat in punctis numero infinitis, & a;quatio, qua intersectio aliqua
duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes
radicibus totidem, ideoque ascendit ad tot dimensiones quot sunt
intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis
duobus, Intersectio una non invenietur nisi per a;quationem duarum
dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam
duarum sectionum conicamm quatuor esse possunt intersectiones,
non potest aHqua earum generaliter inveniri nisi per asquationem
quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantun Nam si inter-
sectiones ills seorsim qua;rantur, quoniam eadem est omnium lex
& conditio. idem erlt calculus in casu unoquoque, & propterea ea-
dem semper conclusio, quae igitur debet omncs intersectiones simul
complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones
sectionum conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex
esse possunt, simut prodeunt per eequationes sex dimensionum,
& intersectlones duarum curvarum tertis potestatis, quia novem esse
possunt, simul prodeunt per ^equationes dimensionum novem. Id
nisi necessario fieret, reducere liceret problemata omnia solida ad
plana, & plusquam solida ad solida. Loquor hic de curvis potestate
irreducibiljbus. Nam si jequatio, per quam curva definitur. ad

LIBER PRIMUS.

inferiorem potestatem reduci possit : curva non erit unica, sed ex
duabus vel pluribus composita, quarum intersectiones per calculos
diversos seorsim inveniri possunt. Ad eundem modum Intersec-
tiones binEe rectarum & sectionum conicarum prodeunt semper per
Eequationes duarum dimensionum, ternffi rectarum & curvarum
irreducibilium tertis potestatis per Eequationes trium. quatemae
rectarum & cnrvarum irreducibilium quartas potestatis per ffiquatlones
dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo rects & spiralis
intersectiones numero infinitae, cum curva haec sit simplex & in curvas
plures irreducibilis, requirunt squationes numero dimensionum &
radicum infinitas, quibus intersectiones omnes possunt simul exhi-
beri. Est enlm eadem omnium lex & idem calculus. Nam si a polo
in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendicu-
lum illud una cum secante revolvatur circa polum, intersectlones
spiralis transibunt in se mutuo, queeque prima erat seu proxima, post
unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps :
nec interea mutabitur squatio nisi pro mutata magnitudine quanti-
tatum per quas positio secantls determinatur. Unde cuni quantitates
illse post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas,
Ecquatio redibit ad formam primam, ideoque una eademque exhibebit
intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas,
quibus omnes exhibcri possunt. Nequit ergo intersectio rectae &
spiralis per jequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla
extat ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem
sequationem generaliter exhiberi,

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis
describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probari
potest quod iongitudo perimetri nequit per finitam sequationem
generaliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor quEC non tangun-
tur a figuris conjugatls in infinitum pergentibus.

Corollarmm.
Hinc area ellipseos, quae radlo ab umbilico ad corpus mobile
ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem fini-
tam ; & propterea per descriptlonem curvanim geometrice rationalium
determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello quarum
puncta omnia per longltudines aequatlonibus definltas, id est, per

io8

DE MOTU CORPORUM

longitudinum rationes complicatas, determinari possunt ; caeterasque
(ut spirales, quadratrices, trochoides) geometrice irrationales. Nam
longitudines qu2e sunt vd non sunt ut numerus ad numerum
(quemadmodum in decimo elementorum) sunt arithmetice rationales
vel irrationales. Aream ig^itur ellipseos tempori proportionalem
abscindo per curvam geometrice irrationalem ut sequitur.

PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XXIII.

Corporis in data trajectoria elliptica moti invenire locum ad ten^us

assignatum.

EUipseos A P B sit A vertex principalis, •S' umbilicus, & O cen-
trum, sitque P corporis locus inveniendus. Produc O A zA G^ ut sit
^G^ ad OA ut OA ad OS. Erige perpendiculum GH^ centroque 0
& intervallo O G describe circulum GEF, & super regula G H^ ceu
fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem suum, &
interea puncto suo A describendo trochoidem ALI. Quo facto,
cape G K \ii ratione ad rotae perimetrum GE FG^ ut est tempus,

quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum A P^ ^A tempus
revolutionis unius in ellipsi. Erigatur perpendiculum K L occurrens
trochoidi in Z, & acta LP ipsi KG parallela occurret ellipsi in
corporis loco quaesito P.

Nam centro (9, intervallo OA describatur semicirculus AQB,
& arcui A Q occurrat LP s\ opus est producta in Q, jungantuique

LIBER PRIMUS.

109

SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ m F, &m eandem OQ de-
- mittatur perpendiculum SR. Area ^/'.S"est ut area ^ G^, id est,
ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut
differentia rectangulorum i OQ^AQ &J OQxSH, hoc est, ob
datam J OQ, ut differentia inter arcum A Q & rectam SF, ideoque
(cum eaedem sint datse rationes SJi ad sinum arcus AQ, OS ad OA,
OA ad OG, AQ zd GF, & divisim AQ-SR ad GF~%\wx
arcus AQ) ut GK differentia inter arcum G F8l sinum arcus A Q.
Q.F.D.

Sckoliunt.

Cseterum, cum difficilis sit hujus curvs descriptio, prsestat solu-
tionera vero proximam adhibere. Inveniatur tum angulus quidam
B, qui sit ad angulum graduum 57.29578, quem arcus radio sequalis
subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad ellipseos diametrum
A B ; tum etiam longitudo qusedam L, quse sit ad radium in eadem

ratione inverse. Quibus semel inventis, problema deinceps confit
per sequentem analysin. Per constructionem quamvis, vel utcunque
conjecturam faciendo, cognoscatur corporis locus P proximus vero
ejus loco/. Demissaque ad axem ellipseos ordinatim applicata P R,
ex proportione diametrorum ellipseos, dabitur circuli circumscripti
A Q B ordinatim applicata R Q, qua sinus est anguli AOQ ex-
istente AO radio, quseque ellipsin secat in P, Sufficit angulum illum
rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam
angiilus tempori proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est
tempus, quo corpus descripsit arcum Ap, ad tempus revolutionis
unius in ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus O ad

, ,o DE MOTU CORPORUM

angulum B, ut est sinus iste anguli AOQ ad radium, & angulus E
ad angulum N — -4 0Q-\- D, ut est longltudo L ad longitudinem ean-
dem L cosinu anguli AOQ diminutam, ubi angulus iste recto minor
est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum
B, ut est sinus anguli AOQ+E ad radium, tum angulus G ad
angulum N — AOQ-^^E+P ut est longitudo L ad long-itudmem
eandem cosinu anguH AOQ+U diminutam ubi angulus iste recto
minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad
angulum B, ut est sinus angull AOQ + E + Gad radium ; & angu-
lus I ad angulum N— ^O^ — E — G+H, ut est longitudo L ad
eandem longitudinem cosinu anguli AOQ+E + G diminutam, ubi

angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere Hcet
in in6nitum. Denique capiatur angulus A Oq xquaHs angulo A OQ

+ E + G 4- 1 + &c. Et ex cosinu ejus Or & ordinata pr, qua est ad
sinum ejus qr mX ellipseos a.\is minor ad axem majorem. habebitur
corporis locus correctus ^, Si quando angulus N— y^ O ^+ D n^-
tivus est, debet signum+ ipsius E ubique mutari in — , & signum

— in + . Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguH
^-AOQ-Y. + Y, & N-^C?^-E-G+H negativi pnxleunt.
Convergit autem serles infinita A OQ+Y. + G+\+ &c. quam celcr-
rime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad ter-
minum secundum E. Et fundatur calculus in hoc theoremate, quod
area A P S sit ut differentia inter arcum A Q & rectam ab umbilico
^ in radium OQ perpendiculariler demlssam.

Non dissimili calculo conficitur problema in hyperbola. Sit ejus
centrum O. vertex A, umbiHcus S & asymptotos O K. Cognoscatur

LIBER PRIMUS.

III

quantitas areae abscindendae tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat

conjectura de positione rectae SP, quae aream A P S abscindat verae

proximam. Jungatur O P, & 2Lh A & P B,d asymptoton agantur A/,

jP A!' asy mptoto alteri paral-

lelae, & per tabulam logarith-

morum dabitur area AIKP,

eique aequalis area OPAy

quae subducta de triangulo

0[P S relinquet aream ab-

scissam A PS. Applicando

areae abscindendae A & ab-

scissae A P S differentiam

duplam 2 APS—2 A vel

2 A — 2 A P S ^d lineam

SN, quae ab umbilico ^ in

tangentem TP perpendicularis est, orietur longitudo chordae PQ.

Inscribatur autem chorda illa P Q inter A & P,s\ area abscissa APS

major sit area abscindenda A, secus ad puncti P contrarias partes : &

punctum Q erit locus corporis accuratior. Et computatione repetita

invenietur idem accuratior in perpetuum.

Atque his calculis problema generaliter confit analytice. Verum
usibus astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur.
Existentibus A O, O B, O D semiaxibus ellipseos, & L ipsius latere
recto, ac D differentia inter semiaxem
minorem OD & lateris recti semissem
i L ; quaere tum angulum Y, cujus
sinus sit ad radium ut est rectangulum
sub differentia illa D, & semisumma a|
axium A 0+0 D 3id quadratum axis
mBjonsAB; tum angulum Z, cujus
sinus sit ad radium ut est duplum
rectangulum sub umbilicorum distantia
Slf & differentia illa D ad triplum quadratum semiaxis majoris AO.
His angulis semel inventis; locuscorporis sic deinceps determinabitur.
Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus B P descriptus
est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem; & angulum V,
primam medil motus aequationem, ad angulum Y, aequationem maxi-

DE MOTU CORPORUM

mam primam, ut est sinus dupU anguli T ad radium ; atque ang

X, jequationem secundam. ad angnlum Z, xquationem maximaia

secundam, ut est cubus sinus anguli T ab cubum radii. Angulorum

T, V. X vel summs T+X + V, si angulus T recto minor est^

differentiffi T + X — V, si is recto

major est rectisque duobus minor,

xqualem cape angulum BHP, motum

medium aquatum; & 5i H P occurrat

ellipsi in P, acta SP abscindet aream

B S P tempori proportionalem quam-

proxime. Hecc praxis satis expedita

videtur, propterea quod angulonim

perexiguorum V & X, in niinutis

secundis. si placet, positorum, 6guras duas tresve primas

Bufficit. Sed & satis accurata est ad theoriam planetarum. Nam in

orbe vel Martis ipsius, cujus ^equatio centri maxima est graduum

decem, error vix superabit minutum unum secundum. I nvento autem

angulo motus medii Eequati BHP, angulus veri motus li S P Si

distantia S P m promptu sunt per methodum notissimam.

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potesl
ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quie ad istiusmodi
motus spectant, pergo jam exponere.

SECTIO VII.
De eorpomm ascensu & descensii recHliiuo.

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XXIV.1
Posito quod vis cmtripela sit reciproce proportionaiis quadr^i
distanti£E locorum a centro, spatia definire qu(s corpus recta cadmd»
datis temporibus descrihit. ^^1

Cas. I. Si corpus non cadit perpendiculariter, describet id ^^|
corol. I. prop. xiii) seclionem aliquam conicam cujus umbiUcBS
congruit cum centro virium. Sit sectio illa conica A RPB & um-
bilicus ejus S. Et primo si figura ellipsis est; super hujus axe majore
AB describatur semicirculus A DB, &. per corpus decidens transeat
recta D P C perpendicularis ad axem ; actisque DS, PS ent area

LIBER PRIMUS.

113

ASD areae ASP, atque ideo etiam tempori
proportionalis. Manente axe A B minuatur
perpetuo latitudo ellipseos, & semper manebit
area A S D tempori proportionalis. Minuatur
latitudo illa in infinitum : & orbe A P B jam
coincidente cum axe A B Sl umbilico ^ cum
axis termino B, descendet corpus in recta A C,
& area A B D evadet tempori proportionalis.
Dabitur itaque spatium A C, quod corpus de
loco A perpendiculariter cadendo tempore dato
describit si modo tempori proportionalis capi-
atur area A B D, & a puncto D ad rectam A B
demittatur perpendicularis D C. Q, E. I.

Cas. 2. Si figura illa RP B hyperbola est, describatur ad eandem
diametrum principalem AB hyperbola rectan-
gula B E D: 81 quoniam areae CSPy CB/P,
SP/B sunt ad areas CSD, CBED, SDEB,
singulae ad singulas, in data ratione alitudi-
num CP, CD; & area SP/B proportionalis
est tempori quo corpus P movebitur per
arcum P/B ; erit etiam area SDE B eidem
tempori proportionalis. Minuatur latus rec-
tum hyperbolae RPB in infinitum manente
latere transverso, & coibit arcus PB cum
recta CB & umbilicus ^ cum vertice B & rec-
ta SD cum recta BD. Proinde area BDEB
proportionalis erit tempori quo corpus C recto
descensu describit lineam CB. Q. E. 1.

Cas. 3. Et simili argumento si figura
RP B parabola est, & eodem vertice prin-
cipali B describatur alia parabola B E Dy
quae semper maneat data, interea dum para-
bola prior, in cujus perimetro corpus P
movetur, diminuto & in'nihilum redacto ejus
latere recto, conveniat cum linea C B ; fiet
segmentum parabolicum B DEB proportionale tempori quo corpus
illud P vel C descendet ad centrum ^S* vel B. Q. E. I.

H

A.

114

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA IX.

Positis jam inveniis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco qtwvis

Q est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum

describentisy in subduplicata ratione quam A C, distantia corporis

a circuli vel hyperbolce rectangulce vertice ulteriore A, Habet ad

figurce semidiametrum principalem 1 A B.

Bisecetur A B, communis utriusque figurae RPB, DEB dia-
meter, m O ; & agatur recta P T, quae tangat figuram R P B in P,
atque etiam secet communem illam diametrum A B (si opus est

productam) in T; sitque vSy ad hanc rectam, & ^^ ad hanc
diametrum perpendicularis, atque figurae R P B latus rectum ponatur
L. Constat per corol. ix. prop. xvi. quod corporis in linea RP B
circa centrum .S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem
corporis intervallo S P circa idem centrum circulum describentis in

LIBER PRIMUS,

115

subdupHcata ratione rectanguH i L x SP ad ^S* K quadratum. Est au-
tem ex conicis A CB ad CPq ut 2 ^ (9 ad L, ideoque ^

aequale L. Ergo velocitates illae sunt ad invicem in subduplicata

. CPqy.AOy.SP ^ ^^, , ^ .. ^^ ,

ratione a r R ad o r qtiad. rorro ex conicis est C C/ ad

BO ut B O 3id TO, & composite vel divisim ut C^ ad ^ Z". Unde
vel dividendo vel componendo fit B O—vel + CO ad B O ut C Z" ad

CPqyAOySP

ACB

B T, id est, A C Sid A O ut CP ad BQ; indeque

. ^ BQqyACySP ... ^ . .... .

aequale est —^ — ^~n — WT^ ' jVlinuatur jam m mnnitum ngurae

RP B latitudo C P, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punc-
tumque 6* cum puncto B, & linea S P cum linea B C, lineaque ^S* Y
cum linea B Q ; 8l corporis jam recta descendentis in linea CB
velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B intervallo B C circulum

j ., . . 1 j r . .. . . BQqyACySP , ^ i^
descnbentis, m subduphcata ratione ipsius -j-^ — ^-^ — ad o r ^

hoc est (neglectis aequahtatis rationibus SP ad BC & BQq ad SVq)
in subdupHcata ratione A C did A O sive i A B. Q. E. D.

Corol. I. Punctis B %l S coeuntibus, fit ZCad TSutAC^dA O.

Corol. 2. Corpus ad datam a centro distantiam in circulo quovis
revolvens, motu suo sursum verso ascendet ad duplam suam a
centro distantiam.

PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA X.

St figura B E D parabola esi, dico
qtwd corporis cadentis velocitas
in loco quovis C cequalis est velo-
citati qua corpus centro B dimidio
intervalli sui B C circulum uni-
/ormiter describere potest.

Nam corporis parabolam RP B
circa centrum ^ describentis voloci-
tas in loco quovis P (per corol. vii.

ii6

DE MOTU CORPORUM

prop. xvi) cequalis est velocitati
corporis dimidio intervalli SP qvc-
culum circa idem centrum S unifor-
miter describentis. Minuatur pa-
rabolae latitudo CP in infinitum
eo, ut arcus parabolicus PfB cum
recta C B, centrum S cum vertice
B, & intervallum SP cum intervallo
B C coincidat, & constabit propo-
sitio. Q. E. D.

PROPOSITIO XXXV. THEOREMA XI.

lisdem posiiis, dico quod area figum D E S, radio indefinito S D
descripta, a^qualis sii arees quam corpus, radio dimidium iateris
recti figitrs D E S tBquaiUe, circa centrum S uniformiter gyrando,
eodem tempore describere potest.

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineolam
Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformiter in
circulo O Kk circa centrum ^■gyrando, arcum Kk describere. Eri-
gantur perpendicula C D, cd occurrentia figune D ES in D, d.
Jungantur ,5"Z>, ^^i/, ^A", ^^ & ducatur /?*)? axi ^ ^ occurrens in T,
& ad eam demittatur perpendiculum .S" Y.

Cas. I . Jam si figura D E S circulus est vel hyperbola rectangula,
bisecetur ejus transversa diameter A S Xii O, & erit S O dimidium
lateris recti. Et quoniam est T^Cad TD ut Cc ad Dd, & TD ad
TS ut CDadSy, erit ex ffiquo rCad TS utCDx Cca^dSVx Dd.
Sed (per corol. r. prop. xxxiii) est TC ad TS \it A C a.d A O, puta
si in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimae.
Ei^o ^ C est ad AO seu SK ut CDxCc ad 6" VxDd. Porro
corporis descendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis cir-
culum intervallo SC circa centrum S describentis in subduplicata
ratione A C ad A O vel SK (per prop. xxxiii). Et hsec velocitas ad
velocitatem corporis describentis circulum OKk in subdupHcata
ratione SK ad SC (per corol. vi prop. iv) & ex sequo velocitas
prima ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum K k in subduplicata
ratione .4 C ad .S C id est in ratione A Cad C D. Quare est CD x
Cc «quale A CxKk, & propterea ^ C ad SK ut A CxKk ad

LIBER PRIMUS.

117

SYxDd, indeque SKxKk aquale SYxDd, & i SKxKk
aequale i SYxDd, id tst area K S k aequalis areae S Dd. Singulis

A

igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulae KSk,
& SDd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in
infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per corollarium
lemmatis iv) areae totae simul genitae sunt semper aequales. Q. E. D.

Cas. 2. Quod si figura
D E S parabola sit, invenie-
tur esse ut supra CDxCc
^dSYxDdMt TC^d TS,
hoc est ut 2 ad i , ideoque t
C Dx C c aequale esse \ S Y
xD d. Sed corporis caden-
tis velocitas in C aequalis est
velocitati qua circulus inter-
vallo \ S C uniformiter des-
cribi possit (per prop. xxxiv).
Et haec velocitas ad velocita-
tem qua circulus radio S K
describi possit, hoc est, lineola
C^ ad arcum K k (per corol.

ii8

DE MOTU CORPORUM

VI. prop. iv) est in subdupHcata ratione SK 2A\ SC/vdi est, in ratione
S K ^Ak C D. Quare est ^ SKx Kk aequale \ CD x Cc^ ideoque
aequale \ SYxDdy hoc est, area KSk aequalis areae SDd^ ut
supra. Q. E, D.

PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XXV

Corporis de loco dato A cadentis detemiimre tenipora a

desccnsiis.

Super diametro A S, distantia corporis a centro sub
initio, describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem
semicirculum O K H circa centrum ^S*. De corporis
loco quovis C erige ordinatim applicatam C D.
Junge SD, & areae A SD aequalem constitue sectorem
OSK. Patet per prop. xxxv quod corpus cadendo
describet spatium A C eodem tempore quo corpus
aliud, uniformiter circa centrum ^ gyrando, describere
potest arcum O K. Q. E. F.

PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XXVI.

Corporis de loco dato sursinn vel deorsum projecti definire tempora

asccnsus vel descensus.

Exeat corpus de loco dato G secundum lineam G S cum velocitate

quacunque.

y^

,..-J —

H S*

In dupHcata ratione hujus velocitatis ad uniformem in

LIBER PRIMUS, 1 1 9

circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum ^ G circa cen-
trum ^9 revolvi pbsset, cape G A ^'dik A S, Si ratio illa est numeri
binarii ad unitatem, punctum A infinite distat, quo casu parabola
vertice S^ axe ^S G, latere quovis recto describenda est. Patet- hoc
per prop. xxxiv. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad i ,
priore casu circulus, posteriore hyperbola rectangula super diametro
S A describi debet. Patet per prop. xxxiii. Tum centro S, inter-
vallo aequante dimidium lateris recti, describatur circulus H kK, &
ad corporis descendentis vel ascendentis locum G, & locum alium
quemvis C, erigantur perpendicula G I^ C D occurrentia conicae
sectioni vel circulo in / ac D. Dein junctis S I, S D, fiant segmen-
tis SEIS, SEDS sectores HSK, HSk aequales, & per prop. xxxv
corpus G describet spatium G C eodem tempore quo corpus K de-
scribere potest arcum K k, Q. E. F.

PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XII.

Posito quod vis centripeta proportionalis sit altittidini seu distantitB
locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia
descripta sunt arcubuSy arcuumque sinibus rectis & sinibus versis
respective proportionalia.

Cadat corpus de loco quovis A secundum
rectam A S; & centro virium ^S* intervallo
A Sy describatur circuli quadrans A E, sitque
C D sinus rectus arcUs cujusvis A D ; 8l cor-
pus Ay tempore A D, cadendo describit spa-
tium A C, inque loco C acquiret velocitatem
CD.

Demonstratur eodem modo ex propositione
x, quo propositio xxxii ex propositione xi demonstrata fuit.

Corol. !• Hinc aequalia sunt tempora, quibus corpus unum de loco
A cadendo pervenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo de-
scribit arcum quadrantalem A D E.

Corol. 2. Proinde sequalia sunt tempora omnia quibus corpora de
locis quibusvis ad usque centrum cadunt Nam revolventium tem-
pora omnia periodica (per corol. iii. prop. iv) aequantur.

I20

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XXVII.

Posita cujtiscunqtie generis vi centripetay & concessis figurarum
curvilinearum quadraturisy requiritur corporis recta ascendentis
vel descoidentis ttwi vclocitas in locis singulisy tum tempus quo corpus
ad loctim quemvis perveniet : Et contra.

De loco quovis A in recta A D E C cadat corpus E^ deque loco
ejus E erigatur semper perpendicularis E G, vi centripetae in loco
illo ad centrum C tendenti pro-
portionalis : Sitque B F G linea
curva quam punctum G perpetuo
tangit Coincidat autem E G ipso
motus initio cum perpendiculari
A B^ & erit corporis velocitas
in loco quovis E ut recta, quae
potest aream curvilineam ABGE.
Q. E. I.

In E G capiatur E M rectae,
quae potest aream ABGE, reciproce
proportionalis, & sit V L M linea
cur\^a, quam punctum M perpetuo
tangit, & cujus asymptotos est recta
AB producta; & erit tempus, quo
corpus cadendo describit lineam
AE, ut area curvilinea ABTVME.
Q. E. I.

Etenim in recta A E capiatur
linea quam minima DE datai longi-
tudinis, sitque D L F locus lineae

EMG, ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut recta,
qua: potest aream yl B G E, sit ut descendentis velocitas : erit area
ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in /7 &
E, scribantur V & V + I, erit area A BFD ut V V, &area A BGE
ut V V + 2 VI + I I,&divisim area Z?/^6^^ut 2 VI + I I, ideoque

LIBER PRIMUS, 1 2 1

DFGE 2 VI + II ., , . .

— ^ ^ ut j^-=, — , id est, si primae quantitatum nascentium

D E D E

rationes sumantur, longitudo D F vX quantitas ^ , ideoque etiam

D E

ut quantitatis hujus dimidium * Est autem tempus, quo corpus

D E

cadendo describit lineolam D Ey ut lineola illa directe & velocitas

V inverse, estque vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus

I X V

inverse, ideoque si primae nascentium rationes sumantur, ut ^ _,,

D jfe

hoc est, ut longitudo D F. Ergo vis ipsi D Fw^\ E G proportionalis

facit ut corpus ea cum velocitate descendat, quae sit ut recta quae

potest aream A B GE, Q. E. D.

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola DE
describatur, sit ut velocitas inverse, ideoque inverse ut linea recta quae
potest aream A B FD ; sitque D Z, atque ideo area nascens
D L MEy ut eadem linea recta inverse : erit tempus ut area DLME,
& summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est
(per corol. lem. iv) tempus totum quo linea A E describitur ut area
tota A T VME. Q. E. D.

Corol. I. Si P sit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente

aliqua uniformi vi centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas)

velocitatem acquirat in loco D sequalem velocitati, quam corpus aliud

vi quacunque cadens acquisivit eodem loco Z?, & in perpendiculari

D F capiatur D R, quae sit ad DF \xt vis illa uniformis ad vim

alteram in loco /?, & compleatur rectangulum PD R Q, eique aequalis

abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum

cecidit. Namque completo rectangulo DRSEy cum sit area

A BFD ad aream DFGE ut V V ad 2 V I, ideoque ut ^ V ad I,

id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis

vi inaequabili cadentis ; & similiter area PQ RD ad aream D RS E

ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis

uniformi vi cadentis ; sintque incrementa illa (ob aequalitatem tem-

porum nascentium) ut vires generatrices, id est, ut ordinatim applicatae

D Fy D Ry ideoque ut areae nascentes D FGE, DR SE ; erunt ex

aequo areae totae A B FDy P Q RD ad invicem ut semisses totarum

velocitatum, & propterea, ob aequalitatem velocitatum, aequantur.

122 DE MOTU CGRPOR UM

Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocunque D data
cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis
centripeta;, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e. erigendo
ordinalam e g, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco
D ut est recta, quse potest rectan-
gulum P Q R D area curvilinea
D Fge vel auctum, si locus e est
loco D inferior, vel diminutum, si
is superior est, ad rectam quze po-
test rectangulum solum P Q R D.

Corol. 3. Tempus quoque inno-
tescet erigendo ordinatam em reci-
proce proportionalem lateri quadra-
to ex PQRD+\r&\-DFge, &
capiendo tempus quo corpus de-
scripsit lineam D e ad tempus quo
corpus alterum vi uniformi cecidit
a P & cadendo pervenit ad D, ut
area curvilinea D Lme ad rectan-
gulum 2 PD X D L. Namque
tempus quo corpus vi uniformi des-
cendens descripsit lineam PD est
ad tempus quo corpus idem descrip-
sit lineam P E in subduplicata
ratione P D ad P E,\A est (lineola
D E ]a.m\a.m nascente) in ratione P D ad P D-\-\ D E seu 1 P D 2A
2 P D + D E, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit
lineolam DE ut 2 PD ad DE, ideoque ut rectangulum 2 PD*
DL ad aream D L M E ; estque tempus quo corpus utnimque
descripsit lineolam /?£" ad tempus quo corpus altenim inxquabili
motu descripsit lineani De. ut area DLM E ad aream DLmt.h
ex aequo tempus primum ad tempus ukimum ut rectangulum 2 PD^
D L sA aream D L m e.

LIBER PRIMUS.

123

SECTIO VIII.

De inventione orbium in quibus corpora viribus quibuscunque centri-

petis agitata revolvuntur.

PROPOSITIO XL. THEOREMA XIII.

Si corpusy cogente vi quacunque centripetay moveatur utcunque, &
corpus aliud recta ascendat vel descendaty sintque eorum velocitates in
aliquo cBqualium altitudinum casu cequaleSj velocitates eorum in
omnibus cequalibus altitudinibus erunt cequales.

Descendat corpus aliquod ab A per Z?, E^ ad centrum C &
moveatur corpus aliud a Kin linea curva V I K k. Centro Cinter-
vallis quibusvis describantur circuli concentrici Z? /, E K rectae
A C \n D ^ Ey curvaeque VI K in I &, K occurren-
tes. Jungatur / C occurrens ipsi K E m N ; & in
/ K demittatur perpendiculum JV T ; sitque circum-
ferentiarum circulorum intervallum D E vel I N quam
minimum, & habeant corpora in Z? & / velocitates
sequales. Quoniam distantiae CD^ CI sequantur, erunt
vires centripetae in D & I aequales. Exponantur hae
vires per aequales lineolas D Ey I N ; & si vis una
IN (per legum corol. 2) resolvatur in duas N T &
I Ty vis N Ty agendo secundum lineam N T corporis
cursui / TK perpendicularem, nil mutabit velocitatem
corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo cor-
pus a cursu rectilineo, facietque ipsum de orbis tan- j^
gente perpetuo deflectere, inque via curvilinea / TK k
progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota
consumetur : vis autem altera / Z*, secundum corporis
cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam mini-
mo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde
corporum in Z? & / accelerationes aequalibus temporibus factae (si

124

DE MOTV CORPORUM

sumantur Hnearum nascentium D E, I N, I K, I T,
N T rationes primje) sunt ut linea DE, I T -. tem-
poribus autem in^qualibus ut Iine:e illze & tempora
conjunctim. Tempora autem quibus DE & I K
describuntur, ob Eequalitatem velocitatum sunt ut
vise descriptas D E & / A", ideoque acceleratio-
nes in cursu corporum per Hneas D E 8c /A", sunt
ut DE 8i.IT, DE & I K conjunctim, id est ut
DE guad. & /Tx IK rcctangnhim. Sed rectangulitm
JTy.IK aequale est IN quadrato,\ioz est, aquale
D E guad. & propterea accelerationes in transitu cor-
porum a D & / 3.d E & K eequales generantur.
j^quales igitur sunt corporum velocltates in £ &K: ■
& eodem argumento semper reperientur aequales in
subsequentibus aequalibus distantiis. Q. E.D.

Sed & eodem argumento corpora Eequivelocia & ffiqualiter a cen-
tro distantia, in ascensu ad sequales distantias asquditer retardabun-
tur. Q. E. D.

Corol. I. Hinc si corpus vel oscilletur pendens a filo, vel impe-
dimento quovis poHtissimo & perfecte lubrico cogatur in linea cur-
va moveri, & corpus aliiid recta ascendat vel descendat, sinique
velocitates eorum in eadem quacunque altitudine ?equales : erunt
velocitates eorum in aliis quibuscunque aequalibus altitudinibus
Ecquales. Namque corporis penduli filo vel impedimento vasis abso-
lute lubrici idem pr^statur quod vi transversa N T. Corpus eo
non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogltur de cursu rec-
tilineo discedere.

Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia.
ad quam corpus ve! osclllans vel in trajectoria quacunque revolvcns,
deque quovis trajectori^ puncto, ea quam ibi habet velocitate suf-
sum projectum ascendere possit ; sitque quantitas A distantia cor-
poris a centro in alio quovis orbitar puncto, & vis centripeta sem-
per sit ut ipsius A dignitas qu;eHbet A""', cujus index n — l cst
numerus quilibet « unitate diminutus ; velocitas corporis in omnl
altitudine A erit ut ^ P" — A", atque ideo datur. Namque velodtas
recta ascendentis ac descendentis {per prop. xxxix) est jn hac ipsa

ratione.

4

LIBER PRIMUS.

125

PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXVIII.

Posita cujuscunque generis vi centripeta & concessis figurarum curvi-
linearum quadraturisy requiruntur tum trajectorice in quibus
corpora moveduntury tum tempora motuum in trajectoriis inventis.

Tendat vis quselibet ad centrum C & invenienda sit trajectoria
V I K k. Detur circulus V R centro C intervallo quovis C V de-
scriptus, centroque eodem describantur alii quivis circuli I Dy K E
trajectoriam secantes m I & K rectamque C V in D & £. Age
tum rectam C N I X secantem circulos K E, V R in N & X, tum
rectam CKV occurrentem circulo J^R in V. Sint autem puncta
/ & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per / & K

A

ad Jk; sitque punctum A locus ille de quo corpus aliud cadere
debet, ut in loco D velocitatem acquirat sequalem velocitati corporis
prioris in /. Et stantibus quai in propositione xxxix, lineola / K,
dato tempore quam minimo descripta, erit ut velocitas, atque ideo
ut recta quae potest aream AB FD, & triangulum /CK tempori
proportionale dabitur, ideoque K// erit reciproce ut altitudo /C,
id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo / C noitiinetur A, ut

Q

Q

^. Hanc quantitatem ~ nominemus Z, & ponamus eam esse mag-

4 T

/ t

y y . y / '^•/.''"•1/'.' :-j,2.i. - .

A -•. ^V//r/-/^-ZZ

'. / . /

/ // / ' » '. ,, '.*.,r y ". V .' /y ^ /> /- ic;-,U

^ / / ^ x*:' y//////

;/ /. .;:!':'. r'r.r/:r.t: ve. & describanrj" curvx

/ / / ./// // /' h 7. Z
!./,> 9 /t/, /// /j i,, , j, jf,/t;, >i^ < [/irrf/^rt^io tan^jnt : deque puncto T
«/1 ;.^' irr, // f ' rij/;it'ir i/ri/^Tri^lk.ilum ^a abscindens areas curvi-
\iu' I . l' lihn, V In n^ h *ri;/aritijr ctiam ordinats -fr, ^ji": quo-
iHiiM r''i.iri;^.j|Hffi /f/^//N'j'M />^^.?/f sequale est dimidio rectan-
\tnU /\ / /; // VII fri;iri;/iilo / CK ; Sc rcctangulum Z>rx/A^scu
/^/ • /' .i'|iMli i';t ilitniflio n!c:t;m^/ii]i KA" x A" C seu triangulo
H ^ J', liof iJii. f|u«ifii;iin ;in;irimi V Dba, VIC aequales semper

LIBER PRIMVS.

127

sunt nascentes particulae DbzE, I C K, &. arearum VDcUy VCX
aequales semper sunt nascentes particulae DcxE, X C V, erit area
genita V Dda aequalis areae genitae V I C, ideoque tempori propor-
tionalis, & area genita V D ca aequalis sectori genito V C X. Dato
igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur
area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo
CD vel C/; & area VD ca, eique aequalis sector V C X una cum
ejus angulo V C L Datis autem angulo V C I & altitudine C/ datur
locus /, in quo corpus completo illo tempore reperietur. Q. E. /.

Corol. I. Hinc maximae minimaeque corporum altitudines, id est,
apsides trajectoriarum expedite inveniri possunt Sunt enim apsides
puncta illa in quibus recta / C per centrum ducta incidit perpendicu-
lariter in trajectoriam V / K : id quod fit ubi rectae / K & N K
aequantur, ideoque ubi area A B F D aequalis est Z Z.

CoroL 2. Sed & angulus K / N, in quo trajectoria alicubi secat
lineam illam / C ex data corporis altitudine / C expedite invenitur ;
nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut K N ad / K, id est, ut
Z ad latus quadratum areae A B FD.

Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio
quaelibet conica VRS, & a quovis ejus puncto 7? agatur tangens
/i T occurrens axi infinitae pro-
ducto C V in puncto T; dein
juncta Cy? ducatur recta CP,
quae aequalis sit abscissae C T,
angulumque VCP sectori VCP
proportionalem constituat ; ten-
dat autem ad centrum C vis
centripeta cubo distantiae loco-
rum a centro reciproce propor-
tionalis, & exeat corpus de loco
V justa cum velocitate secun-
dum lineam rectae C V perpen-
dicularem : progredietur corpus illud in trajectoria V P Q quam
punctum P perpetuo tangit ; ideoque si conica sectio VRS hyperbola
sit, descendet idem ad centrum : sin ea ellipsis sit, ascendet illud
perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunque cum
velocitate exeat de loco Vy & perinde ut incoeperit vel oblique

128

DE MOTU CORPORUM

descendere ad centrum, vel ab eo

oblique ascendere, figura V RS

vel hyperbola sit vel ellipsis,

inveniri potest trajectoria augen-

do vel minuendo angulum VCP v-

in data aliqua ratigne. Sed &,

vi centripeta in centrifugam versa,

ascendet corpus oblique in tra-

jectoria V P Q, quae invenitur

capiendo angulum V C P sectori

elliptico V RC proportionalem,

& longitudinem CP longitudini

C T sequalem ut supra. Consequuntur haec omnia ex propositione

praecedente, per curvae cujusdam quadraturam, cujus inventionem, ut

satis facilem, brevitatis gratia missam facio.

PROPOSITIO XLII. PROBLEMA XXIX.

Data lege vis centripetce, requiritur motus corporis de loco dato^
data cum velocitatCy secundum datam rectam egressi.

Stantibus quae in tribus propositionibus praecedentibus : exeat

corpus de loco / secundum lineolam I K^ ^ cum velocitate quam

LIBER FRIMUS,

129

corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo
acquirere posset in D : sitque haec vis uniformis ad vim, qua corpus
primum urgetur in I, \it D R ^,d D F. Pergat autem corpus versus
k; centroque C & intervallo Ck describatur circulus ke occurrens
rectae PD in e, & erigantur curvarum B Fgy abv^ acw ordinatim
applicatae egy ev, ew. Ex dato rectangulo PDRQ, dataque
lege vis centripetae qua corpus primum agitatur, datur curva linea
BFgy per constructionem problematis xxvii, & ejus corol. i.
Deinde ex dato angulo C I K datur proportio nascentium I K^ K N,
& inde, per constructionem prob. xxviii, datur quantitas Q, una
cum curvis lineis abv^ acw: ideoque, completo tempore quovis
Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel C k^ tum area Dcwe,
eique aequalis sector XCy^ angulusque ICk, & locus k in quo
corpus tunc versabitur. Q. E. I.

Supponimus autem in his propositionibus vim centripetam in
recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunque, quam
quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse
undique eandem. Atque hactenus motum corporum in orbibus
immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in orbi-
bus, qui circa centrum virium revolvuntur, adjiciamus pauca.

SECTIO IX.
De motu corporum in orbibus mobilibus, deque motu apsidum.

PROPOSITIO XLIIL PROBLEMA XXX.

Efficiendum est ut corpus in trajectoria guacunque circa centrum
virium revolvente perinde moveri possit^ atqu£ corpus aliud in
eadem trajectoria quiescente.

In orbe V P K positione dato revolvatur corpus P pergendo a V
versus K. A centro C agatur semper Cpy quae sit ipsi C P aequa-
lis, angulumque V Cp angulo V C P proportionalem constituat ; &
area, quam linea Cp describit, erit ad aream VCPy quam linea CP
simul describit, ut velocitas lineae describentis Cp ad velocitatem
lineae describentis CP ; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP,
ideoque in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum

« »

zi j/:r: ::j.s:i .:£

■ tflll .4 Kl

-:ftr>ur>j- riar^rVir:::::: ^t r-r.ii "jrjr-jrjs^ criipns jiscz: niszxnscs

^•is c*:r*:rlp^:a. rri^L o:rp-i5 rivci^*": pcssir in ciirra fla Ir^ea qaa
punctun:/ c^trr:::: :r. plaro br.r-.ccC:. dc sdi^-^zzr prcfciSeDa. Q.ES^

PR0F05ITI0 XLIV. THEOREMA XIV.

Dinircntii zirium. qziiiu: c^rfu: ir. iri^i ri:kr<.VJr.v. ^" c^^^ aJiMJ
in crdcni crii r-r.^iziKU aqitaiit^r m.r^^yz psiszini. crJ :jc /ry.i-j/j
raticm c:nin::iKi: jititiiiiKi: inzcr:^.

Part:b-5 crhii q-i-is.cenris l' P. P K sur.ro sirriles & squales Ofbis
revo!ven::5 partes »/. pk : &i punc:orjr: P. A' distantia intellzgatur
esse quam r-.:r.:r:a, A pur.c:o ^e :r. r^c:am / C demitte perpendicu-
luni k r. icemque p.-c^Iuc ad v:. u: s:: w r ac >f r ut angulus J*C/ ad
anzuljm l'C P. 0'-or.:am corrx:r-m al::rad:nes PC & ^C. KC*
& JtC semper xquanrjr. rr.an:iesr-m est quoi lineanim PCSifiC
incrementa vel decrementa semper sin: 3&qual:a« ideoque si coqMXum
in locis P & p existentium distir^janrjr motus singuli (per legum
corol. 2) in binos. quorcim hi versus centrum. sive secundum
lineas P C pC determinenrjr. & alteri prioribus transverst sint
& secundum lineas ipsis P C p C perpendiculares directionem ha-
beant ; motus versus centr^m erLint arquales, & motus transveisus
corporis/ erit ad motum transvcrsum corporis P, ut motus angularis

LIBER PRIMUS.

131

Iineae / C ad motum angularem lineae P C, id est, ut angulus V Cp
ad angulum V CP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo
utroque pervenit ad punctum Ky corpus p aequali in centrum motu
aequaliter movebitur a / versus C, ideoque completo illo tempore
reperietur alicubi in linea mkr, quae pef punctum k in lineam p C
perpendicularis est ; & motu transverso acquiret distantiam a linea
p Cy quae sit ad distantiam quam corpus alterum P acquirit a linea
P Cy ut est motus transversus corporis / ad motum transversum
corporis alterius P. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus
P acquirit a linea PC, sitque mr ^A krut angulus VCp ad angulum

p\ ^y .■

VCPy hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transver-
sum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore
reperietur in loco m. Haec ita se habebunt ubi corpora p &l P
aequaliter secundum lineas p C 8l P C moventur, ideoque aequalibus
viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus
pCn 2A angulum /C^ ut est angulus V Cp ad angulum VCP,
sitque n C aequalis kC, & corpus / completo illo tempore revera
reperietur in n ; ideoque vi majore urgetur quam corpus P, si modo

132

DE MOTU CORPORUM

angulus n Cp angulo k Cp major est, id est si orbis up k vel movetur
in consequentia, vel movetur in antecedentia majore celeritate quam
sit dupla ejus qua linea CP m consequentia fertur; & vi minore
si orbis tardius movetur in antecedentia. Estque virium difTerentia
ut locorum intervallum m n, per quod corpus illud p ipsius actione,
dato illo temporis spatio, transferri debet Centro C intervallo
Cn vel Ck describi intelligatur circulus secans lineas mr, mn

productas in ^ & /, & erit rectangulum mnxm/ aequale rectangulo

mkxms, ideoque m n aequale . Cum autem triangula/ Ci

mt

pCn dato tempore dentur magnitudine, sunt kr 8l mr, earumque
differentia mk & summa m s reciproce ut altitudo p C, ideoque
rectangulum mkx ms est reciproce ut quadratum altitudinis/ C. Est
Sl mt directe ut i m t, id est, ut altitudo p C. Hae sunt primae

rationes linearum nascentium ; & hinc fit , id est lineola nas-

mt

cens mn, eique proportionalis virium differentia reciproce ut cubus
altitudinis / C Q. E. D.

LIBER PRIMUS,

133

CoroL I. Hinc differentia virium in locis P 8l py w^ K 8l k, est
ad vim qua corpus motu circulari revolvi possit ab /? ad iT eodem
tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum P K, ut
lineola nascens m n ad sinum versum arcus nascentis R Ky id est ut

ad — -3 , vel ut mky.ms ad rk quadratum ; hoc est, si

mt 2kC

capiantur datae quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet
angulus VCP zA angulum VCp, ut GG— FF ad FF. Et prop-
terea, si centro C intervallo quovis C P vel Cp describatur sector
circularis sequalis areae toti VPCy quam corpus P tempore quovis
in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit :
differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus/ in
orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centrlpetam, qua corpus ali-
quod, radio ad centrum ducto, sectorem illum eodem tempore, quo
descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut GG

— F F ad F F. Namque sector ille & area/ Ck sunt ad invicem ut
tempora quibus describuntun

Corol. 2. Si orbis VPK ellipsis sit umbilicum habens C & apsidem
summam V; eique similis & aequalis ponatur ellipsis up k, ita ut sit
semper/ C aequalis P Cy &. angulus V Cp sit ad angulum V CP in
data ratione G ad F ; pro altitudine autem P C vel p C scribatur A,
& pro ellipseos latere recto ponatur 2 R : erit vis, qua corpus in el-

1- • i «i- 1 • ^ F F . RGG — RFF o ^ T-

hpsi mobili revolvi potest, ut -r-r H -r 7 & contra. Jixpo-

natur enim vis qua corpus revolvatur in immota ellipsi per quanti-

F F F F
tatem , & vis in V erit . Vis autem qua corpus in

AA ^ CVquad. ^ /* ^

circulo ad distantiam C K ea cum velocitate revolvi posset quam

corpus in ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in

ellipsi revolvens urgetur in apside F, ut dimidium lateris recti ellip-

RFF
seos ad circuli semidiametrum C Vy ideoque valet ^ j, — 7- : & vis,

quae sit ad hanc ut GG— FF ad FF, valet — yrr^ — 7 — : estque haec

vis (per hujus corol. i) differentia virium in V quibus corpus P in
ellipsi immota VP K, & corpus p in ellipsi mobili upk revolvuntur :
Unde cum (per hanc prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A

134

DE MOTU CORPORUM

I

sit ad seipsam in altitudine C V xsX

ad

A cub. CVcub.

, eadem dif-

ferentia in omni altitudine A valebit Igitur ad vim

A cub.

FF
AA

, qua corpus revolvi potest in ellipsi immobili V P K^ addatur

RGG-RFF ^ ^ • .. FF^RGG-RFF

excessus ; ; & componetur vis tota — - + ;

A C7ib. A A A cub.

qua corpus in ellipsi mobili upk iisdem temporibus revolvi possit
Corol. 3. Ad eundem modum coUigetur quod, si orbis immobilis

V P K ellipsis sit centrum habens in virium centro C ; eique similisi
a^qualis & concentrica ponatur ellipsis mobilis upk; sitque 2 R
ellipseos hujus latus rectum principale, & 2 T latus transversum sivc
axis major, atque angulus VCp semper sit ad ang^Ium VCP
ut G ad F ; vires, quibus corpora in ellipsi immobili & mobili

•u ru 1 • FFA^ FFA ,

temponbus aequalibus revolvi possunt, erunt ut n- "~T ^ ^ — T +

RGG-RFF

AT^. respectivc.

LIBER PRIMUS,

1.35

Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima C V nomi-
netur T, & radius curvaturae quam orbis V P K habet in Vy id est
radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta, qua
corpus in trajectoria quacunque immobili V P K revolvi potest in

V F F
loco V, dicatur , atque aliis in locis P indefinite dicatur X,

altitudine C P nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli

V Cp ad angulum V CP : erit vis centripeta, qua corpus idem eos-

dem motus in eadem trajectoria upk circulariter mota temporibus

.. ^ VRGG-VRFF
usdem peragere potest ut summa virium X H -z — 7 •

Corol. 5. Dato igitur motu corporis in orbe quocunque immobili,
augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium
in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus
corpora novis viribus centripetis gyrentur.

CoroL 6. Igitur si ad rectam C i^posi-
tione datam erigatur perpendiculum V P
longitudinis indeterminatse, jungaturque
CP & ipsi aequalis agatur Cp, constituens
angulum V Cpy qui sit adangulum VC P
in data ratione ; vis qua corpus gyrari po-
test in curva illa Vp k, quam punctum p
perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus
altitudinis Cp. Nam corpus P per vim ^*
inertiae, nuUa alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta
VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis C P vel Cp
reciproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur
motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est autem haec
curva Vpk eadem cum curva illa VPQ in corol. 3 prop. xli
inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta
oblique ascendere.

l^fj DE MOTU CORPORL

PROPOSITIO XLV. PROBLEMA XXXL

Or/num qui sunt circiUis niaxime finitifnt r^qmiruMtur mubu

apsidum.

ProMcinu solvitur arithmetice faciendo ut orbis, quem coqns
iii cllipsi inobili (iit in propositionis superioris coroL 2 vd 3)
rrvoIvcMis (lcscrihit in plano immobili, accedat ad fbnnam orbb
(-njiifi .'ipsi(l(*s r('(iuiruntur, & quaerendo apsides orbis quexn coqxis
illiiil iii plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent
iottiiatn, si vir(*s ccntripetce quibus describuntur, inter se collatat, in
.t-(|ti;ilil)tis :iltitu(linibus rcddantur proportionales. Sit punctum V
itp.i'. sttmin;i, cK: scribantur T pro altitudine maxima C ^ A pro
;tliiiit(liiic (|u:ivis alia CP vel C/, & X pro altitudinum difTerentia
( r (' P : ik vis, (jua corpus in ellipsi circa umbilicum suum C (ut

FF

iii c orol. -) rcvolvcntc movctur, quaeque in corol. 2 erat ut ■r-T"'"

K<;<; UI'F., , FFA + RGG-RFF , . . ^ v

. id cst ut , substituendo T— X

A /////. A c7io.

. RC.C.-R^F + TFF-FFX p , , . ...^ ^

pii» A.citi tti ^^ ^ Keducenda simuiter est

A ci(b.
vi'. iiji.i (|ti.rvis ('ciUripcta ad fractionem cujus denominator sit A «A
/'.' niimir.iioics, iarl;i homolojjorum terminorum collatione, statuendi
Miiil ;iii.iloj.M. Ucs cxcmplis patcbit.

/m /•////'/. I. Ponamus vim centripetam uniformem esse, ideo-

(|tt'' tti . /. sivc (scribcndo T — X pro A in numeratore) ut
' A ttin, ^ '

'\ inh, .ri rX + ;, r\X-X r//^. ^ ^^ .

^ ^.^^f^ ; & collatis numeratorum terminis

(oin-.pondmlibus, nimirumdatis cum datis & non datiscum non datis,
iiri U (;('.- U !•• !• + r V V ad T cub, ut-FFX ad-3TTX + 3TXX
\ iuh, siv(- ul-lM^^ ad-3TT + 3TX-XX. Jam cum orbis
poii;ittir (•iiciilo (|u;im maximc finitimus, coeat orbis cum circulo;
M' ol) ia(l;is U, r a'(iu;dcs, atque X in infinitum diminutam, rationes
iiliim;r (Ttinl UC.C. ad T cub. ut— FF ad — 3TT, seu GG ad
ir ul V V ;ul 3 TT. & vicissim GG ad FF ut TT ad 3 TT; idest,

LIBER PRIMUS.

m

ut I ad 3 ; ideoque G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP^
ut I ad ^3 . Ergo cum corpus in ellipsi immobili, ab apside summa
ad apsidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita
dicam) graduum i8o; corpus aliud in ellipsi mobili, atque ideo in
orbe immobili de quo agimus, ab apside summa ad apsidem imam

T 9^C\

descendendo conficiet angulum V Cp graduum —j- : id ideo ob

similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centri-
peta describit, & orbis illius quem corpus in ellipsi reyolvente
gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem
terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter
sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant.
Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum
circulari revolvens, inter apsidem summam & apsidem imam con-

nciet semper angulum — r- graduum, seu 103 ^r. 55 m. 23 sec. ad

V 3

centrum ; perveniens ab apside summa ad apsidem imam ubi semel
confecit hunc angulum, & inde ad apsidem summam rediens ubi
iterum confecit eundem angulum ; & sic deinceps in infinitum.

Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A digni-

tas quaelibet A*~3 seu -jt- : ubi n^^ & n significant dignitatum indi-

ces quoscunque integros vel fractos, rationales vel irrationales, af-
firmativos vel negativos. Numerator ille A" seu T — X|'' in seriem
indeterminatam per methodum nostram serierum convergentium

reducta, evadit T«-» X T«-^ + ^^^ X X T«-^ &c. Et collatis

2

hujus terminis cum terminis numeratoris alterius RGG — R F F + TFF

-FFX,fitRGG-RFFH-TFFadT«ut-FFad-«T«-' + ^^^

2

X T""' &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam cir-

cularem accedunt, fit RGG ad T** ut— FF ad— «T'*-', seu GG

ad T«-' ut F F ad ;^ T«-', & vicissim G G ad F F ut T'-» ad n T*^'

id est ut I ad « ; ideoque G ad F, id est angulus V Cp ad angulum

VCP, \xt i 2A mJ n. Quare cum angulus VCP, in descensu cor-

poris ab apside summa ad apsidem imam in ellipsi confectus, sit

gradtium 180; conficietur angulus VCp^ in descensu corporis ab

138 DE MOTU CORPORVM

apside summa ad apsidem imam, in orbe propemodum circulari
quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A"~^ proportionali de-

scribit, aequalis angiilo graduum

v«'

hoc angulo repetito cor-

pus redibit ab apside ima ad apsidem summam, & sic deinceps in
infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id
A'
A'

180

- gr. seu

est, ut A seu -r- . erit n iequalis 4 & V « aequalis 2 ; ideoque angu-

lus inter apsidem summam & apsidem imam lequalis ■

90 gr. Completa Igitur quarta parte revolutionis unius corpus per-

veniet ad apsidem imam, & completa alia quarta parte ad apsidem

summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam

ex propositione x manifestum esL Nam corpus urgente hac vi

centripeta revolvetur in ellipsi immobili, cujus centrum est in centro

virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est

I A'

directe ut — seu — , erit n ^qualis 2, ideoque inter apsidem sum-

mam & imam angulus erit graduum —j- seu ii^ gr. i6 m. 45 sec. &

propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione,
vicibus alternis ab apside summa ad imam & ab ima ad summam
perveniet in retemum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut
latus quadrato-quadratum undecimx dignitatis altitudinis, id est

A^

j, & —^ gr. a;qualis 360 gr. & propterea corpus de apside summa

mjtt

discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad apsidem
imam ubi complevit revokitionem integram. deJn perpetuo ascensu
complendo aliam revolutionem integram, redibit ad apsidem sum-
mam ; & sic per vices in Eetemum.

Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum
altitudinis, & h, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim cen-

tnpetam esse ut

rfA^-t-cA"

A C14/>.

id est. ut

6 in T-

^^p

LIBER PRIMUS, 139

seu (per eandem methodum nostram serierum convergentium) ut
^T- + ^T--»/^XT-'-«^XT-' + ^^^^XXT-» + ^^ ^XXT'- &c.

A cub. '
& collatis numeratorum terminis, fiet RGG— RFF + TFF

ad ^T^+^T^ ut-FF ad-/;g^T^~'-^^T^-' + ^^"^ ^ X T'^

2

ft ft^fi
H ^XT*-" &c. Et sumendo rationes ultimas quae prodeunt

ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit GG ad ^ T**-' + ^ T*""',
ut FF ad »^^T^-' + »^T— ', & vicissim GG ad F F ut ^T^-^ + ^T'-'
ad ;;! ^ T*-* -{-n c T*— *. Quae proportio, exponendo altitudinem
maximam C V seu T arithmetice per unitatem, fit G G ad F F ut

b->tc ad mb + fic, ideoque ut i ad ^^±^. Unde est G ad F, id est

b + c

angulus VCp ad angulum VC P, ut i ad^^ . Et propterea

b + c

cum angulus VCP inter apsidem summam & apsidem imam in el-

lipsi immobili sit 1 80 gr. erit angulus V Cp inter easdem apsides, in

b A*" I c Pi!*
orbe quem corpus vi centripeta quantitati — ^ z — proportionali

b + c
describit, aequalis angulo graduum 180^ — . Et eodem argu-

ffib + fic

mento si vis centripeta sit ut , angulus inter apsides invenie-

A cub.

b^c
tur graduum 180 ^ . Nec secus resolvetur problema in

fft b^fic
casibus difficilioribus. Quantitas, cui vis centripeta proportionalis est,
resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes
A cub. Dein pars data numeratoris qui ex illa operatione provenit
ad ipsius partem alteram non datam, & pars data numeratoris hujus
RGG — RFF + TFF — FFX ad ipsius partem alteram non datam
in eadem ratione ponendae sunt : Et quantitates superfluas delendo,
scribendoque unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.

CoroL I. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas,
inveniri potest dignitas illa ex motu apsidum ; & contra. Nimirum
si motiis totus angularis, quo corpus redit ad apsidem eandem, sit

140

DE MOTU CORPORUM

ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut nu-
merus aliquis m ad numerum alium «, & altitudo nomlnetur A :

erit vis ut altitudinis dienitas illa A ""* , cuius index est — \.

Id quod per exempla secunda manifestum esL Unde liquet vim
illam in majore quam triplicata altitudinis ratione, in recessu a centro.
decrescere non posse : Corpus tali vi revolvens deque apside
discedens, si cceperit descendere nunquam perveniet ad apsidem
imam seu altitudinem minimam, sed descendet usque ad centrum,
describens curvam illam lineam de qua egimus in corol. 3. prop. xu.
Sin cceperit illud, de apside discedens, vel minimum ascendere;
ascendet in infinitum, neque unquam perveniet ad apsidem summam.
Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem
corol. & in corol. 6 prop. x[,iv. Sic & ubi vis, in recessu a
centro, decrescit in majore quam triplicata ratione altitudinis, corpus
de apside discedens, perinde ut coeperit descendere vel ascendere.
vel descendet ad centrum usque vel ascendet in infinitum. At
si vis, in recessu a centro, vel decrescat in minore quam tripHcata
ratione altitudinls, vel crescat in altitudinis ratione quacunque ;
corpus nunquam descendet ad centrum usque, sed ad apsidem imam
aliquando perveniet : & contra, si corpus de apside ad apsidem
alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellal ad
centrum ; vis in recessu a centro aut augebitur. aut in minore quam
triplicata altitudinis ratione decrescet : & quo citius corpus de apside
ad apsidem redierit, eo longius ratio virium recedct a radone lUa
triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel ij de
apside summa ad apsidem summam alterno descensu & ascensu redi-
erit ; hoc est, si fuerit m ad « ut 8 vel 4 vel 2 vel ij ad i, ideoque

1 valeat 7 3 vel -7 — 3 vel — 3 vel — 3: erit vis tit

mm 04 " 16" 4 9

A"~^ vel A^* ' vel A* vel A** \ id est, reciproce ut A *^ \*el

A^~" vel A' ^ vel A' ^ Si corpus singulis revolutionlbus re-
dierit ad apsidem eandem immotam ; erit »/ ad « ut 1 ad 1,

ideoque A '•^~* xqualis A seu x-t- ; & propterea decre-

mentum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in pncceden-

LIBER PRIMUS, i^j

tibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionibus unius
vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta.
ad apsidem eandem redierit ; erit m ad « ut t vel I vel J vel 1 ad i.

n n

— 3 1. A 1«

ideoque A *« '^ aequalis A i^" ^ vel At- 3 vel A^^ vel A '^' ;

& propterea vis aut reciproce ut A~ vel A^, aut directe ut A* vel
A'\ Denique si corpus pergendo ab apside summa ad apsidem sum-
mam confecerit revolutionem integram, & praeterea gradus tres, ideo-
que apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in consequentia
gradus tres ; erit w ad » ut 363 gr. ad 360 gr. sive ut 1 2 1 ad 1 20,

^^ — 3 • 20528

ideoque A** *• erit aequale A ^***^ ; & propterea vis centripeta

20S23 4

reciproce ut A seu reciproce ut A^ proxime. Decrescit

igitur vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed
quae vicibus 59! propius ad duplicatam quam ad triplicatam
accedit

CoroL 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quae sit reciproce
ut quadratum altitudinis, revolvatur in ellipsi umbilicum habente in
centro virium, & huic vi centripetae addatur vel auferatur vis alia
quaevis extranea; cognosci potest (per exempla tertia) motus apsi-
dum qui ex vi illa extranea orietur : & contra. Ut si vis qua

corpus revolvitur in ellipsi sit ut , & vis extranea ablata ut c A,

ideoque vis reliqua ut — ; erit (in exemplis tertiis) d aequa-

A cuo.

lis I, w aequalis 1, & n aequalis 4, ideoque angulus revolutionis

I "^ c

inter apsides aequalis angulo graduum 1 80 V • Ponamus vim

I — 4 ^

illam extraneam esse 357.45 partibus minorem quam vis altera qua
corpus revolvitur in ellipsi, id est c esse ittttt, existente A vel T

aequali i, & 180 V ^""^ evadet 180 V ^^> seu 180.7623, id est,

I —4 c

iSog^r. 45 m. 44 s. Igitur corpus de apside summa discedens, motu

angfulari 180 g^r. 45 m. 44 s. perveniet ad apsidem imam, & hoc

motu duplicato ad apsidem summam redibit : ideoque apsis sum-

ma singulis revolutionibus progrediendo conficiet i gr. 31 w. 28 sec.

Apsis lunae est duplo velocior circiter.

142

DE MOTU CORPORUM

Hacteniis de moUi corporum in orbibus quorum plana per cen*
trum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in
planis excentricis. Nam scriptores qiii motum gravium tractant,
considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliqucs m
planis quibuscunque datis, quam perpendiculares : & pari jure mo-
tus corporum viribus quibuscunque centra petentium, & planis
excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem sup-
ponimus esse poHtissima & absolute lubrica ne corpora retardent
Quinimo, in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora
incumbunt qutcque tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela,
in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt
Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis pcractos
subinde determinamus.

SECTIO X.

De nwiu corponim m superficiebus datis, dequc funipefidulonm
niotu reciproco.

PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA XXXIIi

4

centni 1

Posita cnjuscjtHque generis vi centripeta, datoque ium virium
iumplano quocunque in quo corpus rrjoivitur, & concessis Jigurarum
curviiinearum quadraturist requiritur viotus corporis de ioeo dais,
data cum z<clocitate, secufiduni rectani in plano illo datam egressi.

Sit S centrum virium, .i" C distantia minima centri hujus a plano
dato, /* corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q cor-
pus idem in Irajectoria sua revolvens, & PQR trajectoria illa, in plano
dato descripta, quam invenire oportet. jungantur C Q, (3 ■S", & si
in ^ ^ capiatur ^ V proportionalis vi centripetiE qua corpus trahitur
versus centrum S, & agatur V T <\\i^ sit parallela C Q & occanat
SC in Ti vis .S" V resolvetur (per legum corol. 2) in vires ^7*. TV;
quarum S T trahendo corpus secundum lineam plano perpendicnll-
rem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altcra TV.
agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe veisni

LIBER PRIMUS.

143

punctum C in plano datum, ideoque efficit, ut corpus illud in hoc
plano perinde moveatur, ac si vis S T tolleretur, & corpus vi sola
T V revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi
centripeta T V qua corpus Q in spatio libero circa centrum datunl

C revolvitur, datur (per prop. xlii) tum trajectoria P Q R^ quam
corpus describit, tum locus Q, in quo corpus ad datum quodvis
tempus versabitur, tum denique velocitas corporis in loco illo Q ; &
contra. Q. E. L

PROPOSITIO XLVII. THEOREMA XV.

Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantics corporis a centro;
corpora omnia in planis quibuscunqtte revolventia describent ellipses,
& revolutiones temporibus cequalibus peragent ; quaqu£ moventur in
lineis rectisy ultro citroque discurrencby singulas eundi & redeundi
periodos iisdem temporibus absolvent.

Nam, stantibus quae in superiore propositione, vis S V, qua corpus
Q in plano quovis P Q R revolvens trahitur versus centrum S^ est ut
distantia SQ ; atque ideo ob proportionales S V ^ SQ, TV
& CQy vis TVy qua corpus trahitur versus punctum C in orbis plano
datum, est ut distantia CQ. Vires igitur, quibus corpora in plano

144

DE MOTU CORPORUM

PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione distan-
tiarum jequales viribus quibus corpora undiquaque trahuntur versus
centrum 5"/ & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus,
in iisdem figuris, in plano quovis PQR circa punctum C, atque in

spatiis liberis circa centrum S ; ideoque (per corol. 2 prop. x &
coroL 2 prop. xxxviii) temporibus semper aequalibus, vel describent
ellipses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro
citroque in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis complebunt.
Q.E.D.

Scholium.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus
curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circum axes
quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione
superficies curvas describere ; tum corpora ita moveri ut eorum
centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa
oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroque ; pera-
gentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atque ideo
in lineis curvis, quarum revolutione curvcc illae superficies genitx
sunt Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis
considerare.

LIBER PRIMUS.

145

PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XVI.

Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistaty & more rotarum
revolvendo progrediatur in circulo maximo ; longitudo itineris
curvilinei, quod punctum quodvis in rotce perimetro datum, ex quo
globum tetigit, confecit^ (quodque cycloidem vel epicycloidem nominare
licet) erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex
eo tempore inter eundum tetigit^ ut sumfna diametrorum globi &
rotcB ad semidiametrum globi.

PROPOSITIO XLIX. THEOREMA XVII.

Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat &
revolvendo progrediatur in circulo maximo ; longittido itineris
curvilinei quod punctum quodvis in rotce perimetro datum^ ex quo
globum tetigity confecity erit ad duplicatum sinum versum arcus
dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit^ ut
differeniia diametrorum globi & rotce ad semidiametrum globi.

Sit ABL globus, C centrum ejus, B P V rota ei insistens, E
centrum rotse, B punctum contactus, & P punctum datum in
perimetro rotae. Concipe hanc rotam pergere in circulo maximo
A B L ab A per B versus Z, & inter eundum ita revolvi ut arcus
A By PB sibi invicem semper sequentur, atque punctum illud P in
perimetro rotae datum interea describere viam curvilineam A P. Sit
autem A P via tota curvilinea descripta ex quo rota globum tetigit in
A, & erit viae hujus longitudo -^ P ad duplum sinum versum arcus
i P Bj ut 2 C E ad CB. Nam recta C E (si opus est producta)
occurrat rotae in V, junganturque CP.BPy EP, VP, & in CP
productam demittatur normalis VE. Tangant P H^ V H circulum
in P & y concurrentes in H, secetque P H ipsam V F in G, &
ad VP demittantur normales G/y H K. Centro item C & intervallo
quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, rotae
perimetrum B P in o^ & viam curvilineam AP in m; centroque

K

146

DE MOTU CORPOR UM

V & intervallo P^o describatur circulus secans yP productam
in ^.

Quoniam rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus
B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam
illam curvam A P quam rotae punctum P describit, atque ideo quod
recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius
sensim auctus vel diminutus aequetur tandem distantiae CP; &.

LIBER PRIMVS,

147

ob simiHtudinem figurse evanescentis Pnomq & figurse P FG F/,
ratio ultima Hneolarum evanescentium Pm^ Puy Po^ P q, id est,
ratio mutationum momentanearum curvae AP^ rectae CPy arcus
circularis BPy ac rectae VP, eadem erit quae linearum PV^ PF^ PG^
P / respective. Cum autem VF2ACF81 Vlfad C F perpendicu-
lares sint, angulique H V G, FC/" propterea aequales; & angulus
V H G (ob angulos quadrilateri H V E P ad V & P rectos) angulo
CEP aequalis est, similia erunt triangula V H Gy CEP ; & inde
fiet ut EP ad CE itaHG ad HV seu HP & ita JC/ad K P, &
composite vel divisim ut CB ad CE ita PI ad P K^ &, duplicatis
consequentibus ut C B ^.d 2 C E itai PI 2id P V^ atque ita, Pq ad
P m. Est igitur decrementum lineae VPy id est, incrementum lineae
B F'— VP ad incrementum lineae curvae A P in data ratione CB ad
2 CEy & propterea (per corol. lem. iv) longitudines B F— VP &
A Py incrementis illis genitae, sunt in eadem ratione. Sed, existente
B V radio, est VP co-sinus anguli B VP seu \ B E Py ideoque
B V— VP sinus versus est ejusdem anguli ; & propterea in hac rota,
cujus radius est iBVy erit B K— VP duplus sinus versus arcus i BP.
Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ^ B P ut 2 C-fi^ad
CB. Q.E.D.

Lineam autem -^ P in propositione priore cycloidem extra
globum, alteram in posteriore cycloidem intra globum distinctionis
gratia nominabimus.

CoroL I. Hinc si describatur cyclois integra A SL &. bisecetur
ea in Sy erit longitudo partis P S 2id longitudinem VP (quae duplus
est sinus anguli V B Py existente E B radio) ut 2 C E ad CBy atque
ideo in ratione data.

CoroL 2. Et longitudo semiperimetri cycloidis A S aequabitur
lineae rectae, quae est ad rotae diametrum B F' ut 2 C E 2A C B.

PROPOSITIO L. PROBLEMA XXXIII.

Facere ut corpus pendulum oscilletur in cycloide data.

Intra globum Q V Sy centro C descriptum, detur cyclois QRS
bisecta in /? & punctis suis extremis Q %i S superficiei globi hinc
inde occurrens. Agatur C R bisecans arcum QS ivi Oy & produ-
catur ea ad Ay ut sit C ^ ad C (9 ut C (9 ad C R. Centro C

148 DE MOTU CORPORUM

intervallo CA describatur globus exterior D A F, & intra hunc
globum a rota, cujus diameter sit ^O, describantur dua: semicycloides
AQ, AS, quae globum interiorem tangant in (2 & -5" & globo exteriori
occurrant in A. A puncto illo A, filo A P T longitudinem A R
ffiquante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides A Q, A S
oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo A Ji, filum
parte sui superiore A P applicetur ad semicycloidem illam A P S
versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur,
parteque reliqua P T, cui semicyclois nondum objicitur, protendatur
in lineam rectam ; & pondus T oscillabitur in cycloide data QRS.
Q. E. F.

Occurrat enim filum P T tum cycloidi Q RS m T, tum circulo
Q O S m V, agaturque C V ; & ad fili partem rectam P T, e punctis
extremis P a.c T, erigantur perpendicula R P, T W, occurrentia
rectse C V m B 8l W. Patet, ex constructione & genesi simi-
lium figurarum A S, S R, perpendicula illa P B, TW abscindere de
C V longitudines V B, V W rotarum diametris O A, O R sequales.
Est igitur TP ad V P (duplum stnum anguli V B P existente k B V
radio)ut5 W ^.6. B V,s.^m A 0-¥0 R ^A A O, id est (cum sint CA

LIBER PRIMUS,

149

ad COy CO 2id CjR & divisim A O 2id OR proportionales) ut CA +
C(9 ad C Ay vel, si bisecetur ^ F in -£*, ut 2 C E zid C B. Proinde
(per corol. i prop. xlix) longitudo partis recta^ fili P T aequatur
semper cycloidis arcui P S, & filum totum A P T aequatur semper
cycloidis arcui dimidio A P S, hoc est (per corol. 2 prop. xlix)
longitudini A R. Et propterea vicissim si filum manet semper aquale
longitudini AR movebitur punctum T in cycloide data QRS. Q.E.D.
Corol. Filum A R a^quatur semicycloidi A S, ideoque ad globi
exterioris semidiametrum A C eandem habet rationem quam similis
illi semicyclois 6* R habet ad globi interioris semidiametrum C O.

PROPOSITIO LI. THEOREMA XVIII.

Si vis centripeta tendens undique ad globi centrum C sit in locis sin-
gulis ut distantia loci cujusque a centro^ & hac sola vi agente cor-
pus T oscilletur (modojam descripto) inperimetro cycloidis Q R S :
dico quod oscillationum tUcunque incequalium cequalia erunt tempora.

Nam in cycloidis tangentem T W infinite productam cadat

perpendiculum CX &jungatur C T. Quoniam vis centripeta qua

I50

DE MOTU CORPORUM

corpus T impelHtur versus C est ut distantia C 7) atque haec (per
legum corol. 2) resolvitur in partes C X, TX, quarum CX impellen-
do corpus directe a P distendit filum P T & per ejus resistentiam
tota cessat, nuUum alium edens effectum ; pars autem altera TX^
ui^endo corpus transversim seu versus Xy directe accelerat motum
ejus in cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio, huic vi
acceleratrici proportionalis, sit singulis momentis ut longitudo TX,
id est, ob datas C V, IV V iisque proportionales TX, T fV^ nt
longitudo T Wj hoc est (per corol. i prop. xlix) ut longitudo airus

\

cycloidis TR. Pendulis igitur duobus APT, Aptde^ perpendiculo
A R inaiqualiter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum
semper erunt ut arcus describendi TR, t R. Sunt autem partes sub
initio descriptae ut accelerationes, hoc cst, ut totae sub initio
describendae, & propterea partes qua^ manent describendae &
accelcrationes subsequentes, his partibus proportionales, sunt etiam ut
totae; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes, atque ideo
velocitates genitae & partes his velocitatibus descriptae partesque
describendae, semper ut totae ; & propterea partes describendae datain

LIBER PRIMUS,

151

servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est, corpora
duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum A R. Cumque
vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo /?, per eosdem
arcus cycloidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis
a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates
ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse,
atque ideo temporibus aequalibus fieri; & propterea, cum cycloidis
partes duae RS & RQ ad utrumque perpendiculi latus jacentes sint
similes & aequales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam
dimidias iisdem temporibus semper peragent Q. E. D.

Corol. Vis qua corpus T in loco quovis T acceleratur vel
retardatur in cycloide, est ad totum corporis ejusdem pondus in loco
altissimo ^S vel Q, ut cycloidis arcus TR ad ejusdem arcum ^S R vel

PROPOSITIO LII. PROBLEMA XXXIV.

Definire & velocitates pendulorum in locis singulis, & tempora quibus
tum oscillationes totce^ tum singulce oscillationum partes peraguntur.

Centro quovis Gy intervallo GH cycloidis arcum RS aequante,

describe semicirculum H K M semidiametro G K bisectum. Et si

1^2

Dli MOTC CORPORUM

vis centripeta, distantiis locorum a centro proportionalis, tendat ad
centrum G, sitque ea in perimetro H I K aequalis vi centripetac in
perimetro globi QO S ad ipsius centrum tendenti ; & eodem
tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S^ cadat
corpus aliquod Z ab //' ad G: quoniam vires quibiis corpora
urgentur sunt aequales sub initio & spatiis describendis TR, LG
semper proportionales, atque ideo, si aequantur TR &. L G^ aequales
in locis T 8c L ; patet corpora illa describere spatia ^S* Z) HL
ccqualia sub initio. ideoque subinde pergere aequaliter urgeri, &
aequalia spatia describere. Ouare (per prop. xxx\^ii) tempus quo-
corpus describit arcum S T est ad tempus oscillationis unius, ut arcus
///, tempus quo corpus H perveniet ad Z, ad semiperipheriam

Ci

II K My tcmpus quo corpus H perveniet ad M. Et velocitas
corporis pcnduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo /?,
(hoc est, vclocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco
G, scu incrcmcntum momcntaneum lineae H L ad incrementum
momcntancum linccc IIG, arcubus ///, HK aequabili fluxu crescenti-
bus) ut ordinatim applicata LI ad radium GK, sive ut ^SRg, — TRq.
ad S R. Undc cum, in oscillationibus inaequalibus, describantur
irqualibus tcmporibus arcus totis oscillationum arcubus proportionales;
liabcntur. cx datis tcmporibus, & velocitates & arcus descripti in
oscillationibus universis. Quae erant primo invenienda.

LIBER PRIMUS.

153

Oscillentur jam funipendula corpora in cycloidibus diversis intra
globos diversos, quorum diversse sunt etiam vires absolutae, descriptis:
&, si vis absoluta globi cujusvis Q O S dicatur V, vis acceleratrix
qua pendulum urgetur in circumferentia hujus globi, ubi incipit
directe versus centrum ejus moveri, erit ut distantia corporis penduli
a centro illo & vis absoluta globi conjunctim, hoc est ut C(9xV.
Itaque Hneola H Y, quse sit ut haec vis acceleratrix C(9xV,
describetur dato tempore ; &, si erigatur normalis Y Z circumferentise
occurrens in Z, arcus nascens H Z denotabit datum illud tempus.
Est autem arcus hic nascens HZ in supduplicata ratione rectanguli
G H Y, ideoque ut ^G HxCOxV. U nde tempus oscillationis
integrae in cycloide QRS (cum sit ut semiperipheria H K M,
quae oscillationem illam integram denotat, directe ; utque arcus H Zy
qui datum tempus similiter denotat, inverse) fiet nt G H directe &
]JG HxCOxV inverse, hoc est, ob aequales GH & S R,ut

Jj^ — V* ^^^^ ^P^^ corol. prop. l) ut s/-T~r — V^" I^q^^ oscil-
lationes in globis & cycloidibus omnibus, quibuscunque cum viribus
absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex subduplicata ratione
longitudinis fili directe, & subduplicata ratione distantiae inter punctum
suspensionis & centrum globi inverse, & subduplicata ratione vis
absolutae globi etiam inverse. Q. E. I.

CoroL I. Hinc etiam oscillantium, cadentium & revolventium
corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si rotae, qua
cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis
semidiametro globi cyclois evadet linea recta per centrum globi
transiens, & oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in
hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad
centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa
centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem
describit Est enim hoc tempus (per casum secundum) ad tempus

semioscillationis in cycloide quavis Q RS Mt \ zA isr~A~r '

CoroL 2. Hinc etiam consectantur quae Wrennus & Hugenitis de
cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur
in infinitum : mutabitur ejus superficies sphaerica in planum, visque
centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendi-

. m.J.MU^

i ^ ^JE»!

I r-= ^•— — -^-rrTns

iZti

_ «' ^ 4^

/ y

^ ■ ''.:.-

/ «

//

._ « _^ ^ ^_ _^ ,; _. _ _ ^ ___« ** ^ iijr-

* <»

C? /

X «
^ ^

« y

•v "

// ' ;

, ■ ... X.

• «. f ■ ^fi^—S^

7"^* nccirs eius in curw
:i2rdaL ProixKie cuxn hzc

LIBER PRIMUS.

155

sit ut via describenda T R, accelerationes corporis vel retardationes
in oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportio-
nalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea

facient ut partes illae simul describantur. Corpora autem quse
partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent
totas. Q. E. D.

CoroL I. Hinc si corpus 7*, filo rectilineo
A T 3. centro A pendens, describat arcum
circularem 6* TR Q, & interea urgeatur se-
cundum lineas parallelas deorsum a vi ali-
qua, quae sit ad vim uniformem gravitatis,
ut arcus Z'^ ad ejus sinum TN : sequalia
erunt oscillationum singularum tempora.
Etenim ob parallelas TZ, A R, similia erunt
triangula A TN, ZTY; & propterea TZ
erit ad ^ 7* ut TVad TN; hoc est, si
gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam A T, vis

156

DE MOTU CORPORUM

T Zy qua oscillationes evadent isochronse, erit ad vim gravitatis
A T, ut arcus TR ipsi T Y aequalis ad arcus
illius sinum TN.

CoroL 2. Et propterea in horologiis, si
vires a machina in pendulum ad motum
conservandum impressa^ ita cum vi gravitatis
componi possint, ut vis tota deorsum sem-
per sit ut linea quse oritur applicando rec-
tangulum sub arcu TR 8i radio A R 2A
sinum TN, oscillationes omnes erunt iso-
chronae.

PROPOSITIO LIV. PROBLEMA XXXVL

Concessis fignranun curvilincarum quadraturisy invenire iemparaj
quibus corpora vi qualibet centripeta in lincis quibnscunque curvis^
in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent
& ascendcnt.

s

Descendat corpus de loco quovis Sy per lineam quamvis
6* Tt R in plano per virium centrum C transeunte datam.
gatur CS &. dividatur eadem in par- q
tes innumeras a^quales, sitque Dd p
partium illanim aliqua. Centro C
inter\-allis C D, Cd describantur
circuli D T, dt, lineae cur\-ae S TtR
occurrentes in T & t. Et ex data
tum lege vis centripetae, tum altitu-
dine C^* de qua corpus cecidit;
dabitur velocitas corporis in alia qua-
vis altitudine C T (per prop. xxxix).
Tempus autem, quo corpus descri-
bit lineolam T /, est ut lineolse hujus
longitudo, id est. ut secans anguli
t T C directe, & velocitas inverse.
Tempori huic proport ionalis sit or-
dinatim applicata DX ad rectam CS

curvam
Jun-

cl

LIBER PRIMUS.

157

per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum
Ddy^D N, hoc est area DNnd^ eidem tempori proportionale.
Ergo s\ P Nn sit curva illa linea quam punctum N perpetuo tangit,
ejusque asymptotos sit recta ^S Q rectae C S perpendiculariter
insistens : erit area SQPND proportionalis tempori quo corpus
descendendo descripsit lineam vS T; proindeque ex inventa illa area
dabitur tempus. Q.E.I.

PROPOSITIO LV. THEOREMA XIX.

Si corptis movetur in superficie quacunque curvUy cujus axis per
centrum virium transity & a corpore in axem demittatur perpen-
dicularisy eiqu^ parallela & cBqualis ab axis puncto quovis dato
dtuatur : dico quod parallela illq, aream tempori proportionalem
describet.

Sit B K L superficies curva, T^corpus in ea revolvens, STR tra-
jectoria, quam corpus in eadem describit, ^S initium trajectoriai,
OMKsxis superficiei curvae,
TN recta a corpore in axem
perpendicularis, O P huic
parallela & aequalis a puncto
(9, quod in axe datur, educ-
ta ; A P vestigium trajec-
toriae a puncto P in lineae
volubilis OP plano A OP
descriptum ; A vestigii initi-
um puncto ^S r^spondens;
TC recta a corpore ad cen-
trum ducta ; TG pars ejus
vi centripetae, qua corpus
urgetur in centrum C, pro-
portionalis; TM recta ad
superficiem curvam perpen-
dicularis ; TI pars ejus vi
pressionis, qua corpus urget
superficiem vicissimque urgetur versus M a superficie, proportionah*s ;

1^8

DE MOTU CORPORUM

P TF recta axi parallela per corpus transiens, & G P^ IH rectae a

punctis G^ & / in parallelam illam PH TF perpendiculariter demissae.

Dico jam, quod area A OPy radio O P ah initio motus descripta, sit

tempori proportionalis. Nam \-is TG (per legum corol. 2) resol-

vitur in vires TF, FG; & vis T/ in \nres T//y ///. Vires autem

TFy T// agendo secundum lineam P F plano AO P perpendicu*

larem mutant solummodo

motum corporis quatenus

huic plano perpendicularem.

Ideoque motus ejus quatenus

secundum positionem plani

factus, hoc est, motus puncti

P, quo trajectoriae vestigium

AP in hoc plano describitur,

idem est ac si vires TFj

T// tollerentur, & corpus

solis viribus FG^ /// ag^-

taretur; hoc est, idem ac si

corpus in plano A OP^ vi

centripeta ad centrum O

tendente & summam virium

FG & /// a^quante, des-

criberet curvam A P. Sed

vi tali describitur area A OP

(per prop. i ) tempori proportionalis. Q. E. D.

Corol. Eodem argumento si corpus, a viribus agitatum ad centra
duo vel plurain eadem quavis recta CO data tendentibus, descri-
beret in spatio libero lineam quamcunque curvam *S T ; foret area
A O P tempori semper proportionalis.

UBER PRIMUS.

159

PROPOSITIO LVI. PROBLEMA XXXVIL

Concessis figurarunt curvilinearunt qimdraturisy datisque tum lege vis
centripeta ad centrum datum tendentisy tum superficie curva cujus
axis per centrum illud transit ; invenienda est trajectoria quam
corpus in eadem superficie describet^ de loco datOy data cum velocitatCy
verstis plagam in superficie illa datam egressum.

Stantibus quae in superiore propositione constructa sunt, exeat
corpus T de loco dato S secundum rectam positione datam in
trajectoriam inveniendam S TRy cujus vestigium in plano B LO s\t
A P. Et ex data corporis velocitate in altitudine 6* C, dabitur ejus
velocitas in alia quavis alti-
tudine TC. Ea cum velo-
citate dato tempore quam
minimo describat corpus tra-
jectoriae suae particulam Tt,
sitque Pp vestigium ejus in
plano A O P descriptum.
Jungatur Op^ & circelli cen-
tro T intervallo T t in
superficie curva descripti
vestigium in plano A OP sit
ellipsis/(2. Et ob datum
magnitudine circellum Tty
datamque ejus ab axe CO
distantiam TN vel PO, da-
bitur ellipsis illa / Q specie
& magnitudine, ut & positi-
one^ ad rectam P O. Cum-
que area P Op sit tempori proportionalis, atque ideo ex dato tempore
detur, dabitur angulus POp. Et inde dabitur ellipseos & rectae
Op intersectio communis /, una cum angulo OPp in quo trajec-
toriae vestigium A Pp secat lineam OP. Inde vero (conferendo

,6o I>£ MOTU CORPORUM

prop. xu cum corol. suo 2) ratio determinandi curvam A Pp facile
apparet. Tum ex singulls vestigii punctis P. erigendo ad planum
A OP perpendicula P /"superficiei curva occurrentia in P, dabuntur
singula trajectoriie puncta T. Q. E. /.

SECTIO XI.

De nwtu corporum vh-ibus ccnlripetts se mutuo peienttum.

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centnim
immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim
fieri solent ad corpora ; & corporum trahentium & attractorum
actiones semper mutuae sunt & aequales, per legem tertiam : adeo
ut neque attraliens possit quiescere neque attractum, si duo sjnt
corpora, scd ambo (per legum coroUarium quartum) quasi attractione
mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur : & si plura
sint corpora, qux vel ab unico attrahantur, & idem attrahant, vd
omnia se muluo attrahant ; h^c ita inter se moveri debeant, nt
gravitatis centrum commune vel quiescat, vel unlformiter moveatur in
directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se
mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam altrac-
tiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantar
impulsus. In mathematicis enim jam versaniur; & propterea, missis
disputationibus physicis, familiari utimur sermone, quo possimus 3
lectoribus mathematicis facilius intelligi.

PROPOSITIO LVII. THEOREMA XX.

Corpora dm se invicem tralimtia describunt, & circum eotHmHM
eentrum gravitatis, & circitm se mntuo, figuras simi/es.

Sunt enim distantiae corporum a communi gravitatis centro
reciproce proportionales corporibus; atque ideo in data rationc ad
inviccni, & componendo in data ratione ad distantiam totam Intcr
corpora. Feruntur autem h^e distanti.-e circum tenninum suiun

LIBER PRIMUS.

l6l

communem aequali motu angulari, propterea quod in directum semper
jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem
rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari
circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos
in planis, quae una cum his terminis vel quiescunt, vel motu quovis
non ang^lari moventur, describunt omnino similes. Proinde
similes sunt figurae, quae his distantiis circumactis describuntur.
Q. E. D.

PROPOSITIO LVIII. THEOREMA XXL

^SV corpora duo viribus quibusvis se mutuo irahunty & interea
revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod JiguriSy
quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest Jigura
similis & cequalisy circum corpus alterutrum immotmn, viribus
iisdem describi.

Revolvantur corpora S, P circa commijne gravitatis centrum C,
pergendo de S ad T, deque P ad (2- A dato puncto s ipsis SP,
T Q aequales & parallelae ducantur semper sp^ sq ; & curva Pqv,
quam punctum p revolvendo circum punctum immotum s describit,
erit similis & aequalis curvis, quas corpora S, P describunt circum
se mutuo : proindeque (per theor. xx) similis curvis S T & P Q V,

.^"

quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum
C: idque quia proportiones linearum S Q CPy & SP vel sp ad
invicem dantur.

Cas. I. Commune illud gravitatis centrum C, per legum corol-
larium quartum, vel quiescit, vel movetur uniformiter in directum.
Ponamus primo, quod id quiescit, inque s & p locentur corpora

L

1 6 2 DE MOTU CORPOR UM

duo, immobile in s, mobile in/, corporibus S & P similia & aequalia.
Dein tangant rectae P R Ba pr curvas P Q Sl p q in P Sl p, &
producantur CQ&sqsidP&r. Et ob similitudinem figurarum
CPPQ, sprq erit RQ 2A rq ut CP ad sp, ideoque in data
ratione. Proinde si vis, qua corpus P versus corpus S, atque ideo
versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim, qua corpus
p versus centrum s attrahitur, in eadem illa ratione data ; hse vires
aequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus
PRypr ad arcus PQ, pq per intervalla ipsis proportionaHa RQ,
rq, ideoque vis posterior efficeret, ut corpus p gyraretur in curva
pqVy quae similis esset curvae P QV/Ya qua vis prior efficit, ut corpus
P gyretur; & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At
quoniam vires illae non sunt ad invicem in ratione C P zA sp, sed
(ob similitudinem & aequalitatem corporum S & s, P & p, &
aequalitatem distantiarum SP, sp) sibi mutuo aequales ; corpora
aequalibus temporibus aequaliter trahentur de tangentibus: & propterea.

."■^i

5-r::

ut corpus posterius p trahatur per intervallum majus rq, requiritur
tempus majus, idque in subduplicata ratione intervallorum ; propterea
quod (per lemma decimum) spatia ipso motus initio descripta sunt
in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis p
esse ad velocitatem corporis P in subduplicata ratione distantiae sp
ad distantiam CP, eo ut temporibus, quae sint in eadem subdupHcata
ratione, describantur arcus pq, P Q, qui sunt in ratione integra : Et
corpora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum
centra quiescentia C & s figuras similes P Q V, pqv, quarum
posterior p qv similis est & aequalis figurae, quam corpus P circum
corpus mobile .S describit. Q, E. D.

Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una
cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur unifor-

LIBER PRIMUS.

163

miter in directum ; & (per legum corollarium sextum) motus omnes
in hoc spatio peragentur ut prius, ideoque corpora describent circum
se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figurae pqv similes &
%quales. Q, E. D.

-' CoroL I. Hinc corpora duo viribus distantiae suae proportionalibus
se mutuo trahentia, dfescribunt (per prop. x) & circum commune
gravitatis centrum, & circum se mutuo, ellipses concentricas ; & vice
versa, si tales figurae describuntur, sunt vires distantiae proportionales.

CoroL 2. Et corpora duo, viribus quadrato distantiae suae reciproce
proportionalibus, describunt (per prop. xi, xii, xiii) & circum
commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, sectiones conicas
umbilicum habentes in centro, circum quod figurae describuntur. Et
vice versa, si tales figurae describuntur, vires centripetae sunt quadrato
distantiae reciproce proportionales.

CoroL 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum commune
gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt
areas temporibus proportionales.

PROPOSITIO LIX. THEOREMA XXII.

Corporum duorum S & V^ circa commune gravitatis centrum C
revolventium, tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis
alterutrius P, circa alterum immotum S gyrajitis, & Jiguris, quce
corpora circtim se mutuo describunt, figuram similem & aqualem
describentis, in subduplicata ratione corporis alterius S, ad summam^
corporum S + P.

Namque, ex demonstratione superioris propositionis, tempora,
quibus arcus quivis similes P Q Bapq describuntur, sunt in subdupli-
cata ratione distantiarum C P &, SP vel sp, hoc est, in subduplicata
ratione corporis S ad summam corporum S+P. Et componendo,
summae temporum quibus arcus omnes similes PQ &,pq describuntur,
hoc est, tempora tota, quibus figurae totae similes describuntur, sunt in
eadem subduplicata ratione. Q. E. D.

i64 ^^ MOTU CGRPORUM

PROPOSITIO LX. THEOREMA XXIII.

Si corpora duo S <5t* P, viribus quadrato distantice suce reciproce
proportionalibuSj se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis
centrum commune : dico quod ellipseos, quam corpus alterutrum P
hoc motu circa alterum S describit^ axis principalis erit ad axem
principalem ellipseos, quam corpus idem P circa alterum quiescens S
eodem tempore periodico describere possety ut summa corporum
duorum S + P adprimum duorum medie proportionalium inter hanc
summam & corpus illud alterum S.

Nam si descriptae elHpses essent sibi invicem aequales, tempora
periodica (per theorema superius) forent in subduplicata ratione
corporis .S ad summam corporum S-\-P, Minuatur in hac ratione
tempus periodicum in elHpsi posteriore, & tempora periodica evadent
aequalia ; ellipseos autem axis principalis (per prop. xv) minuetur in
ratione, cujus haec est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad
S-\-P est triplicata; ideoque erit ad axem principalem ellipseos
alterius, ut primum duorum medie proportionalium inter S-\-P & S
ad S+P. Et inverse, axis principalis ellipseos circa corpus mobile
descriptae erit ad axem principalem descriptae circa immobile, ut
S+P ad primum duorum medie proportionalium inter S+P & S.
Q.E.D.

PROPOSITIO LXI. THEOREMA XXIV.

Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neque alias
^ agitata vel impedita, quomodocunque moveantur; motus eorum
perinde se habebunt, ac si non traherent se mutuo, sed utrumque a
corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem
traheretur. Et virium trahentium eadem erit lex respectu distantice
corporum a centro illo communi atque respectu distantice totius inter
corpora.

LIBER PRIMUS. 165

Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad
corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium ;
ideoque eaedem sunt, ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D,

Et quoniam datur ratio distantiae corporis utriusvis a centro
illo communi ad distantiam inter corpora, dabitur ratio cujusvis
potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius ;
ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus
datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera
distantia, & quantitatibus totidem datis, datamque illam distantiarum
rationem ad priores habentibus simiHter derivatur. Proinde si vis,
qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut
distantia corporum ab invicem ; vel ut quaelibet hujus distantiae
potestas ; vel denique ut quantitas quaevis ex hac distantia &
quantitatibus datis quomodocunque derivata : erit eadem vis, qua
corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem
vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel
ut eadem distantiae hujus potestas, vel denique ut quantitas ex hac
distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est
vis trahentis eadem erit lex respectu distantiae utriusque. Q.E.D.

PROPOSITIO LXII. PROBLEMA XXXVIII.

Corporum duorum, qtue viribus quadrato distaniice sua reciproce
proportionalibus se mutuo trahunty ac de locis datis demittuntur^
determinare motus.

Corpora (per theorema novissimum) perinde movebuntur, ac si
a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur ;
& centrum illud ipso motus initio quiescet per hypothesin; &
propterea (per legum cprol. 4) semper quiescet. Determinandi sunt
igitur motus corporum (per prob. xxv) perinde ac si a viribus ad
centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum
se mutuo trahentium. Q. E. /.

i66 ^^ MOTU CORPORUM

PROPOSITIO LXIII. PROBLEMA XXXIX.

Corporum duortiniy quce viribus qtiadrato distantia^ sucb reciproce
proportioualibus se mutuo trakunt, deque locis datisy secundum datas
rectas, datis cum velocitatibus exeunt^ determi7ia7'e motus.

Ex datis corporum . motibus sub initio, datur uniformis motus
centri communis gravitatis, ut & motus spatii, quod una cum hoc
centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum mo-
tus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes
(per legum corollarium quintum, & theorema novissimum) perinde
fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo
gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo,
sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur
alterutrius in hoc spatio mobiU, de loco dato, secundum datam
rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum
illud tendente correpti, determinandus est motus per problema
nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul motus corporis
alterius circum idem centrum. Cum hoc motu componendus est
uniformis ille systematis spatii & corporum in eo gyrantium motus
progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum
in spatio immobili. Q,E.L

PROPOSiriO LXIV. PROBLEMA XL.

Viribus quibus corpora se mutuo traJmnt crescentibtis in simplici
ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium cor-
porum inter se,

Ponantur primo corpora duo T 8l L commune habentia gravitatis
centrum D, Describent haec (per coroUarium primum theore-
matis xxi) ellipses centra habentes in Z?, quarum magnitudo ex
problemate v innotescit.

Trahat jam corpus tertium 6* priora duo T 8i L viribus accelera-
tricibus S T, S Ly & ab ipsis vicissim trahatur. Vis S T (per legum

i1

LIBER PRIMUS. I67

corol. 2) resolvitur in vires SD, D T; & vis SL in vires SD, DL.
Vires autem D T, D L, quae sunt ut ipsarum summa T L, atque
ideo ut vires acceleratrices quibus corpora T &. L s^ mutuo trahunt,
additae his viribus corporum T &, L^ prior priori & posterior poste-
riori, componunt vires dis-
tantiis D T diQ D L propor-

tionales, ut prius, sed viribus s^^ ^\ ip

prioribus majores ; ideoque
(per corol. i prop. x, &
corol. I & 8 prop. iv) effi-
ciunt ut corpora illa descri-
bant ellipses ut prius, sed
motu celeriore. Vires reliquae
acceleratrices S D & S D, actionibus motricibus SDx T& SDxL,
quae sunt ut corpora, trahendo corpora illa aequaliter & secundum
lineas T/, L K, ipsi DS parallelas, nil mutant situs eorum ad invi-
cem, sed faciunt ut ipsa aequaliter accedant ad lineam I K ; quam
ductam concipe per medium corporis S, & lineae DS perpendicu-
larem. Impedietur autem iste ad lineam /K accessus faciendo ut
systema corporum T & L ex una parte, & corpus 6^ ex altera,
justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum
C Tali motu corpus S, eo quod summa virium motricium SDx T
& SDxL, distantiae C 5" proportionalium, tendit versus centrum C,
describit ellipsin circa idem C; & punctum /?, ob proportionales
CS, CD, describet ellipsin consimilem e regione. Corpora autem
T& Z, viribus motricibus SDx T & SDx Z, prius priore, posterius
posteriore, aequaliter & secundum lineas parallelas T/ & L K, \it
dictum est, attracta, pergent (per legum corollarium quintum &
sextum) circa centrum mobile D ellipses suas describere, ut prius.
Q. E. /

Addatur jam corpus quartum V, & simili argumento concludetur
hoc & punctum C ellipses circa omnium commune centrum gra-
vitatis B describere ; manentibus motibus priorum corporum Z)
L & S circa centra D & Cy sed acceleratis. Et eadem methodo
corpora plura adjungere licebit. Q. E. /.

Haec ita se habent, etsi corpora T & L trahunt se mutuo viribus
acceleratricibus majoribus vel minoribus quam quibus trahunt corpora

ir.S

:J \:OTl CORPORUM

rrluj...» },ro r.-.:...:^c .i:.:.iTitiarum. Sunto mutux omnium atm^
.u-^ .u^vi.r:.:ru^-> .ul invi.-^-m ut distantiae ductac in corpora tnJwm
\ tv pr.x-.^cvi;.^:.:u!>ijr.nc dcsducetur quod corpora omnia i^ffl»
irmiH»nh.i> inruviK :> c]Iii^e5 varias, circa omnium commune gravfflB
irmiiim -•' ..^. ui.-.n.-' imnic^bili describunt. Q.E.I*

VK.!\>1T10 1 XV. THEOREMA XXV.

t.'A-.: ,v- .- .-;..' A»i ~:-.3 &^\irscvnt in duplicata raHem £^
...j A.. .:• .....:.». ..t.-.^. n:c<-.'cri posse iuter se in elUpdhi.a
'.}.:.... .:.: v. » ..a..-..c ,:-.'.:.c ac^scrihcre temporibus propor&Mk

y . % \ ^ t ■ • « •

In i>ro:vv^:.vor s. ixri.^ro .^ciT^onsiratus est casus ubi motusptao
prr.»^inv..:*7 l.-: r" . •.-.n.:'v..> icT..ri:e. Quo magis recedit lex vinum a
lrj;r ibi iv^n.:.^.. cv> :r..v> .•'>>r:v^r3 pemirtabunt mutuos motus; neq»
nrri iv^:c>:. ..: .-.^r.x-r.^ svr.:n.:uri leirem hic positam se mutuo
ir.ihrni:.v i'.v>v-.-.v-v..:r :r. c.^psib.:? accurate. nisi servando cal»
prv^lHvn:,x:>r:v. ;.:s:..:v. ..r..- .^l •r.v^ceni- In sequentibus autem caahB

t.:.« 1. i\:.r .vr.v^r.^ •,:.:r.^ r--:nora circa maximum aliquod »
Y.iri.is .ib cv .■-:>:-v.v.:.:s rtv.^v-:. :er.iar.:q-je ad singula vires absohi»
l,iv^tvn:v^n.\:o-< :.>.:.:- v-.--\ r:V--:>^ E: quoniam omnium «»!"''"'*
j:ravit.\t:> Cir.:r.::r. •.vr l-.v^-^rr. con.>:. quartumV vel quicsat w
mc>vri'.:r •.:r.::Vr:r.::iT ::■: v".:ri=-c:.:r.':. r.r-j^ran::* corpora minoia tam pM"
tr>>e. ;:: cor. .:> ::-.\.\::r.::r-': r.-:r..:v..ir?. liistet seasibiliter ab hoc cenlro-
^S: ma-\:n-.::r: :::.:.: vrl v:.::e*ce:. vt'. -oveb-nir uniformiter in diitt-
fum. iir.e crrore s-er.<:V::: : ~:r-ora autem revolventur circa hoc
n:a.\lr:--r: \t. t:::i ^il -:>. .i:-: .:e r-uiii* ad idem ducris describent ar^
t':.'nrxjr:b^-i tcor-oniot^a^es : r.:>: c*-aten*js errores inducuntur. «•
yzr f:rror*j:r. n:ax:mi a comn^.uni illo graWtatis centro. vel pcr ac-
\j-jzs vrXTjj—r?, o:rpor.::r. :n <e mumo, Piminui autem possunt
'/.-jx.ra rr.ir.ora. usque cor.ec error iste. & acciones mutiue sint dats
^ .:'...•/:-, n-.ir.or^rs: atque ideo donec orbes cum ellipsibus quadrtOt
^/ Jir':;/-. r*; .j/^.nr>:arit ten:poribus. siae errore, qui non sit mmof

'. »OVi . 'VaU, Q /f Q

LIBER PRIMUS.

169

c Cas. 2. Fingamus jam systema corporum minorum modo jam

: descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum cir-
: cum se mutuo revolventium corporum systema progredi uniformiter
I in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad
magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam aequales vires
acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur,
non mutant situs corporum ad invicem, sed ut systema totum,
servatis partium motibus inter se, simul transferatur, efficiunt :
manifestum est, quod ex attractionibus in corpus maximum nuUa
prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attrac-
tionum acceleratricum inaequalitate, vel ex inclinatione linearum ad
invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones
omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut
quadrata distantiarum ; & augendo corporis maximi distantiam,
donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum differentiae respectu
earum longitudinis & inclinationes ad invicem minores sint, quam
datae quaevis ; perseverabunt motus partium systematis inter se sine
erroribus, qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob
exig^am partium illarum ab invicem distantiam, systema totum ad
modum corporis unius attrahitur ; movebitur idem hac attractione ad
modum corporis unius ; hoc est, centro suo gravitatis describet circa
corpus maximum sectionem aliquam conicam {viz. hyperbolam vel
parabolam attractione languida, ellipsin fortiore) & radio ad maximum
ducto describet areas temporibus proportionales, sine uUis erroribus,
nisi quas partium distantiae, perexiguae sane & pro lubitu minuendae,
valeant efficere. Q. E. O.

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in
infinitum.

Corol. I. In casu secundo, quo propius accedit corpus omnium
maximum ad systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur
motus partium systematis inter se ; propterea quod linearum a cor-
pore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem,
majorque proportionis inaequaHtas.

Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones
acceleratrices partium systematis versus corpus omnium maximum
non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore
illo maximo ; praesertim si proportionis hujus inaequalitas major sit

Vhjiir..**

HZ. 21 rtil >ii'

mij

..uj-i.

: — -T. ^'-~= ^- mr

.r'

^ —U — L.V •^"t-

* » •<

M. • *

» » f ^ .

/ • *,

,* • . , .

^ •-1 •• ■S^B ■■•■

, » /

T ,..: :--7.T-

' / '

ff',, f ■ , /'

»',

. I

sk i

^^\. ^^ . - .

/." ' /

// , . / / y •

•• /

« - • • « '.

7' i -. 7/.* J."i._ £ri*r TTTlm.^'

/ . .

. '

«>^ ■' ■ ■'^ ^ .T^^ w*»C

LIBER PRIMUS. 17I

teriorem ES E. Sit S K mediocris distantia corporum P & S; &
corporis P versus .S attractio acceleratrix, in mediocri illa distantia,
exponatur per eandem. In duplicata ratione SK ad SP capiatur
SL did SK, & erit S L attractio acceleratrix corporis P versus S in
distantia quavis SP. Junge P T, eique parallelam age L M occur-
rentem .S T^in M ; & attractio S L resolvetur (per legum corol. 2) in
attractiones S M, L M. Et sic urgebitur corpus P vi acceleratrice
triplici. Vis una tendit ad Z) & oritur a mutua attractione corporum
T & P. Hac vi sola corpus P circum corpus T, sive immotum, sive
hac attractione agitatum, describere deberet & areas, radio P T,
temporibus proportionales, & ellipsin cui umbilicus est in centro
corporis T. Patet hoc per prop. xi, & corollaria 2 & 3 theor. xxi.
Vis altera est attractionis L M, quae quoniam tendit a jP ad Z",

superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areae etiamnum
temporibus proportionales describantur per corol. 3 theor. xxi. At
quoniam non est quadrato distantiae P T reciproce proportionalis,
componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem,
idque eo magis, quo major est proportio hujus vis ad vim priorem,
caeteris paribus. Proinde cum (per prop. xi, & per corol. 2 theor.
xxi) vis, qua ellipsis circa umbilicum T describitur, tendere debeat
ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiae P T reciproce
proportionaHs ; vis illa composita, aberrando ab hac proportione,
faciet ut orbis P A B aberret a forma ellipseos umbilicum habentis
in T; idque eo magis, quo major est aberratio ab hac proportione ;
atque ideo etiam quo major est proportio vis secundae L M ^d
vim primam, caeteris paribus. Jam vero vis tertia S M, trahendo
corpus P secundum lineam ipsi S T parallelam, componet cum
viribus prioribus vim, quae non amplius dirigitur a -P in T ; quaeque

172

ab hac determinatione tanto magis aberrat, quanto major est
proportio hujus tertise vis ad vires priores, casteris paribus : atque
ideo qux faciet ut corpus P, radio TP, areas non amplius
temporibus proportionales describat; atque ut aberratio ab hac
proportionalitate tanto major sit, quanto major est proportio vis
hujus tertice ad vires csteras. Orbis vero PAB aberrationem a
forma elliptica pr^efata h^ec vis tertia dupHci de causa adaugebit,
tum quod non dirigatur a /* ad T, tum etiam quod non sit reciproce
proportionalis quadrato distanticc P T. Quibus intellectis, manifestum
est, quod ares temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubl vis
tertia, manentibus viribus carteris, fit minima ; & quod orbis PAB
tum maxime accedit ad pnefatam formam ellipticam, ubi vis tam
secunda quam tertia, sed pr^ecipue vis tertia fit minima, vi prima
manente.

Exponatur corporis T attractio acceleratrix versus 3" per lineam
SN ; & si attractiones acceleratrices S M, S N sequales essent; hac.
trahendo corpora T Si. P aequaliter & secundum lineas parallelas, nil
mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corponim
lllorum motus inter se (per legum corol. vi) ac si hie attractiones
tollerentur. Et pari ratione si attractio ^"A'' minor esset attracdooe
S M, tolleret ipsa attractionis S M partem S N, & maneret pars soU
MN, qua temporum & arearum proportlonalitas & orbitas fonna
illa elliptica perturbaretur. Et similiter si attractlo ^■.^V major essel
attractione S M, oriretur ex differentla sola Af N perturbatio propor-
tionalitatis & orbitie. Sic per attractionem S N reducitur semper
attractio tertla superior SM ad attractionem M N, attractionc
prima & secunda manentibus prorsus immutatis : & propterea areac
ac tempora ad proportionalitatem, & orbita P A B zd formam j

LIBER PRIMVS. 1 73

fatam elHpticam tum maxime accedunt, ubi attractio M N vel nulla
est, vel quam fieri possit minima; hoc est, ubi corporum P &, T
attractiones acceleratrices, factae versus corpus Sy accedunt quan-
tum fieri potest ad aequalitatem ; id est, ubi attractio SN non est
nuUa, neque minor minima attractionum omnium SMj sed inter
attractionum omnium S M maximam & minimam quasi mediocris,
hoc est, non multo major neque multo minor attractione SK. Q.E.D.

Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, S circa maximum T
in planis diversis ; & vis L M, agendo secundum lineam P T m
plano orbitae P A B sitam, eundem habebit effectum ac prius, neque
corpus P de plano orbitae suae deturbabit. At vis altera N My
agendo secundum lineam quae ipsi S T parallela est (atque ideo,
quando corpus .S versatur extra lineam nodorum, inclinatur ad
planum orbitae P A B) praeter perturbationem motus in longitudinem
jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem,
trahendo corpus P de plano suae orbitae. Et haec perturbatio, in dato
quovis corporum P &l T 2A invicem situ, erit ut vis illa generans
MN, ideoque minima evadet ubi M N est minima, hoc est (uti
jam exposui) ubi attractio SN non est multo major, neque multo
minor attractione S K. Q. E. D.

Corol. I. Ex his facile coUigitur, quod, si corpora plura minora
Py Sy Ry &c. revolvantur circa maximum 7) motus corporis intimi
P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maxi-
mum T pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratricum, attra-
hitur & agitatur, atque caetera a se mutuo.

Corol. 2. In systemate vero trium corporum T, jP, Sy si attrac-
tiones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium sint ad invicem
reciproce ut quadrata distantiarum ; corpus jP, radio P T, aream
circa corpus T velocius describet prope conjunctionem A & opposi-
tionem jB, quam prope quadraturas C, D. Namque vis omnis qua
corpus P urgetur & corpus T non urgetur, quaeque non agit
secundum lineam P T accelerat vel retardat descriptionem areae,
perinde ut ipsa in consequentia vel in antecedentia dirigitur. Talis
est vis N M. Haec in transitu corporis P 3, C did A tendit in
consequentia, motumque accelerat ; dein usque ad D in antecedentia,
& motum retardat; tum in consequentia usque ad B, & ultimo in
antecedentia transeundo a -ff ad C

174

DE MOTU CORPORUM

CWof. ;. E: eo-ieni argumento patet quod corpus P, caetcre
puribus. velocius n:c verjr in conjunctione & opposidone quam ia
quadratiiris-

Co/\\\ 4. Orb::a corporis P. cxteris paribus, curvior est in q»-
draturis quam :n corrunctione & opposidone. Nam corpora velodon
minus do!lect;:nr a recro tra.-nlte. Et praeterea vis /TZ, vd NM,
in conjunctione Cs: opposidone contraria est \i. qua corpus Ttsk>
corpus P : idcoque vim illain minuit : corpus autem -P minus dcflectt
a rocto tramite. ;:bi n-.inus urgetur in corpus Ti

Coro/. 5. l' n Je corpus P, caeteris paribus, longius recedet 1
corpore 7" in quadraturis, quam in conjunctione & c^positioot
IKih: ita se habent excluso motu excentricitads. Nam si orffe
corporis P excentrica sit. excentricitas ejus (ut mox in hujus coroL^
oston*.lotur) evadet maxima ubi apsides sunt in syzygiis; indeqoc
liori {HUost ut corpus P, ad apsidem summam appellans, absit loi^
a corpore T in syzygiis quam in quadraturis.

H

( oro/. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis 7\ qua coqws
/' rrtini^tur in orbe suo, augetur in quadraturis per additioocin
vis A .1/, ac diminuitur in syzygiis per ablationem vis A'Z, & <^
in;i)Mutudinom vis A'L, magis diminuitur quam augetur: est autetn
vi!i illa contripeta (pcr corol. 2 prop. iv) in ratione composita cx
riilioiu! simplici radii TP directe & ratione duplicata temporis
prriodici inversc : patet hanc rationem compositam diminui pff
;irii(»ncin vis A'Z; ideoque tempus periodicum, si maneat orbis ladius
V/\ auj^eri, idque in subduplicata ratione, qua vis illa ccntripcta
climinuitur : auctoque ideo vel diminuto hoc radio, tempus pcrio-
dicum augeri magis, vel diminui minus quam in radii hujus ratiooc

LIBER PRIMUS,

175

sesquipHcata (per corol. 6 prop. iv). Si vis illa corporis centralis
paulatim languesceret, corpus P minus semper & minus attractum
perpetuo recederet longius a centro T ; & contra, si vis illa augere-
tur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui S, qua vis
illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices : augebitur simul
ac diminuetur radius TP per vices ; & tempus periodicum auge-
bitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata
radii, & ratione subduplicata, qua vis illa centripeta corporis centralis
7^, per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui S,
diminuitur vel augetur.

CoroL 7. Ex praemissis consequitur etiam, quod ellipseos a corpore
P descriptae axis, seu apsidum linea, quoad motum angularem,
progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur,
& per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua
corpus P urgetur in corpus T in quadraturis, ubi vis MN evanuit,
componitur ^x v\ L M &, w\ centripeta, qua corpus T trahit corpus
P. Vis prior L My si augeatur distantia P T, augetur in eadem fere
ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata
illa ratione, ideoque summa harum virium decrescit in minore quam
duplicata ratione distantiae P T, & propterea (per corol. i prop. xlv)
efficit ut aux, seu apsis summa, regrediatur. In conjunctione vero
& oppositione vis, qua corpus P urgetur in corpus T, differentia est
inter vim, qua corpus T trahit corpus P, & vim ICL ; & differen-
tia illa, propterea quod vis ICL augetur quamproxime in ratione
distantise P T, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiae
P Ty ideoque (per corol. i prop. xlv) efficit ut aux progrediatur.
In locis inter syzygias & quadraturas pendet motus augis ex causa
utraque conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progre-
diatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis K L in syzygiis sit quasi
duplo major quam vis L M \n quadraturis, excessus erit penes vim
jfiTZ, transferetque augem in consequentia. Veritas autem hujus &
praecedentis corollarii facilius intelligetur concipiendo systema cor-
porum duorum T, P corporibus pluribus S, S, S, &c. in orbe E S E
consistentibus, undique cingi. Namque horum actionibus actio ipsius
T minuetur undique, decrescetque in ratione plusquam duplicata
distantiae.

176

DE MOTU CORPORUM

Corol. 8. Cum autem pendeat apsidutn progressus vel regressus
a decremento vis centrjpetie facto in majori vel minori quam du-
plicata ratione distantlas TP, m transitu corporis ab apside ima ad
apsidem summam ; ut & a simili incremento in reditu ad apsid-
em imam ; atque ideo maximus sit ubi proportio vis in apside
summa ad vim in apside ima maxime recedit a dupHcata ratione
distantiarum inversa : manifestum est quod apsides in syzygiis suis.
per vim ablatitiam KL seu N M—L M, progredientur velodus,
inque quadraturis suis tardius recedent per vim addidtiam L M. Ob
diuturnitatem vero temporis, quo velocitas progressus vel tarditas
regressus continuatur, fit hEcc inaequalitas longe maxima.

Corol. g. Si corpus aliquod, vi reciproce proportionali quadrato
distantise sure a centro, revolveretur circa hoc centrum in ellipsi;
& mox, in descensu ab apside summa seu auge ad apsidem imam,
vis illa per accessum perpetuum vis nova^ augeretur in ratione plus-

quam duplicata distantiie diminutK : manifestum est quod cmpSS^
perpetuo accessu vis illius novie impulsum semper in centrum.
magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in
duplicata ratione distantiae diminutae ; ideoque orbem describertt
orbe elliptico interiorem, & in apside ima propius accederet ad
centrum quam prius. Orbis igitur, accessu hujus vis novae, fiet
magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab apside imasd
apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creven^
rediret corpus ad distantiam priorem. ideoque si vis decreseat h
majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiaB
majorem & sic orbis excentricitas adhuc magis augebitur. QuaR
si ratio incrementi & decrementi vis centripetae singulis revol-
utionibus augeatur, augebitur semper excentricltas ; & coqM

LIBER PSmVS.

177

diminuetur eadem, si ratio illa decrescat. Jam vero in systemate
corporum T, P. S, ubi apsides orbis P A B sunt in quadraturis, ratio
illa incrementi ac decrementl minima est, & maxima fit ubi apsides
sunt in syzygiis. Si apsides constltuantur in quadraturis, ratio prope
apsides mJnor est & prope syzygias major quam dupHcata distantiarum,
& ex ratione illa majori oritur augis motus directus. uti jam dictum
esL At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius In
progressu inter apsides, ha;c minor est quam dupllcata distantiarum.
Vis in apside ima est ad vim in apside summa in minore quam
dupHcata ratione distantire apsidis summa: ab umbiiico ellipseos
a,d distantiam apsidis iniEe ab eodem umbilico : & contra, ubi
apsides constituuntur in syzygiis, vis in apside ima est ad vim in
apside summa in majore quam duplicata ratione distantlarum. Nam
vires L M in quadraturls additx viribus corporis T componunt
vires in ratione minore, & vires K L in syzygiis subductae a viribus
corporis T relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio
decrementi & incrementi totius, in transitu inter apsides, minima in
quadraturis, maxlma in syzygiis : & propterea in transitu apsldum
a quadraturis ad syzygias perpetuo augetur, augetque excentricitatem
eliipseos ; inque transitu a syzyglis ad quadraturas perpetuo dimlnu-
itur. & excentricitatem diminult.

Corol. 10. Ut ratlonem Ineamus errorum in latitudlnem, fingamus
planum orbis E ST immobile manere ; & ex errorum exposita causa
manifestum est, quod ex viribus N M, M L, quse sunt causa illa tota,
vis M L agendo semper secundum planum orbis P A B, nunquam
perturbat motus In latitudinem ; quodque vis N M, ubi nodi sunt
in syzygils, agendo etiam secundum idem orbis planum, non perturbat
hos motus ; ubi vero sunt In quadraturis, eos maxlme perturbat,
corpusque P de plano orbis sui perpetuo trahendo, mlnult incllnatlo-
nem planl in transltu corporls a quadraturis ad syzygias, augetque
vicissim eandem in transltu a syzygiis ad quadraturas. Unde fit
ut corpore in syzygiis existente incllnatlo evadat omnlum mlnima,
redeatque ad prlorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad nodum
proximum accedit. At si nodi constituantur in octantibus post
quadraturas. id est, inter C &. A, D & B, intelllgetur ex modo
exposltis, quod, in transitu corporis P a nodo alterutro ad gradum
inde nonagesimum, inclinatio planl perpetuo minuitur ; deinde in

I 78 DE MOTU CORPORUM

transitxi per proximos 45 gradus, usque ad quadraturam proximara,
inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus,
usque ad nodum proxlmum, diminuitur. Magis itaque diminuitur
inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo
subsequente quam inpr^cedente. Et simili ratiocinio, inclinatio
magis augetur, quam diminuitur, ubi nodi sunt in octantibus alteris
inler A &. D, B & C. Inclinatio igitur ubi nodi sunt in syzygiis est
omnium maxima. In transitu eonim a syzygiis ad quadraturas, in
singulis corporis ad nodos appulsibus, diminultur; fitque omnium
minima, ubl nodl sunt in quadraturis, & corpus in syzygiis : dein cresdt
ilsdem gradibus, quibus antea decreverat ; nodisque ad syzygias
pro-Nimas appulsis, ad magnitudinem primam revertltur.

Coro/. II. Quoniam corpus P, ubi nodi sunt in quadraturis,
perpetuo trahitur de plano orbls sui, Idque in partem versus S in
transitu suo a nodo C per conjunctlonem A ad nodum jD; &

contrariam partem in transltu a nodo D per oppositionem i? a*l
nodum C: manlfestum est, quod in motu suo a nodo C corpus per-
petuo recedit ab orbls su! plano primo CD. usque dum pervenlum cst
ad nodum proximum; idcoque in hoc nodo, longissime distans a plaJW
illo primo CD, transit per planum orbls EST non in plani illi^
nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporii
S, quodque proinde novus est nodi locus in anteriora vergens, Ei
simili argumento pergent nodi recedere In transitu corporis dc fcoc
nodo in noduni proxlmum. Nodl igitur in quadraturis constituo
perpetuo recedunt; in syzygiis, ubi motus in latitudlnem nil perlui
batur, quicscunt ; In locls intermediis, conditionls utriusque patfr

cipes, recedunt tardius : ideoque, semper vel retrogradi, vel statio-
narii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.

Corol. 12. Omnes illi in his corollariis descripti errores sunt paulo
majores in conjunctione corporum P, S, quam in eorum oppositione ;
idque ob majores vires generantes N M & M L.

CoroL 13. Cumque rationes horum corollariorum non pendeant
a magnitudine corporis S, obtlnent prsecedentia omnia, ubi corporis
^ tanta statuitur magnitudo, ut circa ipsum revolvatur corponim
duorum T 8i. P systema. Et ex aucto corpore S, auctaque ideo
ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriuntur, evadent
errores illi omnes, paribus distantiis, majores in hoc casu quam in
altero. ubi corpus .S" circum systema corporum P & T^revolvitur.

Corol. 14. Cum autem vires N M, J\I L, ubi corpus S longinquum
est, sint quamproxime ut vis S K & ratio P T ad S T conjunctim,
hoc est, si detur tum distantia P T, tum corporis S vis absoluta, ut
^ T cub. reciproce ; sint autem vires ill^ N M, M L causEc errorum
& effectuum omnium, de quibus actum est in pra;cedentibus corol-
lariis : manifestum est, quod effectus illi omnes, stante corporum
T Si. P systemate. & mutatis tantum distantia S T Si. v\ absoluta
corporis S, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa
vis absolut^ corporis S, & ratione triplicata inversa distanli^e .5 T.
Unde si systema corponim T & P revolvatur circa corpus longln-
quum S; vires itls NM, A/L, & earum effectus erunt (per
corol. 2 & 6, prop. iv) reciproce in duplicata ratione temporis
periodici. Et inde etiam, si magnitudo corporis S proportionalis sJt
ipsius vi absoIutK, erunt vires illfe N M, Af L, & earum efiectus
directe ut cubus dlametri apparentis longinqui corporis ^ e corpore
T spectati, & vice versa. Namque hae rationes eccdem sunt, atque
ratio superior composita.

Corol. 15. Et quoniam si, manentibus orbium ESE & PAB
forma proportionibus & inclinatione ad invicem, miitetur eorum
magnitudo & si corporum S 8c T vel maneant vel mutentur vires
in data quavis ratione, hae vires (hoc est, vis corporis T, qua
corpus P de recto tramite in orbitam P A B deflectere, & vis corporis
S, qua corpus idem P de orbita illa deviare cogitur) agunt semper
eodem modo, & eadem proportione : necesse est ut similes & pro-
portionales sint effectus omnes, & proportionalia efifectuum tempora ;

l8o ^^ MOTU CORPORUM

hoc est, ut errores omnes lineares sint ut orbium diametri, angulares
vero iidem, qui prius, & errorum linearium similium vel angularium
aequalium tempora ut orbium tempora periodica.

CoroL i6. Unde, si dentur orbium formae & inclinatio ad invicem,
& mutentur utcunque corporum magnitudines, vires & distantiae;
ex datis erroribus & errorum temporibus in uno casu, colligi possunt
errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime : sed
brevius hac methodo. Vires N My M L, caeteris stantibus, sunt ut
fadius TPy & harum effectus periodici (per corol. 2 lem. x) ut
vires, & quadratum temporis periodici corporis P conjunctim. Hi
sunt errores lineares corporis P, & hinc errores angulares e centro
T spectati (id est, tam motus augis & nodorum, quam omnes in
longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt, in qualibet
revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam
proxime. Conjungantur hae rationes cum rationibus corollarii 14,

& in quolibet corporum 7) P, S systemate, ubi P circum T sibi
propinquum, & T circum 6* longinquum revolvitur, errores angu-
lares corporis P, de centro T apparentes, erunt, in singulis revolu-
tionibus corporis illius P, ut quadratum temporis periodici corporis
P directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse.
Et inde motus medius augis erit in data ratione ad motiim medium
nodorum ; & motus uterque erit ut tempus periodicum corporis P
directe & quadratum temporis periodici corporis T inverse. Au-
gendo vel minuendo excentricitatem & inclinationem orbis PAB
non mutantur motus augis & nodorum sensibiliter, nisi ubi eaedem
sunt nimis magnae.

LIBER PRIMVS. i8l

Corol. 17. Cum autem linea LM TM.r\z major sit nunc minor quam
radius P T, exponatur vis mediocris L M per radiiim illum P T ;
& erit hsc ad vim mediocrem SK vel SJV (quam exponere licet
per S T) ut longitudo P T ad longjtudinem 6" T. Est autem vis
mediocris SJV vel S T, qua corpus T^retinetur in orbe suo circum S,
ad vim, qua corpus P retinetur in orbe suo circum T, in ratione
composita ex ratione radii ^ 7* ad radlum P T, Sl ratione duplicata
temporis periodici corporis P circum T^ad tempus periodicum corporis
Tcircum^?. Et ex aequo, vis mediocris LM ad vim, qua cc^pus
P retinetur in orbe suo circum T (quave corpus Ideni P, eudem
tempore perlodico, circum punctum quodvis immobile T^ad distantiam
P 2^revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum tem-
porum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia P T,
datur vis mediocris Z Af; & ea data, datur etiam vis M JV
quamproxime per analogiam linearum P T, M N,

CoroL 18. lisdem legibus, qulbus corpus P circum corpus T
revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idcm T^adcequales
ab ipso distantias moveri ; deinde ex hls contiguis factls conflari
annulum fluidum, rotundum ac corpori T concentricum ; & singu-
lae annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo.
propius accedent ad corpus T, & celerius movebuntur in conjunc-
tione & oppositione Ipsanim & corporls S, quam in quadraturis.
Et nodi annuli hujus, seu intersectiones ejus cum plano orbitse
corporis sS" vel 7) qulescent In syzygils ; extra syzygias vero move-
buntur in antecedentia, & velocissime quidem m quadraturis, tardius
aliis in locls, Annuli quoque inclinatlo variabitur, & axls ejus
singulls revolutionibus oscillabitur, completaque revolutlone ad
pristinum sltum redibit, nisl quatenus per prjecessionem nodorum
circumfertur.

Corol. ig. Fingas jam globum corporls 7", ex materia non fluida
constantem, ampliari & extendi usque ad hunc annulum, & alveo
per circuitum excavato continere aquam, motuque eodem peri-
odico circa axem suum uniformlter revolvi. HIc liquor per vices
acceleratus & retardatus (ut in superiore corollario) in syzyglis
velocior erit, in quadraturis tardior quam superficies globl, & sic fluet
in alveo refiuetque ad modum maris. Aqua, revolvendo circa globi
centrum quiescens, si tollatur attractio corporis S. nullum acquiret

A

l8i DE MOTU CORPORUM

motum fluxus & refluxus. Par est ratio globi uniformiter progre-
dientis in directum, & interea revolventis circa centrum suum (per
legum corol. v) ut & globi de cursu rectilineo uniformiter tracti
(per legum corol. vi). Accedat autem corpus S^ & ab ipsius inaequa-
bili attractione mox turbabitur aqua. Etenim major erit attractio
aquae propioris, minor ea remotioris. Vis autem L M trahet aquam
deorsum in quadraturis, facietque ipsam descendere usque ad syzy-
gias; & vis KL trahet eandem sursum in syzygiis, sistetque descensum
ejus, & faciet ipsam ascendere usque ad quadraturas : nisi quatenus
motus fluendi & refluendi ab alveo aquae dirigatur, & per frictionem
aliquatenus retardetur.

CoroL 20. Si annulus jam rigeat, & minuatur globus, cessabit
motus fluendi & refluendi ; sed oscillatorius ille inclinationis motus &
praecessio nodorum manebunt Habeat globus eundem axem cum
annulo, gyrosque compleat iisdem temporibus, & superficie sua con-
tingat ipsum interius, eique inhaereat; & participando motum ejus.

^^^Lf^L •«••••■■•■•••••••••••••••««•••••••••■>•••••*•>•■•••••••

compages utriusque oscillabitur, & nodi reg^edientur. Nam globus,
ut mox dicetur, ad suscipiendas impressiones omnes indifferens est
Annuli globo orbati maximus inclinationis angulus est, ubi nodi sunt
in syzygiis. Inde in progressu nodorum ad quadraturas conatur is
inclinationem suam minuere, & isto conatu motum imprimit globo
toti. Retinet globus motum impressum, usque dum annulus conatu
contrario motum hunc tollat, imprimatque motum novum in con-
trariam partem : Atque hac ratione maximus decrescentis inclina-
tionis motus fit in quadraturis nodorum, & minimus inclinationis
angulus in octantibus post quadraturas; dein maximus reclinationis
motus in syzygiis, & maximus angulus in octantibus proximis. Et

IJBER PRmvS.

eadem est ratio globi annulo nudati, qui in regionibus xquatoris vel
altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia paulo
■densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequatoris
regionibus excessus, Et quanquam, aucta utcunque globi hujus vi
centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad
modum gravitantium partium telluris, tamen phjenomena hujus &
prsecedentis corollarii vix inde mutabuntur; nisi quod loca maxi-
marum & minimarum altitudinum aqu^ diversa erunt. Aqua enim
jam in orbe suo sustinetur & permanet, non per vim suam centrifu-
gam, sed per alveum in quo fluit Et pr^eterea vis L Af trahit aquam
deorsum maxime in quadraturis, & vis K L seu N M—LM trahit
eandem sursum maxime in syzygiis. Et h^e vires conjunctas desinunt
trahere aquam deorsum & incipiunt trahere aquam sursum in
octantibus ante syzygias, ac desinunt trahere aquam sursum incipi-
untque Irahere aquam deorsum in octantibus post syzygias. Et inde
maxima aqu^ altitudo evenire potest in octantibus post syzygias, &
mintma in octantibus post quadraturas circiter; nisi quatenus motus
ascendendi vel descendendi ab his viribus impressus vel per vlm
insitam aqux paulo diutius perseveret, vel per impedimenta alvei
paulo citius sistatur.

Corol. 21. Eadem ratione, qua materia globi juxta requatorem
redundans efficit ut nodi regredlantur, atque ideo per hujus incre-
menium augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur,
& per ablationem toliitur; si materia plusquam redundans tollatur,
lioc est, si globus juxta cequatorem vel depressior reddatur, vel
rarior quam juxta polos, orietur motus nodonim in consequentia.

Corol. 22. Et inde vicissim, ex motu nodorum innolescit constl-
itio globi. Nimirum si globus polos eosdem constanter servat, &
lOtus fit in antecedcntia, materia juxta ^equatorem redundat ; si in
■consequentia, deficit. Pone globum uniformem & perfecte circi-
natum in spatiis liberis primo quiescere ; dein impetu quocunque
oblique in superficiem suam facto propelti, & motum inde conci-
pere partim circularem, partim in directum. Quoniam globus iste
ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet,
neque propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in
alium quemvis ; perspicuum est, quod is axem suum, axisque incli-
nationem vi propria nunquam mutabit. Impellatur jam globus

1 84 DE MOTU CORPOR UM

oblique, in eadem illa superficiei parte, qua prius, impulsu quocunque
novo; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, mani-
festum est, quod hi duo impulsus successive impressi eundem pro-
ducent motum, ac si simul impressi fuissent, hoc est, eundem, ac si
globus vi simplici ex utroque (per legum corol. ii) composita impulsus
fuisset, atque ideo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et
par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in
aequatore motus primi ; ut &. impulsus primi facti in locum quemvis
in aequatore motus, quem impulsus secundus sine primo generaret;
atque ideo impulsuum amborum factorum in loca quaecunque :
generabunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in
locum intersectionis aequatorum motuum illorum, quos seorsim
generarent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus
non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit
& ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu
simplici & uniformi circa axem unicum, inclinatione semper inva-
riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut
rotationis velocitatem mutare potest. Si globus plano quocunque,
per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte, dividi
intelligatur in duo hemisphaeria ; urgebit semper vis illa utrumque
hemisphaerium aequaliter, & propterea globum, quoad motum rota-
tionis, nullam in partem inclinabit Addatur vero alicubi inter
polum & aequatorem materia nova in formam montis cumulata, &
haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui motus, turbabit motum
globi, facietque ut poli ejus errent per ipsius superficiem, & circulos
circum se punctumque sibi oppositum perpetuo describant Neque
corrlgetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel
in polo alterutro, quo in casu (per corol. 21) nodi aequatoris pro-
g^edientur; vel in aequatore, qua ratione (per corol. 20) nodi
regredientur ; vel denique ex altera axis parte addendo materiam
novam, qua mons inter movendum libretur, & hoc pacto nodi vel
progredientur, vel recedent, perinde ut mons & haecce nova materia
sunt vel polo vel aequatori propiores.

LIBER PRIMUS.

185

PROPOSITIO LXVII. THEOREMA XXVII.

Positis iisdem attractionum legibtis^ dico quod corpus exterius S, circa
interiorum P, T commune gravitatis centrum O, rculiis ad centrum
illud dtutis, describit areas temporibus magis proportianales & orbem
ad formam ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis acce-
dentem, quam circa corpus intimum & maximum T, radiis ad ipsum
ductisy describere potest.

Nam corporis S attractiones ver-
sus T 81 P componunt ipsius attrac-
tionem absolutam, quae magis dirigitur
in corporum T & P commune gravi- si
tatis centrum O, quam in corpus
maximum T, quaeque quadrato dis-
tantiae SO magis est proportionalis
reciproce, quam quadrato distantiae ^ 7": ut reni perpendenti facile
constabit

PROPOSITIO LXVIII. THEOREMA XXVIII.

Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius S^
circa interiorum V & T commune gravitatis centrum O, radiis ad
centrum illud ductisy describit areas temporibus magis proportionales^
& orbem ad formam ellipseos umbilicum in centro eodem kabentis
magis accedentemy si corpus intimum & maximum his attractionibus
perinde atque ccetera agitetur^ quani si id vel non attractum quiesccU^
vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis au$
multo minus agitetur.

Demonstratur eodem fere modo cum prop. lxvi sed ai^mento
prolixiore, quod ideo praetereo. Sufficeret rem sic aestimare.
Ex demonstratione propositionis novissimae liquet centrum, in quod

1 86 DE MOTU CORPOR UM

corpus .S conjunctis viribus urgetur, proximum esse communi cen-
tro gravitatis duorum illorum. Si coincideret hoc centrum cum
centro illo communi, & quiesceret commune centrum gravitatis
corporum trium ; describerent corpus S ex una parte, & commune

centrum aliorum duorum ex altera ^

parte, circa commune omnium cen-
trum quiescens, ellipses accuratas.
Liquet hoc per coroUarium secun-
dum propositionis lviii collatum cum
demonstratis in prop. lxiv & lxv.

Perturbatur iste motus ellipticus ali- ^"^^' ^

quantulum per distantiam centri duorum a centro, in quod tertium 6*
attrahitur. Detur praeterea motus communi trium centro, &
augebitur perturbatio. Proinde minima est perturbatio, ubi commune
trium centrum quiescit ; hoc est, ubi corpus intimum & maximum
T lege caeterorum attrahitur : fitque major semper, ubi trium com-
mune illud centrum, minuendo motum corporis T, moveri incipit, &
magis deinceps magisque agitatur.

CoroL Et hinc, si corpora plura minora revolvantur circa maxi-
mum, coUigere licet quod orbitae descriptae propius accedent ad
ellipticas, & arearum descriptiones fient magis aequabiles, si corpora
omnia viribus acceleratricibus, quae sunt ut eorum vires absolutae
directe & quadrata distantiarum inverse, se mutuo trahant agitent-
que, & orbitae cujusque umbilicus coUocetur in communi centro
gravitatis corporum omnium interiorum (nimirum umbilicus orbitae
primae & intimae in centro gravitatis corporis maximi & intimi ; ille
orbitae secundae, in communi centro gravitatis corporum duorum
intimorum ; iste tertiae, in communi centro gravitatis trium interiorum;
& sic deinceps) quam si corpus intimum quiescat & statuatur com-
munis umbilicus orbitarum omnium.

PROPOSITIO LXIX. THEOREMA XXIX.

In systemate corporum plurium A, B, C, D, &c. st corpus aliquod
A trakit ccetera omnia B, C, D, &c. viribus acceleratricibus quce
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente ; & corpus aliud

LIBER PRIMUS, 187

B trahit etiam ccetera A, C, D, &c. viribus qucB sunt reciproce ut
quadrata distantiarum a trahente : erunt absolutce corporum trahen-
tium A, B vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora A, B, quorum
sunt vires.

Nam attractiones acceleratrices corporum omnium By C, D ver-
sus A, paribus distantiis, sibi invicem aequantur ex hypothesi; &
similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B,
paribus distantiis, sibi invicem aequantur. Est autem absoluta vis
attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis By ut
attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attractionem
acceleratricem corporum omnium versus By paribus distantiis; &
ita est attractio acceleratrix corporis ^ versus A^ ad attractionem
acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acceleratrix
corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A
versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B ; propterea
quod vires motrices, quae (per definitionem secundam, septimam &
octavam) sunt ut vires acceleratrices & corpora attracta conjunctim,
hic sunt (per motus legem tertiam) sibi invicem aequales. Ergo
absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam
corporis By ut massa corporis A ad massam corporis B, Q. E. D.

CoroL I. Hinc si singula systematis corpora A, B, C, Z?, &c.,
seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus, quae
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente ; erunt corporum
illorum omnium vires absolutae ad invicem ut sunt ipsa corpora.

CoroL 2. Eodem argumento, si singula systematis corpora A, B,
C Z?, &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus accelera-
tricibus, quae sunt vel reciproce, vel directe in ratione dignitatis
cujuscunque distantiarum a trahente, quaeve secundum legem quam-
cunque communem ex distantiis ab unoquoque trahente definiuntur ;
constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora.

CoroL 3. In systemate corporum, quorum vires decrescunt in
ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in ellipsibus,
umbilicum communem in maximi illius centro habentibus, quam
fieri potest accuratissimis revolvantur; & radiis ad maximum illud

A

m"AIHTg

•.

!*f-

riin

* - rf ^

LIBER PRIMUS, 189

t SECTIO XII.

De carporum splugricorum viribus attractivis.

PROPOSITIO LXX. THEOREMA XXX.

i Si ad spJuerica superficiei puncta singula tendant vires cequales
\ centripetce decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis :

dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus

nullam in partem attrahitur.

Sit H I K L superficies illa sphaerica, & P corpusculum intus con-
stitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineae duse H K, I Ly
arcus quam minimos H ly K L intercipientes ; &, ob triangula HPI^
JLPK (per corol. 3 lem. vii) similia,
arcus illi erunt distantiis HP^ LP pro-
portionales ; & superficiei sphaericae par-
ticulae quaevis ad HI & KL, rectis per
punctum P transeuntibus undique ter-
minatae, erunt in duplicata illa ratione.
Ergo vires harum particularum in corpus
P exercitae sunt inter se aequales. Sunt
enim ut particulae directe, & quadrata
distantiarum inverse. Et hae duae rationes

«

componunt rationem aequalitatis. Attractiones igitur, in contrarias
partes aequaliter factae, se mutuo destruunt Et simili argumento,
attractiones omnes per totam sphaericam superficiem a contrariis
attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nuUam in partem his
attractionibus impellitur. Q. E. D.

PROPOSITIO LXXI. THEOREMA XXXI.

lisdem positis, dico quod corpusculum extra sphcericam superficiem
constitutum attrahitur ad centrum sphcerce^ vi reciproce proportionali
quadrato distantice sua ab eodem centro.

IQO

DE MOTU CORPORUM

Sint A HKBy ahkb aequales duae superficies sphaericae, centris
S, Sf diametris A B, ab descriptae, &, Py p corpuscula sita extrin-
secus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineae
PHKj PILyphkyptl, auferentes a circulis maximis AHB,
ahby aequales arcus HK, hk 8i IL, il: et ad eas demittantur
perpendicula S D^ sd; S E, se; I R, ir; quorum SD, ^^secent PZ,
plm F & /. Demittantur etiam ad diametros perpendicula IQ^ iq.
Evanescant anguli D P E, dpe: & ob aequales DSBidSyES&Les,
lineae P Ey PF 8i pe, pf & lineola DE, df pro aequalibus habe-
antur; quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe simul

evanescentibus, est aequalitatis. His itaque constitutis, erit P I did
P F \xt RI did DF, & pf ad / i ut df vel D F ^Ar i; & ex aequo
Plxpf ad P Fxpi ut R I ad ri, hoc est (per corol. 3 lem. vii)
ut arcus I H ^A arcum ih. Rursus P I ^d P S ut /^ ad S E, &
ps adpi ut se vel SE ^diq; & exaequo P/x/ ^ ad P Sxpi \xt
I Q 2A iq, Et conjunctis rationibus P I qtiad. xpfxps ad / i quad.
xPFxPSy ut IHxIQ ad ihxiq; hoc est, ut superficies circu-
laris, quam arcus IH convolutione semicirculi A KB circa diametrum
A B describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih con-
volutione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires,
quibus hae superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt
corpuscula P & py sunt (per hypothesin) ut ipsae superficies directe,
& quadrata distantiarum superficierum a corporibus inverse, hoc est,
ut pfxps z,d P FxP S. Suntque hae vires ad ipsarum partes obli-
quas, quae (facta per legum corol. 11 resolutione virium) secundum
lineas PS, ps ad centra tendunt, ut P / ad PQ, & pi adp q ; id
est (ob similia triangula PIQ &PSF,piq & psf) ut PS ad PF

LIBER PRIMUS,

191

%L ps 2A pf. Unde, ex aequo, fit attractio corpusculi hujus P
versus o ad attractionem corpusculi / versus s, ut ^-~ — - — ad

— , hoc est, ut ps quad, ad P6' qMod, Et simili argu-

mento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptae
trahunt corpuscula, erunt ut / ^ quad. ad P v9 quad. inque eadem
ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraque
superficies sphaerica, capiendo semper sd aequalem SD & se
aequalem SE, distingui potest. Et, per compositionem, vires totarum
superficierum sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem
ratione. Q. E. D.

PROPOSITIO LXXII. THEOREMA XXXII.

*SV ad spJusrce cujusvis puncta smgula tendant vires cequales centripetcs

decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; ac detur

tum spJuercB densitaSy tum ratio diametri spJtcercB ad distantiam

corpusculi a cefitro ejus : dico quod visy qua corpusculum attraJiitur^

proportionalis erit semidiametro spJuerce.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a sphaeris duabus attrahi,
unum ab una & alterum ab altera, & distantias eorum a sphaerarum
centris proportionales esse diametris sphaerarum respective, sphaeras
autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula.
Et attractiones corpusculi unius, factae versus singulas particulas
sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem
particulas sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particu-
larum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed
particulae sunt ut sphaerae, hoc est, in ratione triplicata diametrorum,
& distantiae sunt ut diametri; & ratio prior directe una cum
ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum.
Q.E.D.

Corol. I. Hinc si corpuscula in circulis, circa sphaeras ex materia

192

DE MOTU CORPORUM

aequaliter attractiva constantes, revolvantur; sintque distantiae a
centris sphaerarum proportionales earundem diametris : tempora
periodica erunt aequalia. .

CoroL 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia ;
distantiae erunt proportionales diametris. Constant haec duo per
coroL 3 prop. iv.

Corol. 3. Si ad solidorum duorum quorumvis, similium & aequa-
liter densorum, puncta singula tendant vires aequales centripetae,
decrescentes in duplicata ratione distantrarum a punctis ; vires, quibus
corpuscula, ad solida illa duo similiter sita, attrehentur ab iisdem,
erunt ad invicem ut diametri solidorum.

vt

PROPOSITIO LXXIII. THEOREMA XXXIII.

Si ad sph(Brce alicujus data puncta singula tendant cequales vires
centripetcB decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis :
dico quod corpusculum intra sphceram constitutum attrahitur
proportionali distantia sua ab ipsius centro.

In sphaera ABCDy centro .S descripta,
locetur corpusculum P ; &. centro eodem
Sy intervallo SP, concipe sphaeram interi-
orem P EQF describi. Manifestum est,
(per prop. lxx) quod sphaericae superficies
concentricae, ex quibus sphaerarum diffe-
rentia AEBF componitur, attractionibus
suis per attractiones contrarias destructis,
nil agunt in corpus P. Restat sola at-
tractio sphaerae interioris PEQF. Et
(per prop. lxxii) haec est ut distantia P S. Q. E. D.

Scholium.

Superficies, ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure
mathematicae, sed orbes adeo tenues, ut eorum crassitudo instar

LIBER PRIMUS.

193

nihili sit; nimirum orbes evanescentes, ex quibus sphaera ultimo
constat, ubi orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur
in infinitum. Similiter per puncta, ex quibus lineae, superficies, &
solida componi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequales mag-
nitudinis contemnendae.

PROPOSITIO LXXIV. THEOREMA XXXIV.

lisdem positisy dico quod corpusculum extra spficeram constituttwi
attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantice stus ab
ipsius centro.

Nam distinguatur sphaera in superficies sphaericas innumeras
concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriun-
dae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpusculi a
centro (per prop. lxxi). Et componendo fiet summa attractionum,
hoc est attractio corpusculi in sphaeram totam, in eadem ratione.
Q.E.D.

Corol. I. Hinc in aequalibus distantiis a centris homogenearum
sphaerarum attractiones sunt ut sphaerae. Nam (per prop. lxxii)
si distantiae sunt proportionales diametris sphaerarum, vires erunt
ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione ; &, distantiis
jam factis aequalibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione;
ideoque erit ad attractibnem alteram in triplicata illa ratione, hoc est,
in latione sphararum.

Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut sphaerae
applicatae ad quadrata distantiarum.

CoroL 3. Si corpusculum, extra sphaeram homogeneam positum,
trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius
centro, constet autem sphaera ex particulis attractivis ; decrescet vis
particulae cujusque in duplicata ratione distantiae a particula.

PROPOSITIO LXXV. THEOREMA XXXV.

Si ad spfuercB cUitce puncta singula tendant vires cequales centripetay
decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis ; dico quod

N

194 ^^ MOTU CORPORUM

spfuera qucevis alia similaris ab eadem attrahitur vi reciproce
proportionali guadrato distantice centrorum.

Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum
distantiae suae a centro sphaerae trahentis (per prop. lxxiv), &
propterea eadem est, ac si vis tota attrlhens manaret de corpusculo
unico sito in centro hujus sphaerae. Haec autem attractio tanta est,
quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a
singulis sphaerae attractae particulis eadem vi traheretur, qua ipsas
attrahit Foret autem illa corpusculi attractio (per prop. lxxiv)
reciproce proportionalis quadrato distantiae suae a centro sphaerae ;
ideoque huic aequalis attractio sphaerae est in eadem ratione. Q.E.D.

Corol. I. Attractiones sphaerarum, versus alias sphaeras homoge-
neas, sunt ut sphaerae trahentes applicatae ad quadrata distantiarum
centrorum suorum a centris earum, quas attrahunt.

Corol. 2. Idem valet, ubi sphaera attracta etiam attrahit Namque
hujus puncta singula trahent singula alterius eadem vi, qua ab ipsis
vicissim trahuntur; ideoque cum in omni attractione ui^eatur (per
legem iii) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, gemina-
bitur vis attractionis mutuae, conservatis proportionibus.

CoroL 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum circa
umbilicum conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent, ubi
sphaera attrahens locatur in umbilico, & corpora moventur extra
sphaeram.

Corol. 4. Ea vero, quae de motu corporum circa centrum conicarum
sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra
sphaeram.

PROPOSITIO LXXVI. THEOREMA XXXVI.

*SV spfuerce in progressu a centro ad circumferentiam (quoad materice
densitatem & vim attractivam) utcunque dissimilares^ in progressu
vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt
undique similares ; & vis attractiva puncti cujusque decrescit in
duplicata ratione distantics corporis attracti: dico quod vis tota, qua

LIBER PRIMUS.

195

hujusmodi sp/uera una attrahit alianty sit reciproce proportionalis
quadrcUo distantice centrorum.

Sunto sphaerae quotcunque concentricae similares A B^ C D, E F,
&c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam
densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem ; &
hae (per prop. lxxv) trahent sphaeras alias quotcunque concentricas
similares G H, I K, LM, &c. singulae singulas, viribus reciproce
proportionalibus quadrato distantiae S P. Et componendo vel divi-
dendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aliquarum supra
alias ; hoc est, vis, qua sphaera tota, ex concentricis quibuscunque
vel concentricarum dif-
ferentiis composita A By
trahit totam ex concentri-
cis quibuscunque vel con-
centricarum differentiis
compositam G H ; erit in
eadem ratione. Augeatur
numerus sphaerarum con-
centricarum in infinitum
sic, ut materiae densitas una cum vi attractiva, in progressu a
circumferentia ad centrum, secundum legem quamcunque crescat vel
decrescat; &, addita materia non attractiva, compleatur ubivis densitas
deficiens, eo ut sphaerae acquirant formam quamvis optatam ; & vis,
qua harum una attrahet alteram, erit etiamnum, per argumentum
superius, in eadem illa distantiae quadratae ratione inversa. ' Q. E. D.

CoroL I. Hinc si ejusmodi sphaerae complures, sibi invicem per
omnia similes, se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum
in singulas erunt, in aequalibus quibusvis centrorum distantiis, ut
sphaerae attrahentes.

Corol. 2. Inque distantiis quibusvis inaequalibus, ut sphaerae
attrahentes applicatae ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol, 3. Attractiones vero motrices, seu pondera sphaerarum in
sphaeras erunt, in aequalibus centrorum distantiis, ut sphaerae attra-
hentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub sphaeris per
multiplicationem producta.

ige DE MOTU CCRPORVM

Corol. 4. Inqiie distantiis inaequalibus, iit contenta illa directe &
quadrata distantianim inter centra inverse,

Corol. 5. Eadem valent, ubi attractio oritur a sphierae utriusquc
virtute attractiva mutuo exercita in sphsram alteram. Nam viribus
ambabus geminatur attractio, proportione servata.

CoroL 6. Si hujusmodj sphaerse aliqux circa alias quiescentes
revolvantur, singulse circa singulas; sintque distantiae inter centn
revolventium & quiescentium proportionales quiescentium diametris;
lequalia erunt tempora periodica.

Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt aequalia; distaotue
erunt proportionales diametris.

Corol. 8. Eadem omnia, qu^ superius de motu ccrporum drca
umbilicos conicarum sectionum demonstrata sunt, obtinent; ubi
sphiera attrahens, forms & conditionis cujusvis jam descriptae, locatuf
in umbilico.

CoroL 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam spha^ne attraheott%
conditionis cujusvisjam descriptEc.

PROPOSITIO LXXVIl. THEOREMA XXXVII.

Siad singula spkararutn puncta tendant vires centripetip pre^ortitmaks
distantiis punctonim a corporibus attractts : dico quod vis eomposits,
qua sp/ttrra duer se nmtuo trahent, est ut distantia inter {tntr*
sphisrarum.

Cas. I. Sit .t^ £".5/^ sphsera;

5 centrum ejus ; P corpusculum
attractum, P ASB axis sphserEe
per centrum corpusculi transiens ;
EF, £y" plana duo, quibus spha^ra
secatur. huic axi perpendicularia,

6 hinc inde ^equaliter distantia a
centro sph^erze ; G, g intersec-
tiones planorum & axis; & //^punctum quodvis in plano EF. PoW"
H vis centripeta in corpusculum P, secundum lineam P H exerdB.

I.IBER PRIMUS.

197

est ut distantia /" ^; & (per legum corol. ii) secundum lineam P G,
seu versus centrum S, ut longitiido P G. Igitur punctorum omnium
in plano E F, hoc est plani lotius vis, qua corpusculum P trahitur
versus centrum S, est ut distantia P G mulliphcata per numerum
punctorum, id est, ut solidum quod continetur sub plano ipso E F &
distantia illa P G. Et similiter vis plani e f. qua corpusculum P
trahitur versus centrum S, est ut planum illud ductum in distantiam
suam P g, sive ut huic aequale planum EF ductum in distantiam
illam/*^^,' & summa virium plani utriusque ut planum ^^ductum
in summam distantlarum P G -\- Pg, id est, ut planum illud ductum
in duplam centri & corpusculi distantiam P S, hoc est, ut duplum
planum EF ductum in distantlam P S. vel ut summa sequalium
planorum E F-\-e/ ducta in distantiam eandem. Et simili argumento,
vires omnium planorum in sph^ra tota, hinc inde asqualiter a
centro sphierse distantium, sunt ut summa planorum ducta in dis-
tantiam P S, hoc est, ut sph^ra tota & ut distantia P S conjunctim.
Q. E. D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P sphaeram A E B F. Et eodem
argumento probabitur quod vis, qua sphaera illa trahitur, erit ut
distantia P S. Q.E D.

Cas. 3. Componatur jam sph^era altera ex corpusculis innumerls
P ; 8l quoniam vis. qua corpusculum unumquodque trahitur, est ut
distantia corpusculi a centro sphaerEe primae & ut sphaera eadem
conjunctim, atque ideo eadem est, ac si prodiret tota de corpusculo
unico in centro sphzerje ; vis tota, qua corpuscula omnia In spIiEera
secunda trahuntur, hoc est, qua sphaira illa tota trahitur, eadem erit,
ac si sphiera illa traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in
centro spharr^ prim<x, & propterea proportionalis est distantiae inter
centra sph^rarum. Q. E. D.

Cas. 4. Trahant sph^erse se mutuo, & vis geminata proportionem
priorem servabit. Q. E. D.

Cas. 5. Locetur jam corpusculum p intra, sphaeram A E BF; &
quoniam vis plani e/ in corpusculum est ut solidum contentum sub
plano illo & distantia /fg; & vis contraria plani EF ut soiidum
contentum sub plano illo & distantla / C; erit vis ex utraque
composita ut differentia solidorum, hoc est, ut summa ^equalium
planorem ducta in semissem differentioe distantlarum, id est, ut

:^i

X5SV

2l32nii i-_-U<:= =»33.

•*---'•'-■"■ '^'..i -.'.'=. .r.i:^,;:rti jirr. cai: expositos: tatt
..."■■, '-<-:.' r-j^rJS:. 'J'=-..-*s.7-::i :r. cutlicata distandanim ral
!''■'' -■.t i:j ';.-.tAr.:!ir-~ •aiicr.t siir.plici: efndentes in uo

"l ' ''ryr-x ;;; r';r.:-r :n conicis sectionibus, & comp<
i'/ijvjrijiii '.pj.iuri^.oruni vires centripetas eadem \eff

LIBER PRIMUS.

199

>u a centro, decrescentes vel crescentes cum seipsis : Quod est
KOOtatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones minus elegantes
E^ezhibent, sigillatim percurrere longum esset. Malim cunctos me-
w thodo erenerali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

LEMMA XXIX.

Si describantur centro S circulus quilibet A E B, df centro P circuli
duo E F, ef, secantes priorem in E, e, lineamque PS /« F, f;
& ad Y ^ demittantur perpendicula E D, e d : dico quod^ si
-. distantia arcuum E F, e f in infinitum minui intelligaturj ratio
tUHma linecB evanescentis T>dad lineam evanescentem Y i ea sit, quce
linea VE ad lineam P S.

Nam si linea P e secet arcum E F \n q ; & recta Be, quae cum

r arcu evanescente JEe coincidit, producta occurrat rectae PS in T;

^ & ab .5* demittatur \n P E normalis SG: ob similia triangula D TE,

dTe, DES; erit Dd ad Ee, ut Z? T ad TE, seu DEtsAES;

& ob triangula Eeq^ ESG (per lem. viii & corol 3 lem. vii)
similia, erit Ee ad eq^ seu Ff^ ut ^ 6* ad .S G^ ; &, ex aequo, Dd ^A
Ff Mt DE 2A SG; hoc est (ob similia triangula PDE.PGS)
ntPE zAPS. Q.E.D.

DE MOTC CORPORUM

PROPOSITIO LXXIX. THEOREMA XXXIX.

Si superjicies ob latitudinem infimte dimtnutam jamjam evanescetis
EFfe, convoiutione sui circa axem P S, describat solidum sphicricum
concavo-convexum, ad cujus particulas singulas cequales tendant
^quahs vires centripetts: dico quod vis, qua solidum illud trakit
corpusculum siium in P, est in ratione composita ex ration€ solidi
D E jf X F f, & ratione vis qua particula data in loco F f traherct
idcm coipnscuium.

Nam si primo consideremus vim superficlei sphsricje PE. quse
convolutione arcus J^E g^eneratur, & a linea de ubivis secatur in r;
erit superficiei pars annularis, convolutione arcus r E genita, ui
lineola Dd, manente sphjerx radio PE (utl demonstravit Arckt-
medes in llb. de Spheera & Cylindro). Et hujus vis, secundum line-
as PE vel Pr undique in super-
ficie conica sitas exercita, ut hsec
ipsa superficiei pars annularis ;
hoc est, ut llneola Dd, vel, quod
perinde est. ut rectangulum sub
dato sphaer^e radlo PE & lineola
illa Dd : at secundum lineam
P S sA centrum 6" tendentem
minor in ratione P D ad P E^
ideoque vxPD%Dd. Dividi
jam intelligatur linea D F in
particulas innumeras a?qualcs, qiix slngulse nominentur D d ; &
superficies FE dividetur in totidem ^equales annulos, quorum vires
crunt ut summa omnium P Dy. Dd, hoc est, ut \PFq — \PDq,
ideoque mX. D E quad. Ducatur jam superficies FE jn altitudinem
Ff ; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq x Ff:
puta si detur vls quam particula aliqua data Ff in distantia P F txts-
cet in corpusculum P. At si vis illa non detur. fiet vis solidi E Ffi
iit solidum D Eqy. Ff & vis illa non data conjunctim. Q. E. D.

LIBER PRIMUS,

20I

quam

PROPOSITIO LXXX. THEOREMA XL.

Si ad spfuercB alicujus A B E, centro S descriptcBy particulas singulas

cBquales tendant cBquales vires centripetcBy & ad sphcercs axem A B,

in quo corpuscultim aliquod P locatur^ erigantur depunctis singtilis D

perpendicula D E, sphcercB occurrentia in E, & in ipsis capiantur

DE ^ X P S
longitudines D N, quce sint ut quantitas :^-i= & vis^

sphcBrcB particula sita in axe ad distantiam P E exercet in
corpusculum P, conjunctim: dico quod vis tota^ qtui corpusculum
P trahitur versus sphcBram^ est ut area A N B comprehensa sub
axe sphcercB A B, df linea curva A N B, quam punctum N per-
petuo tangit.

Etenim stantibus quae in lemmate & theoremate novissimo con-
structa sunt, concipe axem sphaerae A B dividi in particulas innu-

B ^

meras aequales Ddy 8l sphaeram totam dividi in totidem laminas
sphaericas concavo-convexas E Ffe ; & erigatur perpendiculum d n.
Per theorema superius vis, qua lamina B Ffe trahit corpusculum P,
est \xt D B qy. Ff & vis particulae unius ad distantiam P B vel P F

DE MOTU CORPORUM

exerdta coojmicliin. Est autem (per lemma

OC1 1 1 1 1 1 1 1 1

i) Dd^

F/vt PE ad /> 5; & inde /y aequalis ?-^^ ,- ^DEqyiFf
«pale/^^in^^l^. & propterea vis hinin» EF/e est ut

Ddm ^— & vis particiibe ad distantiam PFexerdt^ coo-

jwictim, hoc est (ex hypothesi) ut DNyLDd seu area evanescens
D Nm d. Sunt igitur laminarum omnhim vires» in corpus P exer-
citae, ut arese omnes D N nd^ hoc est, sphaerae vis tota ut area tota
ANB. Q.E.D.

CaroL i. Hinc si vis centrip^a, ad particubs sii^^ulas tendenSy
eadem semper maiv>at in omnibus dtstantiis^ & fiat D N ut

— / erit vis tota, qua corpusculum a sfJiaera attrahitur, ut

area A NB.

Carol. 2. Si particularum vis centripeta sit redproce ut distantia

corpusculi a se attracti, & fiat D N ut r^— ; erit vis> qua

corpusculum P a sfJiaera tota atbrahitur» ut area A N B.

Corol. 5. Si particularum vis centripela sit redprcxre ut cubus

... 1- - OL i- j^ %• D Eqr.P S
distantue corpuscuh a se attracti, & tiat D ^ ut — -^^

P nqq
vis» qua oorpusculum a tota sphsera attrahitur. ut area A N B.

ent

LIBER PRIMUS.

203

Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas sphaerae

particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem

^ -- DEqy.PS . . I ,

DN \xt t, vr~ ; ent vis, qua corpusculum a sphaera tota at-

trahitur, ut area A N B.

PROPOSITIO LXXXI. PROBLEMA XLI.

Stantibus jam positis, mensuranda est area A N B.

A puncto P ducatur recta P H sphaeram tangens in H^ & ad
axem P A B demissa normali H 1, bisecetur P I \n L ; & erit
(per prop. xii lib. 2 elem.) P£q aequale PSq+SEq+iPSD.
Est autem SEq seu SHq (ob similitudinem triangulorum SPH^ SHJ)
aequale rectangulo P SI. Ergo P Eq aequale est contento sub PS &
PS+S/+2SD, hoc est, sub PS & 2LS+2SD, id est, sub
PS & 2 L D. Porro D E quad. aequale est SEq — SDq, seu SEq —

LSq+2SLD-LDq, id est, 2 SL D-^LDq-^A LB. Nam
L S q ^ S E q seu LSq ^ S A q (per prop. vi lib. 2 elem.)
sequatur rectangulo A L B. Scribatur itaque 2 SL D^ L D q^

A L B pro D Eq ; & quantitas ^ rr— , quae secundum corol-

larium quartum propositionis praecedentis est ut longitudo ordina-

^ ,. , . 2SLD X PS

tim apphcatae D N, resolvet sese in tres partes ^-= — :rz

204

DE MOTU CORPORUM

ALBV.PS

PE^V

ubi si pro V scrtbatur ratio inversa

LDq X PS

P£xV

vis centripete, & pro P E medium proportionale inter P S &
2 LD; tres illae partes evadent ordinatim applicatas linearum toti-
dem curvarum, quarum areae per methodos vulgatas innotescunt.
Q. E. F.

Exempl. I. Si vis centripeta ad singulas sphserEe particulas ten-
dens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE; dein

A LB
' 2 LD'

& ordi-

LD~

LD

2 PS X LD pm P Eq, & fiet DN ut SL-
Pone DN sequalem ejus duplo 2 SL—L D-

natse pars data 2 S L ducta in longitudinem A B describet aream
rectangulam 2 S L xAB; &. pars indefinita LD ducta normaliter
in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter
movendum crescendo vel decrescendo squetur semper longitudini
LBq~LAq

L D, describet aream

id est, aream S L xAB; quse

subducta de area priore 2 S L x A B relinquit aream S L x A B.

. A LB , . ., , ,

Pars autem tertia - , ducta itidem per motum localem norma-

liter in eandem longitudinem, describet aream i

hyperbolicam ; qua; subducta de area S Lx

AB relinquet aream qussitam ANB. Unde

talis emergit problematis constructic, Ad

puncta L, A, B erige perpendicula L l, A a,

B b, quorum A a ipsi L B, & B b ipsi L A

aequetur. Asymptotis L t, L B, per puncta

a b describatur hyperbola a b. Et acta

chorda b a claudet aream a ba ares qusesitae A N B iequalem.

Exempl. 2. Si vis centripeta ad singulas sphaers particulas tendens
sit reciproce ut cubus distantiae, vel (quod perinde est) ut cubus

., PEcub.

ille applicatus ad planum quodvis datum ; si
dein 2 PSx LD pro PBq.- &. hct D N ut

pro \'.

LIBER PRIMU^. .

205

A LBxASq
iPSxLDq

proportioiKd» P S^

ut

LSI

iS/'-

ALBxS/

LD 2LDq

in longitudinem A B, prima

Si ducantur hujus partes tres
LS/

generabit aream hyperboli-

cam; secunda \S/ aream \ABxS/; tertia
ALBxS/ ALBxS/

ALBxS/

aream

iLDq
id est iABxS/. De prima subdu-

2LA 2LB

catur summa secundae & tertiae, & manebit ;
area quaesita A N B. U nde talis emer-
git problematis constructio. Ad puncta
Z, Ay S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss,
Bb, quorum Ss ipsi S / aequetur, perque
punctum s asymptotis L l, LB describatur
hyperbola asd occurrens perpendiculis A a,
Bd ina&d; & rectangulum 2 A S/ sub-
ductum de area hyperbolica AasdB relinquet aream quaesitam A NB.

Exempl. 3, Si vis centripeta, ad singulas sphaerae particulas ten-
dens, decres(cit in quadruplicata ratione distantiae a particulis;

scribe ^fj^. pro V, dein JJTSxL~D pro P E, & fiet DN ut
2 A Scub. * -^ ^

ISqxSL

S/q

S/qxALB

^J2S/ "^ JLDc 2J2S/ JLD 2J2S/ JLDqc

206

DE MOTU CORPORUM

Cujus tres partes ductae in longitudinem A B, producunt areas to-

tidem,z;/^. ^^^^ '''JLA-JLB' J2SI

&

SlqxALB .

3 >y 2 ^y / >yz A cub. JL B cub!
ductionem fiunt y~t » ^ Lq^ & SIq+

£t hae post debitam re-
2 Slcub.

ZLI

Hae vero,

subductis posterioribus de priore, evadunt - — /w^* Proinde vis

tota, qua corpusculum P in sphaerae centrum trahitur, est ut — n r *

id est, reciproce ut PS cub. xPI. Q. E. I.

Eadem methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra
sphaeram, sed expeditius per theorema sequens.

PROPOSITIO LXXXII. THEOREMA XLL

In sphara centro S intervallo S A descripta^ si capiantur S I, SA,
S P continue proportiofiales : dico quod corpusculi intra spharaMy
in loco quovis I, attractio est ad attractionem ipsius extra spharam,
in loco P, hi ratione composita ex subduplicata ratiane distaniianm
a centro I S, P S, <&* subduplicata ratione virium centripetarum^ in
locis illis P dr* I, ad centrum tendentium.

i

LIBER PRIMUS.

207

Ut, si vires centripetae particularum sphaerae sint reciproce ut
dlstantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in /
trahitur a sphaera tota, erit ad vim, qua trahitur in P, in ratione
composita ex subduplicata ratione distantiae 6"/ ad distantiam S P^
& ratione subduplicata vis centripetae in loco /, a particula aliqua
in centro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in
centro particula oriundam, id est, ratione subduplicata distantiarum
S I, S P ad invicem reciproce. Hae duae rationes subduplicatae
componunt rationem aequalitatis, & propterea attractiones in I 81 P
a sphaera tota factae aequantur. Simili computo, si vires particula-
rum sphaerae sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, col-
ligetur quod attractio in /sit ad attractionem in /*, ut distantia SP
ad sphaerae semidiametrum SA: Si vires illae sunt reciproce in tripli-

E

cata ratione distantiarum, attractiones in / & P erunt ad invicem

ut SP qtmd. ^di S A qnad. : Si in quadruplicata, ut S P cub. 2A S A

cub. Unde cum attractio in /*, in hoc ultimo casu, inventa fuit

reciproce ut P Scub.y.P ly attractio in / erit reciproce ut SAcub.

x/*/, id est (ob datum SAcub.) reciproce ut P I. Et similis est

progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpusculo in loco

D E gy.P S
quovis P, ordinatim applicata D N inventa fuit ut — -p^ — =7- .

Ergo si agatur I Ey ordinata illa pro alio quovis corpusculi loco /,

DEqxIS ^

rone vires centnpetas, e

mutatis mutandis, eyadet ut

lExV

208

DE MOTU CORPORUM

sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis

I E, P E, ut P E"" ad lE"" (ubi numerus n desigrnet indicem

D EgY.P S
potestatum PE 81 I E) 81 ordinatae illae fient ut p c- P E'^ ^

~Fp T T^n^ quarum ratio ad invicem est ut PSy.IExIE'^ ad

ISxP ExP E^*. Quoniam ob continue proportionales SI, SE,
SP, similia sunt triangula SPE, SEI,& inde fit /^ ad PE ut

IS ad SE vel S A ; pro ratione I E zA P E scribe rationem I S zA
SA ; & ordinatarum ratio evadet PSxIE" ad SA xPE\ Sed
P^y ad ^9-^ subduplicata est ratio distantiarum PS^ SI ; & lE" ad
PE" (ob proportionales lE Sid P E ut IS ad SA) subduplicata est
ratio virium in distantiis P Sy IS. Ergo ordinatae, & propterea
areae quas ordinatae describunt, hisque proportionales attractiones,
sunt in ratione composita ex subduplicatis illis rationibus. Q. E. D.

PROPOSITIO LXXXIIL PROBLEMA XLIL

Invenire vim gua corpusculum in centro sphcera locatum ad gus

segmentum guodcunque attrahitur.

Sit P corpus in centro sphaerae, 8l RB S D segmentum cjus
plano RDS & superficie sphaerica RBS contentuni. Superficie
sphaerica E FG centro P descripta secetur Z?-ff in /^ ac distinr

LIBER PRIMUS.

209

guatur segmentum in partes BREFGS,
FEDG. Sit autem superficies illa non
pure mathematica, sed physica, profundi-
tatem habens quam minimam. Nominetur
ista profunditas O, & erit haec superficies
(per demonstrata Archimedis) ut P Fx
DFxO. Ponamus praeterea vires attracti-
vas particularum sphaerae esse reciproce ut
distantiarum dignitas illa, cujus index est
n; & vis, qua superficies EFG trahit
corpus P, erit (per prop. 'lxxix) ut
DEjfxO ., ^2 DFxO DFqy.0

Huic proportionale sit perpendicuUim FN

ductum in O; & area curvilinea BDI,

quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum

continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum

RBSD trahit corpus P. Q. E. L

PROPOSITIO LXXXIV. PROBLEMA XLIIL

Invenire mnty qua corpusculunty extra centrum spJuercB in axe segmenti

cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.

A segmento EBK trahatur
corpus P in ejus axe ADB
locatum. Centro P interval-
lo P^ describatur superficies
sphaerica E FK^ qua distingua-
tur segmentum in partes duas •
EBKFE & EFKDE.
Quaeratur vis partis prioris per
prop. Lxxxi & vis partis pos-
terioris per prop. lxxxiii; &
summa virium erit vis segmen-
ti to^AMsEBKDE. Q. E. I.

DE MOTU COKPORUM

Scholiu.

Explicatis attractionibus corporum sphaericorum, jam pergo^
liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis
attractivis slmiliter constantium corporum ; sed ista particulatim
tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit propositiones
quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deque motibus
inde oriundis, ob earum in rebus philosophicis aliqualem usum,
subjungere.

SECTIO XIII.
De corporum non sphsricorum viribus altractivts.

PROPOSITIO LXXXV. THEOREMA XLIl.

Si corporis atlracti, nbi attrahenti CQntigimm est, attractio longe /britor
sit, qtiam cum vcl minimo intervallo separantur ab invicem : vires
Particularum trakentis, Jn recessu corporis attracti, decrescuMt in
ratione phisquam duplicata distantiarum a particuHs.

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a partl-
culis ; attractio versus corpus sphaericum, propterea quod (per prop.
LXXiv) sit reciproce ut qudratum distantiEe attracti corporis a centro
sphaene, haud sensibiliter augebitur ex conlactu ; atque adhuc minus
augebitur ex conlactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat
in ratione minore. Patet igilur proposilio de sphaeris attractivis.
Et par est ratio orbium spharicorum concavorum corpora extema
trahentium. Et multo magis res constat in orbibus corpora interius
constituta trahentibus, cum attractiones passim per orbium cavitates
ab attractionibus contrariis (per prop. lxx) tollantur, ideoque vel ia
ipso contactu nullx sunt. Quod si sphEcris hisce orbibusque
sphEcricis partes quselibet a loco contactus remotse auferantur. &
partes novie ubivis addantur : mutari possunt figurEe horum corporum
attraclivorum pro lubitu, nec tamen partes additas vel subductae. cum
sint a loco contactus remotre, augebunt notabiliter attractionis
excessum, qui ex contactu oritur. Constat igitur propositio de
corporibus figurarum omnium. Q. E. D.

PROPOSITIO LXXXVI. THEOREMA XLIII.

Si partuulariim, ex quibiis corpus attractivum componitur, vires in
recessu corporis aitrcuti decrescunt in iriplicata vel piusquam
tripiicata ratione distajitiarum a particulis : attractio longe fortior
erit in conteutu, quam cum attrahens & attractum interz'allo vel
mininto separantur ab invicem.

Nam attractionem in accessu attracti corpuscuH ad hujusmodi
sphceram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem
problematis XLi in exemplo secundo ac tertio exhibitam, Idem,
per exempla illa & theorema XLi inter se collata, facile colligitur
de attractionibus corporum versus orbes concavo-convexos, sive
corpora attracta collocentur extra orbes, sive intra in eorum cavi-
tatibus. Sed & addendo vel auferendo his sphsrls & orbibus
ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut
corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit
propositio de corporibus universis. Q.E.D.

PROPOSITIO LXXXVII. THEOREMA XLIV.

Si corpora duo sibi invicem similia, & ex materia ttqualiter attractiva
coHslantia, seorsim attrahant corpuscula siSi ipsis proportionalia &
ad se similiter posita : attractiones accelerairices corpusculorum in
corpora tota erunt ut attrcutiones cuceleratrices corpuscuiorum in
eorum particulas iotis proportionales, & in totis similiter positas.

Nam si corpora distlnguantur in partlculas, qute sint totis propor-
tionales, & In totis simillter sltae ; erlt, ut attractlo in particulam
quamllbet unius corporis ad attractlonem In particulam correspon-
dentem in corpore altero, ita attractiones in particulas slngulas primi
corporis ad attractlones in alterius particulas singiilas correspondentes;
& componendo, ita attractlo In totum primum corpus ad attractionem
in totum secundum. Q.E.D.

distantias

'..:-.:—.--.•:: :^ .-j-r-.^:^ n -iw-irc ai£jiiiiaiis cujusvis

::^'.\r.r\ .zzTLJiz '.rrr -^vz.-j--— -^ i: r_r-:i--rx xica erunt ut

-. xj-.rr. i.--:rru-z-::~ n -i. :.:- ..-:..:j:.::i ^ireaiciErum a cor-

r...... ^.n.:!!:. -.-. — - ^=:rr: <— :r -- -.v . ic J=^ .:i^- ideoquc

: V.--: .--irr. :i::tr-. =^.:.— z:^. T.r-.-^^^^ir-zz rirr-anarxan distantue

r- :- ^ iz ^ — — : -^ .= rjryjn-iirr ^izrsra iHa cuUca

s^r.:-?:: ir rsrSone triplicata

:;..r.4r:r.-'u-":r: x. r:r:-:-sr-;-:j> Lrr::in.s irrram:i:ti*i arrsieTatrices in

c iSL jrrT.iijes. Si \Tres

.' ^^

--. .7.- - 7.*

r.rrrjr^yjrur.z r.. .-i:i':iit r^^jij-.^il-nn izr:arri:n»^ ^ rtrcrora enint ut
' /"^ i: ^ ^^ .i ^ rrr^r:.- i: iiirzrT. r^uri .^ & A Etsic

«0 « • «i.» • •

C;-^:/ r V-:-: v!r_f.^ji:. t:i ".■"_-":• jiSw r-»*:»-:5 r:c7»rri sEmilia tzahunt
^',r:'. ..r.li ^i =«t fL— V.:tr 7i:s:n. r:L.^-. ri:cr^ rai5o decrementi

r.vi^ i^-r^.-^r^ II- i sl: l_r=Trr v-I i^-.^r^ ::: raiione aliqua

f

PK0P05ITI0 LXXXVIII. THEOREM^A XL\\

!n particularum aqzia^i:im ::rprris n4':*s::tK.r:»^ rir^s aitra^tiz^a sint
ut diJantia locorum a p2rt:::ii:s : zis ^rrprris tj^tius /rv^i^/ aJ ipsius
centrum gratitatis ; cf caJem crit cum z^i ^icri cv maieria consimili
Cf cryuaii coHjtantis, cf ccntrum kabcntis in c/us ccntro ^ravi/atis.

(lorijffrh R S T V particulae A^ B trahant corpusculum aliquod /
\\x\\t\\\ f\\v.ii, si particulx aequantur inter se. sint ut distantiae AZ^
/f / : f.in p;irlicula: statuantur inaequales, sint ut hae particulx &
ip'.;iriiiri «listantia: A Z, B Z conjunctim, sive (si ita loquar) ut hx
|#ar ti' iila- iri distantias suas AZ^ BZ respective ductae. Et exponantur

LTBER PRIMUS,

213

hae vires per contenta illa A xA Z & B x B Z. Jungatur A B, &.
secetur ea in G ul sit A G aA B G ut particula B ad particulam A;
& erit G commune centrum gravitatis particularum A & B. Vis
AxAZ (per legum corol. 11) resolvitur in vires A x GZ & A xA G
&vis BxBZ in vires BxGZ&BxBG. Vires autem ^ x ^ G
& B X B G, oh proportionales A

H

ad B & B G ad A G, a^quantur;
ideoque cum dirigantur in partes
contrarias, se mutuo destruunt.
Restant vires AxGZ&BxGZ.
Tendunt hs: ab Z versus centrum
G, & vim A + B X G Z compo-
nunt ; hoc est, vim eandem ac si
particulse attractivfe --? &5consis-
terent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes.

Eodem argumento, si adjungatur particula tertla C, & componatur
hujus vis cum vi A + B x G Z tendente ad cenlrum G; vis inde oriunda
tendet ad commune centrum gravitatis globi illius in G & particul^
C; hoc est, ad commune centnim gravitatis trium particulanim A, B,
C; & eadem erit, ac si globus & particula C consisterent In centro illo
communi, globum majorem ibi componentes, Et sic pergitur in infini-
tum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujus-
cunque ^? ,5' T' F, ac si corpus illud, servato gravitatis centro. figuram
globi indueret. Q. E. D.

Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit, ac si corpus at-
trahens RST V esset sphaericum : & propterea si corpus illud attra-
hens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum ; corpus
attractum movebitur in elHpsi centiOim habente in attrahentis centro
gravitatis.

PROPOSITIO LXXXIX. THEOREMA XLVI.

Si corpora sint plura ex particulis iBqualiius constaniia, guanim vires
sunt ut distantia locorum a siytguHs : vis ex omtiium viribus compo-
sita, qua corpusculum quodcunque trahitur, tendet ad trahentium
commune centrum gravitatis; & eadem erit, ac si trahentia ilia.

214

DE AfOTU CORPORUM

servato gravitatis cmtro communi, coirent & t?i globum Aj
marenttir.

Demonstratur eodem modo, atque propositio superior.

Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit, ac si corpora traT"
hentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum
formarentur. Ideoque si corporum trahentium commune gravitatis
centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in hnea recta; corpus
attractum movebitur in elhpsi, centrum habente in communi illo tra-
hentium centro gravitatis.

PROPOSITIO XC. PROBLEMA XLIV.

Si ad singula circuli cujuscunqtte puncta tendant vires t

centripetSt crescentes vel decrescentes in quacunque dtstantiaru^
rationc: invenire vifn, qita corpusculum atira/titur ubivts positum
in recta, qtt^e plano circuli ad cenirum ejus perpendiculariter
insistit.

Centro A intervallo quovis A D, in plano, cul recta A P peq
dicularis est, describi intelhgatur circulus; & invenienda sit vis, qua
corpusculum quodvis P \n eundem attrahitur, A circuli puncto
quovis E ad corpusculum attractum
/*agatur rectaP^. Inrecta/^v^ ca-
piatur P F ipsi P E sequalis, & eriga-
tur normalis F K, qu£e sit ut vis qua
punctum E trahit corpusculum P.
Sitque I K L curva linea quam punc-
tum K perpetuo tanglt Occurrat
eadem circuli plano in L. In P A
capiatur P H aequalis P D, Sn eriga-
tur pterpendiculum U I curvae prse-
dictae occurrens in /; & erit corpus-

culi P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudiil
A P. Q. E. I.

Etenim in .^ ^ capiatur linea quam minima E e. Jungatur P\
& in P E, P A capiantur /* C, Pf ipsi P e squales. Et quoniain

LIBER PRIMUS.

215

vis, qua annuli centro A intervallo A E in plano praedicto descripti

punctum quodvis E trahit ad se corpus P^ ponitur esse ut FKy

& inde vis, qua punctum illud trahit corpus P versus Ay est ut

A P X F K

^-=; — , & vis, qua annulus totus trahit corpus P versus A^ ut

P JtL

A P yc FK
annulus & -^-= — conjunctim ; annulus autem iste est ut rectan-

gulum sub radio A E & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob

proportionales PE&AE, Ee& CE) aequatur rectangulo PEx

CE seu P Ex Ff; erit vis, qua annulus iste trahit corpus P versus

A Px FK
Ay ut P ExFf & ^-^ — conjunctim, id est, ut contentum Ffx

FKxA Py sive ut area FK kfducXSi in A P. Et propterea summa
virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo
AD describitur, trahunt corpus P versus Ay est ut area tota
A HIKL ducta in A P. Q. E. D.

Corol. I. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distan-

tiarum ratione, hoc est, si sit FK ut -y , atque ideo area

P r qtuui.

AHIKL ut -=— : — =r-7i-;erit attractio corpusculi P in circulum

PA PH ^

^ PA.. ^ ^ AH
ut i-p^. id est, ut -^.

Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint

reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet D *, hoc est, si sit FK

1 ' II
ut =— , ideoque area AHIKL ut -=—: ^r-y^ — ;eritattrac-

I PA

tio corpuscuU P in circulum ut

PA--^ PH'^'

CoroL 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & numerus

n sit unitate major ; attractio corpusculi P in planum totum infinitum

P A
erit reciproce ut P A^^y propterea quod terminus alter —

evanescet

LIBER PRIMUS.

217

tentum postremum i va P E'-P D^ & restabit area LABI aequalis
I in A B—P E+P D, Ergo vis, huic areae proportionalis, est
MtAB-PE+PD.

CoroL 2. Hinc etiam vis innotescit, qua sphaerois A G B C attrahit
corpus quodvis P, exterius in axe suo -^ -ff situm. Sit NKRM sectio
conica cujus ordinatim applicata E 7?, ipsi P E perpendicularis,
aequetur semper longitudini P D, quae ducitur ad punctum illud
Dy in quo applicata ista sphaeroidem secat A sphaeroidis verticibus
A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula A K^ B Mvpsx^ A P^
B P aequalia respective, & propterea sectioni conicae occurrentia in
K & M ; & jungatur A^ il/ auferens ab eadem segmentum KMRK.

Sit autem sphaeroldis centrum S & semldiameter maxima SC: &

vis, qua sphaerois trahit corpus P, erit ad vim, qua sphaera diametro

,„ , . ^. .j ASxCSa^PSxKMRK
A B descnpta trahit idem corpus, ut /> c X r 9 ^A 9

ad ^^ * .. Et eodem computandi fundamento invenire licet

iPS quad.

vires segmentorum sphaeroidis.

Corol. 3. Quod si corpusculum intra sphaeroidem in axe coUoce-

tur ; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod facilius hoc

argumento coUigitur, sive particula in axe sit, sive in alia quavis

diametro data. Sit AGOF sphaerois attrahens, 6* centrum ejus, &

P corpus attractum. Per corpus illud P agantur tum semidiameter

SP A, tum rectae duae quaevis Z? -£*, FG sphaeroidi hinc inde occur-

siS

DE MOTV CORPORVM

rentes m D Si E, F 8c G ; sintque P C M, H L N superficies sphse-
roidum duarum interiorum, exteriori similium & concentricarum,
quarum prior transeat per corpus P, & secet rectas D £ &. FG in
B 8l C, posterior secet easdem rectas in //, / & K, L. Habeant
autem sphiroides omnes axem communem, & erunt rectarum partes
hinc inde intercepts D PBl B E, FP
ScCG.DHSc /E,FK & LG sibi
rautuo aequales ; propterea quod rectse
D E, PB 8c H/ bisecantur in eodem
puncto, ut & rects FG,PC & KL.
Concipejam DPF, EPG designare '
conos oppositos, angulis verticalibus
DPF, E P G infinite parvis descriptos,
& hneas etiam D H, E / infinite
parvas esse; & conorum particuls sph^roidum superficiebus
abscissEe DHKF, GLfE, ob aequalitatem linearum D //, E /.
erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suanim a corpusculo
P, & propterea corpusculum illud ^equaliter trahent Et pari
ratione, si superficiebus sphtcroidum innumerarum similium con-
centricarum & axem communem habentium dividantur spatia DPF,
^'C C^ in particulas, hse omnes utrinque aequaliter trahent corpus
P in partes contrarias. ^quales igitur sunt vires coni DPF
& segmenti conici EGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunL
Et par est ratio virium materls omnis extra sphsroidem intimam
PCBM. Trahitur igitur corpus/" a sola sphjeroide intima PCBM,
& propterea (per corol. 3 prop. Lxxii) altractio ejus est ad vim, qua
corpus A trahitur a sph^eroide tota A G O D, ut distantla PS ad
distantiam A S. Q.E.D.

PROPOSITIO XCII. PROBLEMA XLVI.

Dato corpore attractivo, invenire ralionent decrenimti virtum ceH/ri-
petarum in ejus puncta singula tendeniium.

E corpore dato formanda est sphaera vel cylindrus aliave figura
regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congrucns,
(per prop. i.xxx. lxxxi & xci) inveniri potest. Dein factis expo-
rimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & kx

Si solidum ex una parte planum, ex reliquis auiem partibus infini-
tum, constet ex particulis i^qualibiis iBquaiiter attractivis, quarunt
vires in recessii a solido decrescunt in ratione potestatis cujus-
vis distantiartmt plusquam quadraticcs, & vi solidi totius corpus-
culum ad utramvis plani partem coustitutum trahatur : dico
guod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ^us superficie
plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia
corpusculi a plano, & index tcr?iario niinor qtiam index potestatis
distantiarum.

Cas. I. Sit Z. C/pIanum quo solidum terminatur. Jaceat solidum

autem ex parte plani hujus versus /, inque plana innumera mH M,

nlN, oKO, &c. ipsi GL

parallela resolvatur. Et

primo collocetur corpus at-

tractum C extra solidum.

Agatur autem C G H I

planis illis innumeris per-
I pendicularis, & decrescant
l vires attractivse punctorum

solidi in ratione potestatis

distantianim, cujus index sit

numerus n ternario non

Iminor. Ergo (per corol. 3 prop. xc) vis, qua planum quodvis mH M
trahit punctum C, est reciproce ut CH"'". In plano ni H M ca-
piatur longitudo H M ipsi C H""^ reciproce proportlonalis, & erit
vis illa ut H M. Similiter in planis singulis l G L, n I N,
0 K O, &c. capiantur longitudines G L, I N, K O, &c. ipsis
CG''~^, C I"', C K'~^, &c. reciproce proportionales ; & vires plan-
orum eorundem erunt ut longitudines captae, ideoque summa
virium ut summa longitudinum, hoc est. vis solidi totius ut area

DE MOTU CORPOXVSf

N 0

c

I K

G LO K \n infinitum versus C? A' producta. Sed area illa (per notas
quadraturarum methodos) est reclproce ut C G~~^, & propterea vis
sotidi totius est reciproce ut CG^^K Q.E. D.

Cas. 2. Collocetur jam corpusculum
C ex parte plani IG L intra solidum, &
capiatur distantia C K a:qualis distantix
C G. Et solidi pars LG l o K O, planis
parallelis l G L, oKO terminata, cor-
pusculum C in medio situm nullam in
partem trahet, contrariis oppositorum
punctorum actionibus se mutuo per
Eequalitatem tollentibus. Proinde cor-
pusculum C sola vi solidi ultra planum O K siti trahitiir. Hzec autem
vis (per casum primum) est reciproce ut C K"~\ hoc est (ob aequales
CG,CK) reciproce ut C G—K Q. E. D.

Corol. I. Hinc si solidum /. C/iVplanisduobus infinitis parallelis
L G, L N utrinque terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subdu-
cendo de vi attractiva solidi totius infiniti L G K O vim attractivam
partis ulterioris N I K O, in Infinitum versus K O productie,

Coroi. 2. Si solidi hujus infinlti pars ulterior, quando attractio ejus
collata cum attractione partis citerloris nulllus pene est momenti,
rejiciatur : attractio partis illlus citerioris augendo distantiam decrescet
quam proxime in ratione potestatis C G"~K

Corol. 3- Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum
trahat corpusculum e regione medii illius plani, & distantia inter
corpusculum & planum collata cum dimensionibus corporis attra-
hentis perexigua sit, constet autem corpus attrahens ex particults
homogeneis. quarum vires attractiva; decrescunt in ratJone potestatis
cujusvis plusquam quadrupIicatEe distantiarum; vis attractiva corporis
totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit
distantia illa perexigua, & index ternario minor quam index potestatis
prioris, De corpore ex particulls constante, quanim vircs attractivx
decrescunt in rationc potestatis triplicatas distantiarum, assertio non
valet ; propterea quod, in hoc casu, attractio partis ilHus ulterioris
corporis infiniti in corollario secundo, semper est infinile major quani
attractio partis citerioris.

LIBER PRIMVS. 2 2 1

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur,
& ex data lege attractionis quaeratur motus corporis : solvetur
problema quaerendo (per prop. xxxix) motum corporis recta
descendentis ad hoc planum, & (per legum corol. 11) componendo
motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano
parallelas facto. Et contra, si quaeratur lex attractionis in planum
secundum lineas perpendiculares factae, ea conditione ut corpus
attractum in data quacunque curva linea moveatur, solvetur problema
operando ad exemplum problematis tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applica-
tas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quovis
dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dignitas

m

quaelibet A " ; & quaeratur vis qua corpus, secundum positionem
ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fugatum,
moveri possit in curva linea, quam ordinatim applicata termi-
no suo superiore semper attingit : Suppono basem augeri parte

m

quam minima O, & ordinatim applicatam A + 0| * resolvo in

m m — H m — a w

tft ^ ^ ~~it tKffl'—1flfl

seriem infinitam A " + - O A * + O O A &c. at-

n 2nn

que hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est,

m — a»

mm-^mn

termino O O A vim proportionalem esse suppono. Est

2 nn

mm — mn * »

igitur vis quaesita ut A , vel quod pennde est, ut

m — a n

fftffT — fflfl

B *^ . Ut si ordinatim applicata parabolam attingat,

existente m = 2, & « = i : fiet vis ut data 2 B°, ideoque dabitur.
Data igitur vi corpus movebitur in parabola, quemadmodum Galilcms
demonstravit. Quod si ordinatim applicata hyperbolam attingat,
existente w = o— i, & «= i ; fiet vis ut 2 A"* seu 2 B' : ideoque vi.
quae sit ut cubus ordinatim applicatae, corpus movebitur in hyperbola,

LIBER PRIMUS.

223

si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstratis
Galilcei) curva H I parabola, cujus haec est proprietas, ut rectangulum
sub dato latere recto & linea IM aequale sit /f J/quadrato; sed & linea
H M bisecabitur in L. Unde si ad il// demittatur perpendiculum
L O, aequales erunt M O, O R; & additis aequalibus O JVy O /, fient
totae aequales MJV, I R. Proinde cum I R detur, datur etiam M N ;
estque rectangulum N M I ^d rectangulum sub latere recto 8l I M^
hoc est, ad H Mq, in data ratione. Sed rectangulum NMI aequale
est rectangulo P MQ, id est, differentiae quadratorum M L q,& P Lq
seu Llq; & HMq datam rationem habet ad sui ipsius quartam
partem ML q : ei^o datur ratio ML q — L I q ad M L q^ & conver-
tendo ratio L Iq ad ML q, & ratio dimidiata Z / ad ML. Sed in
omni triangulo L M I, sinus angulorum sunt proportionales lateribus
oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae L M R ad sinum
anguli emergentiae L I R. Q. E. D.

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis
planis terminata, A adB, BdcC, &c & agitetur vi quae sit in sin-
gulis separatim uniformis, at in diver-
sis diversa ; & per jam demonstrata, ^
sinus incidentiae in planum primum
A a erit ad sinum emergentiae ex plano ^

c

secundo B b, in data ratione ; & xT

hic sinus, qui est sinus incidentiae in
planum secundum B by erit ad sinum
emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione ; & hic sinus ad sinum
emergentiae ex plano quarto D d, in data ratione ; & sic in infinitum :
& ex aequo, sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae
ex plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla &
augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio,
secundum legem quamcunque assignatam, continua reddatur; &
ratio sinuS incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex
plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q. E. D.

234

DE MOTU CORPORVM

PROPOSITIO XCV. THEOREMA XLIX.

lisdem posiHs ; dico quod ■velocitas corporis ante inddentiam est ad
ejus velocitatem post emergentiam, nt sinus emergentiie ad sinum
incidentiee.

Capiantur A H, I d Ecquales, & engantur perpendicula A G, dK
occurrentia lineis incidentJEe & emergentiEc G H, I K, \x\ G Sc K.
In (? //"capiatur 7'//"squalis I K, & ad planum A a demittatur nor-
maliter Tv, Et (per leg-um coro!. ii) distinguatur motus corporis
in duos, unum planis A a, B b, Cc, q.
&c. perpendicularem, alterum iis- '

dem paralleium. Vis attractionis
vel impulsus, agendo secundum lin-
eas perpendiculares, nil mutat mo-
tum secundum parallelas, & prop-
terea corpus hoc motu conficiet
Eequalibus temporibus ^qualia illa
secundum parallelas intervalla, qu^e
sunt inter lineam A G & punctum
H, interque punctum / & lineam dK; hoc est, sequalibus tempori-
bus describet lineas G H, I K. Proinde velocitas ante incidentiam
est ad velocitatem post emergentiam, ut G H ad I K vel TH, id
est, ut A H vel Id ad v H, hoc est (respectu radii T H vel I K)
ut sinus emeigentiae ad sinum incJdentias. Q. E. D.

x:

1-

PROPOSITIO XCVI. THEOREMA L.

lisdem positis, & guod nwtus ante incidentiam velocior sit quam
postea : dico quod corpus, ineiinando Hncam incide»ii<r, refleeit-
tur tandem, & angulus reflexionis fiei itqualis angulo
incidentia.

Nam concipe corpus inter parailela plana A a, B b, C c, &c de-
scribere arcus parabolicos, ut supra ; sintque arcus illt H P, P Q,
Q R, 8ic. Et sit ealineas incidentiie G //^ obliquitas ad planum pri-

LIBER PRmUS.

^ Xll

//.--'

,. '^.p

^^

miim A a, ut sinus incidentice sit ad radiuni circuH, cujus est sinus,
in ea ratione quam habet idem sinus incidentix ad sinum emergen-
ti^ ex plano Dd, \n spatium Dde E: & ob sinum emergentis jam
factum iequalem radio, angulus cmergenti;e erit rcctus, ideoque
linca emergentia; colncidet cum plano D d. Perveniat corpus ad
hoc planum in puncto R; & _ „

quoniam linea emergentise
coincidit cum eodeni plano,
perspicuum est quod corpus
non potest uitra pergere
vcrsus planum E e. Sed
nec potest idem pergere in linea emergentiae Rd, propterea quod per-
petuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiie. Revertetur
itaque inter plana Cc, Dd, describendo arcum parabolae Q Rq, cujus
vertex principalis (juxta demonstrata Gali/nm) est in R; secabit
planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q ; dein pergendo in
arcubus parabolicis qp.p/i, &c. arcubus prioribus Q P, P H similibus
& arqualibus, secablt reliqua plana in iisdem angulis in /, h, &c. ac
prius in P, H, &c. emergetque tandem eadem obliquitate in h, qua
incidit in H. Concipe jam planorum A a, B 6, Cc, D d, Ee, &c.
intervalla in infinltum minui & numerum augeri, eo ut actio attrac-
tionis vel Impulsus secundum legem quamcunque assignatam continua
reddatur; & angulus emergentis semper angulo incidentiie iequalis
existens, eidem edamnum manebit nsqualis. Q. E. D.

I

L

ScJiolhtm.

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt lucls reflexiones
& refractiones, facta; secundum datam secantium ratlonem, ut invenit
Snellius, & per consequens sccundum datam sinuum rationem, ut
exposuit Carlesius. Namque lucem successive propagari & spatio
quasi septem vel octo minutonim primorum a sole ad terram venire,
jam constat per pha;nomena satelHtum Jovis, observationibus diver-
sorum astronomorum confirmata. Radii autem in aere existentes
(uti dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubl-
culum admissa. invenit, & ipse quoque expertus sum) in transitu
suo prope corporum vel opaconnii vel perspicuorum angulos

DE MOTV CORPORUM

(quales sunt nummorum ex auro, argento & aere cusorum termini
rectanguH circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitro-
rum acies) incurvantur circum corpora, quasi attractl in eadem ;
& ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpora
incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter
observavi. Et qui transeunt ad majores distantias minus incurvantur;
& ad distantias adhuc majores incurvantur aliquantulum ad partes
contrarias, & tres colorum fascias efformant. In figura designat s
aciem cultri vel cunei cujusvis A s B;
&go w ogt fn u nf, emtm e, dls Id
sunt radii, arcubus owo,nun,mi m, g
/j/ versus cultrum incurvati ; idque .^\
magis vel minus pro distantia eo- ^\^

rum a cultro. Cum autem tahs in- ^^ x \/s* ., *

curvatio radiorum fiat in aere extra ^^ ^v^ ~ ^

cultrum, debebunt etiam radii, qui ^mo ~ 3

incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt.

Et par est ratio incidentium in vitrum. Fit igitur refractio, non in

puncto incidentiae, sed paulatim per continuam incurvationem radi-

orum. factam partim in aere antequam

attingunt vitrum, partim (ni fallor) in

vitro, postquam illud ingrcssi sunt: uti in

radiis ckzc, 6iy 6, ahxa incidentibus ad

r, g. p, & inter & 8i s, i & y, h 8i x incur-

vatis, delineatum cst. Igiturob analogiam

qua: est inter propagationem radiorum / /

lucis & progressum corporum, visum est / / >

propositiones sequentes in usus opticos / / /

subjungere ; interea de natiira radiorum ^ °

(utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed ft^el

corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans.

IJBER PR/MUS. 22

PROPOSITIO XCVII. PROBLEMA XLVII.

Posito quod sinus ificidenlice in superficiem aliquam sit ad sinum
emergentice in data ratione ; quodque incurvatio vice corporum juxta
superficiem illam fiat in spatio drevissimo, quod ut punctum
coftsiderari possit : cUtermifiare superficiem, quce corpuscula omnia
de loco dato successive manantia convergere /aciat ad alium locum
datum.

Sit A locus a quo corpuscula divergunt ; B locus in quem con-
vergere debent; CDE curva linea quse circa axem AB revoluta
describat superficiem quaesitam ; /?, E curvae illius puncta duo
quaevis ; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa.
Accedat punctum D ad punctum E; & lineae D E, qua AD
augetur, ad lineam D G, qua D B diminuitur, ratio ultima erit eadem
quae sinus incidentiae ad
sinum emergentiae. Datur
ergo ratio incrementi lineae
AD ad decrementum lineae

DB ; & propterea si in axe ^ c ji m

AB sumatur ubivis punctum C, per quod curva CDE transire
debet, & capiatur ipsius A C incrementum C M ^A ipsius B Cdecre-
mentum C N m data illa ratione, centrisque A^ B^ & intervallis
A M, B N describantur circuli duo se mutuo secantes in D ;
punctum illud D tanget curvam quaesitam C D E^ eandemque ubivis
tangendo determinabit. Q. E. I.

Corol. I. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in
infinitum, nunc migret ad alteras partes puncti C, habebuntur figurae
illae omnes, quas Cartesius in optica & geometria ad refractiones
exposuit Quarum inventionem cum Cartesius celaverit, visum fuit
hac propositione exponere.

Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis C Dy secundum line-
am rectam A /?, lege quavis ductam incidens, emergat secundum
aliam quamvis rectam D K, 8l 2l puncto C duci intelligantur lineae

228

DR MOTU CORPORUM

curvai CP^CQ ipsis A D, D K
semper perpendicularos : erunt
incrementa linearum P Dy Q D,
atque ideo lineai ipsae PD, QD,
incrementis istis genitae, ut sinus
incidentiae & emergentiae ad in-
vicem : & contra.

PROPOSITIO XCVIII. PROBLEMA XLVIII.

lisdem posiiiSi & circa axem A B descripta superficie quacunqtie
attrattiva C D, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco
dato A exeuntia transire debent : invefiire superficiem secundam
attractivam E F, qmF corpora illa ad locum datum B convergere
faciat.

Juncta A B secet superficiem primam in C & secundam in E,
puncto D utcunque assumpto. Et posito sinu incidentiae in superfi-
ciem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergentiae
e superiicic secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quantitas
aliqua data M ad aliam datam N : produc tum A B 2A G, ut sit B G

ad CE ut M — N ad N ; tum ADzAH, ut sit A H aequalis A G ;
timi etiam />/^ad A* ut sit Z? A'ad Z>/^ ut N ad M. Junge A'^.
& ccntro D intervallo D H describe circulum occurrentem A'^
j>axlucta! in Z, ipsique D L parallelam age B F: & punctum F
tanget lineam E F, quae drca axem A B revcJuta describet super-
ficiem quxsitam. Q. E. F.

LIBER PRIMUS.

229

Nam concipe lineas C Py CQ ipsis A Dj D F respective, & lineas
E R, E S ipsis F B, FD ubique perpendiculares esse, ideoque Q S
ipsi CE semper aequalem; & erit (per corol. 2 prop. xcvii) PD
ad ^Z? ut M ad N, ideoque ut DL ad DK vel FB ad FK ; &
divisim ut DL-^FB seu PH--PD-FB ad FD seu FQ--QD;
& composite ut PH'-'FB ad FQ, id est (ob aequales P H 81 C G,
QS & CE) CE+BG^FP ad CE--FS. Verum (ob propor-
tionsles BG ad CE & M-N ad N) est etiam CE+BG ad CE
ut M ad N ; ideoque divisim FP ad FS ut M ad N ; & propterea
(per corol. 2 prop. xcvii) superficies EF cogit corpus, in ipsam
secundum lineam D F incidens, pergere in linea FR bA locum B.
Q. E. /?.

Scholium.

m

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures.
Ad usus autem opticos maxime accommodatae sunt figurae sphaericae.
Si perspicillorum vitra objectiva ex vitris duobus sphaerice figuratis
& aquam inter se claudentibus conflentur; fieri potest ut a refrac-
tionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus
extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra objectiva
vitris ellipticis & hyperbolicis praeferenda sunt, non solum quod
facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos
radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant Veruntamen
diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo
minus optica per figuras vel sphaericas vel alias quascunque perfici
possit Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in
caeteris corrigendis imperite collocabitur.

DE

MOTU CORPORUM

LIBER SECUNDUS.

S E C T I O I.

De motu corponim quibus resistitur in ratione velocitatis.

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Corporisy cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia

amissus est ut spatium mavefuio confectum,

NAM cum motus singulis temporis particulis aequalibus amissus
sit ut velocitas, hoc est, ut itineris confecti particula : erit,
componendo, motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D.

Corol. Quare si corpus, gravitate omni destitutum, in spatiis liberis
sola vi insita moveatur; ac detur tum motus totus sub initio, tum
etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum : dabitur
spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest Erit
enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub
initio ad motus illius partem amissam.

LEMMA I.

Quantitates differentiis stiis proportionales sunt continue proportionales.

Sit A ad A-B ut B ad B-C & C ad C-D &c., & conver.
tendo fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q. E. D.

I

DE MOTU CORPORUM, &'c.

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

Si corpori resisiiiur in ratione vdocitatis, & idcm sola vi insHa pcr

jl medium similare tnoveatur, sumantur autem tempora ^qualia:

velocitates in principHs singulorum temporum sunt in progressione

' geometrica, & spatia singulis tcmporibus descripta suut ut velocitates.

Cas. I . Dividatur tetnpus in particulas requales ; & si ipsis
particularum initiis agat vis resistentJas impulsu unico, qu^e slt ut
velocitas : erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut
eadem veiocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales,
& propterea (per lem! i lib. ii) continue proportlonales. Proinde
si ex iequali particularum numero componantur tempora quaelibet
aequalia, erunt velocitates ipsis tempomm initiis, ut termini in
progressione continua, qui per saitum capiuntur, omisso passim ffrquali
terminorum intermedionmi numero, Componuntur autem horum
terminorum rationes ex rationibus inter se iisdem terminorum
intermediorum sequaliter repetitis, & propterea eae quoque rationes
compositae inter se e^dem sunt Igitur velocitates, his terminis
proportionales, sunt in progressione geometrica. Minuantur jam
Eequales ill^E temporum particulEe, & augeatur earum numerus in
infinitum, eo ut resistentix impulsus reddatur continuus; & velocitates
in principiis aequalium temporum, semper continue proportionales,
erunt in hoc etiam casu continue proportionales. Q. E. D.

Cas. 2, Et divisim velocitatum differentiar, hoc est, earum partes
singiilis temporibus amissx, sunt ut totae : spatia autem singuHs
temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amiss^e (per prop. i
lib ii) & propterea etiam ut tota:, Q. E. D.

Corol. Hinc si asymptotis rectangulis A C,
CH describatur hyperbola BG, sintque A B,
D G 2A asymptoton A C perpendiculares, &
exponatur tum corporis velocitas tum resistentia B_
medii, ipso motus initio, per lineam quamvis da-
tam AC. elapso autem tempore aliquo per lineam
indefinitam DC: exponi potcst tempus per aream ABGD. & spatium
( eo tempore descHptum per lineam AD. Nam si area illa per motum

232

DE MOTU CORPORUAf '

puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta
DC \n ratione geometrica ad modum velocitatis, & partes recta;
A C tcqualibus temporibus descripta; decrescent in eadem ratione.

PROPOSITIO III. PROBLEMA I.

Corporis, cui, djim in medio similari recta ascendit vel descendit,
resistitttr in ratione velocitatis, quodque ad uniformi gravitate
urgetttr, definire motttm.

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis
rectangulum B A C H, & resistentia medii initio ascensus per rectan-
gulum BADE sumptum ad
contrarias partes rectae A B.
Asymptotis rectangulis A C,
CH, per punctum B describatur
hyperbola secans perpendicula
DE, de in G,g; & corpus ascen-
dendo tempore Z?6^^a' describet
spatium EGge, tempore DGBA
spatium ascensus totius E G B ;
tempore ABKI spatium de-

scensus B FK, atque tempore I Kk i spatium descensus K Ffk ; &
velocitates corporis {resistentis medii proportionales) in horum
temporum periodis erunt A B E D, A B ed, toiWa, A B FI, A Bfi
respective ; atque maxima velocitas, quam corpus descendendo potest
acquirere, erit BA CH.

Resolvatur enim rectangulum
B A C H in rectangula innumera
A k, Kl, L m, Mn, &c. quae sint
ut incrementa velocitatum aequali-
bus totidem temporibus facta ; &
erunt nihil, A k, A l, Am, A n,
&c. ut velocitates totje, atque ideo
(per hypothesin) ut resistentiae
medii principio singulomm tempo-

7f

'

/

k/

E e

^^

'

n ^

T^

-■

(

__-— —

^

l m

LIBER SECUNDUS.

=33

rum a;qLialiiim. VvaXA C ^A A K v^ A B H C thA A B k K mx. \\?,
gravitatis ad resistentlam in principio temporis secundi, deque vi gravi-
tatls subducantur resistentise, & manebunt ABHC, KkHC, LIHC,
A/mHC, &c. ut vlres absolutae qulbus corpus In principio slngu-
lorum temporum urgetur, atque Ideo (per motus legem n) ut in-
crementa velocitatum, id est, ut rectangula ^/ ^, K l, Lm, Mn, &c.
ft, & propterea (per lcm. i llb, ii) in progressione geometrica, Quare
^ si recta; K k, Ll, Mm, N n, &c. productae occurrant hyperbolae

\mq,r,s,t, &c. ernnt aresi A Bg K, KgrL, LrsM, M s IN, Slc.

\ aequales, ideoque tum temporlbus tum vlrlbus gravitatis scmper
aequalibus analogas. Est autem a.re:a. A B g K (per corol. 3 lem, vii
& lem. viii lib. i) ad aream B kg ut Kg ad ^ ^^ seu A C afi \ A K,
hoc est, ut vis gravltatls ad resrsteiitiam in medlo temporis prlmi.

I Et simili argumento area; gKLr, rLMs, s M N t, &c. sunt ad
areas gklr, rlms, smnt, &c. ut vlres gravltatis ad resistentias m

' medio temporis secundi, tertli, quarti, &c. Prolnde cum areie

aiquales BAKg, g K L r, rLMs, sMNl, &c. slnt viribus gravi-

tatis analoga:, erunt arear B kg, qkl r, rlms, smnt, &c. resistentiis

^^ in mediis singulonim temporum, hoc est (per hypothesln) velocita-

^K tibus, atque ideo descriptls spatiis analogae. Sumantur analogarum

^^P summae, & erunt are^e B kq, B Ir, Bms, Bnt, &c. spatlis totis

descriptis analoga; ; necnon arens A B q K, A B r L, A B s M,

ABtN, &c. temporibus. Corpus Igltur Inter descendendum, tem-

pore quovis A B r L. describit spatlum B l r, &. tempore LrtN

spatium rln t. Q. E. D. Et slmllls est demonstratio motus expositi

in ascensu. Q. E. D.

ICorol, I. Igitur velocitas maxlma, quam corpus cadendo potest
acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut
vis data gravitatls, qua corpus ilhid perpetuo ur^'etur, ad vlm reslsten-
tis, qua in fine temporis Ilhus impedltur.
Corol. 2. Tempore autcm aucto In progressione arithmetica, sum-
ma velocltatis iliius maxlm^ ac vclocitatis in ascensu, atque etlam
earundem dlfferentia in descensu decrescit in progressione geo-
metrica.

tCorol. 3. Sed & differenti^e spatlorum, qua; in a;quahbus tcm-
porinn differentiis describuntur, decrescunt in eadem progrcsslonc
L

234

DE MOTU CCRPORUM

CoroL 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duo-
rum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio
descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descensus initio
aequantur inter se.

PROPOSITIO IV. PROBLEMA II.

Posito quod vis gravitatis in medio aliquo similari uniformis sit, ac
tendat perpendiculariter ad planum fiorizontis ; definire motum pro-
jectilis in eodemj resistentiam velocitati proportionalem patientis.

E loco quovis D egredia-
tur projectile secundum lineam
quamvis rectam Z? P, & per
longitudinem D P exponatur
ejusdem velocitas sub initio mo-
tus. A puncto P ad lineam
horizontalem D C demittatur
perpendiculum P C, & secetur
DC m A, ut sit Z?^ ad ^ C
ut resistentia medii, ex motu in
altitudinem sub initio orta, ad
vim gravitatis; vel (quod pe-
rinde est) ut sit rectangulum
sub D A & D P Sid rectangu-
lum sub A C & CP ut resisten-
tia tota sub initio motus ad vim
gravitatis. Asymptotis D C,
CP describatur hyperbola quae-
vis G TB S secans perpendi-
cula DG, AB \n G 81 B; 81
compleatur parallelogrammum
D G K C^ cujus latus G K secet
A B m Q. Capiatur linea N in
ratione 2A Q B qua Z?C sit ad CP; & ad rectae DC punctum
quodvis R erecto perpendiculo R T, quod hyperbolae in 7) & rec-
tis B I/, G K, DP in /y t& Foccurrat; in eo cape F/^ aequalem

UBER SECUNDVS.

-|^ , vel, quod pennde est, cape R r Eequalem — ,- & projec-

tile tempore DR TG perveniet ad piinctum r, describens curvam
lineam DraF,Q^2.m punctum r semper tangit, perveniens autem
ad maximam altitudinem a in perpendiculo A B, Si. postea semper
appropinquans ad asymptoton P C. Estque velocitas ejus in puncto
quovis r ut curvae tangens r L. Q.E.I.

Est enlm N ad QB ut DC ad CP seu DR ad R V, ideoque R V

alis

asqu;

eequalis

DRy.QB

N

& ^ r (id est R V-

DRY.AB-RDG T
N

„ DRxQB-iG T,
• V r seu ^— — ■ — — )

N '

Exponatur jam tempus per aream

RD G T & (per legum corol. ii) distinguatur motus corporis in
duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum resistentla sit ut
molus, dislinguetur etiam hzec in partes duas partibus motus pro-
portionales & contrarias ; ideoque longitudo, a motu ad latus
descripta, erit (per prop. ii hujus) ut Hnea D R, altitudo vero (per
prop. III hujus) ut area D R xAB~RDGT, hoc est, ut
linea Rr. Ipso autem motus initio area ^ZJG /"aequalis est rectan-

gulo DR X A Q, Ideoque linea illa R r (seu

DRxAB-DRxAQ^

N

tunc est ad DR ut A B — A Q stu Q B ad N, id est, ut CP ad /? C,-

atque ideo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub ini-

tio. Cum Igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo,

atque Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem : necesse est ut

Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propterea ut corpus

movcatur in VmeaDraE, quam punctum r perpetuo tangit. Q.E.D.

^ / 17 ■ ■ r. I- DRy.AB RDGT .,
Lorol. r. Est igitur /r r aequahs j^j~ — ■■■■■. : ideoque

si producatur R T ^d X ut sit ^A' Ecqualis ^ ; id est, si

compleatur parallelogramraum A C P Y, jungatur D Y secans C P
in Z, & producatur R T donec occurrat DY\v\X; erit Xr ^qualis

-7 — , & propterea tempori proportlonalis.

Corol. 2. Unde si capiantur innumerfe C R, vel, quod perinde est.
innumerse ZX in progressione geometrica; erunt totidem X r \n

DE MOTV CORPORUM

progressione arithmetica. Et hinc curva Z? r « T^ per tabulam loga-
rithmonim facile dellnealur.

Corol. 3. Si vertice D, diametro D G deorsum producta, & la-
tere recto quod sit 2A 2 D P vX
resistentia tota ipso motus ini-
tio ad vim gravitatis, parabola
construatur : velocitas quacum
corpus exire debet de loco D
secundum rectam DP, ut in me-
dio uniformi resistente describat
curvam DraF, ea ipsa erit qua-
cum exire debet de eodem loco
D, secundum eandem rectam
DP, ut in spatio non resistente q t
describatparabolam. Namlatus
rectum parabolze hujus, ipso mo- ^ R

^^=V

tus mitio, est

D V qitad. „

V:

tGT DRy.Tt

; — - - seu ■ - ■;.— .
N 2 N

Recta

autem quae, si duceretur, hyperbolam G TS tangeret in G, parallela
est ipsi D K, ideoque T/ est y:^ — , & N erat - — ^-j^ . Et|

propterea Vrest

DRqy.CK

DC
iCP

iDCqxQP

CP

, id est {ob proportlonales D R

Sc. D C, D V Sl D P) j:-f: „ „ - , & latus rectum ;#

2 DPgx Q B Vr

prodit
AC)

iDPqy.QB
CKxCP '
2DPqxDA

id est (ob proportionales Q B Si. CK, DA &
, ideoque ad 2 DP, ut DP x DA ad CPxA C;

ACxCP
hoc est, ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 4. Unde si corpus de loco quovis /?, data, cum velocitate;
secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur; & re-
sistentia medii ipso motus initio detur ; inveniri potest curva DraF,
quam corpus idcm describeL Nam ex data velocitate datur latus
rectum parabolx, ut notum est. Et sumendo 2 D P ad latus illud
rcctum, ut est vis graviutis ad vini resistentia-, daturj9/*. Dcin

I

4

LIBER SECUNDUS,

237

secando Z? C in ^, ut sit CP x ^ C ad /? P x /? ^ in eadem illa ra-
tione gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur
curva D raF.

CoroL 5. Et contra, si datur
curva DraF, dabitur & velo-
citas corporis & resistentia me-
dii in locis singulis r, Nam ex
data ratione CP y. A C 2A D P
y.DAy datur tum resistentia
medii sub initio motus, tum la-
tus rectum parabolae : & inde
datur etiam velocitas sub initio
motus. Deinde ex longitudine
tangentis r L, datur & huic pro-
portionalis velocitas, & veloci-
tati proportionalis resistentia in
loco quovis r.

CoroL 6. Cum autem longi-
tudo 2 D P sit ad latus rectum
parabolae ut gravitas ad resisten-
tiam in /?; & ex aucta veloci-
tate augeatur resistentia in eadem
ratione, at latus rectum parabolae
augeatur in rationeilladuplicata:
patet longitudinem 2 DP au-
geri in ratione illa simplici,
ideoque velocitati semper proportionalem esse, neque ex angulo
C DP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quoque velocitas.

CoroL 7. Unde liquet methodus determinandi curvam DraF
ex phaenomenis quamproxime, & inde coUigendi resistentiam & velo-
citatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia &
aequalia eadem cum velocitate, de loco /?, secundum ang^los diversos
CD P, C Dp & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizon-
tale planum D C Tum, assumpta quacunque longitudine pro D P
vel DPy fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione
qualibet; & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis S M.

238

DE MOTU CORPORUM

Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta D P, in-
veniantur longitudines D F, Df, ac de ratione ^-^, per calculum

inventa, auferatur ratio eadem per experimentum inventa, & ex-
ponatur differentia per perpendiculum M N. Idem fac iterum ac ter-
tio, assumendo semper novam resistentiae ad gravitatem rationem
S My &, colligendo novam differentiam M N. Ducantur autem
differentiae affirmativae ad unam partem rectae S M, & negativae ad

.N

I^

M M

alteram ; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NN N se-
cans rectam S M MM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad
gravitatem, quam invenire oportuit Ex hac ratione coUigenda est
longitudo D F per calculum ; & longitudo, quae sit ad assumptam
longitudinem D Py ut longitudo D F per experimentum cognita ad
longitudinem D F modo inventam, erit vera longitudo D P. Qua
inventa, habetur tum curva linea DraF quam corpus describit,
tum corporis velocitas & resistentia in locis sing^lis.

LIBER SECUNDUS. 239

Scholium.

Caeterum, resistentiam corporum esse in ratione velocitatis,
hypothesis est magis mathematica quam naturalis. In mediis, quae
rigore omni vacant, resistentiae corporum sunt in duplicata ratione
velocitatum. Etenim actione corporis velocioris communicatur
eidem medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione
majoris velocitatis; ideoque tempore aequali, ob majorem medii
quantitatem perturbatam, communicatur motus in duplicata ratione
major; estque resistentia (per motus leg. 11 & iii) ut motus com-
municatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege
resistentiae.

SECTIO II.
De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

PROPOSITIO V. THEOREMA III.

Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata^ & idem sola
vi insita per medium similare movetur; tempora vero sumantur
in progressione geometrica a minoribus terminis ad majores pergente :
dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem
progressione geometrica inverse; & quod spatia sunt cequaliay quce
singulis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia
medii, & resistentiae proportionale est decrementum velocitatis; si
tempus in particulas innumeras aequales dividatur, quadrata velo-
citatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem
differentiis proportionalia. Sunto temporis particulae illae A K^ K L^
L My &c. in recta CD sumptae, & erigantur perpendicula A B^
K k, L l, M m, &c. hyperbolae B k ImG, centro C asymptotis

240

DE MOTU CORPORUM

rectangulis C D, C H descript^, occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit
ABa.AKk ut CK ad CA, & divisim AB-Kk ad KkxxX AK ad
CA, & vicissim A B—Kk ad ^ ^ ut Kk ad C A, ideoque ut ^ ^
X Kk ad AB x CA. Unde, cum AKBl AB x CA dentur, erit ^i?
-^-f ut ^^x /iry6; & ultimo, ubi coeunt AB &. Kk, ut ABg. Et
simili argumento erunt Kk~Ll, Ll—Mm, &c. ut Kk qttad. Ll quad.
&c. Linearum igitur A B, Kk, Ll, M m quadrata sunt ut eaKin-
dem dtfferentiae ; & idcirco, cum quadrata velocitatum fuerint
etiam ut ipsarum differentiae, similis erit ambarum progressio. Quo
demonstrato, consequens est etiam ut u
arex his lineis descriptse sint in pro-
gressione consimili cum spatiis quse
velocitatibus describuntur. Ergo si
velocitas initio primi temporis A K
exponatur per lineam A B, 8c velo-
citas initio secundi K L per lineam
Kk, & longitudo primo tempore
descripta per aream A KkB ; velo-
citates omnes subsequentes expon-
entur per lineas subsequentes L l, M m, &c. & longitudines
descriptae per areas Kl, Lm, &c Et composite, si tempus totum
exponatur per summam partium suarum A M, longitudo tota
descripta exponetur per summam partium suarum A Mm B. Con-
cipe jam tempus A M xXsl dividi in partes A K, K L, LM, &c. ut
%\x\XCA, CK, C L, CM, &c in prc^ressione geometrica; & erunt
partes illae in eadem progressione, & velocitates A B, Kk, L l. Mm,
&c, in progressione eadem inversa, atque spatia descripta A k, K l,
L m, &c. aequalia. Q.E.D.

Corol. I. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti
partem quamvis A D, &. velocitas in principio temporis per ordi-
natim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per
ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream hyperbo-
licam adjacentem ABGD; necnon spatium, quod corpus aliquod
eodem tempore A D, velocitate prima A B, in medio non resistente
describere posset, per rectangulum A B y. A D.

Corol. 2. Unde datur spatium in medio resistente descriptum,
capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi A B \ri medio

LIBER SECUNDUS.

241

non resistente simul describi posset, ut est area hyperbolica A B G D
ad rectangulum A B y. A D.

CoroL 3. Datur etiam resistentia medii, statuendo eam ipso mo-
tus initio aequalem esse vi uniformi centripetae, quae in cadente
corpore, tempore A C, in medio non resistente, generare posset
velocitatem A B. Nam si ducatur B T^quae tangat hyperbolam in B,
& occurrat asymptoto in T; recta A T aequalis erit ipsi A C,^ tem-
pus exponet, quo resistentia prima uniformiter continuata tollere
posset velocitatem totam A B.

CoroL 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim
gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

CoroL 5. Et vice versa, si datur proportio resistentiae ad datam
quamvis vim centripetam ; datur tempus A C, quo vis centripeta
resistentiae aequalis generare possit velocitatem quamvis A B : Sc
inde datur punctum B per quod hyperbola, asymptotis CH, C D^
describi debet ; ut & spatium A B GD, quod corpus incipiendo
motum suum cum velocitate illa A By tempore quovis A /?, in
medio similari resistente describere potest

PROPOSITIO VI. THEOREMA IV.

Corpora sphcsrica homogenea & csqualiay resistentiis in duplicata
ratione velocitatum impedita^ & solis viribus insitis incitatay tempori-
6us, qucB sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper
cequalia spatia^ & amittunt partes velocitatum proportionales
totis.

Asymptotis rectangulis C D, C H ^
descripta hyperbola quavis B bE e s^-
cante perpendicula A B^ ab, D E, de,
in B, b, Ey e^ exponantur velocitates
initiales per perpendicula AB^D E,Si
tempora per lineas A a^ Dd. Est ergo
ut -^ a ad Dd ita (per hypothesin) DE
zd A By & ita (ex natura hyperbolae)
CA B,d CD; & componendo, ita, Ca c
ad Cd. Ergo areae ABba, DEedy hoc est, spatia descripta

Q

242

DE MOTU CORPORUM

aequantur inter se, & velocitates primae A By D E sunt ultimis a b, de^
& propterea dividendo partibus etiam suis amissis A B ^ad,
D E—de proportionales. Q. E. D.

PROPOSITIO VII. THEOREMA V.

Corpora spfuerica quibtis resistitur in duplicata ratione velocitatum,
temporibuSj qucB sunt ut motus primi directe & resistentice primce
inverse, amittent partes m^tuum proportionales totis, & spatia
describent temporibus istis & velocitatibus primis conjunctim pro-
portionalia.

Namque motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora
conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, debebit
resistentia & tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus
erit ut motus directe & resistentia inverse. Quare temporum par-
ticulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas
motuum proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velocitati-
bus suis primis semper proportionales. Et ob datam velocitatum
rationem, describent semper spatia, quae sunt ut velocitates primae &
tempora conjunctim. Q. E. D.

CoroL I. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata
ratione diametrorum : globi homogenei quibuscunque cum veloci-
tatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amit-
tent partes motuum proportionales totis. Motus enim globi cujusque
erit ut ejus velocitas & massa conjunctim, id est, ut velocitas & cubus
diametri ; resistentia (per hypothesin) erit ut quadratum diametri &
quadratum velocitatis conjunctim ; & tempus (per hanc propositionem)
est in ratione priore directe & ratione posteriore inverse, id est, ut
diameter directe & velocitas inverse; ideoque spatium, tempori &
velocitati proportionale, est ut diameter.

Corol. 2. Si aequivelocibus corporibus resistitur in ratione sesqui-
plicata diametrorum : globi homogenei quibuscunque cum velocitati-
bus moti, describendo spatia in sesquiplicata ratione diametrorum,
amittent partes motuum proportionales totis.

Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocibus corporibus resistitur m
ratione dignitatis cujuscunque diametrorum : spatia quibus globi
homogenei, quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes

LTBER SECUN^DVS.

243

motuum proportionales totis, enint ut cubi diametronim ad dignitatem
illam applicati. Sunto diametri D & E ; & si resistentiEC, ubi
velocitates a;quales ponuntur, sint ut D* & E" : spatia quibus globi,
quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum
proportionales totis, erunt ut D^"" & E^"'. Et propterea globi
homogenei describendo spatia ipsis D*"' & E^"' proportionalia,
retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

Corol. 4. Quod si globi non sint homogenei, spatium a globo
densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis, Motus enim,
sub pari velocitate, major est in ratione densitatis, & tempus (per
hanc propositionem) augetur in ratione motus dlrecte, ac spatium
descriptum in ratione temporis.

Corol. 5, Et si globi moveantur in mediis diversis; spatium in
medio, quod CEcteris paribus magis resistit, diminuendum erit in
ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc propositionem)
diminuetur in ratione reslstentire auctae, & spatium in ratione
temporis.

LEMM A II.

Momenttint genit^ aquatur momentts laterum singulorvm generantium
in eornndem iaterum indices dignitatuvt & coefficientia continue
ductis.

Genitam voco quantitatem omnem, quas ex lateribus vel terminis
quibuscunque in arithmetica per multiplicationem, divisionem, &
extractionem radicum ; in geometria per inventionem vel contentorum
& laterum, ve! extremarum & mediarum proportionalium, sine
additione & subductione generatur. Ejusmodi quantitates sunt
facti. quoti, radices, rectangula. quadrata, cubi, latera quadrata, latera.
cubica, & similes. Has quantitates, ut indeterminatas & instabiles,
& quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes, hic
considero ; & earum incrementa vel decrementa momentanea
sub nomine momentonun intelHgo : ita ut incrementa pro momentis
addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu
negativis habeantur. Cave tamen intellexerls particulas finitas.
Particulse finitar non sunt momenta, sed quantitates ips^ ex momentis
genitse. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum

244

DE MOTU CORPORUM

magnitudinum. Neque enim spectatur in hoc lemmate magnitudo
momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si
loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac
decrementorum (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantita-
tum nominare licet) vel finitae quaevis quantitates velocitatibus hisce
proportionales. Lateris autem cujusque generantis coefficiens est
quantitas, quae oritur applicando genitam ad hoc latus.

Igitur sensus lemmatis est, ut, si quantitatum quarumcunque
perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. momenta,
vel his proportionales mutationum velocitates dicantur a^ b, c^ &c.
momentum vel mutatio geniti rectanguli A B fuerit a B + ^ A, & geniti
contenti A B C momentum fuerit ^BC + ^AC + ^AB: & genitarum

dignitatum A*, A^ A*, A^ A^ A^ A^ A~\ A"', & A^i momenta

1 1 2 1 .

2 « A, 3 ^ A^ 4 ^? A^ 1 ^ A~^, \ a A^ \ a A"^, | a A^, — ^ A ,

8 - . • .

— 2 ahr^^ & — ^ ^ A"~^ respective. Et generaliter, '^ut dignitatis

n ""'^

cujuscunque A ** momentum fuerit aK ** . Item utgenitae

A' B momentum fuerit 2 ^AB + ^A*; & genitae A^ B* C* momentum

3^? A« B* C« + 4^A^ B^ C«+2^A3 B* C ; & genit^ ^ sive

A^ B~* momentum 3 a A* B""* — 2 ^ A^ B~^ : & sic in caeteris.
Demonstratur vero lemma in hunc modum.

Cas. I. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum A B, ubi
de lateribus A & B deerant momentorum dimidia \ a BiL \ by fuit
A — iain B — i^, seu AB — JaB— ^^A + t^^/ & quam primum
latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A + i «
in B + Y ^ seu A B + ^aB + i^A + J^A De hoc rectangulo
subducatur rectangulum prius, & manebit excessus ^ B + ^ A. Igitur
laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum
aB + bA. Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB semper aequale G, & contenti ABC seu
GC momentum (per cas. i) erit^C + ^G, id est (si pro G &^
scribantur AB&aB + ^A)aBC + ^A C + ^ A B. Et par est ratio
contenti sub lateribus quotcunque. Q. E. D.

LIBER SECUNDUS, 245

Cas. 3. Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper aequalia ; &
ipsius A% id est rectanguli A B, momentum a B + ^ A erit 2 ahy
ipsius autem A^, id est contenti A B C, momentum ^ B C + ^ A C
+ ^ A B erit 3 a A". Et eodem argumento momentum dignitatis
cujuscunque A* est n a A*~'. Q. E. D.

Cas. 4. Unde cum — in A sit i, momentum ipsius — ductum

J\ J\

in A, una cum — ducto in a erit momentum ipsius i, id est, nihil.

J\

Proinde momentum ipsius — seu ipsius A"' est ^. Et generaliter

J\ J\

cum -T- in A* sit i, momentum ipsius — ductum in A* una cum
A* A

-^^ in ;^aA*~'erit nihil. Et propterea momentum ipsius — seu
A Jx

A-erit-^. Q.E.n.

Cas. 5. Et cum A ^ in A ^ sit A, momentum ipsius A ^ ductum in

1 1. /y

2 A ' erit a, per cas. 3 : ideoque momentum ipsius A ^ erit ^

2 A^

m

' m

sive T a A~^. Et generaliter si ponatur A * aequale B, erit A
aequale B**, ideoque m a A**"' aequale n b B*~% &. ma A~' aequale

m m — H

m

n b B""* seu nb K * , ideoque — ah, * aequale b, id est, aequale

m

momento ipsius A " . Q.E.D.

Cas. 6. Igitur genitae cujuscunque A** B* momentum est momen-
tum ipsius A** ductum in B", una cum momento ipsius B" ducto in
A**, id est maA'^^^ B^^ + nbB"'' A**; idque sive dignitatum in-
dices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel nega-
tivL Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q.E.D.

Corol. I. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur,
momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multipli-

246 ^^ MOTU CORPORUM

cati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum.
Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales ; & si detur terminus
C, -momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut — 2 A, — B,
D, 2 E, 3 F.

CoroL 2. Et si in quatuor proportionalibus duai mediae dentur,
momenta extremarum erunt ut eaedem extremae. Idem intelligendum
est de lateribus rectanguli cujuscunque dati.

CoroL 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur,
momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholiuni.

In epistola quadam ad D. y. Collinium nostratem 10 Decem. 1672
data, cum descripsissem methodum tangentium quam suspicabar
eandem esse cum methodo Slusii tum nondum communicata; sub-
junxi : Hoc est unum particulare vel corollaritim potius met/iodi
generalisy qu^ extendit se citra molestum ullum calcuhim, non modo
ad ducendum tangentes adquasvis curvas sive geometricas sive mechanicas
vel qtiomodocujique rectas lineas aliasve curvas respiciejites, verum
etiam ad resolvendum alia abstrusiora problematum genera de curvi-
tatibuSj areisy longitudinibus, centris gravitatis ctirvarum &c. neque
(quemadmodum Huddenii methodus de maximis & minimis) ad
solas restringitur cequationes illas qu^ quantitatibus stirdis sunt
immunes. Hanc methodum intertexui alteri isti qua cequationum
exegesin instituo reducendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola.
Et haec ultima verba spectant ad tractatum quem anno 1671 de
his rebus scripseram. Methodi verd hujus generalis fundamentum
continetur in lemmate pnecedente.

PROPOSITIO VIII. THEOREMA VI.

Si corpus in medio uniformi, gravitate uniformiter agente, recta
ascendat vel descendaty & spatium totum descripttim distinguatur
in partes cequales, inqiie principiis singularum partium (adde^ido
resistejitia^n medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit,
vel subducefido ipsam quancb corpus descendit) investige^itur

LTBRH SBCVNDVS.

vires absobda; ; dico guod vtres illis odsohttiB sunl in progressione
geometrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam A C; resistentla
per lineam indefinitam A K ; vis absoluta in descensu corporis per
difFerentiam K C ; velocitas corporis per liueam A P, qua; sit media
proportionalis inter A K Si A C, ideoque in subduplicata ratione
resistentije ; incrementum resistentite data teaiporis particula factum
per lineolam K L, & contemporaneum velocitatis incrementum per
lineolam PQ; & centro C asymptotis rectangulis CA, C/Tdescriba-
tur hyperbola qujevis B N S, erectis perpendiculis ^ 5, KN, LO
occurrens in B, N, O. Quoniam A K est \xt A P g, erit hujus mo-
mentum A^Z ut illlus momen-
tum 2APQ: id est, ut^P in
KC; namvelocitatisincremen-
tum PQ (per motus leg. u)
proportionale est vi generanti

K C. Componatur ratio ipsius T^~~-&-jra

K L cum ratione ipslus K N,

& fiet rectangulum KL x KN \ 1 i U M 1 ■ i

ut^/^xA^CxA^^/hocest, ^^ t^^^ ^ ^ A i

ob datum rectangulum K C% K N. ut A P. Atqui arese hyperboHcse
K N O L ad rectangulum K L y. K N ratio ultima, ubi coeunt puncta
K & L. est jequalltatls. Ergo area illa hyperbolica evanescens est
ut A P. Componitur igitur area tota hyperbolica A BOL ex par-
ticulis KNO L velocitati A P semper proportionallbus, & propterea
spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Divldatur jam area
illa in partes ajquales A B Af I, I M N K, K N O L, &c. & vires
absolutse A C, I C, K C, L C, &c. erunt in progressione geometrica.
Q. E. D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo. ad
contrariam partem puncti yJ, aequales arcasABmi, zmnk, knol,
&c. constabit quod vires absolutie A C, i C, k C, l C, &c. sunt continue
proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu & descensu capi-
antur aequalia; omnes vires absolutae l C, kC, i C, A C, I C, K C,
L C, &c. erunt continue proportionales. Q. E. D.

Corol. I. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream hyper-
bolicam A B N K; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis

248 -O-ff MOTU CORPORUM

& resistentia medii per lineas A C, A P Si. A K respective ; & vice
versa.

Corol. 2, Et velocitatis maximse, quam corpus In inftnitum de-
scendendo potest unquam acquirere, exponens est linea A C.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia
medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem
illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad
raedii resistentiam illam cognitam.

PROPOSITIO IX. THEOREMA VII.

Positis jam dcmonstralis, dico qnod, si tangcntes angidornm sectoris
circularis & sectoris hyperbolici sumantur vclocitalibus proporiion-
aies, existmte radio justa ntagnititdinis : erit tempus omnc asccndendi
ad locum summum ui sector circuli, & tempus omne dcsccndendLA
loco summo ut scclor hypcrbolo'.

RecKe A C, qua vis gravitatis exponilur, perpendicularis & xqua-
lis ducatur A D. Centro D semidiametro A D describatur tum
circuli quadrans A t E; tum Iiyperbola rectangula A V Z axem ha-
bens A X, verticem principalem A. & asymptoton D C. Ducantur
Dp, D P, 81. erit sector circularis A t D ut tempus omne ascendendi
adlocum summum ; & sector hyperbohcus ^ 7"/? ut tempus omne
descendendi a loco summo : Si modo sectorum tangentes Ap,
A P sint ut vclocitates.

Cas. I. Agatur enim D v q abscindens sectoris A D i 8l trianguli
ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas i Dv
& q Dp. Cum partlcula; illEe, ob angulum communem D, sunt in

q Dp y. i D quad.
P D quad.

duplicata ratione laterum, erit particula iDv ut ^

id est, ob datam tD, ut

9DP

Sed / D guad. est A D quad. +

/ D quad.'
Ap quad. id est, v4 jO quad. -»- A Dy.A Jt, seu A DxCJt; & qDp

tsx\ A D-*.pq. Eivo sectoris particula tDv est \x\.^St; id est.

C k

LIBER SECUNDUS.

249

ut velocitatis decrementum quam minimum p q directe, & vis illa C k
quae velocitatem diminuit inverse ; atque ideo ut particula temporis
decremento velocitatis respondens. Et componendo fit summa
particularum omnium t D vin sectore A D t.yiX, summa particularum
temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq
respondentium, usque dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit;
hoc est, sector totus A D t est ut tempus totum ascendendi ad locum
summum. Q. E, D.

Cas. 2. Agatur DQ Fabscindens tum sectoris DAV, tum trian-
guli D A Q particulas quam minimas TD V 8l P DQ ; & erunt hae
particulae ad invicem ut D Tq ad D P q, id est (si TX & A P
parallelae sint) ut DXq 2id DA q wel TXq ad A P q, & divisim ut
D X ^— TX q 3id D A q-^A P q. Sed ex natura hyperbolae DXq

— TXq est A D q, & per hypothesin A Pq est A DxA X. Ergo
particulae sunt ad invicem ut A Dq Sid A Dq—A DxA X; id est,
ut A D sA A D—A X seu -^ C ad CX : ideoque sectoris particula

— ; atque ideo ob datas A C & A D, ut

CX

TDV est

PQ

jrj^y id est, ut incrementum velocitatis directe, utque vis generans

250

DE MOTU CORPORUM

incrementum inverse; atque ideo ut pardcula temporis incremento
respondens. Et componendo fit summa particularum temporis,
quibus omnes velocitatis A P particulae P Q generantur, ut summa
particularum sectoris A T Dy \^ est, tempus totum ut sector totus.
Q.E.D.

CoroL I. Hinc si -^ -ff aequetur quartae parti ipsius A C, spatium
quod corpus tempore quovis cadendo describit, erit ad spatium,
quod corpus velocitate maxima A C, eodem tempore uniformiter
progrediendo describere potest, ut area A B N K, qua spadum
cadendo descriptum exponitur, ad aream A TD, qua tempus expo-
nitur. Nam cum sit -^ C ad ^ P ut A P dA AK^ erit (per corol. i

lem. II hujus) Z A' ad PQ ut 2 y^ A" ad ^ P, hoc est, ut 2 -^ P ad
^C, &inde ZTifad iPQ ut APad \ACve\ AB; est&KN
^dACvdADutABsid CK; itaque ex aequo LKNO ad DPQ
utAP^d CK. Sed er^t DPQ ad D T V ut C K ^d A C. Eigo
rursus ex sequo L KN O est ad Z? 7" F ut ^ P ad A C ; hoc est, ut
velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus
cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum A B N K & ATD
momenta L K N O & D T V sunt ut velocitates, erunt arearum
illarum partes omnes simul genita^ ut spada simul descripta, ideoque

LTBER SECUNDUS.

ares toUe ab initlo genitie A B N K Bl A T D ut spatia tota ab
initio descensus descripta. Q. E. D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu
describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatlum, uni-
formi cum velocitate A C eodem tempore descriptum, ut est area
A B n k ad sectorem A D i.

Cofol. 3. Velocitas corporls tempore A T D cadentis est ad ve-
locitatem, quam eodem tempore in spatio non reslstente acqulreret,
ut trlangulum APD ad sectorem hyperbollcum A T D. Nam
velocltas in medio non reslstente foret ut tempus A T D, & in
medio resistente est ut A P, Id est, ut triangulum A P D, Et ve-
locitates illa; inltlo descensus xquantur inter se, perinde ut are£e
illffi A TD, APD.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocita-
tem, qua corpns eodem tempore in spatlo non resistente omnem suum
ascendendi motum amittere posset, ut trlangulum Ap D ad sectorem
clrcularem A t D; sive ut recta Ap ad arcum A t.

Corol. 5. Est igitur tenipus, quo corpus in medio resistente ca-
dendo velocitatem A P acqulrlt, ad tempus, quo velocitatem maxi-
mam A C in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector
A D T a.d trlangulum ADC: & tempus, quo velocitatem Ap in
medio resistente ascendendo possit amittere, ad tempus quo velocita-
tem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amlttere, ut
arcus A t ad ejus tangentem A p.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel de-
scensu descriptum. Nam corporis In Infinitum descendentis datur
velocitas maxima (per corol. 2 & 3 theor. vi lib. 11) indeque datur
tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non reslstente cadendo
posset acquirere. Et sumendo sectorem A D T \(t\ A D i 3.d trian-
gulum A DC In ratlone temporls datl ad tempus modo Inventum ;
dabitur tum velocltas -^ /" vel y^ /, tum a^rca. A B JV /C ve\ A B u k,
quae est ad sectorem ADT vel ADt ut spatium qusisltum ad
spatium, quod tempore dato, cum velocltate illa ma-\ima jam ante
invenla, uniformlter describi potesL

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatlu
ABnkv^XABNK, dabitur tempus A£>twc\ADT.

jyR MOTU CORPORUM

PROPOSITIO X. PROBLEMA III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum horizontis, sitgue
resistentia ut medii dcnsitas & quadratum velocitatis conjunctim:
requiritur tum mcdii densitas in locis singulis, guee /aciat ut corpus
in data quavis linea airva moveatur; tum corporis velocitas & medii
rcsistcnfia in locis singulis.

Sit PQ planum illud plano schematis perpendiculare ; PFHQ
linea curva plano huic occurrens in punctis P & Q; G, H, /, K
loca quatuor corporis in hac curva zh F ^'\ Q pergentis ; & G B^
HC, I D, KE ordinatae quatuor parallelae ab his punctis ad hori-
zonlem dcmissae, & linex horizontali P Q ^A. puncta jff, C, £}, E
insistentes; &sint BC, CD,DE
distantix ordinatarum tnter se
aequales. A punctis G & Hda-
cantur rectae G Z, HN^ curvam
tangentes in G & H, & ordina-
tis C H, D I sursum productis
occurrentes in Z & N, & com-
pleatur parallelogrammum HC
D M. Et tempora, quibus cor-
pus dcscribit arcus G H, H I, erunt in subduplicata ratione aldtu-
dinum L H, K I. quas corpus temporibus illis describere posset, a
tangentibus cadendo; & velocitates emnt ut longitudines descriptz
G H, H I directe & tempora inverse. Exponantur tempora per T

& /. & velocitates per -^=- & -y--' ^ decrementum

tempore / factum exponetur per — ^— -

HI

velodtatis
Hoc decrementain

oritur a resistcntia corpus retardante, & gravitate corpus accder-
ante. Gravitas, in corpore cadente & spatium A'/cadendo descri-
bcntc. jjcnerat vclocitatem. qua duplum illud spatium eodem tem-
pore doscribi potuissct, ut Ga/i/m/s demonstravit ; id est. \-elodB-

tcm — ^ - ; at in corpore arcum H/ describente, auget ajcum iBum

sola longitudine H I—H N seu

ideoque generat tan-

tum velocitatem -
tum prsedictum, i
sola oriundum, nempe

• HI
Addatur hsec velocitas ad decremen-

IxHI

habebitur decrementum velocitatis ex resistentia
GH HI ^MI-aNI
T ~T^ ~tY.HI '

Proindeque cum

gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitatem

2A^/ . . . , . GH HI ,2MI%NI
; resistentia erit ad gravitatem ut — = 1 jj~= —

. 2NI . i-x.GH

ad — - — , sive ut — =-

HI+

HI

ad 2 NI.

Jam pro abscissis C B, C D, C E scribantur— t?, o, 2 o. Pro
ordinala CH scribatur P, & pro MI scribatur series qurelibet
Qo+Koo + So^+ 8lc. Et seriei termini omnes post primum,
nempe Koo + S6'+&c erunt N I, & ordinata: DI, E K, & BG
crunt P— Qo — Rod-So» — &c. P — 2 O o — 4 R 0 0 — 8 S o> —
&c. & P + Q f— Rfl£'+ S t?' — &c. respective. Et quadrando diffe-
rentias ordinatarum B G — C H & C H—D I, & ad quadrata
prodeuntia addendo quadrata ipsarum B C, C D, habebuntur arcuum
GH, H I quadrata i7i>+QQoo — 2QR<l> + &c. iLoo + QQoo

Q Koo

+ 2 Q R 0' + &c. Quorum radices 0 J\ + Q Q

QR

&

0J1+QQ+-

Vi + QQ

sunt axcus G H Sl H I. Prfeterea si ab

Vi+QQ"

ordinata CH subducatur semisumma ordinatarum BG ac D I,
& ab ordinata D / subducatur semisumma ordinatarum CH &
E K, manebunt arcuum G/ & /^A" sagitta; Koo Sc Koo+$S^.
Et hx sunt Hneolis /H & N/ proportionales, ideoque in du-
plicata ratione temporum infinite parvorum T & /: & inde ratio
' R + 35g R + jSg ^ ixGH „ , . 2 MIxNI,

R

-///+

HI

substituendo ipsoru:
ventos, evadit

3SO0

"7r~

j. , GH, HI MI & NI valores jam in-
^i+QQ. Et cum 2 NI sitiRoo, resi-

254

DE MOTU CORPORUM

, 3Sgg

stentia jam erit ad gravitatem ut ^ — ^ ^i + QQad2R(j(7, id est,

ut 3 S JT+QQ ad 4 R R.

Velocitas autem ea est, quacum corpus de loco quovis H,
"secundum tangentem H N egrediens, in parabola diametrum HC

& latus rectum - .>->- seu ^ ^ habente, deinceps in vacuo

moveri potest.

Et resistentia est ut medii densitas & quadratum velocitatis
conjunctim, & propterea medii densitas est ut resistentia directe &

quadratum velocitatis inverse, id est, ut - — ■ p directe &

i + QQ

inverse, hoc est, ut :

Q.E.I.

R ' RVT+QQ-

Corol. I. Si tangens H N producatur utrinque donec occurrat

ordinatse cuilibet A F in T: erit , sequalis ^/ i + Q Q, ideoque

in superioribus pro tj ^ -¥0.0, scribi potest Qua ratione resistentia
erit ad gravitatem ut ^Sx/^T^ad ^RRx^^^C, velocitas erit

H T

, & medii densitas erit ut ^

A CJ R'

Corol. 2. Et hinc, si curva
linea P FHQ definiatur per
relationem jnter basem seu
abscissam A C & ordinatim
applicatam CH, ut moris est;
& valor ordinatim applicatEC
resolvatur in seriem conver-
gentem : Problema per primos
seriei terminos expedite solve-
tur, ut in exemplis sequentibus.

Exempl. I. Sit linea PFHQ semicirculus super diametro PQ
descriptus, & requiratur medii densitas qux faciat ut projectile
in hac linea moveatur.

Bisecetur diameter PQ in A ; dic A Q, n; AC,a; CH, e; &
CD,o: & erit Dlq seu A Qq—A Dg~nn—aa—2ao~oo,se.\i.

LlfiER SECUNDUS.

— 2 ao — 0 0, & radlce per methodiim nostram extracta, fiet £) I =

ao 00 aaoo a o'* a^ o^ „ ,,. ., ^

- — — — — - — — - — &c. H ic scribatur « « pro

e ie le^ 2 e^ 2 e^

nno 0 anno^ „
&c.

ee+aa, & evadet D /= e ■

e 2 e^ 2 e'

H ujusmodi series distinguo in terminos successivos in hunc modum.

Terminum primum appello, in quo quantitas infinite parva 0 non

extat ; secundum, in quo quantitas illa est unius dimensionis ; tertium,

in quo extat duarum ; quartum, in quo trium est; & sic in infinitum.

Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem

ordinatse CH insistentis ad initium indefinits quantitatis o.

Secundus terminus, qui hic est , denotabit diflerentiam inter C H

^ e

& D N, id est, lineolam M N, quje abscinditur complendo

parallelogrammum H C D M, atque ideo posilionem tangentis H N

semper determinat; ut in hoc casu capiendo M N ad H M ut est

bit lineolam I N, quae jacet inter tangentem & curvam, ideoque
determinat angulum contactus I H N seu curvaturam quam curva
linea habet in H. Si Hneola illa I N finit^ est magnitudinis,
designabitur per terminum tertium una cum sequentibus in infinitum.
At si lineola Illa minuatur in infinitum, termini subsequentes
evadent infinite minores tertio, ideoque negligi possunt, Terminus
quartus determlnat variationem curvatura;, quintus variationem
variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnen-
dus harum serierum in solutione problematum, quje pendent a
tangentibus & curvatura curvarum.

Conferatur jam series e
a nn „ fl « «

2 tf' 2 e'

S 0' — &c. & perinde pro P, Q, R

2 e^

, & ^-7 , & pro -s/ I + Q Q scribatur ,

hoc est {ob datam «) ut

prodibit medii densitas ut

yl C

yrvy. id est, ut tangentis longitudo Illa H T, qua; ad semidiametrum

256

DE MOTU CORPORUM

■\

A F ipsi P Q normaliter insistentem terminatur ; & resistentia erit

ad gravitatem ut 3 a ad 2 //, id est, itt 3 ^ C ad circuli diametniir

PQ: velocitas aulem erit ut ij C II. Quare si corpus justa cun

velocitate secundum Iineam ipsi

P Q parallelam exeat de loco

P", & medii densitas in singulis

locis H sit ut longitudo tangen-

tis // T, & resistentia etiam in

loco aliquo H sit ad vim gravi-

tatis ut ^ACad PQ, corpus

illud describet circuli quadran-

temFHQ. Q.E.I.

At si corpus idem de loco P, secundum Ilneam ipsi P Q perpen-
dicularem egrederetur, & in arcu semicirculi P FQ moveri inciperet,
sumenda esset A C seu a ad contrarias partes centri A, & propterea
signum ejus mutandum esset & scribendum — a pro + a. Quo

pacto prodiret medii densitas ut — -. Negativam autem densitatem,

hoc est, quBC motus corporum accelerat, natura non admittit : &
propterea naturaliter fieri non potest, ut corpus ascendendo a P de-
scribat circuU quadrantem P F. Ad hunc effectum deberet corpus a
medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit Ymea. P F Q parabola, axem habens y^ y^horizonti
P Q perpendicularem, & requiratur medii densitas, quas faciat ut
projectile in ipsa moveatur.

Ex natura parabola;, rectangulum PDQ
xquale est rectangulo sub ordinata DI &
recta aliqua data : hoc est, si dicantur recta
illa 6; PC. a; PQ, c; C H, e; & C D,
0; rectangulum a-t-(j in £■— (I — <j seu ac —
aa—2 ao-vc 0—00 aequale est rcctangulo

bmDI, ideoque"/? / sequale -, +

Jam scribendus esset hujus seriet secundus

o pro Q o, tertius item terminus

pro Rtft'.

LIBER SECUNDUS,

257

Cum vero plures non sint termini, debebif quarti coefficiens S

S
evanescere, & propterea quantitas - — ====, cui medii densitas

proportionalis est, nihil erit Nulla igitur medii densitate move-
bitur projectile in parabola, uti olim demonstravit Galilceus.
Q.E.I.

Exempl. 3. Sit linea A GK
hyperbola, asymptoton habens
N X plano horizontali A K
perpendicularem ; & quaeratur
medii densitas, quae faciat ut
projectile moveatur in hac linea.

Sit MX asymptotos altera,
ordinatim applicata D G pro-
ductae occurrens in V ; & ex
natura hyperbolae, rectangulum
AT F in FG dabitur. Datur
autem ratio DN Sid VXy &
propterea datur etiam rectan-
gulum DN in VG. Sit illud

6 6: & completo parallelo- fi a b J> k

grammo D N XZ ; dicatur B N, a; B D, o; N X, c ; & ratio data

VZ Sid ZX ve\ DN ponatur esse -. Et erit DN aequalis a—o,

V G aequalis

-^, VZ aequalis ^a-^o.&GD seu NX-- FZ- VG
a—o n

.. m m 66

aequalis c ^H — 0 ,

n n a^o

Resolvatur terminus

66

m seriem

a

convergentem — + — ^ + — ^^+ —o^ &c. & fiet G D aequalis

a

aa

a^

a^

m 66 m 66 b6 ^ 66 ^ ^ ^ . . .

c a 1 — o ^ — — o^ o^ &c. Huius senei ter-

n a n aa a^ a^ ^'

m

66

minus secundus — 0 0 usurpandus est pro Q 0, tertius cum signo

n a a ^

mutato — o^ pro R ^', & quartus cum signo etiam mutato — o^
a^ a^

258

DE MOTU CGRPORUM

pro S o^y eorumque coefficientes , — & — scribendae sunt

n aa a^ a^

in regula superiore pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas

b_b
a^ I

ut

b b i^ m m 2mb b b^

— Ji + + -

a^ n n naa a^

seu

/ fnm 2nib b b^
^ aa + aa H

71 n n aa

id

est, si in V Z sumatur V Y aequalis V G, ut

XY

Namque aa Bx.

mm 2mbb b^ ^. t^ r^ o ^ r^ t x^ .

aa + — sunt ipsarum XZ & Z Y quadrata. Resi-

nn n aa ^

stentia autem invenitur in ra-

tione ad gravitatem quam habet

3-YKad 2 YG ; & velocitas

ea est, quacum corpus in para-

bola pergeret verticem G^ dia-

metrum DG, & latus rectum

y~^ — - habente. Ponatur

itaque quod medii densitates in

locis singulis G sint reciproce

ut distantise X K, quodque resi-

tentia in loco aliquo G sit ad

gravitatem ut ^X Y Vid 2 YG ;

& corpus de loco A, justa cum

velocitate emissum, describet m a ^ d

hyperbolam illam A G K. Q. E, I.

ExempL 4. Ponatur indefinite, quod linea A G K hyperbola sit,
centro X, asymptotis M X, N X ea lege descripta, ut constructo
rectangulo XZ D N cujus latus Z D secet hyperbolam in 6^ ^
asymptoton ejus in V, fuerit V G reciproce ut ipsius Z X vel D N
dignitas aliqua D A^*, cujus index est numerus n : & quseratur medii
densitas, qua projectile progrediatur in hac curva.

Pro B Ny B Dy N X scribantur A, O, C respective, sitque V Z

bb

ad X Z vel D N ut ^ad ^, & V G aequalis

DN^

, & erit DN aequa-

LIBER SECUNDUS.

259

bb

lis A-O, VG= , FZ = - A-O, & GD seu NX-VZ

A-Or *

— VG aequalis C A + -O — -rr^ — ,,. Resolvatur terminus ille

^ e e A - 0|

bb . , ... b b nbb ^ «'* + «»//-.,,

-., in senem mnnitam — + -7— .-0+ — .— 1^ — b b Kr -V
A-Or A" A"+' 2^* + '

^i±4^^^±^^ ^ 03 &c ac fiet GD ^qualis C - ^A - ^\

-Q-A^.O- ,A'+' ^^Q 6A^^^f^ 3303&C Hu-

jus seriei terminus secundus - O — "tt+i O usurpandus est pro Q o^

. nn + n , , ^ ^ «3 + 3««+2«,,^
tertius-— ^— - 6 6 O^ pro R {?% quartus ^^^^^ ^^ O^ pro

So\ Et inde medii densitas ^ . ^^, in loco quovis G^, fit

,< ^^, 2dnbb, nnb^> '^"°^"" ^' ^"^ TZ capiatur VY
3-/A- + -A-^A+^ ^

aequalis nx VGy densitas illa est reciproce ut X Y. Sunt enim A"

dd ^^ 2dnbb ^ nnb^ .

ee

X Y
tia autem in eodem loco G fit ad gravitatem ut 3 S in -v- ad 4 R R,

& — A* — "" A + -T-^ ipsarum X Z 8c Z Y quadrata, Resisten-

e Pi. J\

inn + 171
id est,ut XY2A — — VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est, quacum

corpus projectum in parabola pergeret, verticem Gy diametrum

GD &, latus rectum ^^ seu . ^' habente. Q. E. I.

R nn + nxvi VG

Scholiunt.

S X A C .

Eadem ratione qua prodiit densitas medii ut ^ J/~t ^^ corol

lario primo, si resistentia ponatur ut velocitatis V dignitas quaeli-

'\

TTcT) E ij

260 ^^ MOTU CORPORUM

bet V", prodibit densitas medii
ut — ;z;7 X -77^ . Etpropterea

si curva inveniri potest ea lege, /

s /

ut data fuerit ratio ~^ ad ,

TTT- S. ^ ^

——1 ,vel— -^ad i + QQl""': corpus movebitur in hac curva in

uniformi medio cum resistentia quae sit ut velocitatls dignitas V".
Sed redeamus ad curvas simpliciores.

Quoniam motus non fit in parabola nisi in medio non resistente,
in hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam ;
perspicuum est quod linea, quam projectile in medio uniformiter
resistente describit, propius accedit ad hyperbolas hasce quam . ad
parabolam. Est utique Hnea illa hyperbolici generis, sed quae circa
verticem magis distat ab asymptotis ; in partibus a vertice remotiori-
bus propius ad ipsas accedit quam pro ratione hyperbolarum quas hic
descripsi. Tanta vero non est inter has & illam differentia, quin
illius loco possint hse rn rebus practicis ncn incommode adhiberi.
Et utihores forsan futurx sunt
hae, quam hyperbola magis ac-
curata & simul magis compo-
sita. Ipsse vero in usum sic
deducentur,

Compleatur parallelogram-
mum XYGT, & recta G T
tanget hyperbolam in G, ideo-
que densitas medii in G est
reciproce ut tangens G T, &

velocitas ibidem ut ^

Gjy

GV
resistentia autem ad vim gravi-

2«« + 2« .

tatis ut G T aA
GV.

n+2

LIBER SEC UND US,

261

Proinde si corpus de loco A secundum rectam A H projectum
describat hyperbolam A G K, & A H producta occurrat asymptoto
N X va Hy actaque A I eidem parallela occurrat alteri asymptoto
M X in /: erit medii densitas in A reciproce ut A H, 81 corporis

velocitas ut J — ^-y , ac resistentia ibidem ad gravitatem vX A H

Jx I

2 ft ft ~^ 2 ft

ad in A I. Unde prodeunt sequentes regulae.

Reg. I. Si servetur tum medii densitas in A, tum velocitas
quacum corpus projicitur, & mutetur angulus NAH; manebunt
longitudines A H, A ly H X. Ideoque si longitudines illae in aliquo
pasu inveniantur, hyperbola deinceps ex dato quovis angulo N A H
expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus N A Hy tum medii densitas in
Ay & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo
j4 Hy 8i mutabitur ^ / in duplicata ratione velocitatis reciproce.

\\

.■■■■•-" A"^^^

Reg. 3. Si tam angulus N A H^ quam corporis velocitas in Ay
gravitasque acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad
gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque; augebitur
proportio A H a,d A / in eadem ratione, manente parabolae praedictae

latere recto, eique proportionali longitudine ^ : & propterea

miniietur A /f m eadem ratione. Si A / minuetur In ratione illa
duplicata. Augetur vero proportio resistentiEe ad pondus, ubi ve!
gravltas apecifica sub aiquali magnitudine fit minor, vel medit
densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, dimlnuitur
in niinore ratione quam pondus.

Rcg. 4. Quoniam densitas medii prope verticem hyperbolas major
est quam in loco ^l ; ut habeatur densitas mediocris, debet ratio
minima; tangentium G" 7" ad tangentem A H inveniri, & densitas in
A augeri in ratione paulo majore quam semisummiE hanim tangeniium
ad minimam tangentium G T.

Rcg. 5. Si dantur longitudines A H, A /, & describenda sit
figura A G /< : produc H N ad X, ut sit H X ad ^ / ut «+ i ad i,
centroque X & asymptotis MX, N X per punctum A describatur
hyperboia, ea lege, ut sit A / z.d quamvis V G vx X V' nd X /',

\

r

Reg. 6, Quo major est numerus 71, eo magis accuratie siint ha
hyperboL-e In ascensu corporls ab A, & minus accurata: in ejus
descensu ad K ; & contra. Hyperbola conica mediocrem rationon
tenet, estque caeteris slmplicior. Igitur si hyperbola sit hujus generis, 1
& punctum K, ubi corpus projectum incidet In rectam quamvis A /f I
per punctum A transcuntem, quairatur ; occurrat producta A N \
asymptotls M X, N X in M & jV, & sumanir N K Ipsi A M arqualis.
Reg. 7. Et hinc Hquet methoduu expediu determinandi hanc J

LIBER SECUNDUS, 263

hyperbolam ex phaenomenis. Projiciantur corpora duo similia &
aequalia, eadem velocitate, in angulis diversis H A K, liAk, inci-
dantque in planum horizontis in A' & >6 / & notetur proportio A K
ad Ak. Sit ea rt^ ad ^. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo
A /, assume utcunque longitudinem A H v^\ A A, & inde collige
graphice longitudines A K, A k, per reg. 6. Si ratio -^4 A^ ad A k
sit eadem cum ratione d ad e, longitudo A H recte assumpta fuit.
Sin minus cape in recta infinita SM longitudinem SM sequalem
assumptae A //, & erige perpendiculum MN aequale rationum

differentiae — ductee in rectam quamvis datam. Simili methodo

A k e

ex assumptis pluribus longitudinibus

A H invenienda sunt plura puncta

Nj & per omnia agenda curva linea 1

regularis N N X Ny secans rectam

SMMM in X. Assumatur demum

A H sequalis abscissse S Xy ^ inde

denuo inveniatur longitudo A K ; & longitudines, quae sint ad

assumptam longitudinem AI & hanc ultimam A H, ut longitudo AK

per experimentum cognita ad ultimo inventam longitudinem A Ky

erunt verae illae longitudines A I %l A H, quas invenire oportuit

Hisce vero datis dabitur & resistentia medii in loco A^ quippe quae

sit ad vim gravitatis ut A H ad 2 A /. Augenda est autem densitas

medii per reg. 4 & resistentia modo inventa, si in eadem ratione

augeatur, fiet accuratior.

/^eg-, 8. Inventis longitudinibus A Hy HX; si jam desideretur

positio rectae A //, secundum quam projectile, data illa cum velocitate

emissum, incidit in punctum quodvis K : ad puncta A &. K

erigantur rectae A C, K F horizonti perpendiculares, quarum A C

deorsum tendat, & aequetur ipsi A I seu k H X, Asymptotis A K^

K F describatur hyperbola, cujus conjugata transeat per punctum

C, centroque A & intervallo A H describatur circulus secans

hyperbolam illam in puncto H ; & projectile secundum rectam A H

emissum incidet in punctum K, Q, E. I. Nam punctum H^ ob

datam longitudinem AH^ locatur alicubi in circulo descripto. Agatur

CH occurrens ipsis A K 81 K F, illi in E, huic in F; & ob

parallelas C //, MX & aequales A C, A ly erit A E aequalis A My

264 DE MOTU CORPORUM

& proptcrea etiam ajqualls A'^V. Sed C-E est ad ^ £" iit /•" // ad
K N, & propterea Cf" & F// requantur. Incidit ergo ptinctum //
in hyperbolam asymptotis j4 K, KF descriptam, ciijus conjugata
transit per punctum C, atque ideo reperitur in communi intersectione
hyperbolae hujus & circuli descripti. Q. E. D. Notandum est
autem quod hzec operatio perinde se habet, sive recta A/iN horizonti
parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata : quodque
ex duabus intersectionibus //, h duo prodeunt angnli N A //,
NAh; & quod in praxi mechanica sufficJt circulum semel
describere, deinde regulam interminatam C// ita applicare ad punctum
C, ut ejus pars F//, circulo & recta; FK interjecta, xqualis sit ejus
parti C£ inter punctum C Sc rectam A K sitje.

Quffi de hyperboHs dicta sunt facile applicantur ad parabolas.
Nam si X A G /C parabolam deslgnet quam recta X V tangat in
vertice X, sintque ordinatlm appHcatie /A,
VG ut qua;]Ibet abscissanim X /, X V
dignitates X /', X V ; aganturJtr, GT,
A //, quarum XT parallela sit VG, &
G T, A // parabolam tangant in C & ^ :
& corpus de loco quovls A, secundum
rectam A // productam, justa cum velocl-
tate projectum, describet hanc parabolam, si
modo densitas medli, in locis slngulls G.
sit reclproce ut tangens G T. Velocitas
autem in G ea erlt quacum projectile
peigeret. in spatlo non reslstente, in
parabola conica vertlcem G, diametrum
2 GTtj

& latus rectum

IX VG

VG dcorsum productam,
Et resistentla In G erlt ad

vim gravitatis ut G T 2A

2 jiii — 2 n

VG. Unde si NA K lineam

horizontalem deslgnet, & manente tum densltate medii In A, tum
velocltate quacum corpus projicltur. mutetur utcunque angulus
N A // : manebunt longitudlnes A //, A /, //X, & inde datur
parabolas vertex A', & positlo rectie X /, & sumendo VG ad /A ut
X V" ad X /". dantur omnla parabola: puncta G, per qua: projectile
transibit

LIBER SECUNDUS.

265

SECTIO III.

De motu corporum quibus resistitur partim in ratione velocitatisy

partim in ejusdem ratione duplicata.

PROPOSITIO XI. THEOREMA VIII.

Si corpori resistitur partim in ratione velocitatis, partim in veloci-
tatis ratione duplicata^ & idem sola vi insita in ^nedio similari
movetur: sumantur autem tetnpora in progressione arithmetica;
quantitates vclocitatibus rcciproce proportiofiales data quadam quan-
titate auctce, erunt in progressione geometrica.

Centro C, asymptotis rectanguHs C A D d 81 CHy describatur
hyperbola B Ee, &, asymptoto C H parallelae sint A By D E, de. In
asymptoto C D dentur puncta A^ G^: Et h
si tempus exponatur per aream hyperbo-
\\z2Lm A B E D uniformiter crescentem;
dico quod velocitas exponi potest per
longitudinem D F^ cujus reciproca G D
una cum data C G componat longitudi-
nem CD in progressione geometrica cre-
scentem.

Sit enim areola DEed dsitum temporis
incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, ideoque

directe ut CD. Ipsius autem -— decrementum, quod (per hujus

1 \ . ^^ ', CD CG^^GD ., I

lem. n) est ---, ent ut --^-seu-^^, .d est, ut -1- +

C G
-Q^' Igitur tempore A B E D ^tx additionem datarum particu-

larum iS*/?^^^ uniformiter crescente, decrescit -^r— in eadem ratione

G D

cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc

266

DE MOTV COEFORUM

est (per hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est
ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis ; & ipsius

GD

decre-

mentum est ut summa quantitatum ^it-t^ & , quarum prior est

/^ /^
ipsa—y r, & posterior est ut : proinde-^— , ob analog^m

decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas G Dy ipsi -p^ry^ reci-

proce proportionalis, quantitate data C G ^
augeatur; summa CD,t^mi^OYeABED
uniformiter crescente, crescet in progres-
sione geometrica. Q. E. D.

Corol. I. Igitur si, datis punctis A, G,
exponatur tempus per aream hyperboli-
cam A BEDy exponi potest velocitas per

ipsius G D reciprocam -p^^-

(jT D

Corol. 2. Sumendo autem GA ad G^Z? ut velocitatis reciproca
sub initio ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED^
invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis
alio tem.pore inveniri potest.

PROPOSITIO XII. THEOREMA IX.

lisdent positisy dico quod, si spatia descripta stima^itiir in progressione
aritlunetica, velocitates data quadam quantitate aiutce erunt in pro-
grcssione geometrica.

Inasymptoto CZ?deturpunctum
R, & erecto perpendiculo RS, quod
occurrat hyperbolae in S, exponatur
descriptum spatium per aream hy-
perbolicam RSED; & velocitas
erit ut longitudo GDy quae cum
data CG componit longitudinem
CD in progressione geometrica c
decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in arithmetica.

LTBER SBCUND US. 267

Etenim ob datum spatii incrementum E Ddc, lineola Dd, quae
decrementum est ipslus G D, erit reciproce ut E D, ideoque directe
ut C D, hoc est, ut summa ejusdem G D & longitudinis datae CG.
Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali,
quo data spatii particula Z^rfe^ describitur, est ut resistentia &
tempus conjunctini, id est, directe ut siimma duarum quantitatum,
quarum una est ut velocitas, altera ut velocitatis quadratum, &
inverse ut velocitas ; ideoque directe ut summa duarum quantitatum,
quarum una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam
velocltatls quam line:E G D, est ut quantltas data & quantltas decres-
cens conjunctlm, & propter analoga decrementa, analogas semper
erunt quantitates decrescentes ; nlmirum velocitas & linea G D.
Q. E. D.

Corol. I. Si velocitas exponatur per longltudinem G D, spatium
descriptum erit ut area hyperbollca DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenletur punc-
tum 6"capiendo GR ad GD, ut est velocltas sub Initio ad velocitatem
post spatlum quodvls RSED descriptum. Invento autem puncto G,
datur spalium ex data velocltate. & contra.

Corol. ^. Unde cum (per prop. xi) detur velocitas ex dato tem-
pore, & per hanc propositionem detur spatium ex data velocitate ;
dabitur spatium ex dato temporc : & contra.

PROPOSITIO XIII. THEOREMA X.

Posilo qnod corpiis ab uiii/ormi gravitate dcorsum attraettim rccla
ascmdit vel desccTidit ; & quod eidetn resistitur partim in raiione
velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod, si circuli
& kyperboUs dianielris parallelee rectce fier conjugatarnm diametro-
rtim terminos ducaniur, & vehcitates sifii ut segmenta qucedam
parallelarum a dato puncto ducta ; tempora erunt ut arearum
sectores, rectis a centro ad scgtnetitorum terminos ductis abscissi : &
contra.

Cas. I. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D &
semidiametro quovis D B describatur circuli quadrans B E T F, &

268

DR MOrU CORPORVM

per semidiametri DB terminum B agatur infinita B A P, semidia-
metro Z? /^ parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmen-
tum A P velocitati proportionale, Et ciim resistentis pars altera
sit ut velocitas & pars altera ut velocltatis quadratum ; sit resistentia
tota. ut AP ^uai/. + 2BA P. Jungantur DA, DP circuium secantes
in £■ ac T', & exponatur gravitas per D A
guad. ita ut sit gravitas ad resistentiam ut 8-
DAq ad APq-ViBAP: & tempus ascensus
totius erit ut circuli sector EDT.

Agatur enim D VQ, abscindens & velocita-
tis AP momentum P Q, &. sectoris DET
momentum D TV dato temporis momento
respondens ; & velocitatis decrementum illud
PQ erit ut summa virium gravilatis D A q &
reslstentix APq+2BAP, id est (per prop. 12 lib. 2 elem.) ut /?P
quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP guad.
& area DTV, qute est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, est ut
datum D Tq. Decrescit igitur area E D T uniformiter ad modum
temporis futuri, per subductionem datarum particularum D T y,&
propterea tempori ascensus totius proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis cxponatur per longitudinem
A P ut prius, & resistentia ponatur esse ut A Pq+2 B A P, and si
vis gravitatis minor sit quam quEe per DA q exponl possit ; capiatur
BD ejus longitudinis, ut sit A Bq~B Dq gravitati proportionale,
sitque Z?/" ipsi D B perpendicu-

laris & a^qualis, & per verticem J-v *

y^describatur hyperbola FTVE, "" " ' "

cujus semidiametri conjugatae
sint DB &. DF, qua;que secet
DA\nE,&.DP,DQ\n T& V;
& erit tempus ascensus totius ut
hyperbolie sector TDE.

Nam velocitatis decrementum
PQ, in dala temporis particula factum, est ut summa resistentix
APq+2BA P Scgravttntis A Bq~BDq, Id est, \itBPq~BDf.
Est autem area D T V z.d aream DPQ, ut D Tq ad D Pq,- idcoque,
si ad ZJ/^demittatur perpendiculum GT,\xtG Tq seu GDq—DFf

ITBER SECUNDVS.

269

ad BDq, utque GDq ad BPg,8c divisim ut DFq ad BPq —
BDq. Quare cum ?is&z. D P Q sit MtPQ, id est, ut B Pq — D Dq ;
erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT
uniformiter singulis temporis particuHs asqualibus, per subductionem
particularem totidem datarum D T V, & propterea tempori
proportionalis esL Q. E. D.

Cas. 3. Sit A P velocitas in descensu corporis, & APq-\- 1 BAP
resistentia, & BDq—ABq vis gravitatis, existente angulo DBA
recto. Et si centro D, vertice principali B, describalur hyperbola
rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E,
T & V; erit hyperbola; hujus sector DET ut tempus totum descensus.

Nam velocitatis incrementum PQ, eique Xy
proportionalis area D P Q, est ut excessus
gravitatis supra resistentiam, id est, ut B D q
-ABq-2 B A P-A Pq seu BD^-
BPq. Et area DTV est ad aream DPQ
ut DTq ad D P q, ideoque ut GTq seu
GDq—BDq ad BPq, utque GDq ad
BDq, & divisimutBDqad BDq—BPq.
QuarecumareaZJP^? sit ut BDq — BPq,
erit area D T V \i.t datum BDq. Crescit
igitur area E D T uniformiter singuhs temporis particuiis iequalibus,
per additionem totidem datarum particularum D T V, 81 propterea
tempori descensus proportionalis est. Q. E. D.

Corol. Si centro D semidiametro DA per verticem A ducatur
arcus A t similis arcui E T, Bl similiter subtendens anguhim A D T :
velocitas A P erit ad velocitatem, quam corpus tempore E D r,\n
spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere
posset, ut area trianguH D A P ad aream sectoris DAt; ideoque
ex dato tempore datur. Nana velocilas, in medio non resistente,
tempori. atque ideo sectori huic proportionalis est; in medio resistente
est ut trianguhim ; & in medio utroque, ubi quam minima est, accedit
ad rationem ^qualitatis, pro more sectoris & trianguli.

Scholium.
Demonstrari etiam posset casus in ascensu corporis, ubi vis
gravitatis minor est quam qute exponi possit per D A q seu A Bq-^

270

DE MOTU CORPORUM

B Dqy 81 major quam quae exponi possit per A B q — B Dqy & exponi
debet per A Bq. Sed propero ad alia.

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XI.

lisdem positisy dico quod spatizcm ascensu vel descensu descriptum, est ut
differentia arecs per quam tempus expofiitur^ & are^e cujusdam
alterius qu^ augetur vel diminuitur in progressione arithmetica ; si
vires ex resistentia & gravitate compositcB sumantur in progressiane
geometrica.

Capiatur A C (in fig. tribus ultimis) gravitati, &, A K resistentiae

proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si cor-

J

LIBER SECUNDUS

271

pus descendit, aliter ad contrarias. Erigatur A b, quse sit 2A D B
vX D B q ad 4 B A C : & descripta ad asymptotos rectangulas C K,
C H hyperbola b N, erectaque K N ^d C K perpendiculari, area
AbN K augebitur vel diminuetur in progressione arithmetica, dum
vires CA^ in progressione geometrica sumuntur. Dico igitur quod
distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae
A b N K supra aream D E T.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est, ut APq+2 BAP;
assumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur A K aequalis

^-y ; & (per hujus lemma 11) erit ipsius AK momentum

^, • 2APQ+2BAXPQ 2BPQ^ ALKTVr

KL aequale — ^ ^ seu j-^,&i^rt,^ AbNK

^ i^rr^KT 1 2BPQy.LO BPQxB Daib.
momentum K L C/iv aequale ^ seu — — -^-^.

Cas, I. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut A B q + B D q
existente B E T circulo (in figura prima) linea A C, quae gravitati

proportionalis est, erit ?— ^ , & DPq sexx A Pq+2 BAP

+ ABq + BDq erit A Kx Z + A CxZ seu CKxZ ; ideoque area
D TF ent2Ldare2imDPQ ut DTqvelDBq ad CKxZ.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut A B q — B D q,
linea A C (in figura secunda) erit ^-^ ^ y & D T q erit ad

D P q ut D Fq seu D B q ^d B P q—B D q seuAPq+2BAP +
A Bq — B Dq, id est,ad A KxZ + A Cx Z seu CKx Z. Ideoque
area D TV erit ad aream D P Q ut DBq ad CKx Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea
gravitas sit ut B D q — A B q, & linea A C (in figura tertia) aequetur

BDq—ABq ^^.^ ^^^^ DTV 2.d aream D P Q ut DBq ad CK

X Z : ut supra.

Cum igitur areae illae semper sint in hac ratione; si pro area
D T V, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale
exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta B Dxm,

272

DE MOTU CORPORUM

erit area D P Q, id est, ^ B DxPQ ad BDy.m\xtCKxZ ad
B D g. Atque inde ^t P QxB D cub. sequale 2 BDy.my.CKy.Ty
& areae AbNK momentum KLON superius inventum fit
PByB Dy m

AB

Auferatur areae DE T momentum D T V seu BD

o .. APyBDym _ , . ,._
ym, & restabit ^^p-j; . tst igitur differentia momentorum,

AB^

id est, momentum differentiae arearum, aequalis

A P y B Dyjn
^ATB

&

_, B Dy^n -. ^r>.f

propterea ob datum —-aj^ — ^t velocitas A P, id est, ut momentum

spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit Ideoquedif-
ferentia arearum & spatium illud, proportionalibus momentis cresccn-

LIBER SECUNDVS,

273

tia vel decrescentia & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt

proportionalia. Q. E. D.

CoroL Si longitudo, quae oritur applicando aream DET did lineam

BDy dicatur M; & longitudo alia K sumatur in ea ratione ad lon-

gitudinem J/, quam habet linea D A Sid lineam DE: spatium,

quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente de-

scribit, erit ad spatium, quod corpus in medio non resistente e

quiete cadendo eodem tempore describere potest, ut arearum prae-

BDx y .
dictarum differentia ad — -—- — ; ideoque ex dato tempore datur.

Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione

BDx V"^
temporis, sive ut K^ ; & ob datas B D & A B \it — 2~if~ ' ^^^

,. DAqxBDxM' ^ . . ,^

area aequalis est areae — rr^r^ ^-zr — , & ipsms 7?/ momentum est m;

D E qxA B

o , . DAgxBDx2Mx 771 .•

& propterea huius areae momentum est ^tt-^ ^ ^ — ~- • Hoc

•^ D EqxA B

autem momentum est ad momentum differentiae arearum praedicta-

nT?^Q AkKTL- • .APxBDxm DAqxBDxM

rum DET 8l Ao N K, viz. ad -r-^ , ut r^ ^

A B D Eq

ad \BD X AP, sive ut ^ ^ in DE T ad DA P ; ideoque, ubi areae

DEq ^

DE T & DAP quam minimae sunt, in ratione aequalitatis. Area

BDx F»
igitur — , & differentia arearum DE T & AbN K, quando

omnes hae areae quam minimae sunt, aequalia habent momenta ;

ideoque sunt aequales. Unde cum velocitates, & propterea etiam

spatia in medio utroque in principio descensus vel fine ascensus simul

descripta accedant ad aequalitatem ; ideoque tunc sint ad invicem

BDx V*

ut area r-77— » & arearum D E T &, A b N K differentia ; & prae-

A B ' r

. . ,. . , . BDxV

terea cum spatmm m medio non resistente sit perpetuo ut — ~7~h~ »

& spatium in medio resistente sit perpetuo ut arearum D E T 81
AbN K differentia : necesse est, ut spatia in medio utroque, in aequa-
libus quibuscunque temporibus descripta, sint ad invicem ut area

s

2 74

DK MOTU CORPORUM

illa ^-^ " » & arearum DETSiAbNK differentia. Q. E. D,

Scho/ium,

Resistentia corporum sphsericorum in fluidis oritur partim ex
tenacitate, partim ex frictione, & partim ex densitate medii. Et
resistentiae partem illam, quae oritur ex densitate fluidi diximus esse
in duplicata ratione velocitatis ; pars altera, quae oritur ex tenacitate
fluidi, est uniformis, sive ut momentum temporis : ideoque jam
pergere liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim vi
uniformi seu in ratione momentorum temporis, & partim in ratione
duplicata velocitatis. Sed sufficit aditum patefecisse ad hanc
speculationem in propositionibus viii & ix, quae praecedunt, & eorum
coroUariis. In iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia
uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia
uniformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi
insita movetur; & corpore recta ascendente addere licet hanc
uniformem resistentiam vi gravitatis ; eandemque subducere, quando
corpus recta descendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum,
quibus resistitur partim uniformiter, partim in ratione velocitatis,
& partim in ratione dupHcata velocitatis. Et viam aperui in pro-
positionibus praecedentibus xiii & xiv, in quibus etiam resistentia
uniformis, qua^ oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis substitui
potest, vel cum cadem, ut prius, componi. Sed propero ad alia

SECTIO IV.
De co7'ponim circidari vwtu in mediis resistefttibus.

L E M M A III.

Sit P Q R spiralis quce secet 7'actios omnes S P, S Q, S R, &c. i*
crqualibus afiguiis. Agatur recta PT quce tangat eandem in puncto
quovis P, secetque radiian S Q />/ T ; & ad spiralem erectis perpen-

LIBER SECUNDUS,

275

diculis P O, Q O conairrentibus in O, jungatur S O. Dico qtwd
si puncta P cSt* Q cucedant ad invicem & coeanty afigulus P S O
evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQx 2PS ad PQ
quad. erit ratio ceqtialitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli aequales
SPQ, SQRy & manebunt anguH sequales O P S, OQS. Ergo
circulus qui transit per puncta
(9, Sj P transibit etiam per
punctum Q. Coeant puncta
P & Qy & hic circulus in loco
coitus P Q tanget spiralem,
ideoque perpendiculariter seca-
bit rectam O P. Fiet igitur
OP diameter circuli hujus, &
ang^lus O S P in semicirculo
rectus. Q. E. D.

Ad OP demittantur perpen-
dicula Q D, S Ey &, linearum rationes ultimae erunt hujusmodi : TQ
ad PD ut TS vel PS ad P E, sexi 2 P O ^d 2 PS; item PD ad
PQ ut PQ ad 2 PO; & ex aequo perturbate TQ Sid P Q ut PQ
ad 2 PS. Vndefit PQq ^quale TQx2 PS. Q.E.D.

PROPOSITIO XV. THEOREMA XII.

Si ntedii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a
centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis :
dico quod corpus gyrari potest in spirali, quce radios omnes a centro
illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quae in superiore lemmate, & producatur SQ z.d V^ ut
sit vS V aequalis S P. Tempore quovis, in medio resistente, describat
corpus arcum quam minimum PQ^ 8l tempore duplo arcum quam
minimum P R ; & decrementa horum arcuum ex resistentia oriunda,
sive defectus ab arcubus, qui in medio non resistente iisdem tempori-
bus describerentur, erunt ad invicem ut quadrata teraporum in quibus

276

DE MOTU CORPORUM

generantur : Est itaque decrementum arcus P Q pars quarta de^-

crementi arcus P R. Unde etiam, si areae PSQ sequalis capiatur

area QSr^ erit decrementum

arcus PQ aequale dimidio lineolae

Rr; ideoque vis resistentiae &

vis centripeta sunt ad invicem ut

lineolse \Rr Ba TQ quas simul

generant. Quoniam vis centri-

peta, qua corpus urgetur in P, est

reciproce ut S Pq, & (per lem. x

lib. i) lineola TQ, quae vi illa

generatur, est in ratione com-

posita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus

PQ describitur (nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem

quam vis centripeta, negligo) erit TQxSPq, id est (per lemma

novissimum) \ P Q qxSP, in ratione duplicata temporis, ideoque

tempus est \xt PQx ^S P; & corporis velocitas, qua arcus P Q illo

PQ I

tempore describitur, ut — r — - seu , hoc est, in subdupli-

cata ratione ipsius S P reciproce. Et simili argumento, velocitas qua
arcus Q R describitur, est in subduplicata ratione ipsius SQ reciproce.
Sunt autem arcus illi P Q & Q R ut velocitates descriptrices ad
invicem, id est, in subduplicata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad
y/SPxSQ ; & ob aequales angulos SPQy SQr & aequales areas
P SQ, Q Sr, est arcus PQ Sid arcum Q r ut SQ ad S P. Sumantur
proportionalium consequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad
arcum Rr ut SQ ^d SP-- JSPxSQ, seu \ VQ, Nam punctis P
& Q coeuntibus, ratio ultima SP-- ^SP x SQ Sid i VQ est aequalita-
tis. Quoniam decrementum arcus P Q, ex resistentia oriundum, sive
hujus duplum Rr, est ut resistentia & quadratum temporis conjunctim;

Rr

erit resistentia ut

ad \ VQ, & inde

PQqxSP'

Rr r

fit ut

Erat autem P Q ad Rr.ut SQ
iVQ . \0S

sive ut

PQqxSP PQxSPxSQ OPxSPq

Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt, & an-
gulus P VQ fit rectus ; & ob similia triangula P VQ, PSO.fitPQ

LIBER SECUNDUS, 277

O S

ad \ VQ wX O P ?Ldi\0 S, Est igitur-y^ — ut resistentia, id est,

in ratione densitatis medii in -P & ratione duplicata velocitatis con-
junctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio -rr-5, &

os

manebit medii densitas in P ut — - - - . Detur spiralis, & ob da-

tam rationem O S ^A O Py densitas medii in P erit ut -^-^. In me-

dio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro S P, cor-
pus gyrari potest in hac spirali. Q. E, D.

Corol, I. Velocitas in loco quovis -P ea semper est, quacum cor-
pus in medio non resistente eadem vi centripeta gyrari potest in

circulo, ad eandem a centro distantiam S P.

O S . .
CoroL 2. Medii densitas, si datur distantia S P, est ut ttt^, sin di-

OS
stantia illa non datur, ut -r-^ — — -. Et inde spiralis ad quamlibet

medii densitatem aptari potest.

CoroL 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centripetam
in eodem loco ut ^ 0.S ad O P. Nam vires illae sunt ad invicem ut

\Rr%L TQ sive ut^^^.^^^ & ^4^^» ^^^ ^^^' "t jF(2 & P Q,

tS Q tS P

seu \0 S & OP. Data igitur spirali datur proportio resistentiae ad vim

centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur spiralis.

CoroL 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis
resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat resistentia
aequalis dimidio vis centripetae, & spiralis conveniet cum linea recta
P S, inque hac recta corpus descendet ad centrum ea cum velocitate,
quae sit ad velocitatem, qua probavimus in superioribus in casu
parabolae (theor. x lib. i) descensum in medio non resistente
fieri, in subduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. Et
tempora 'descensus hic erunt reciproce ut velocitates, atque ideo
dantur.

CoroL 5. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis velocitas
eadem est in spirali PQ R atque in recta SP, & longitudo spiralis ad
longitudinem rectae PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad

278

DE MOTU CORPORUM

O S ; tempus descensus in spirali erit ad tempus descensus in recta
S P m eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol, 6. Si centro S intervallis duobus quibuscunque datis descri-
bantur duo circuli ; & manentibus hisce circulis, mutetur utcunque
ang^lus quem spiralis continet cum radio P S: numerus revolutio-
num quas corpus intra circulorum circumferentias, pergendo in spi-
rali a circumferentia ad circumferentiam, complere potest, est ut

P S .

, sive ut tangens anguH illius quem spiralis continet cum radio

OS

OP

PS; tempus vero revolutionum earundem ut ;x--^, id est, ut secans

ang^li ejusdem, vel etiam reciproce ut medii densitas.

Coro/. 7. Si corpus in medio, cujus densitas est reciproce ut distan-
tia locorum a centro, revolutionem in curva quacunque A E B circa
centrum illud fecerit, & radium primum A S m eodem angulo secu-
erit in B quo prius in Ay idque cum velocitate quae fuerit ad velo-
citatem suam primam in A reciproce in subduplicata ratione distan-
tiarum a centro (id est, ut A S ^lA mediam proportionalem inter A S

& B S) corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones B FCy
C G D, &c. facere, & intersectionibus distinguet radium -^ 6^ in par-
tes A Sy B Sy CSf D S, &c. continue proportionales. Revolutionum

UBER SECUNDUS. ^yg

vcro tempora erunt ut perimetrl orbltarum AEB, BFC, CGD, &c.
directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse ; id est, ut A S^,
B S^, CS'^. Atquc tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum,
erlt ad temptis revoliitlonls primae. ut summa omnium continue pro-
portionalium A S^, B S-, CS-, pergentJum In infinitum, ad termlnum
primum A S- ; id est, ut terminus ille primus ^ ^ ad dlfferentiam
duonim primorum A S^ — B S^, sive ut %AS ad AB quam proxime.
Unde tempus il!ud totiim expedite invenitur.

Corol. 8. Ex hls etiam prccter propter colll^ere Hcet motus
corporum In medlis, quorum densltas aut uniformis est, aut allam
quamcunque legem assignatam observat. Centro S, intervallis con-
tinue proportionalibus SA, SB, SC, &c. describe clrculos quotcunqiie,
& statue tempus revolutlonum inter perlmetros duorum quorumvis
ex his circulis, in medlo de quo eglmus, esse ad tempus revolutio-
num inter eosdem in medio proposito, ut medii propositi densitas
mediocris inter hos clrculos ad medli, de quo eglmus, densltatem
medlocrem Inter eosdem quam proxime : Sed & in eadem quoque
ratione esse secantem anguli quo spiralis praefinlta, In medlo de quo
egimus, secat radlum A S, ad secantem anguli quo spiralls nova
secat radium eundem in medio proposito : Atque etiam ut sunt
eorundem angulorum tangentes Ita esse numeros revolutionum
omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant
passim inter clrculos binos, continuabltur motus per clrculos omnes.
Atque hoc pacto haud dlfificulter imaginari posslmus quibus modls ac
temporlbus corpora in medio quocunque regidari g>rarl debebunt.

Corol. g. Et quamvis motus excentrici in splralibus ad formam
ovallum accedcntibus peragantur ; tamen conclpiendo spiralium
illarum slngulas revolutiones iisdem ab Invlcem intervallls dlstare,
iisdemque gradibus ad centrum accedere cum splrall superius descripta,
intelligemus etiam quomodo motus corporum In hujusmodi spirallbus
peragantur.

28o

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XVI. THEOREMA XIII.

Si medii densitas in locis singulis sii reciproce tit distantia locorum a
centro immobili, sitque vis centripeta reciproce ut dignitas qucelibet
ejusdem distantics : dico qtwd corpus gyrari potest in spirali quce
radios omfies a cefitro illo diictos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem meth-
odo cum propositione superiore.
Nam si vis centripeta in P sit
reciproce ut distantiae S P dig-
nitas quaelibet ^IP*"*"' cujus index p
est ;/ 4- I : colligetur ut supra,
quod tempus, quo corpus descri- ^
bit arcum quemvis P Q, erit ut

PQx PS^-'' ; & resistentia in P

Rr . ^ i-i;^x VQ

iit sive ut —

PQqxSP''' PQxSP-xSQ

. , I —in X OS

, .deoque ut -^p— ^p...-

hoc est, ob datum

i-lnxOS
OP

, reciproce ut SP^'^^ Et propterea,

cum velocitas sit reciproce ut SP^'*, densitas in P erit reciproce ut SP.

CoroL I. Resistentia est ad vim centripetam ut \--\nxO S zA
OP.

CoroL 2. Si vis centripeta sit reciproce mX, S P cub. erit i^\n = o:
ideoque resistentia & densitas medii nulla erit, ut in propositione
nona libri primi.

CoroL 3. Si vis centripeta sit reciproce ut dignitas aliqua radii SP
cujus index est major numero 3, resistentia affirmativa in negativam
mutabitur.

Scholium.

Ceeterum haec propositio & superiores, quae ad media inaequaliter
densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum,

LIBER SECUNDUS,

281

ut medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non
consideranda veniat. Resistentiam quoque caeteris paribus densitati
proportionalem esse suppono. Unde in mediis, quorum vis resistendi
non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut
resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

PROPOSITIO XVri. PROBLEMA IV.

hivenire & vim centripetam & medii resistentiamy qua corpus in data

spiraliy data velocitatis lege, revolvi potest,

Sit spiralis illa P Q R. Ex velocitate, qua corpus percurrit arcum
quam minimum P Q, dabitur tempus, & ex altitudine TQ^ quae est ut
vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. Deinde ex

arearum, aequalibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR^
differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex retardatione
invenietur resistentia ac densitas medii.

PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA V.

Data lege vis centripetce^ ijivenire medii densitatem in locis singulisy

qua corpus datam spiralem describet,

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde

~'"*T1rt T -^ . .1.

T.^i.. .

*-\~\

pi » • > •

' • ' j' , . ;

I ..\ - -t . w< ■ ^ I fcii

,j^

*■ •

, . .- i

/•;».,/.//• ^-* . . wf /r ^ ■ ;.;i:. . .7.; : , . j^ r*iin. .^jtu, : ^f^^*<r.T^ _■

^"" — ■-'■-

, /.//'/>*» •. / ■*.•"*•/ w;;>- .7:*/..

t:-:z :tiz:i>-

///*/>» ///«////^ >/ »///-y-/v "];• ./:;w ;r;/,7: w«>C/ x .T^^rriT^'!!*.

^ / t/»»'' •/i* //f""^^^-:»* ^ •'• ■/■*. •■•■ ■ ^i"* •*—--** ■

r .///' l,-^..r .*i:4rrj ,1 ^»ur . k\lr^i:i /j rr.oveaxur.
r./// .'/ / .r ,t ^,rr.ur", h.*yi\rri^Ai partes.
i/I / ir,/I/ ff» /• //•rifr/* Ai ,T^riti^m undique
' /rfi ,, .f/ f.f/ ;, -.jrr.ili rriot i '.!mi:l mov^:antur :
.i»/j'i/ 1,/,/ i^/ /# /|iiM .irnili . & ;i:qualis est
nfnfnniii f,tf ; wn, /'• rr»/;fir, r^rnnis ^:xclusus
.n\f\iftininf nij /|ii) /? |m'- . .i^»fi': ill.i oriatur.

f r

B

Atqui non possunt
itinnf \ .v\ /MifriMfi |MO(»Mr, ;m r#:f|#'r'r, nisi tluidum ad centnim con-

UBKR SECUNDUS, 283

densetur; contra hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere,
nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra hypo-
thesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in pla-
gam quamcunque, quia pari ratione movebuntur in plagam contra-
riam ; in plagas autem contrarias non potest pars eadem, eodem
tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur.
Q. E. D,

Cas. 2. Dico jam, quod fluidi hujus partes omnes sphaericse sequa-
liter premuntur undique. Sit enim £E pars sphaerica fluidi, & si
haec undique non premitur aequaliter, augeatur pressio minor, usque
dum ipsa undique prematur aequaliter; & partes ejus, per casum
primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem
permanebunt in locis suis, per casum eundem primum, & additione
pressionis novai movebuntur de locis suis, per definitionem fluidi.
Quae duo repugnant. Ergo falso dicebatur quod sphaera £E non
undique premebatur aequaliter. Q, E. D.

Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum
aequalis sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo pre-
munt aequaliter in puncto contactus, per motus legem iii. Sed &,
per casum secundum, undique premuntur eadem vi. Partes igitur
duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica intermedia
tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q. E. D.

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubique premuntur
aequaliter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus sphae-
ricis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas sphaericas aequaliter
premunt, per casum 3, & vicissim ab illis aequaliter premuntur, per
motus legem tertiam. Q. E. D.

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaelibit G H I in fluido reliquo tan-
quam in vase claudatur, & undique prematur aequaliter, partes autem
ejus se mutuo aequaliter premant & quiescant inter se; manifestum
est quod fluidi cujuscunque G H I, quod undique premitur aequaliter,
partes omnes se mutuo premunt aequaliter, & quiescunt inter se.
Q. E. D.

Cas. 6. Igitur si fluidum illud in vase non rigido claudatur, & un-
dique non prematur aequaliter; cedet idem pressioni fortiori, per
definitionem fluiditatis.

Cas. 7. Ideoque in vase rigido fluidum non sustinebit pressionem

284 OE MOTU CORPORUM

fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idque in
momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem
cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum. & sic pressio
undique ad sequalitatem verget. Et quoniam fluidum, quam primum
a parte magis pressa recedere conatur, inhibetur per resistentiam
vasis ad latus oppositum ; reducetur pressio undique ad sequalitatem,
in momento temporis, sine motu locali : & subinde partes fiuidi, per
casum quintum, se mutuo prement sequaliter, & quiescent inter se.
Q. E. D.

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per presslonem
fluido ubivis in extema superficie illatam, mutari possunt, nisi qua-
tenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi. partes
intensius vel remissius sese premendo difificilius vel facilius labuntur
inter se.

PROPOSITIO XX. THEOREMA XV.

Si fluidi sph^ci, & in aqualibus a centro distantHs komogenei,
fundo sphm^co concetitrico incumbentis partes singuls verstis centrum
totius gravitetit ; sustinet fundum pondus cylindri, cujus basis aqualis
est superficiei fundi, & altiludo eadem qucefluidi inaimbeniis.

Sit DHM sxx^eriicies fundi, &.AEI
superficies superior fluidi. Superficie-
bus sphEericis innumeris B FK, CG L
distinguatur fluidum in orbes concen-
tricos iequaliter crassos ; & concipe
vim gravitatis agere solummodo in su- ,
perficiera superiorem orbis cujusque, & 1
sequales esse actiones in sequales partes
superficierum oninium, Premiturergo
superficies suprema AE\\ simplici gra-
vitatis proprite, qua & omnes orbis su-
premi partes & superficies secunda
BFK {^^r^to^. xix) pro mensura sua aequaliter premuntur. Pre-
mitur praiterea superficies secunda B FK vi propriEe gravitatis, qus

UBBR SECUNDVS. 285

adJita vi prior! facit pressionem duplam. Hac presslone, pro
mensura sua, & insuper vi propris gravitatls, id est, pressione tripla,
urgetur superficies tertla C G L. Et similiter presslone quadrupla
urgetur superficies quarta, quintupla quinta, & sic delnceps. Pressio
Igitur qua superficles unaquseque urgetur, non est ut quantitas sollda
fiiiidl incumbentis, sed ut numerus orbium ad usque summitatem
fiuidi ; & aequatur gravltatl orbls Infimi multlpllcatre per numerum
orblum : hoc est, gravitati solidi cujus ultima ratlo ad cyllndrum
prarfinitum (si modo orblum augeatur numerus & mlnuatur crassltudo
in infinltum, slc ut actio gravitatis a superficle infima ad supremam
continua reddatur) fiet ratlo tequalltatls. Sustinet ergo superficles
infima pondus cyllndrl pr^finlti. Q. E. D. Et simili ar^umcntatione
patet propositio, ubi gravltas decresclt in ratione quavls asslgnata
dlstantiEC a centro, ut & ubi fiuidum siirsum rariits est, deorsum
densius. Q. E. D.

Corol. I. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi Incumbentls
pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet qucC in
proposltione describitur ; pondere reliquo a fiuidi figura fornicata
sustentato.

Corol. 3. In ^quallbus autem a centro distantiis eadem semper est
pressionls quantltas, slve superficles pressa sit horizonti parallela vel
perpendicularls vel obliqua ; sive fiuidum, a superficle pressa sursum
continuatum, surgat perpendiculariter secundum llneam rectam, vcl
serplt obllque per tortas cavitates & canales, easque regulares vel
maxlme irregulares, amplas vel angustisslmas. Hisce clrcumstantiis
pressionem nil mutarl colligltur, appllcando demonstratlonem theo-
rematis hujus ad casus singulos fluidorum.

Corol. 3. Eadem demonstratlone colllgitur etiam (per prop. xix)
quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis incumbentis,
acquirunt motum inter se ; sl modo excludatur motus qui ex
condensatione oriatur,

Corol, 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specifica corpus,
quod sit condensatlonis expers, submergatur in hoc fluldo, id ex
pressione ponderls incumbentis nullum acquiret motum : non
descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si
sphaericum est manebit spha^rlcum, non obstante presslone; si quadra-
tum est manebit quadratum : idque sive molle slt, sive fluidlssimum ;

386

r>E MOTV COJiPORVM

«ve fluklo libere innatet, sive fundo incumbat Habet enlm thiidi
pars qiiielibet inlerna rationem corporis submersi. & par est rado
omnium ejusdem magnitudinis, figurse & gravitatis specihci
submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondcrc
liquesccrct & indueret formam fluidi : hoc. si prius ascenderet vd
descendcret vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nuDC
ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur; id
adco quia gravitas ejus c^eteraeque motuumcausie permanenL Atqui
(pcr cas. 5 prop. xix) jam quiesceret & figuram retinerel. Ergo &
prius.

Coroi. 5. Proinde corpus quod specifice gravtus est quam fluidum
sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levlus est ascendet,
motumque & figurje mutalionem consequetur. quantum excessus iUe
vcl defectus gravitatis efficere possit Namque excessus illc %"d
defectus rationem habet impulsus. quo corpus, ahas in jequilibrio cum
fluidi [»artibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu
vel defectu ponderis in lance alterutra HbrEe.

Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitulorum duplex cst
gravitas : altera vera & absoluta. altera apparens, vulgaris &
comparaliva. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum
tendit : relativa & vulgarls est excessus gravitatis quo corpus magis
tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis gravitatc
partes fluidorum & corporuin omnium gravitant in locis suis : ideoque
conjunctis ponderibus componunt pondus totius, Nam totum omuc
grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet : & pondus touus
aquale est ponderibus omnium partium, ideoque cx iisdem com-
ponitur. Altcrius generls gravitate corpora non gravitant in locis
suis, id est. inter se collata non prjegravant, sed mutuos ad
descendendum conatus impedientia permanent In locis suis, perirxleac
si gravia non essent, Quje in aere sunt & non pnegravant, vxdgUS
gravia non judlcat, Qu^ priegravant vulgus gravia judicat, quatemlS
ab aeris pondere non sustinentur, Pondera vulgi nihil atiud sunl
quam excessus verorum pondenim supra pondus aeris, Unde &
vulgo dlcuntur levia, qus sunt mlnus gravia, aifrique pra,-gravanti
cedendo superiora petunt. Comparative levla sunt. non vere, quB
descendunt in vacuo. Sic & in aqua corpora, quse ob majorera vd
minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparalive &

287

apparenter gravia vel levia, & eonim gravitas vcl levitas compara-
tiva & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel
superat gravitatem aquEe vel ab ea superatur. Quse vero nec pr^-
gravando descendunt, nec pr^gravanti cedendo ascendunt, etiamsi
veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative tamen
& in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est horum ca-
suum demonstratio.

Corol. 7. Qu^e de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis qui-
buscunque viribus centripetis.

Corol. 8. Proinde si medium, in quo corpus aliquod movetur.
urgeatur vel a gravitale propria, vel ab alia quacunque vi centripeta,
& corpus ab eadem vi urgeatur fortius ; differentia virium est vis
illa motrix, quam in praecedentibus propositionibus ut vim centri-
petam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differentla
virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. g. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent
eonnTi figuras externas. patet insuper (per corollarium prop. .\ix) quod
non mutabunt sltum partium internaruni inter se : proindeque, si
animaha immergantur. & sensatio omnis a motu partium oriatur; nec
Itedent corpora immersa, nec sensationem uliam excitabunt, nisi qua-
tenus h:ec corpora a compressione condensari possunt. Et par est
ratio cujuscunque corporum systematis fluido comprimente circundati.
Systematis partes onines iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo
constituerentur. ac solam retinerent gravitatem suam comparativam,
nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad
easdem compressione conglutinandas requlratur.

t

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVI.

Sit fiuidi CHJiisdatn deitsitas compressioni proportionalis, & paries
ejus a vi eentripda distantiis suis a centro reciproce propor-
tionali deorsHm tra/iantnr: dico gnod, si distantice illcr sumantur
continue proporiiona/es, densitates fiuidi in iisdcm dislantiis enint
etiam continue proporttona/es.

Designet ATV fundum sphsericum cui fluidum incumbit, S cen-
tnim, S A, SB, SC, SD, S E, SF, &c. distantias continue propor-

288

DE MOTU CORPORUM

tionales. Erigantur perpendicula^iT, BI, CK, D L, EM, FN, &c.
quae sint ut densitates medii in locis A, B, C, /?, E, F ; & specificae

gravitates in iisdem locis erunt ut -^-^> ^o~o» 7^' ^^- '^^'» ^^^^

perinde est, ut -j-jf 5-7^ 7^» &c. Finge primum has gravitates uni-

formiter continuari ab -^ ad ^, a ^ ad C, a C ad /?, &c. factis per
gradus decrementis in punctis B, C, /?, &c. Et
hae gravitates ductae in altitudines A B, B C, C D,
&c. conficient pressiones A H, BI, CK, &c. quibus
fundum A T V ( juxta theorema xv) urgetur. Su-
stinet ergo particula A pressiones omnes A H, BI,
C Ky D Z, pergendo in infinitum ; & particula B
pressiones omnes praeter primam A H ; & parti-
cula C omnes praeter duas primas AH, B I; & sic
deinceps : ideoque particulae primae A densitas
A H est ad particulae secundae B densitatem B I
ut summa omnium A H+ BI+CK+DL, in in-
finitum, ad summam omnium B I + CK+D Ly &c.
Et ^/densitas secundae B est ad CA^densitatem tertiae C, ut sum-
ma omnium B I+CK+ D L^ &c. ad summam omnium CK+D L,
&c. Sunt igitur summae illae dififerentiis suis^ H, B I, C K, &c. pro-
portionales, atque ideo continue proportionales (per hujus lem. i)
proindeque differentiae A H^ B I, C K, &c. summis proportionales,
sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis
A, B, C, &c. sint ut A H, B I, CK, &c. erunt etiam hae continue pro-
portionales. Pergatur per saltum, & ex aequo in distantiis SA, SC,
SE continue proportionalibus, erunt densitates A H, C K, E M con-
tinue proportionales. Et eodem argumento, in distantiis quibusvis
continue proportionalibus S A^ S D, S Gj dcnsitsites A H, D Ly GO
erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E,
&c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summi-
tatem fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue
proportionalibus SA, SD, SG, densitates AH, DL, GO, semper ex-
istentes continue proportionales, manebunt etiamnum continue pro-
portionales. Q. E. D.

Corol. Hinc si detur densitas fluidi in duobus locis, puta A &

LIBER SECUNDUS,

289

Ey colligi potest ejus densitas in alio quovis loco Q, Centro S^

asymptotis rectangulis SQ, SX describatur hyperbola secans perpen-

dicula A H, E Mj Q T m Uy e, q, ut & perpendicula H X, M Y, TZ,

ad asymptoton SX demissa, in h, m, &

/. Fiat area Ym /Z ad aream datam

YmhX \xt area data EeqQ ad aream

datam EeaA; & linea Z t producta

abscindet lineam Q T densitati pro-

portionalem. Namque si lineae S A^

SEy SQ sunt continue proportionales,

erunt areae EeqQ, EeaA aequales,

& inde areae his proportionales YmtZ,

X hmY etiam aequales, & lineae SX^

SY, SZ, id est, A H, E M, QT

continue proportionales, ut oportet

Et si lineae S Ay SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie

continue proportionalium, lineae AH^ EM, QT, ob proportionales areas

hyperbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia ferie quantitatum

continue proportionalium.

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVII.

Sit fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus
a gravitate quadratis distantiamm suarum a centro reciproce
proportionali deorsum tra/iantur : dico quody si distantice sumantur
in progressione musica, densitates fluidi in his distantiis erunt in
progressione geometrica,

Designet 6^ centrum, 81 SAy SB^ S C^ SDy SE distantias in
progressione geometrica. Erigantur perpendicula A Hy B /, CK^
&c. quae sint ut fluidi densitates in locis A^ By C, /?, E, &c. & ipsius

gravitates specificae in iisdem locis erunt , , , &c. Finge

has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad By secundam
a ^ ad C, tertiam a C ad jD, &c. Et hae ductae in altitudines A B^
B Cy C Dy D Ey ^iz. v^I, ^uod perinde est, in distantias SA^ SB, SC,
&c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressionum

T

DE MOTU CORPORUM

AH BI CK o ^ , . ■ ,_

-^r-j, ttd' "FT^' *^^- Q^3sc cum densitates sint ut harum pressionum

summae, differenti£e densitatum A H — B I, BI—CK, &c. erunt

. AH BI CK „
ut summarum differentiae -^—i, -^, -^ , &c. Centro S, asymp-
o A oi) o C

totis SA, Sx describatur hyperbola quaevis, quae secet perpendicula

A H, B I, C K, &c. in «, b, c, &c. ut & perpendicula ad asymptoton

Sx demissa H t, I u, Kw in k, t, k; & densitatum differentite /«,

^ ^ AH BI

tt w, &c. erunt ut , -^rj, .

&c. Et rectangula tuy^.ih, uwx.ui,

o ,, o AH-K/k BI-x.tti o .1 ^ „.

&c seu tp, u q, &c. ut ^-^ — , — ^-= — , &c. id est, \x\. A a, B 6,

&c. Est enim, ex natura hyperbclae, SA s.A A H v^ St, ut t h ad

^ ., AHy.lh . . r? ■ ■,• Blxui

A a, ideoque -^-^ — sequale A a. fc.t simih argumento est

SA

SB

l/

V

\.

r

l

\.

"

\»

H

^

n^

m

f

k

i ___/<

11

aequale Bb, &c. Sunt autem Aa,Bb, Cc, &c continue proportio-
nales, & propterea differentiis suis A a—Bb, Bb—Cc, &c. propor-
tionales ; ideoque differentiis hisce proportionaha sunt rectangula tp^
itq, &c. ut & summis differentiarum Aa~-Cc vel Aa—Dd summae
rectangulorum tp-\-uq vel tp + uq+wr. Sunto ejusmodi termini
quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa—F/, erit
summae omnium rectangulorum, puta stkn, proportionalis. Augeatur
numerus terminorum & minuantur distantias punctorum A, B, C,

LIBER SECU.VDUS.

291

&c. in infinitum, & rectangula illa evadent iequalia areae hyperbolIcjE
sikn, ideoque huic areas proportionalis est differentia Aa—Ff.
Sumantur jam distanti^e qusUbet, puta S A, SD, SF in progressione
musica, & differentias Aa~Dd, Dd—F/ G.r\int aquales ; & prop-
terea difFerentiis liisce proportionales areie i h l x, xlnz ^equales
erunt inter se, & densitates S i, Sx, Sz, id est, A H, D L, FN,
continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si dentur fluidi densitates dua qua^vis, puta A H &.
/?/, dabitur area ihiu, harum differenti^ i ii respondens ; & inde
invenietur densitas FN in altitudine quacunque S F, sumendo aream
thns ad aream illam datam thiu ut est differentia A a — F/ aiX
differentiam A a — B b.

Scholium,

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particula-

rum fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro,

& quadratorum distantiarum S A, S B, S C, &c. reciproca (nempe

SA cub. S A cub. SA cub. , . ....

-„ .■ - 1 ■■„ „ — - , — ^ ^ — ) sumantur in progressione aritlimetica ;
ii A q o B q •a Cq

densitates A H, B I, CK, &c erunt in progressione geometrica.

Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum. &

i_ j- ^ ^- ■ / ^ SAgq SAqq SAqq „ ,

cuborum distantianim reciproca (puta „ , ^ ' , „ „ : , „ ^ ,-■ tfec.)
SAcuo. SBcub. SCcub.

sumantur in progressione arithmetica; densitates A H, B I, C K, &c.

erunt in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si

gravitas particularum fluidi in omnibus distantiis eadem sit, &

distanti^ sint in progressione arithmetica, densitates erunt in progres-

sione geometrica, uti Vir CI. Edmundjis Halleius invenit. Si gra-

vitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum sint in progressione

arithmetica, densitates erunt in progressione geometrica, Et sic in

infinitum. Htec ita se habent ubi fluidi compressione condensati

densitas est ut vis compressionis, vel, quod perinde est, spatium a

fluido occupatum reciproce ut hzec vis. Fingi possunt aliae con-

densationis leges, ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-

quadratum densitatis, seu tripllcata ratio vis eadem cum quadrupllcata

ratione densitatis. Quo \\\ casu, si gravitas est reciproce ut quadratum

292

DE MOTU COEPORUM

distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fin-
gatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis,
& si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit
reciproce in sesquiplicata ratione distantiae. Fingatur quod vis com-
primens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in
ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia.
Casus omnes percurrere longum esset. Caeterum per experimenta
constat quod densitas aeris sit ut vis comprimens vel accurate vel
saltem quam proxime : & propterea densitas aeris in atmosphaera
terrae est ut pondus aeris totius incumbentis, id est, ut altitudo mercurii
in barometro.

PROPOSITIO XXIII. THEOREMA XVIII.

Sifltiidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut
compressiOy vires centrifugce particularum sunt reciproce proportion-
ales distantiis centrorum suorum. Et vice versa, particulcB viribus
quce sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se
mutuq fugientes componunt fluidum elasticum, cujus densitas est
compressioni proportiona/is.

Includi intelligatur fluidum in spatio cubico A C E, dein com-
pressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum,
similem situm inter se in utroque spatio obtinentium, distantiae erunt
ut cuborum latera A B, ab ; & mediorum densitates reciproce ut spa-
tia continentia AB cub. & ab cub. In cubi majoris latere plano
ABCD capiatur quadratum DP
aequale lateri plano cubi minoris
db ; & ex hypothesi, pressio, qua
quadratum D P urget fluidum
inclusum, erit ad pressionem, qua
illud quadratum db urget fluidum
inclusum, ut medii densitates ad
invicem, hoc est, ut ^ ^ cub. ad
A B cub. Sed pressio, qua quadratum D B urget fluidum inclusum,
est ad pressionem, qua quadratum DP urget idem fluidum, ut quadra-
tum DB didi quadratum DP, hoc est, ut ^^ quad. didab quad. Ergo,

F

B

. . .•••«••••«••> • '^uc'

vr

D

c

K

H

LIBER SECUNDUS.

ex ^equo, pressio qua quadratum DB urget fluidum, est ad pressionem
qua quadratum db urget fiuidum, ut ab ad A B. Plaiiis FGH,
fgh, per media cuborum ductis, distinguatur fluidum in duas partes.
& hs se mutuo prement iisdem viribus, quibus premuntur a planis
A C, ac, hoc est, in proportione ab zA AB : ideoque vires centrifugae,
quibus hae pressiones suslinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem
particularum numerum similemque situm in utroque cubo, vires
quas particulas omnes secundum plana PGH^ /s^' exercent in
omnes, sunt ut vires quas singuls exercent in singulas. Ergo vires,
quas singuite exercent in singulas secundum planum FG H in cubo
majore, sunt ad vires, quas singulse exercent in singulas secundum
planum y^/z in cubo minore, ut ab ad A B, hoc est, reciproce ut
distanti^ particularum ad invicem. Q. E. D.

Et vice versa, si vires particularum singulanim sunt rcciproce ut
distantise, id est, reciproce ut cuborum latera AB, ab ; summa; virium
ernnt in eadem ratione, & pressiones latenim DB, db ut summx
virium ; & pressio quadrati DP ad pressionem lateris DB ut
ab quad. ad A B qtiad. Et, ex ?equo, pressio quadrati D P zA
pressionem lateris db mx ab ctib. a.d A B ciib. id est, vis compressionis
ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q. E. D.

Scholinni.

Simili argumento, si particularum vires centrifugce sint reciproce in
duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium
erunt ut quadrato-quadrata densitatum. Si vires centrifuga; sint
reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi
virium compremenlium eruiit ut quadrato-cubi vel cubo-cubi den-
sitatum. Et universaliter. si D ponatur pro distantia, & E pro
densitate fluidi compressi, & vires centrifugx sint reciproce ut
distanti^e dignitas quEelibet D", cujus index est numerus «,- vires
comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis E""^'', cujus index est
numerus n-V2: & contra. Intelligenda vero sunt hsc omnia de
particulanim viribus centrifugis quae terminantur in particulis proxinils,
aut non longe ultra diffunduntur. Exemplum habemus in corporibus
magneticis. Horum virtus attractiva terminatur fere in sui
generis corporibus sibi proximis. Magnetis vlrtus per interpositam

L

294

DE MOTU CORPORUM

laminam ferri contrahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora
ulteriora non tam a magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem
modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas,
in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex
hujusmodi particulis componentur fluida de quibus actum est in hac
propositione. Quod si particulae cujusque virtus in infinitum
propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris
quantitatis fluidi. An vero fluida elastica ex particulis se mutuo
fugantibus constent, quaestio physica est. Nos proprietatem fluidorum
ex ejusmodi particulis constantium mathematice demonstravimus,
ut philosophis ansam praebeamus quaestionem illam tractandi.

SECTIO VI.
De motu & resistentia corporum ftcnependulorum,

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.

Quantitates materice in corporibus /unependulis, quorum cefitra
oscillationum a centro suspensionis esqualiter distant, sunt in ratione
composita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum
oscillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore
. generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse. Quo
major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major
generabitur velocitas. Id quod per motus legem secundam manifestum
est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices
in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera : ideoque
si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi
dividantur in partes aequales ; cum tempora quibus corpora describant
singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum
totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscil-
lationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora
directe & quantitates materiae reciproce : ideoque quantitates
materiae ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates
reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque

LIBER SECUNDUS.

295

ideo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata tem-
porum, & propterea quantitates materije sunt ut vires motrices &
quadrata tempomm, id est, ut pondera & quadrata temporum.
Q. E. D.

Corol. I. Ideoque si tempora sunt zequalla, quantitates materiEc in
singulis corporibus enmt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt icqualia, quantitates materiEe erunt ut
quadrata temporum.

Corol. 3. Si quantitates materiae sequantur, pondera erunt reci-
proce ut quadrata teniporum.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum, casteris paribus, sint ut
longitudines pendulorum ; si & tempora & quantitates materia: se-
qualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materi^e pendulse est ut pon-
dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in niedio non resistente quantitas materis pendu-
I^e est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe &
longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis mo-
trix corporis in medio quovis gravi, ut supra explicui ; ideoque
idem pr^stat in tali medio non resistente atque pondus absolutum in
vacuo.

Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se,
quoad quantitatem materia; in singulis ; tum comparandi pondera
ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variationem
gravitatis, Factis autem experinientis quam accuratissimis inveni
semper quantitatem materiEe in corporibus singulis eorum ponderi
proportionalem esse.

PROPOSITIO XXV. THEOREMA XX.

Corpora Funependula quibtis, in medio quovis, resistHur in ratione
monmitoriim temporis, & corpora fiinependula qu{s in ejusdem gravi-
iatis specijices medio non resistente tnovsntur, oscillationes in cycloide
eodeni tempore peragunt, & arcuum partes proportionales sintul de-
scribunt.

Sit A B cycloidis arcus. quem corpus D tempore quovis in medio
non resistente oscillando describiL Bisecetur idem in C, ItautCsit

296 ^^ MOTU CORPOR UM

infimum ejus punctum ; & erit vis acceleratrix qua corpus ui^etur
in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus C D vel Cd vel
C E. Exponatur vis illa per eundem arcum ; & cum resistentia sit
ut momentum temporis, ideoque detur, exponatur eadem per da-
tam arcus cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in ratione ad
arcum CD quam habet arcus OB 3.d arcum CB : & vis qua corpus
in d urgetur in medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra re-
sistentiam CO, exponetur per arcum Od, ideoque erit ad vim, qua
corpus D urgetur in medio non resistente in loco /?, ut arcus Od
ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad ar-
cum CB. Proinde si corpora duo, /?, d exeant de loco B, & his
viribus urgeantur : cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB,
erunt velocitates primae & arcus primo descripti in eadem ratione.
Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in ea-
dem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt

<^ c o

in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus
in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates &
arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CB, O B, & prop-
terea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D,
d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in medio non
resistente ad locum C, & alterum in medio resistente ad locum 0.
Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB, OB; erunt
arcus, quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem
ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus d in medio non
resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in medio

i

LIBER SECUNDUS.

297

resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiae C O, id
est ut Oe ; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus
CE. Oe proportionales arcus C B, OB; proindeque velocitates,
in data illa ratJone retardatEe, manent in eadem illa data ratione.
Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem
in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur
arcus toti A B,aB in eadem ratione, corpora D, ^simul describent
hos arcus, & in locis A 8l a motum omnem simul amittent. Iso-
chronie sunt igitur oscillationes tots, & arcubus totis B A, Ba
proportionales sunt arcuum partes quaslibet B D, Bd vel B E, B e
qua; simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit
in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus
totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde' pergendo ad a,
iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu
suo a ^ ad O.

PROPOSITIO XXVI. THEOREMA XXI.

Corporum funependulorttm, qidbtts resistitur in ratione velodtatum,
oscillationes in cycloide sunt Isochrona.

Nam si corpora duo, a centris suspensionum ^equaliter distantia,
oscillando describant arcus injequales, & velocitates in arcuum
partibus correspondentlbus sint ad invicem ut arcus toti ; resistentias
velocitallbus proportionales, erunt etiam ad invicem ut ildem arcus.
Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundls, qus sint ut lidem
arcus, auferantur vel addantur hse resistenti^e, erunt differentiiE vel
summK ad Invicem in eadem arcuum ratione : cumque velocitatum
incrementa vel decrementa sint ut hce differentioe vel summEe,
velocitates semper erunt ut arcus toti : Igitur velocitates, si sint in
aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper In eadem ratione. Sed.
in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos
describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velo-
citates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut
arcus toti describendi. & propterea arcus ilH simul describentur.
Q.E.D.

298 ^^ MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXVII. THEOREMA XXII.

Si corporibus funependulis resistitur in duplicata ratione velocitatunty
differentice inter tempora oscillationum in medio resistente ac tem-
pora oscillationum in ejusdem gravitatis specificce medio non re-
sistentey erunt arcubus oscillando descriptis proportionales quam
proxime.

Nam penduHs aequalibus in medio resistente describantur arcus
inaequales A, B ; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resisten-
tiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione
velocitatum, id est, ut A A ad B B, quam proxime. Si resistentia
in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut A B ad A A ; tempora
in arcubus A & B forent aequalia, per propositionem superiorem.
Ideoque resistentia AA in arcu A, vel AB in arcu B, eflficit excessum
temporis in arcu A supra tempus in medio non resistente ; &
resistentia BB eflficit excessum temporis in arcu B supra tempus in
medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes
AB & BB quam proxime, id est, ut arcus A & B. Q.E.D.

Corol. I. Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente,
in arcubus inaequalibus factarum, cognosci possunt tempora oscil-
lationum in ejusdem gravitatis specificae medio non resistente. Nam
differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra
tempus in medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum
minorem.

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis isochronae, & brevis-
simae iisdem temporibus peraguntur ac in medio non resistente,
quam proxime. Earum vero, quae in majoribus arcubus fiunt,
tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in descensu
corporis qua tempus producitur major sit pro ratione longitudinis
in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente qua
tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium
quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. Nam
corporibus tardescentibus paulo minus resistitur, pro ratione veloci-
tatis, & corporibus acceleratis paulo magis quam iis quae unifor-
miter progrediuntur : idque quia medium, eo quem a corporibus

LIBER SECUNDUS. 299

accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis
agitatur, in posteriore minus ; ac proinde magis vel minus cum
corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis re-
sistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque
causa tempus producitur.

PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA XXIII.

Si corpori funependulo in cycloide oscillanti resistitur in ratione mo-
mentorum temporis^ erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus
arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequmte descrip-
tumy adpenduli longitudinem duplicatam.

Designet B C arcum descensu descriptum, C a arcum ascensu de-
scriptum, & A a differentiam arcuum : & stantibus quae in proposi-
tione XXV constructa & demonstrata sunt, erit vis, qua corpus os-
cillans urgetur in loco quovis /?, ad vim resistentiae ut arcus CD
ad arcum C O, qui semissis est differentiae illius A a. Ideoque vis,

qua corpus oscillans urgetur in cycloidis principio seu puncto altis-
simo, id est, vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus cycloidis
inter punctum illud supremum & punctum infimum C ad arcum
C O ; id est (si arcus duplicentur) ut cycloidis totius arcus, seu dupla
penduli longitudo, ad arcum A a. Q. E. D.

300

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA VI.

Posito quod corpori in cycloide oscillanti resistitur in duplicata ratione
velocitatis : invenire resistentiam in locis singulis.

Sit Ba arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum
cycloidis punctum, 8i C Z semissis arcus cycloidis totius, longitu-
dini penduli aequalis; & quaeratur resistentia corporis in loco quo-
vis D. Secetur recta infinita O Q m punctis (9, .S, P, Q, ea lege,
ut (si erigantur perpendicula OK, S T, P I, QE, centroque O &
asymptotis OK, O Q describatur hyperbola TIGE secans perpendic-
ula ST^ Ply QE in Ty I & E, & per punctum / agatur A^/^parallela
asymptoto O Q occurrens asymptoto OK in Ky & perpendiculis .S T
& Q E in L & F) fuerit area hyperbolica P I EQ ad aream hyper-
bolicam P I TS ut arcus B C descensu corporis descriptus ad arcum

Ca ascensu descriptum, & area I E F 2A aream IL T ut OQ 2id OS,
Dein perpendiculo i^ A^ abscindatur area hyperbolica P I N M quse
sit ad aream hyperbolicam P lEQ ut arcus CZ ad arcum^Cde-
scensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area hy-
perbolica P / G^ i?, quae sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD
ad arcum B C descensu toto descriptum ; erit resistentia in loco D

O R
ad vim gravitatis, ut area ^-^ I EF-^IGH ^d aream PINM.

Nam cum vires a gravitate oriundse quibus corpus in locis Z, By D,
a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, C D, Ca^ & arcus illi sint ut areae

UBER SECUNDUS.

P I N M. P/EQ, PIGR, PI TS; exponantur tum arcus tum vires
per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a
corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream
quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam ; & pro-
ducatur rg ad h, ut sint G H hg, & R Ggr contemporanea arearum

IGH.PIG R decrementa.

PIGR decrementum RGg.
RG ; ideoqueut OR-nHG-

' OQ

-IGH

ncremen-

OQ

f E F, erit ad are^

, seu RrxRG. ut HG-'~^ ad

OQ

I EF ad ORy.GR seu OPy.

P I. hoc est (ob a:qualia O ^ X ^ G, O A X HR -OR% GR, ORHK
-OPIK, PIHR & PIGR+IGH) ut PIGR + IGH-

lEF zA OPIK.

, . . O R ,--

Igitur si area I EF-

IGH ilcMarY,

O R

OQ

atque areae PIGR decrementum RGgr detur, erit incrementum

ares YutP/C7.ff-Y.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam, arcui describendo
C D proportionalem, qua corpus urgetur in /?, & R pro resistentia
ponatur; erit V — R vis tota qua corpus urgetur in D. Est itaque
incrementum velocitatis ut V — R & particula illa temporis in qua
factum est conjunctim : Sed & velocitas ipsa est ut incrementum
contemporaneum spatii descripti directe & particula eadem temporis
inverse. U nde, cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum
velocitatis, incrementum resistentiae (per lem. ii) erit ut velocitas
& incrementum velocitatis conjunctim, id est, ut momentum
spatii & V — R conjunctim ; atque ideo, si momentum spatii
detur, ut V — R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens P I G R,
& resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ul P I G R
-Z.

Igitur area P I G R per datorum momentorum subductionem
uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione P / G R — Y, &
area Z in ratione P I G R — Z. Et propterea si areae Y & Z simul
incipiant & sub initio squales srnt, hae per additionem asqualium
momentorum pergent esse squales, & aequalibus itidem momentis

302

DE AfOTV CORPORUM

subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipi-
unt & simul evanescunt, ^qualia habebunt momenta & semper erunt
eequales : id adeo quia si resistentia Z augeatur. velocitas una cum
arcu illo C«, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur t &
puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius
accedente ad punctum C. resistentia citius evanescet quam area Y.
Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc
est, in principio motus ubi arcus C D arcui C B squatur & recta
RG incidit in rectam Q E, & in fine motus iibi arcus CD arcui
Ca zequatur & R G incidit in rectam S T. Et area Y seu 77-7:

I E F—I G H incipit desinitque ubi nuUa est, ideoque ubi

OQ

T
^ If

\.

\ Ah !•

_

^

E> /^R Q M

lEF Sl I G H aequalia sunt : hoc est (per constructionem) ubi
recta R G incidit successive in rectas Q E & S T. Proindeque area:
illse simul incipiunt & simul evanescunt, & propterea semper sunt
aequales. Igitur area -r— I E F~IG H Eequalis est are^ Z, per

quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream P I N M pcr

quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gravitatem, Q. E. D.

Corol. I. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis,

OP
ut area -^--= I E F ad aream P I N M.

Corol. 2. Fit autem niaxima, ubi area P I H R est ad aream lEF
ut Oy? ad 0 (2- Eo enim in casu momentum ejus (nimirum P IG R
— Y) evadit nullum.

LIBER SECUNDUS,

303

Corol, 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis : quippe
quae est in subduplicata ratione resistentiae, & ipso motus initio
aequatur velocitati corporis in eadem cycloide sine omni resistentia
oscillantis.

Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per
hanc propositionem inveniendae sunt, visum est propositionem sequen-
tem subjungere.

PROPOSITIO XXX. THEOREMA XXIV.

Si recta a B {eqtuilis sit cycloidis arcui quem corpus oscillando describit,
& ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula D K, quce sint
ad longitudinem penduli ut resistentia corporis in arcus punctis cor-
respondentibus ad vim gravitatis : dico quod differentia inter arcum
descensu toto descriptum & arcum ascensu toto subsequepite descriptum^
ducta in arcuum eorundem semisummamy ceqttalis erit arece B K a ^
perpendiculis omnibus D K occupatce.

Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descrip-
tus, per rectam illam sibi aequalem a B, tum arcus qui describere-
tur in vacuo per longitudinem A B. Bisecetur A B m C, 8l punc-
tum C repraesentabit infimum cycloidis punctum, & erit CD ut

AMN »

d D

vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum tangentem
cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem pen-
duli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Exponatur igitur vis

304

DE MOTU CORPORUM

illa per longitudinem C D, & vis gravitatis per longitudinem pen-
duli, & si in D E capiatur D K in ea ratione ad longitudinem pen-
duli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens
resistentiae, Centro C & intervallo C A vel C B construatur semicir-
culus B EeA. Describat autem corpus tempore quam minimo
spatium Dd, Si erectis perpendiculis ZJ£", rfr circumferentiae occur-
rentibus in ^ & <?, erunt h^c ut velocitates quas corpus in vacuo,
descendendo a puncto B, acquireret in locis D &. d. (Patet hoc
per prop. lii lib. i.) Exponantur itaque hse velocitates per per-
pendicula illa D E, de; sitque D F velocitas quam acquirit in D
cadendo de B in medio resistente. Et si centro C & intervallo
C/^ describatur circulus FfM occurrens rectis de 8l A B \n/ & M,
erit M locus ad quem deinceps sine ulteriore resistentia ascen-
deret, & (^yvelocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg
designet velocitatis mcmentum quod corpus D, describendo spa-

tium quam minimum Dd, ex resistentia medii amittit; & suma-
tur C N sequalis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps sine
ulteriore resistentia ascenderet. & M N erit decrementum ascensus
ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad d/ demittatur perpen-
diculum Fm, & velocitatis D F decrementum Fg, a resistentia DK
genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum /m a vi C D ge-
nitum, ut vis generans DK ad vim generantem C D. Sed & ob
similia triangula Fm/ Fhg, FDC, cst/m ad Fm seu Ddxit CD
aADF: & ex ^quo Fg atX Dd ut D K ad D F. Item F/t adFg
ut DFad C F ; & ex a;quo perturbate, Fh seu M N ad DdxxK DK
ad C^seu C M ; ideoque summa omnium M N% CM aequalis eril
summse omnlum DdY.DK. Ad punctum mobile il/erigi scmper
intelligatur ordjnata rectangula jequaHs indeterminatse CM, qux

/ IBER SEC UNl) i \S.

305

niotu continuo ducatur in totam longitudinem A a ; & trapezium
ex illo motu descriptum sive huic aequale rectangulum A ay.\ a B
sequabitur summse omnium MN x C M, ideoque sunimae omnium
Ddy.DK, id est, are^ B K V Ta, Q. B. D.

CoroL Hinc ex lege resistentiae & arcuum C a, CB dififerentia A a
colligi potest proportio resistentise ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia D K, figura B K Ta rectangulum
erit sub iffa & D K ; & inde rectangulum sub h B a &, A a erit aequale
rectangulo sub Ba 81 D Ky 8l D K aequalis erit \Aa. Quare cum
Z^A^sit exponens resistentiae, & longitudo penduli exponens gravi-
tatis, erit resistentia ad gravitatem ut i A a ad longitudinem penduli ;
omnino ut in prop. xxviii dcmonstratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, figura B K Ta ellipsis erit quam
proxime. Nam si corpus, in medio non resistente, oscillatione integra
describeret longitudinem B A, velocitas in loco quovis D foret ut
circuli diametro A B descripti ordinatim applicata D E. Proinde
cum B am medio resistente, &B A in medio non resistente aequalibus
circiter temporibus describantur ; ideoque velocitates in singulis
ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velocitates in punctis cor-
respondentibus longitudinis BA, ut est B a zA BA; erit velocitas
in puncto D in medio resistente ut circuli vel ellipseos super dia-
metro Ba descripti ordinatim applicata ; ideoque figura BKVTa
ellipsis erit quam proxime. Cum resistentia velocitati propor-
tionalis supponatur, sit O V exponens resistentiae in puncto medio
O ; 81 ellipsis B R VSa^ centro Oy semiaxibus O B, O V descripta,
figuram B K V Ta, eique aequale rectangulum A a x B O, aequabit
quamproxime. Est igitur A ax B O ad O VxB O ut area ellipseos
hujus Sid O VxB O : id est, A a ad O V ut area semicirculi ad qua-
dratum radii, sive ut 1 1 ad 7 circiter : Et propterea rrAaad longi-
tudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem
gravitatem.

Quod si resistentia D K sit in duplicata ratione velocitatis, figura

B K V Ta fere parabola erit verticem habens V & axem O Vy ide-

oque aequalis erit rectangulo sub % B a 81 O Fquam proxime. Est

igitur rectangulum sub } Ba 81 A a aequale rectangulo sub ^ Ba &

O V, ideoque O V aequalis % A a: & propterea corporis oscillantis re-

sistentia in O ad ipsius gravitatem ut r ^ ^ ad longitudinem penduli.

u

3o6

DE M02 U CGRPOR UM

Atque lias conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas
esse censeo. Nam cum ellipsis vel parabola B R V Sa congruat cum
figura BKVTa in puncto medio V, haec si ad partem alterutram
B R Fvel V Sa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem
alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime.

PROPOSITIO XXXI. THEOREMA XXV.

Si corporis oscillantis resistentia in singtdis arcuum descriptorum
partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione ;
differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequefite
ascensu descriptum, augebilur vel diminuetur in eadem ratione.

Oritur enim differentia illa ex retardatione penduli per resistentiam
medii, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia
retardans. In superiore propositione rectangulum sub recta iaB &
arcuum illorum CB, C a differentiB, A a aequalis erat ares^ B K Ta,

AMN a

d D

Et area illa, si maneat longitudo a B, augetur vel diminuetur in ratione
ordinatim applicatarum D K ; hoc est, in ratione resistentise, ideoque
est ut longitudo a B 8l resistentia conjunctim. Proindeque rectangu-
lum sub A a & i aB estut aB & resistentia conjunctim, & propterea
A awt resistentia. Q. E. D.

CoroL I. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in
eodem medio erit ut arcus totus descriptus : & contra.

CoroL 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia
illa erit in duplicata ratione arcus totius : & contra.

LIBER SECUNDUS. 307

CoroL 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia
quavis ratione velocitatis, dififerentia erit in eadem ratione arcus totius :
& contra.

CoroL 4. Et si resistentia sit partim in rationc simplici velocitatis,
partim in ejusdem ratione duplicata, dififerentia erit partim in ratione
arcus totius & partim in ejus ratione duplicata : & contra. Eadem
erit lex & ratio resistentiae pro velocitate, quae est dififerentiae illius
pro longitudine arcus.

CoroL 5. Ideoque si, pehdulo insequales arcus successive descri-
bente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi dififerentiae hujus
pro longitudine arcus descripti ; habebitur etiam ratio incrementi ac
decrementi resistentiae pro velocitate majore vel minore.

Scholiufn Generale,

Ex his propositionibus, per oscillationes pendulorum in mediis
quibuscunque, invenire licet resistentiam mediorum. Aeris vero re-
sistentiam investigavi per experimenta sequentia. Globum ligneum
pondere unciarum Romanarti77t 57/^, diametro digitorum Londi-
nensium 61 fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut
inter uncum & centrum oscillationis globi distantia esset pedum lo^.
In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspen-
sionis distans ; & e regione puncti illius collocavi regulam in digitos
distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a pendulo
descriptas. Deinde numeravi oscillationes quibus globus octavam
motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendi-
culo ad distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur ; ita ut
toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque
oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita,
arcum digitorum fere quatuor : idem oscillationibus 164 amisit octavam
motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti
unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit
arcum digitorum quatuor; amisit octavam motus partem oscilla-
tionibus 121, ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum 3».
Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta
duorum vel sexaginta quatuor ; amisit octavam motus partem oscilla-
tionibus 69, 35I, 18^, gf, respective. Igitur dififerentia inter arcus
descensu primo & ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo,

3o8

J)R MOTV CORrORUM

secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum }, i, i, 2, 4, 8 respcc-
tive. Dividantur eai dififerentiae per numerum oscillationum in casu
unoquoque. & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3?,
7^» 15» 30» 60, 120 descriptus fuit, dififerentia arcuum descensu &
subsequente ascensu descriptorum, erit yU, al-.», irV, A, -^, If partes
digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in
duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime, in minoribus
vero paulo majores quam in ea ratione ; & propterea (per corol. 2
prop. XXXI libri hujus) resistentia globi, ubi celerius movetur, est in
duplicata ratione velocitatis quam proxime ; ubi tardius, paulo major
quam in ea ratione.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sint-
que A, B, C quantitates data^, & fingamus quod dififerentia arcuum

»1!

sit AV+BV- + CV . Cum velocitates maxima^ sint in cycloide ut

semisses arcuum oscillando descriptorum, in circulo vero ut semissium

arcuum illorum chordae ; ideoque paribus arcubus majores sint in

cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem

chordas ; tempora autem in circulo sint majora quam in cycloide in

velocitatis ratione reciproca; patet arcuum differentias (quae sunt

ut resistentia & quadratum temporis conjunctim) easdem fore, quam-

proxime, in utraque curva : deberent enim differentia^ ilte in cycloide

augeri, una cum resistentia, in duplicata circiter ratione arcus ad

chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam ; & diminui,

una cum quadrato temporis, in eadem duplicata ratione. Itaque

ut reductio fiat ad cycloidem, ea^dem sumendae sunt arcuum dif-

ferentiae quae fuerunt in circulo observatae, velocitates vero maximae

ponendae sunt arcubus vel dimidiatis vel integris, hoc cst, numeris

i, I, 2, 4, 8, 16 analogae. Scribamus ergo in casu secundo,

quarto & sexto numeros i, 4 & 16 pro V; & prodibit arcuum

.V 2

differentia -^ = A + B + C in casu secundo; — =^ = 4A + 8B+i6C

121 35^

o

in casu quarto; & -., = 16 A + 64 B + 256 C in casu sexto. Et ex

his aequationibus, per debitam collationem & reductioncm analyticam,
fit A =0,0000916, B = 0,0010847, & C = o,oo29558. Est igitur

differentia arcuum ut 0,0000916 V + 0,0010847 V + 0,0029558 V'-* :

i.ini.R SRCUNnus,

309

& propterca cuin (per corollariuin propositionis xxx applicatum ad
hunc casum) resistentia globi in medio arcus oscillando descripti, ubi

velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut A AV + A BV^+J CV*
ad longitudinem penduli ; si pro A, B & C scribantur numeri inventi,

s

fiet resistentia globi ad ejus pondus, ut 0,0000583 V + 0,0007593 V^

+ 0,0022169 V*' ad longitudinem penduli inter centrum sqspensionis

& regulam, id est, ad 121 digitos. Unde cum V in casu secundo

designet i, in quarto 4, in sexto 16 : erit resistentia ad pondus globi

in casu secundo ut 0,0030345 ad 121, in quarto ut 0,041748 ad 121,

in sexto ut 0,6 1 705 ad 121.

Arcus quein punctum in filo notatum in casu sexto descripsit, erat
g
120 :, seu 119/0 digitorum. Et propterea cum radius esset 121

digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspensionis & cen-
trum globi esset 1 26 digitonim, arcus quem centrum globi descrip-
sit erat 124A digitonim. Quoniam corporis oscillantis velocitas
maxima, ob resistentiam aeris, non incidit in punctum infimum
arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur : haec
eadem erit circiter ac si globus descensu suo toto in mcdio non
resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitomm 62A,
idque in cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus : &
propterea velocitas illa aiqualis erit velocitati quam globus, perpen-
diculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius
sinui verso aequalem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus
in cycloide ad arcum istum 62?j5 ut arcus idem ad penduli longi-
tudinem duplam 252, & propterea ^qualis digitis 15,278. Quare
velocitas ea ipsa estquam corpus cadendo & casu suo spatium 15,278
digitorum describendo acquirere posset. Tali igitur cum velocitate
globus resistentiam patitur, quai sit ad ejus pondus ut 0,61705 ad
121, vel (si resistentiai pars illa sola spectetur qua^ est in velocitatis
ratione duplicata) ut 0,56752 ad 121.

Experimento autem hydrostatico inveni quod pondus globi hujus
lignei esset ad pondus globi aquei magnitudinis ejusdem ut 55 ad
97 : & propterea cum 121 sit ad 213,4 in eadem ratione, erit re-
sistentia globi aquei prsefata cum velocitate progrcdientis ad ipsius
pondus ut 0,56752 ad 213.4, id est, ut i ad 3765V Unde cum pon-

3IO

DE MOTU CORPORUM

dus globi aquei, quo tempore globus cum velocitate uniformiter
continuata describat longitudinem digitorum 30,556, velocitatem
illam omnem in globo cadente generare posset ; manifestum est
quod vis resistentiae eodem tempore uniformiter continuata tollere
posset velocitatem minorem in ratione i ad 376in]r, hoc est, velocitatis

totius partem — — y^* Et propterea quo tempore globus, ea cum

velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri suae,
seu digitorum 3tV, describere posset, eodem amitteret motus sui
partem ^fjt.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus
sui partem amisit. In sequente tabula numeri supremi denotant
longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus
digiti expressam : numeri medii significant longitudinem arcus
ascensu ultimo descripti ; & loco infimo stant numeri oscillationum.
Experimentum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus
pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Descensus primus

2

4

8

16

32

64

Ascensus ultinms

li

3

6

12

24

48

Numerus Oscillat.

374

272

\62\

83^

41F

223

Postea globum plumbeum diametro digitorum 2, & pondere un-
ciarum Rontanartcm 26t suspendi filo eodem, sic ut inter centrum
globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum loi, &
numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabu-
larum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus
pars octava motus totius cessavit ; secunda numerum oscillationum
quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

Descensus primus 1248

Ascensus ultimtis \ ^ 3^ 7

Numcrus Oscillat. 226 228 193 140

Descensus pri^nus 1248

Ascensus ultimus 1 i ? 3 6

Numerous Oscillal, 510 518 420 318 204

16

l^

64

14

28

56

90j

53

30

16

32

64

12

24

48

04

121

70

In tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam &

LIBER SKCUND US. 3 1 1

septimam, & cxponendo velocitates maximas in his obscrvationibus

particulatim per numcros i, 4, 16 respective, & generaliter per

1
quantitatem V ut supra : emerget in observatione tertia -?- = A + B

^ o

+ C, in quinta — . = 4 A + 8 B + 16 C, in septima — = 16 A + 64 B

+ 256 C. Hse vero aequationes reductae dant A = 0,001414, B
=0,000297, C = 0,000879. Et inde prodit resistentia globi cum
velocitate V moti in ea rationc ad pondus suum unciarum 26},

quam habet 0,0009 V + 0,000208 V* + 0,000659 V" ad penduli
longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus cam solummodo
resistentiae partem quae est in duplicata ratione velocitatis, haec erit
ad pondus globi ut 0,000659 V" ad 121 digitos. Erat autem hacc
pars resistentiae in experimento primo ad pondus globi lignei uncia-
rum 57./ir ut 0,002217 V" ad 121 : & inde fit resistentia globi hgnei
ad resistentiam globi plumbei (paribus eorum vclocitatibus) ut 57«^
in 0,002217 ad 26} in 0,000659, id est, ut 7S ad i. Diametri
globorum duorum erant 61 & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad
invicem ut 47} & 4, seu 11!« & i quamproxime. Ergo resistentiae
globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata
diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quae
certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci
debet Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen in-
veni quam partem tertiam rcsistentiae totius minoris penduli ; &
inde didici quod resistentiae globorum, dempta fiU resistentia, sunt
quam proxime in dupHcata ratione diametrorum. Nam ratio 7J — i
ad I— 1, scu 102 ad i non longe abest a diametrorum ratione dupli-
cata II 13 ad i.

Cum resistentia fiH in globis majoribus minoris sit momenti, tentavi
etiam experimentum in globo cujus diamcter erat i83 digitonim.
Longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum oscilla-
tionis erat digitorum 122!, inter punctum suspensionis & nodum
in filo 109^ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus
32 dig. Arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem
nodo descriptus 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione
mediocri descriptus 60 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars
dccima scu differcntia intcr dcsccnsum & asccnsum in oscillatione

3 1 2 I^E MOTU CORPOR VM

mediocri | dig. Ut radius 109J ad radium 1221 ita arcus totus 60
dig. oscillatione mediocri a nodo descriptus ad arcum totum 67J dig.
oscillatione mediocri a centro globi descriptum ; & ita differentia \
ad dififerentiam novam 0,4475. Si longitudo penduli, manente
longitudine arcus descripti, augeretur in ratione 126 ad I22i; tempus
oscillationis augeretur & velocitas penduli diminueretur in ratione
illa subduplicata, maneret vero arcuum descensu & subsequente
ascensu descriptorum differentia 0,4475. Deinde si arcus descriptus
augeretur in ratione I24,-J^- ad 67J, differentia ista 0,4475 augeretur
in duplicata illa ratione. ideoque evaderet 3,5295. Haec ita se
haberent, ex hypothesi quod resistentia penduli esset in duplicata
ratione velocitatis. Ergo si pendukim describeret arcum totum
12451 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensionis &
centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcuum descensu
& subsequente ascensu descriptorum foret 1,5295 digitorum. Et
haec differentia ducta in pondus globi penduli, quod erat unciarum
208, producit 318,136. Rursus ubi pcndulum superius ex globo
ligneo constructum centro oscillationis, quod a puncto suspensionis
digitos 126 distabat, describebat arcum totum 124^^ digitorum,

differentia arcuum descensu & ascensu descriptum fuit . in ,

quoe ducta in pondus globi, quod erat unciarum 57^^^ producit
49,396. Duxi autem differentias hasce in pondera globorum, ut
invenirem eorum resistentias. Nam differentia^ oriuntur ex resis-
tentiis, suntque ut resistentice directe & pondera inverse. Sunt
igitur resistentiai ut nunieri 318,136 & 49»396. Pars autem resisten-
\A7st globi minoris, qua^ est in duplicata ratione velocitatis, erat ad
resistcntiam • totam ut 0,56752 ad 0,61675, id est, ut 45,453 ^^
49,396 ; & pars resistenti:e globi majoris propemodum a^quatur ipsius
resistentia: toti ; ideoque partes illa^ sunt ut 318,136 & 45,453
quamproxime. id est, ut 7 & i. Sunt autem globorum diametri 181
& 6h ; & harum quadrata 351VV & M\\ sunt ut 7,438 & i, id est, ul
globorum rcsistentiie 7 & i quamproxime. Differentia rationum
haud major est, quam quie ex fih resistentia oriri potuit Igilur
resistentiarum partes ilkt qua^ sunt, paribus globis, ut quadrata
velocitatum ; sunt ctiani, paribus vclocitatibus, ut quadrata diame-
ironim globorum.

LIBER SECUNDUS.

313

Caeterum globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus
non erat perfecte sphaericus, & propterea in calculo hic allato minutias
quasdam brevitatis gratia neglexi ; de calculo accurato in experimento
non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque, cum demon-
stratio vacui ex his dependeat, ut experimenta cum globis & pluribus
& majoribus & magis accuratis tentarentur. Si globi sumantur in
proportione geometrica, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16,
32 ; ex progressione experimentorum colligetur quid in globis adhuc
majoribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se
tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor,
latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi
aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquse oscillando
moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166J unciarum, dia-
metro 31 digitonim movebatur ut in tabula sequente descripsimus,
existente videlicet longitudine penduli a puncto supensionis ad punc-
tum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem
centrum 1 34 J digitorum.

Arciis descensu primo a puncto in 1

filo notato dcscriptus^ digitoriim j
A rcus asccnsu nltimo descriptus, ) ^

digttorum )

Arcuum diffcrcntia motui amisso\ j^ g .

proportionaliSy digitorum j

Numcrus Osciliaiionum in aqua \%

Numcrus Oscillationcm in acre 85J 287 535

In experimento columnae quartae, motus aequales oscillationibus
535 in aere, & \\ in aqua amissi sunt. Erant quidem oscillationes
in aere paulo celeriores quam in aqua. At si oscillationes in aqua
in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in medio utroque
fierent aequiveloces, maneret numerus idem oscillationum \\ in aqua,
quibus motus idem ac priu? amitteretur ; ob resistentiam auctam &
simul quadratum temporis diminutum in eadem ratione illa duplicata.
Paribus igitur pcndulorum velocitatibus motus aequales in aere
oscillationibus 535 & in aqua oscillationibus \\ amissi sunt; ideoque
rcsistentia pcnduli in aqua est ad ejus resistcntiam in aere ut 535

12

8

4

2

I

h

i

6

3

a

s
4

3

3

2

I

i

i

l

1

li

3

7

III

I2t

13J

314 DR MOTU CORPOR UM

ad li. Haec est proportio resistentiarum totarum in casu columnae
quartae.

Designet jam A V + C V^ dififerentiam arcuum in descensu &
subsequente ascensu descriptorum a globo in aere cum velocitate
maxima V moto ; & cum velocitas maxima in casu columnae quartae
sit ad velocitatem maximam in casu columnae primse, ut i ad 8 ;
& differentia illa arcuum in casu columnae quartae ad differentiam in

2x6

casu columnae primae ut ad — ^, seu ut 85! ad 4280; scribamus

535 851?
in his casibus i & 8 pro velocitatibus, atque 85J & 4280 pro differ-

entiis arcuum, & fiet A + C=85i & 8 A + 64 ^ = 4280 seu A + 8 C

= 535; indeque per reductionem aequationum proveniet 7 ^ = 449^

& C = 64A & A = 2iT : atque ideo resistentia, cum sit ut rr A V +

f C V^, erit ut i^rr V + 48A V^. Quare in casu columnae quartae,

ubi velocitas erat i, resistentia tota est ad partem suam quadrato

velocitatis proportionalem, ut 13A + 48A seu ^ilf ad 48 A ; & idcirco

resistentia penduli in aqua est ad resistentiae partem illam in aere,

quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus

velocioribus consideranda venit, ut 6itt ad 48 A & 535 ad \\ con-

junctim, id est, ut 571 ad i. Si penduli in aqua oscillantis filum

totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major ; adeo

ut penduli in aqua oscillantis resistentia illa, quae velocitatis quadrato

proportionalis est, quaeque sola in corporibus velocioribus consideranda

venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum veloci-

tate in aere oscillantis, ut 850 ad i circiter, hoc est, ut densitas aquae

ad densitatem aeris quamproxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae penduli

in aqua, quae esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mirum forte

videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis plus-

quam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod

arca nimis angusta esset pro magnitudine globi penduli, & motum

aquae cedentis prae angustia sua nimis impediebat Nam si globus

pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur ; resistentia

augebatur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Id tenta-

bam construendo pendulum ex globis duobus, quorum inferior &

minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam

filo affixus essct, & in acre oscillando, adjuvaret motum penduli

LIBER SECUNDUS,

3^5

eumque diuturniorem redderet. Experimenta autem hoc modo in-
stituta Se habebant ut in tabula sequente describitur.

Arciis descensu prinw dcscripUis i6 8 4 2 i \ \

Arcus ascensu ultimo descriptus 12 6 3 ij I f A

16

8

4 2

12

6

3 li

4

2

I \

3»

6J

\2-h 21 1

Arcuum diff. 7notui amisso p7'oport, 4 2 i 1 1 l iV
Ntnnerus Oscillationum 3^ 6J I2tj 21J 34 53 62!

Conferendo resistentias mediorum inter se, efifeci etiam ut pendula
ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fiH ferrei erat pedum
quasi trium, & diameter globi penduli quasi tertia pars digiti. Ad
filum autem proxime supra mercurium affixus erat globus alius
plumbeus satis magnus ad motum pcnduli diutius continuandum.
Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam
vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in fluido
utroque successive oscillante, invenirem proportionem resistentiarum :
& prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14
ad I circiter : id est, ut densitas argenti vivi ad densitatem aquae.
Ubi globum pendulum paulo majorem adhibebam, puta cujus
diameter esset quasi \ vcl .1 partes digiti, prodibat resistentia argenti
vivi in ea ratione ad resistentiam aquae, quam habet numerus 12
vel 10 ad I circiter. Sed experimento priori magis fidendum est,
propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magni-
tudine globi immersi. Ampliato globo, deberet ctiam vas ampliari.
Constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus &
in liquoribus tum metallonim fusorum, tum aliis quibusdam tam
calidis quam frigidis repetere : sed omnia experiri non vacat, & ex
jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum
densitati fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quam
proxime. Non dico accurate. Nam fluida tenaciora, pari densitate,
proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam
calidum, calidum quam aqua pluvialis, aqua quam spiritus vini.
Verum in liquoribus, qui ad sensum satis fluidi sunt, ut in aere, in
aqua seu dulci seu salsa, in spiritibus vini, terebinthi & salium,
in oleo a fa^cibus per destillationem liberato & calefacto, oleoque
vitrioli & mercurio, ac metallis liquefactis, & siqui sint alii, qui
tam fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius con-
servent, effusiquc libcrrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus

3t6

DE MOTU CORPORUM

dubito quin regula allata satis accurate obtineat : praesertim si
experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis
instituantur.

Denique cum nonnullorum opinio sit, medlum quoddam a;thereum
& longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros
& meatus liberrime permeet; a tali autem medio per corporum poros
fluente resistentia oriri debeat : ut tentarem an resistentia, quam in
motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie. an
vero partes etiam interns in superficiebus propriis resistentiam nota-
bilem sentianl, excogitavi experimentum tale. Filo pedum undecim
longitudinis ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo,
suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendu<
lum longitudinis prasdictre. Uncus sursum pr^eacutus erat acie c
cava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moverett
Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum
deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum se.x. idque
secundum pianum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante
pendulo, supra aclem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum
suspensionis, in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet
Locum igitur accurate notabani, ad quem deduxeram pendulum.
dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad qu^e redibat in fine
oscillationis primae, secund^ ac terti^. Hoc repctebam sxpius.
ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem
plumbo & gravioribus, qure ad manus erant. metallis implebam.
Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quse
circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliqua: qua; inter
uncum & pyxidem pendulam tendebatur, Nam filum tensum dimidi(L
ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urj
Huic ponderi addebam pondus aeris quem pyxis capiebat.
pondus totum erat quasl pars septuagesima octava pyxidis metallor^
plense. Tum quoniam pyxis metalloriim plena, pondere suo
dendo filum, augebat longitudinem penduli. contrahebam filum l
penduli jam osctllantis eadem esset longitudo ac prius. DeJn pcn-
dulo ad locum primo notatum retracto ac dimisso, numerabam
oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad loctuii
secundo notatum redirct, totidemque subinde donec pyxis ad

LIBER SJiCUXDUS.

317

locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu
suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota
pyxidis plenae non majorem habebat proportionem ad resistentiam
pyxidis vacuae quam 78 ad 77. Nam si aequales essent ambarum
resistentise, pyxis plena, ob vim suam insitam septuagies & octies
majorem vi insita pyxidis vacuoe, motum suum oscillatorium tanto
diutius conservare deberet, atque ideo completis semper oscillationi-
bus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis
oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa,
& B resistentiam pyxidis vacuae in partibus intemis ; & si resistentiae
corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu
numerus particularum quibus resistitur : erit 78 B resistentia pyxidis
plenae in ipsius partibus internis : ideoque pyxidis vacuae resistentia
tota A + B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A + 78 B ut 77
ad 78, & divisim A + B ad 77 B, ut 77 ad i, indeque A + B ad B ut
77 X 77 ad I, & divisim A ad B ut 5928 ad i. Est igitur resistentia
pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam
ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic vero dis-
putamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae, non
ab alia aliqua causa latente oriatur, sed ab actione sola fluidi alicujus
subtilis in metallum inclusum.

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud
aliquando descripseram, intercidit Unde fractas quasdam numerorum
partes, quae memoria exciderunt, omittere compulsus sum.

Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco
infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quae-
rendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus
oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur. Parabam
igitur uncum firmum, ut punctum suspensionis immotum maneret, &
tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.

3t8

DE MOTCr CORPORVM

S ECTI O VII.

Dc molii Jlnidontm & rLsis.kntia projedilium

PROPOSITIO XXXII. THEOREMA XXVI.

Si corporunt systcmata duo simiUa ex a-qiiali parlicularum numcro
constent, & particulcs correspondentes similes sint & proporlionales,
singulcE in uno systetnate singuUs in altero, & similiter sitie inter
se, ac datam habeaitt ratiojtem densitatis ad inviccni, & inier se
temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant (ea inier se
gu(S in uno sunt systcmate & ecs inter se gucs sxint in altero) & si
non tangant se mutuo qucs in eodem sunt systemate, nisi in momentis
rejlcxionum, neque attrahant, vel fugeni se mutuo, uisi virifius
accelerairicibus quts sinl ui particulamm correspondentium dimnetri
inverse & quadrata vclocitatujn direete : dico quod systemaium
particuicc illc? peigent ititer se temporibus propordonalibHs siniitifer
moveri.

Corpora similia & similiter sita temporibiis proportionalibus inier
se similiter moveri dico, quonim situs ad invicem in fine temponun
illonim semper sunt siniiles : puta si particula; unius systematis cum
alterius particuHs correspondenlibus conferanuir. Unde tempora
erunt proportionalia, in quibus similes & proiMirtionales figurarum
similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur
si duo sint ejusmodi systemata, particulai correspondentes, ob simi-
litudinem incoeptorum motuum, pergent simiHter nioveri, usquc
donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viribus, pn>-
gredientur uniformiter in lineis rectis per motus leg. i, Si viribus
aliquibus se mutuo agitant, & vires illje sint ut particularum correspon-
dentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe ; quoniam
particularum situs sunt similes & vires proportionalcs, vircs totac
quibus particulx correspondentes agitantur. ex viribus singulis

LIBER S£CVNDl'S.

agkantibLis (per leguni coroUarium secundum) composita:, similes
liabebunt determinationes, periride ac si centra inter particulas similiter
sita respicercnt; & erunt vires illae totas: ad invicem ut vires singulEe
componentes, hoc est, ut correspondentium particularum diametri
inverse, & quadrata vclocitatum directc : & propterea efficient ut
correspondentes particulo; figuras simiies describere pergant. Hsc
ita se habebunt (per corol. i & 8 prop. rv lib. i) si modo centra
illa quiescant Sin moveantur, quoniam ob translationum similitu-
dinem, similes manent eorum situs inter systematum particulas ;
similes inducentur mutationes in figuris quas particula^ dcscribunt.
Similes igitur enmt correspondentium & similiiim particularum motus
usque ad occursus suos primos, & proptcrea similes occursus, &
similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes motus inter
se donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum.
Q. E. D.

CoroL I. Hinc si corpora duo quEvis, quse similia sint & ad
systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas tem-
poribus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum
magnitudines ac densitates ad invicem ut magnitudines ac densitates
correspondentium particularum : hs;c pergent temporibus propor-
tionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum
systematis utriusque atque particularum.

Corol. 2. Et si similes & similiter positae systematum partes omnes
quiescant inter se : & earum duai, quae CKteris majores sint. & sibi
mutuo in utroque systemate correspondeant, secundum lineas similiter
sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant : hse similes in reli-
quis systematum partibus excitabunt motus, & pergent inter ipsas
temporibus proportionalibus similiter moveri ; atque ideo spatia
diametris suis proportionalia describere.

PROPOSITIO XXXIII. THEOREMA XXVII.

lisdem posiiis, dico quod systematum partes majores resisttintur
in ratione coviposila ex duplicata ratione velocitatum snarum &
duplicata ratione diametrorum & ratione de7tsitaiis partium syste-
maium.

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri-

320

DE MOTV CORPORVM

fugis quibus particuLt; systematum se mutuo agitant, parlini ex occur-
sibus & reflexionibus parlicukrum & partium majorum. Prioris
autem generis resistentiae sunt ad invicem ut vires totEc motrices a
quibus oriuntur, id est, ut vires tots acceleratrices & quantitates
materi^ in partibus correspondentibus ; iioc est (per hypothesin) ut
quadrata velocitatum directe & distantia; particularum correspon-
dentium inverse & quantitates materia; in partibus correspondentibus
directe : ideoque cum distantiae particularum systematis unius sint
ad distantias correspondentes partJcularum alterius, ut diameter par-
ticulae vel partis in systemate priore ad diametnim particulae vel
partis correspondentis. in altero, & quantitates materiie sint ut den-
sitates partium & cubi diametrorum ; resistentix' sunt ad invicem ut
quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium
systematum. Q. E. D. Posterioris generis resistentiie sunt ut re-
flexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri
autem reflexionuni sunt ad inviccm ut velocitates partium corre-
spondentium directe, & spatia inter eanim reflexiones inverse. Et
vires refle,xionum sunt ut velocitates & magnitudines & dcnsitates
partium correspondentium conjunctim ; id est, ut velocJtates & dia-
metronim cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus
rationibus, resistenti^e partium correspondentium siint ad invicem ut
quadrata velocitatum S: quadrata diametronim & densitatcs partium
conjunctim. Q. E. D.

Corol. I. Igitur si systemata illa sint fluida duo elastica ad modum
aeris, & partes eorum quiescant inter se : corpora autem duo similta
& partibus fluidorum qiioad magnitudinem & densitatem propor-
tionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter
positas utcunque projiciantur ; vires autem acceleratrices, quibus par-
ticuls fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectonim
diametri inverse, & quadrata velocitatum directe : corpora illa lem-
poribus proportionalibus similes excitabunt motus in fluidis, & spatia
similia ac diametris suis proportionalia describenL

Corol. 2. 1'roinde in eodem fluido projectile velox resistentiam
patitur. quc^E est in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam
si vires, quibus particulx distantes se mutuo agitant, augercntur in
duplicata rationc velocitatis, resistentia foret in eadcm ralione dupli-
cata accurate ; ideoque in medio, cujus partes ab inviccm t^jstan-

agitaiit, resistentia est in du|jhcata ratione
velocitatis accurate. Sunto igttur mecHa tria A, B, C, ex partibus
similibus & iequallbiis & secundum distantias xquales regailariter
dispositis constantia. Partes mediorum A & B fugiant se mutuo
viribus qu^e sint ad invicem ut T^^ K, illae medli C ejusmodi viribus
omnino destituantur. Et si corpora quatuor Kqualia /?, B, F, G
in liis medils moveantur, priora duo D &. E m prloribus duobus
A & B, & altera duo F & G m tertio C; sitque velocltas corporis
D ad velocitatem corporls ^, & velocitas corporisy^ad velocltatem
corf>oris G m subduplicata ratione virium T ad vlres V: reslstentia
corporis D erlt ad resistentiam corporis £, & reslstentia corporls
F ad resistentlam corporls G, in velocitatum ratlone duplicata ; &
propterea resistentla corporis D erlt ad reslstentiam corporis /*' ut
resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora
D 8l F asqiiivelocia ut & corpora ^ & G ; & augendo velocitates
corporum D & F in ratlone quacunque, ac dlmlnuendo vires par-
ticularum medii B In eadem ratlone duplicata, accedet medium B
ad formam & condltionem medli C pro llbitu, & idcirco reslstenti^e
corporum Eequalium & aequiveloclum F & G m hls medils, perpetuo
accedent ad sequalltatem, Ita ut earum differentla evadat tandem
minor quam data qusvis. Proinde cum resistentls corporum D &
F sint ad invicem ut reslstentice corporum £ & G, accedent etiam
h^ similiter ad rationem sequalltatls. Corporum Igitur D & F,
ubi velocisslme moventur, resistenti^ sunt aequales quam proxime :
& propterea cum resistentla corporis F slt in duplicata ralione
velocitatis, erit resistentia corporis D In eadem ratione quam prox-
ime.

Coro/. 3. Corporis in fluido quovls elaslico veloclsslme motl eadem
fere est reslstentia ac si partes fluidi vlribus suis centrlfugls destitue-
rentur, seque mutuo non fugerent : sl modo fluldi vls elastica ex
particularum virlbus centrifugis orlatur, & velocitas adeo magna sit ut
vires non habeant satis tcmporls ad agendum.

Corol. 4. Prolnde cum resistentia similium & aequivelocium cor-
ponim, in medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, slnt \it
quadrata dlametrorum; sunt etiam Eequlvelocium & celerrime motonim
corporum reslstenti^ in fluido elastico ut quadrata diametrorum quam
proxime.

322

DE MOTU COEPORUM

CoroL 5. Et cum corpora similia, aequalia & aequivelocia, in me-
diis ejusdem densitatis, quorum particulse se mutuo non fugiunt, sive
particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in
aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus impingant, eique
aequalem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus
legem tertiam) aequalem ab eadem reactionem patiantur, hoc est,
aequaliter resistantur : manifestum est etiam quod in ejusdem densi-
tatis fluidis elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum
resistentiaj quam proxime; sive fluida illa ex particulis crassioribus
constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex medii sub-
tilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum dimi-
nuitur.

CoroL 6. Haec omnia ita se habent in fluidis, quorum vis elastica
ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa
aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar lanae vel
ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum
inter se redduntur minus liberi : resistentia, ob minorem medii fluidi-
tatem, erit major quam in superioribus coroUariis.

PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA XXVIII.

Si globus & cylindrus cequalibus diametris descripii, in medio raro ex

particulis cequalibus & ad cequales ab invicem distantias libere dis-

positis constantCy secundum plagam axis cylindri, ceqtiali cum veloci-

tate moveantur : erit resistentia globi duplo minor quam resistentia

cylindri.

Nam quoniam actio medii in corpus eadem est (per legum corol.
5) sive corpus in medio quiescente moveatur, sive medii particulae
eadem cum velocitate impingant in corpus quiescens : consideremus
corpus tanquam quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a
medio movente. Designet igitur A B K I corpus sphaericum centro
C semidiametro C A descriptum, & incidant particulae medii data
cum velocitate in corpus illud sphaericum, secundum rectas ipsi A C
parallelas: sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur L B semi-
diametro C B aequalis, & ducatur B D quae sphaeram tangat in B,
lv\ KC 8l B D demittantur perpendiculares B EyL D.Sa vis qua par-

LIBER SECUNDUS.

323

ticula medii, secundum rectam FB oblique Incidendo, globum ferit

in B, erit ad vim qua particula eadem cyllndrum ON GQ axe A C I

circa globum descriptum perpendiculariter feriret in b, ut L D ad

LB vel BE ad BC. Rursusefficacia hujus vis ad movendum globum

secundum incidentiEe suse plagam FB vel A C, est ad ejusdem effi-

caciam ad movendum globum se-

cundum plagam determinationis

sus, id est, secundum plagam rec-

tss B C qua globum directe urget

ut BE ^d BC. Et conjunctis

rationibus, efficacia particulse in

globum secundum rectam FB

oblique incidentis, ad movendum

eundem secundum plagam inci-

dentia;su^, est ad efficaciam par-

ticula ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendicu-

lariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, \it B E

quadratum ad ^ C quadratum. Quare si in b E, qua; perpendicularis

est ad cylindri basem circularem N A O & a^qualis radio A C, sum-

atur ^^ffiqualis - — -^ — '-: erit b H zA bE ut efTectus particulas

in globum ad effectum particuls in cylindrum. Et propterea solidum
quod a rectis omnibus b H occupatur erit ad solidum quod a rectis
omnibus b E occupatur, ut effectus partlculamm omnium in globum ad
effectum partlcularum omnium in cylindrum. Sed solidum prius est
parabolois vertice C, axe C A & latere recto C A descrlptum, &
solidum posterius est cylindrus parabololdi circumscriptus: & notum
est quod parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis
tota medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in
cylindrum. Et propterea sl particulse medii quiescerent, & cylindrus
ac globus sequali cum velocitate moverentur, foret resistentia globi
duplo mlnor quam reslstentia cylindri. Q.E.D.

Scholium.
Eadem methodo figuras alise inter se quoad resistentiam comparari
possunt, eaeque inveniri quje ad motus suos in mediis resistentibus
continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari C E B H, quse centro

324

DE MOTU CORPORUM

O, radio O C describitur, & altitudine O D,
construendum sit frustum coni CBGF,
quod omnium eadem basi & altitudine
constructorum & secundum plagam axis
sui versus D progredientium frustorum e
minime resistatur : biseca altitudinem OD
in ^ & produc OQ ^A S m\. ^\t Q S
sequalis QC, Si. erit S vertex coni cujus
frustum quaeritur.

Unde obiter, cum angulus CSB semper slt acutus, consequens
est, quod si solidum A D B E convolutione figune ellipticse vel ovalis
A D B E circa axem AB factageneretur, & tangatur figura generans
a rectis tribus FG, G H, H I in punctis F, B &l I, ea lege \xt G H
sit perpendicularis ad axem in puncto contactus B, & FG, H I cum
eadem G^ //" contineant angulos FGB, ^/f/graduum 135, solidum,
quod convolutione figurse A DFG H I E circa axem eundem ^^
generatur, minus resistitur quam soUdum prius; si modo utrumque
secundum plagam axis sui A B progrediatur, & utriusque terminus B
prEecedat. Quam quidem propositionem in construendis navibus non
inutilem futuram esse censeo.

Quod si figura D N FG ejusmodi sit curva, ut, si ab ejus puncto
quovis A'" ad axem A B demittatur perpendiculum N M, 8i 3i puncto
dato G ducatur recta G R quae parallela sit rectse figuram tangenti in
N, & axem productum secet in B. fuerit M N ad G R ut C R
cub. ad ^BRy.GBg; solidum quod figune hujus revolutione
circa axem A B facta describitur, in medio raro prxdicto ab A ver-

LIBER SECUNDUS,

325

sus B movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitu-
dine & latitudine descriptum solidum circulare.

PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA VII.

Si medium rarum ex particulis quam minimis guiescentibus cequalidus
& ad (Bquales ab invicem distantias libere dispositis constet : invenire
resistentiam globi in hoc medio uniformiter progredientis.

Cas. I. Cylindrus eadem diametro & altitudine descriptus pro-
gredi intelligatur eadem velocitate secundum longitudinem axis
sui in eodem medio. Et ponamus quod particulae medii, in quas
globus vel cylindrus incidit, vi reflexionis quam maxima resiliant
Et cum resistentia globi (per propositionem novissimam) sit duplo
minor quam resistentia cylindri, & globus sit ad cylindrum ut duo
ad tria, & cylindrus incidendo perpendiculariter in particulas, ipsas-
que quam maxime reflectendo, duplam sui ipsius velocitatem ipsis
communicet : cylindrus, quo tempore dimidiam longitudinem axis
sui uniformiter progrediendo describit, communicabit motum parti-
culis, qui sit ad totum cylindri motum ut densitas medii ad densi-
tatem cylindri ; & globus, quo tempore totam longitudinem diame-
tri suae uniformiter progrediendo describit, communicabit motum
eundem particulis ; & quo tempore duas tertias partes diametri suse
describit, communicabit motum particulis, qui sit ad totum globi
motum ut densitas medii ad densitatem globi. Et propterea globus
resistentiam patitur, quae sit ad vim qua totus ejus motus vel auferri
possit vel generari quo tempore duas tertias partes diametri suae
uniformiter progrediendo describit, ut densitas medii ad densitatem
globi.

Cas. 2. Ponamus quod particulae medii in globum vel cylindrum
incidentes non reflectantur; & cylindrus incidendo perpendiculariter
in particulas simplicem suam velocitatem ipsis communicabit, ideoque
resistentiam patitur duplo minorem quam in priore casu, & resistentia
globi erit etiam duplo minor quam prius.

Cas. 3. Ponamus quod particulae medii vi reflexionis neque maxima
neque nulla, sed mediocri aliqua resiliant a globo ; & resistentia globi

326 DE MOTU CORPORUM

erit in eadem ratione mediocri inter resistentiam in primo casu &
resistentiam in secundo. Q. E. /.

CoroL I. Hinc si globus & particulae sint infinite dura, & vi omni
elastica & propterea etiam- vi omni reflexionis destituta : resistentia
globi erit ad vim qua totus ejus motus vel auferri possit vel generari,
quo tempore globus quatuor tertias partes diametri suae describit, ut
densitas medii ad densitatem globi.

Corol, 2. Resistentia globi, caeteris paribus, est in duplicata ratione
velocitatis.

CoroL 3. Resistentia globi, caeteris paribus, est in duplicata ratione
diametri.

CoroL 4. Resistentia globi, caeteris paribus, est ut densitas medii.

CoroL 5. Resistentia globi est in ratione quae componitur ex
duplicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri & ratione
densitatis medii.

CoroL 6. Et motus globi cum ejus resistentia sic exponi potest.
Sit A B tempus quo globus per resistentiam suam uniformiter con-
tinuatam totum suum motum amittere potest. Ad AB erigantur
perpendicula AD, BC Sitque BC motus ille totus, & per punctum
C asymptotis AD^ AB describatur hyperbola CF, Producatur A B
ad punctum quodvis E. Erigatur per-
pendiculum^T^hyperbolae occurrens in F.
Compleatur parallelogrammum CBEG,
& agatur AF ipsi BC occurrens in //.
Et si globus tempore quovis BE, motu
suo primo BC uniformiter continuato, in
medio non resistente describat spatium
CBEG per aream parallelogrammi expositum, idem in medio
resistente describet spatium CBEF per aream hyperbolae expositum,
& motus ejus in fine temporis illius exponetur per hyperbolae ordi-
natam EF, amissa motus ejus parte FG. Et resistentia ejus in fine
temporis ejusdem exponetur per longitudinem BH, amissa resistentiae
parte CH. Patent haec omnia per corol. i & 3 prop. v lib. II.

Corol. 7. Hinc si globus tempore T per resistentiam R uniformiter
continuatam amittat motum suum totum M : idem globus tempore
/ in medio resistente, per resistentiam R in duplicata velocitatis

ratione decrescentem, amittet motus sui M partem ^ , ma-

LIBER SECUNDUS.

32?

nente parte =, — ; & describet spatium quod sit ad spatium motu

uniformi M eodem tempore t descriptum, ut logarithmus numeri

Z. multiplicatus per numerum 12,302585092994 est ad numerum

=, propterea quod area hyperboHca B CFE est ad rectangulum
BCGE in hac proportione.

ScltoUum.
In hac propositione exposui resistentiam & retardadonem projec-
tilium sphsericorum in mediis non continuis, & ostendi quod hiec
resistentia sit ad vlm qua totus globt motus vel tolli possit vel gene-
rari quo tempore globus duas tertias diametri su<x partes velocitate
uniformiter continuata describat, ut densitas medii ad densitatem
globi, si modo globus & particulai medii sint summe elastica & vi
maxima reflectendi polleant: quodque ha;c vis sit duplo minor iibi
globus & particula: medii sunt infinite dura & vi reflectendi pror-
sus destituta, In mediis autem continuis qualia sunt aqua, oleum
calidum, & argentum vivum, in quibus globus non incidit immediate
in omnes fluidi particulas resistentiam generantes, sed premit tantum
proximas particulas & ha: premunt alias & h£e alias, resistentia est
adhuc duplo minor. Globus utique in hujusmodi mediis fluidissimis
resistentiam patitur quEe est ad vim qua totus ejus motus vel tolli
posslt vel generari quo tempore, motu illo uniformiter continuato,
partes octo tertias diametri sii^ describat, ut densitas medii ad densi-
tatem globi. Id quod in sequentibus conablmur ostendere.

PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA VIII.

Aqus de vase cylindrico per foramm in fundo facium effluentis
definire motum.

Sit A CD B vas cylindricum, AB ejus orificium superius, CD
fundum horlzonti parallelum, E F foramen circulare in medio fundi,
G centrum foramlnis, Bl G H axis cylindri horizonti perpendlcularis,
Et finge cylindrum glaciei APQB ejusdem esse latitudinis cum

33S DE MOTU CORPORUM

cavitate vaais, & axem eundem habere, & uniformi cum motu per-
petuo descendere, & partes ejus quam primum attin^nt superficiem
A B liquescere, & in aquam conversas gravitate sua defluere in vas,
& cataractam vel columnam aquas A B N F E M cz&^n^o formare.
& per foramen E F transire, idemque adEcquate implere. Ea vcro
sit uniformis velocitas glaciei descendentis
ut & aqua; contigu^ in circulo A B, quam
aqua cadendo & casu suo describendo alti-
tudlnem IH acquirere potest ; & jaceant
I H & // G m directum, & per punctum /
ducatur recta KL horlzonti parallela &
lateribus g]aciei occurrens in A' & L. Et
velocitas aquae effluentis per foramen E F
ea erit quam aqua cadendo ab / & casu suo
describendo altltudinem / G acquirere po-
test Ideoque per theoremata Gaiiiari erit
I G ad I II \n dupHcata ratlone velocitatis
aqu^ per foramen effluentis ad velocitatem
aquce in clrculo A B, hoc cst, in duplicata ratione circuli A B aA
circulum E F; nam hi circuH sunt reciproce ut velocitates aquarum
qute per ipsos, eodem tempore & aequali quantitate, ada;quate tran-
seunt. De velocitate aqua; horizontem versus hic agitur. Et motus
horizonti parallelus quo partes aqu^e cadentis ad invicem accedunt,
cum non orlatur a gravitate, nec motum horizonti perpendicularem a
gravitate oriundum mutet, liic non consideratur. Supponimus quidem
quod partes aquse aliquantulum cohserent, & per cohresionem suain
inter cadendum accedant ad invlcem per motus horlzonti parallelos.
ut unicam tantum efformcnt cataractam & non in plures cataractas
dividantur: sed motum horizonti parallelum, a coha.sione illa oriun-
dum, hic non consideramus.

Cas. I. Concipe jam cavitatem totam in vase, in circuitu aqua^
cadentis A B N F E Af, glacie plenam esse, ut aqua per glaciem tan-
quam per infundibulum transeat. Et si aqua glaciem tantum ncMi
tangat, vel, quod perinde est, si tangat & per glaciem propter sum-
mam ejus polituram quam liberrime & sine omni resistcntia labatur;
hjec defiuet per foramen E F eadem velocitate ac prius. & pondiis
totum columnx aqu.-e A BNFEM impendetur in deflu.\uin ejus

LIBER SECUNDUS. ^29

generandum uti prius, & fundum vasis sustinebit pondus glaciei
columnam ambientis.

Liquescat jam glacies in vase ; & effluxus aquae, quoad velocitatem,
idem manebit ac prius. Non minor erit, quia glacies in aquam
resoluta conabitur descendere : non major, quia glacies in aquam
resoluta non potest descendere nisi impediendo descensum aquae
alterius descensui suo sequalem. Eadem vis eandem aquae effluentis
velocitatem generare debet.

Sed foramen in fundo vasis, propter obliquos motus particularum
aquae effluentis, paulo majus esse debet quam prius. Nam particulae
aquae jam non transeunt omnes per foramen perpendiculariter ; ^ed a
lateribus vasis undique confluentes & in foramen convergentes,
obliquis transeunt motibus ; & cursum suum deorsum flectentes in
venam aquae exilientis conspirant, quae exilior est paulo infra foramen
quam in ipso foramine, existente ejus diametro ad diametrum fora-
minis ut 5 ad 6, vel 5J ad 6| quam proxime, si modo diametros
recte dimensus sum. Parabam utique laminam planam pertenuem
in medio perforatam, existente circularis foraminis diametro partium
quinque octavarum digiti. Et ne vena aquae exilientis cadendo
acceleraretur & acceleratione redderetur angustior, hanc laminam non
fundo sed lateri vasis affixi sic, ut vena illa egrederetur secundum
lineam horizonti parallelam. Dein ubi vas aqua plenum esset,
aperui foramen ut aqua efflueret ; & venae diameter, ad distantiam
quasi dimidii digiti a foramine quam accuratissime mensurata, prodiit
partium viginti & unius quadragesimarum digiti. Erat igitur
diameter foraminis hujus circularis ad diametrum venae ut 25 ad
21 quamproxime. Aqua igitur transuendo per foramen, convergit
undique, & postquam effluxit ex vase, tenuior redditur conver-
gendo, & per attenuationem acceleratur donec ad distantiam semissis
digiti a foramine pervenerit, & ad distantiam illam tenuior &
celerior fit quam in ipso foramine in ratione 25x25^^ 21 X2i
seu 17 ad 12 quamproxime, id est in subduplicata ratione binarii
ad unitatem circiter. Per experimenta vero constat quod quantitas
aquae, quae per foramen circulare in fundo vasis factum, dato tempore
effluit, ea sit quae cum velocitate praedicta, non per foramen illud, sed
per foramen circulare, cujus diameter est ad diametrum foraminis
illius ut 21 ad 25, eodem tempore effluere debet. Ideoque aqua

330

DR MOTU CORPORUM

illa effluens velocitatem habet deorsum in ipso foramine quam
grave cadendo & casu suo describendo dimidiam altitudinem aquae
in vase stagnantis acquirere potest quamproxime. Sed postquam
exivit ex* vase, acceleratur convergendo donec ad distantiam a
foramine diametro foraminis prope aequalem pervenerit, & ve-
locitatem acquisiverit majorem in ratione subduplicata binarii ad
unitatem circiter; quam utique grave cadendo, & casu suo descri-
bendo totam altitudinem aquae in vase stagnantis, acquirere potest
quamproxime.

In sequentibus igitur diameter venae designetur per foramen illud
minus quod vocavimus E F. Et plano foraminis E F parallelum
duci intelligatur planum aliud superius VW ad distantiam diametro
foraminis aequalem circiter & foramine majore kS* T pertusum ; per
quod utique vena cadat, quae adaequate impleat foramen inferius
EF^ atque ideo cujus diameter sit ad diametrum foraminis inferioris
ut 25 ad 21 circiter. Sic enim vena per foramen inferius perpen-
diculariter transibit; & quantitas aquae effluentis, pro magnitudine
foraminis hujus, ea erit quam solutio problematis postulat quam-
proxime. Spatium vero, quod planis duobus & vena cadente
clauditur, pro fundo vasis haberi potest. Sed ut solutio problematis
simplicior sit & magis mathematica, praestat adhibere planum solum
inferius pro fundo vasis, & fingere quod
aqua quae per glaciem ceu per infundibu-
lum defluebat, & e vase per foramen E F
in plano inferiore factum egrediebatur,
motum suum perpetuo servet, & glacies
quietem suam. In sequentibus igitur sit
S T diameter foraminis circularis centro Z
descripti per quod cataracta effluit ex vase
ubi aqua tota in vase fluida est. Et sit
E F diameter foraminis per quod cataracta
cadendo adaequate transit, sive aqua exeat. ex vase per foramen illud
superius kS* Z) sive cadat per medium glaciei in vase tanquam per in-
fundibulum. Et sit diameter foraminis superioris S T 2A diametrum
inferioris ^/^ut 25 ad 21 circiter, & distantia perpendicularis inter
plana foraminum aequalis sit diametro foraminis minoris E F.
Et velocitas aquae e vase per foramen ^ T exeuntis ea erit in ipso

LIBER SECUNDUS. 33,

foramine deorsum quam corpus cadendo a dimidio altitudinis IZ
acquirere potest : velocitas autem cataractse utriusque cadentis ea
erit in foramine EF, quam corpus cadendo ab altitudine tota IG
acquiret.

Cas, 2. Si foramen EF non sit in medio fundi vasis, sed
fundum alibi perforetur : aqua effluet eadem cum velocitate ac
prius, si modo eadem sit foraminis magnitudo. Nam grave ma-
jori quidem tempore descendit ad eandem profunditatem per
lineam obliquam quam per lineam perpendicularem, sed descen-
dendo eandem velocitatem acquirit in utroque casu, ut GaliUtus
demonstravit.

Cas. 3. Eadem est aquae velocitas effluentis per foramen in latere
vasis. Nam si foramen parvum sit, ut intervallum inter superficies
AB 81 KL quoad sensum evanescat, & vena aquae horizontaliter
exilientis figuram parabolicam efformet : ex latere recto hujus parabolae
coUigetur, quod velocitas aquae effluentis ea sit quam corpus ab aquae
in vase stagnantis altitudine HG vel IG cadendo acquirere potuisseL
Facto utique experimento inveni quod, si altitudo aquae stagnantis
supra foramen esset viginti digitorum & altitudo foraminis supra
planum horizonti parallelum esset quoque viginti digitorum, vena
aquae prosilientis incideret in planum illud ad distantiam digitorum 37
circiter a perpendiculo quod in planum illud a foramine demittebatur
captam. Nam sine resistentia, vena incidere debuisset in planum
illud ad distantiam digitorum 40, existente venae parabolicae latere
recto digitorum 80.

Cas. 4. Quinetiam aqua effluens, si sursum feratur, eadem egredi-
tur cum velocitate. Ascendit enim aquae exilientis vena parva motu
perpendiculari ad aquae in vase stagnantis altitudinem GH vel
GI, nisi quatenus ascensus ejus ab aeris resistentia aliquantulum
impediatur ; ac proinde ea effluit cum velocitate quam ab altitudine
illa cadendo acquirere potuisset Aquae stagnantis particula unaquae-
que undique premitur aequaliter (per prop. xix lib. 2) & pressioni
cedendo aequali impetu in omnes partes fertur, sive descendat per
foramen in fundo vasis, sive horizontaliter effluat per foramen in ejus
latere, sive egrediatur in canalem & inde ascendat per foramen
parvum in superiore canalis parte factum. Et velocitatem qua aqua
effluit eam esse, quam in hac propositione assignavimus, non solum

332

DE MOTU CORPORUM

ratione colHgitur, sed etiam per experimenta notissima jam descripta
manifestum est

Cas. 5. Eadem est aquae effluentis velocitas sive figura foraminis
sit circularis sive quadrata vel triangularis aut alia quaecunque cir-
culari aequalis. Nam velocitas. aquae effluentis non pendet a figura
foraminis sed oritur ab ejus altitudine infra planum KL,

Cas. 6. Si vsLsis ABDC pars inferior in aquam stagnantem im-
mergatur, & altitudo aquae stagnantis supra fundum vasis sit GI? :
velocitas quacum aqua quae in vase est, effluet per foramen jEjF in
aquam stagnantem, ea erit quam aqua cadendo & casu suo descri-
bendo altitudinem /jR acquirere potest Nam pondus aquae omnis
in vase quae inferior est superficie aquae stagnantis, sustinebitur in
aequilibrio per pondus aquae stagnantis, ideoque motum aquae de-
scendentis in vase minime accelerabit Patebit etiam & hic casus per
experimenta, mensurando scilicet tempora quibus aqua effluit.

Coro/. I. Hinc si aquae altitudo CA producatur ad A^, ut sit AK
ad CK in duplicata ratione areae foraminis in quavis fundi parte facti,
ad aream circuli AB : velocitas aquae effluentis aequalis erit velocitati
quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem A^Cacquirere
potest

Coro/. 2. Et vis, qua totus aquae exilientis motus generari potest,
aequalis est ponderi cylindricae columnae aquae, cujus basis est foramen
£jF, & altitudo 2 G/ vel 2 C/^. Nam aqua exiliens, quo tempore
hanc columnam aequat, pondere suo ab altitudine 6^/cadendo veloci-
tatem suam, qua exilit, acquirere potest.

Coro/. 3. Pondus aquae totius in vase ABDC est ad ponderis
partem, quae in defluxum aquae impenditur, ut summa circulorum
A B & E F did duplum circulum E F.
Sit enim / O media proportionalis inter ^
/// &/G ; & aqua per foramen EE egre-
diens, quo tempore gutta cadendo ab /
describere posset altitudinem /G^ aequalis
erit cylindro cujus basis est circulus EE
& altitudo est 2 / Gy id est, cylindro cujus
basis est circulus A B & altitudo est 2/O,
nam circulus EE est ad circulum A B in
subduplicata ratione altitudinis /// ad al-

K

Ti

UBER SRCUNDUS.

333

titudinem I G, hoc est, in simpHci ratione medije proportlonalis 10
ad altitudinem / G : 8c quo tempore giitta cadendo ab / describere
potest altitudinem I H, aqiia egrediens aequalis erit cylindro cujus
basis est circulus A B &. altitudo est 2 ///: & qno tempore gutta
cadendo ab / per // tid G describit.altitudinum differentiam //G,
aqua egrediens, id est, aqua tota in solido A B N F E /i/ aequalls erit
differentiie cylindrorum, id est, cylindro ciijus basis est AB & altitudo
1 // O. Et propterea aqua tota in vase ABDC est ad aquam
totam cadentem in solido A B NFE M ni //G ad 2 //0,id est, ut
//O +OGad 2//0,seu ///+/0 ad 2 ///. Sed pondus aqua:
totius in solido ABNFEA/ in aqus defluxum impenditur : ac
proinde pondus aquas totius in vase est ad ponderis partem qu^ in
defluxum aqua; impcnditur, ut ///+/0 ad 2///, atque ideo ut
summa circulorum E F & A B ad duplum circulum E F.

Corol. 4. Et hinc pondus aquce totiiis in vase A B D C Gst ad
ponderis partem alteram quam fundum vasis sustinet. ut summa
circulorum A B Sc E F ■a.d differentiam eorundem circulorum.

Cofol. 5. Et ponderis pars, quam fundum vasts sustinet, est ad
ponderis partem alteram, quie in defluxum aquae impenditur, ut
differentia circulorum A B Bl EF ad duplum circulum minorem E F,
sive ut area fundi ad duplum foramen.

Corol. 6. Ponderis autem pars, qua sola fundum urgetur, est ad
pondus aquas totius, quje fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus
A B z.d summam circulorum A B & E F, sive ut circulus A B z.d
excessum dupli circuli A B supra fundum. Nam ponderis pars, qua
sola fundum urgetur, est ad pondus aqu.x totius in vase. ut differentia
circulonim A B & E F ad summam eonmdem circulorum, per
cor. 4 : & pondus aqu^e totius in vase est ad pondus aquae totius
quffi fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus A B Ad differentiam
circulorum A B &. E F. Itaque ex sequo perturbate, ponderis
pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aqUEC totius, qu^
fundo perpendiculariter incumbit, ut circuhis A B ^d summam
circulorum A B Sl E F vel excessum dupli circuli A /i supra
fundum.

Coro/. 7. Si in medio foraminis E F locetur circellus /" (^ centro
G descriptus & horizonti parallelus : pondus aqu^ quam circellus
Ule sustinet, majus est pondere tertia; panis cylindri aqua; cujus basis

334

DE MOTU CORPORVM

est circeUus Ille &altitudo est G H, Sit enim AB NFE M ca.tzv^cXa.

vel columna aqua; cadentis axem habens G H nt supra, & congelari

intelligatur aqua omnis in vase, tam ii

circuitu cataractae quam supra circelluir

cujus fluiditas ad promptissimum & "^

celerrimum aqus descensum non requiri-

tur. Et slt P // Q columna aqux supra

circeHum congelata, verticem habens //

& altitudinem G/f. Et finge cataractam

hancce pondere suo toto cadere, & non

incumbere in PHQ nec eandem premere,

sed hbere & sine frlctione pra;terlabi, nisi

forte in ipso glaciei vertice quo cataracta

ipso cadendi initio inciplat esse cava.

Et quemadmodum aqua Jn cJrcuitu cataractie congelata A M£ C,

BNFD convexa est in superficie intema A M E, B N F ■vcrsa.s

cataractam cadentem, sic etiam hcec columna PHQ convexa erit

versus cataractem, & propterea major cono cujus basis est circellus ille

PQ Si. altitudo G H, id est, major tertia parte cylindri eadem base

& altitudine descripti. Sustinet autem circeilus ille pondus hujus

columna:, id est. pondus quod pondere coni seu tertite partis cylindri

iUius majus est,

Corol. 8. Pondus aqu^e quam circellus valde parvus P Q sustinet,
minor esse videtur pondere duarum tertiarum partium cylindri aqux
cujus basis est circellus iJIe & allitudo est H G. Nam stantjbus
jam positis, describi intelligatur dimidium sphaeroidls cujus basis cst
circellus ille & semiaxis sive altitudo est H G. Et hsec figura aequa-
lis erit duabus tertiis partibus cylindri ilHus & comprehcndet columnara
aquie congelats PHQ cujus pondus circellus ille sustJnet. Nam
ut motus aqu^ sit maxime directus, columnx illius superficics
externa concurret cum basi P Q '\n angulo nonnihil acuto, propterca
quod aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter accelerationeni
fit tenuior ; & cum angulus ille sit recto minor hjec colunuia
ad inferiores ejus partes jacebit intra dimidium sphaeroidis. Eadem
vero sursum acuta erit seu cuspidata, ne horizontalis motns
aquie ad verticem sphaeroidis sit infinite velocior quam ejus
motus horizontem versus. Et quo minor est circellus P Q ^

LIBER SECUNDUS, 335

acutior erit vertex columnae; & circello in infinitum diminuto,
angulus PHQ in infinitum diminuetur, and propterea columna
jacebit intra dimidium sphaeroidis. Est igitur columna illa minor
dimidio sphaeroidis, seu duabus tertiis partibus cylindri cujus basis
est circellus ille & altitudo GH. Sustinet autem circellus vim
aquae ponderi hujus columnae aequalem, cum pondus aquae ambientis
in defluxum ejus impendatur.

CoroL 9. Pondus aquae quam circellus valde parvus PQ sustinet,
aequale est ponderi cylindri aquae cujus basis est circellus ille & alti-
tudo est \G H quamproxime. Nam pondus hocce est medium
arithmeticum inter pondera coni & hemisphaeroidis praedictae. At si
circellus ille non sit valde parvus, sed augeatur donec aequet foramen
E F; hic sustinebit pondus aquae totius sibi perpendiculariter
imminentis, id est, pondus cylindri aquae cujus basis est circellus
ille & altitudo est G H.

Corol 10. Et (quantum sentio) pondus quod circellus sustinet, est
semper ad pondus cylindri aquae, cujus basis est circellus ille &
altitudo est \G H, ut E Fq ad E Fq—\PQ q, sive ut circulus E F
ad excessum circuli hujus supra semissem circelli P Q quamproxime.

L E M M A IV.

Cylindrij qui secundum longitudiftem suam uni/ormiter progreditur^
resistentia ex aucta vel diminuta ejus longitudine non mutatur ;
ideoque eadem est cum resistentia circuli ecuiem diametro descripti &
eadem velocitate secundum lineam rectam plano ipsius perpendicularem
progredientis.

Nam latera cylindri motui ejus minime opponuntur : &
cylindrus, longitudine ejus in infinitum diminuta, in circulum
vertitur.

336

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XXXVII. THEOREMA XXIX.

Cylindri, qui in fluido compresso infinito & non elastico secundum
longitudinem suam uni/ormiter progreditur, resiste^itia, quce
oritur a magnitudine sectionis tranversce, est ad vim qua totus
ejus motus, interea dum quadruplum longitudifiis suce describit,
vel tolli possit vel generari, ut densitas medii ad densitatem
cylindri quamproxime.

Nam si vas A BD C fundo suo CD su-
perficiem aquae stagnantis tangat, & aqua
ex hoc vase per canalem cylindricum
EFTS horizonti perpendicularem in
aquam stagnantem effluat, locetur autem

circellus PQ horizonti parallelus ubivis -

in medio canalis, & producatur CAad

K, ut sit A KTiA C K in duplicata ratione

quam habet excessus orificii canalis E F

supra circellum P Q zA circulum AB:

manifestum est (per cas. 5 cas. 6 & cor.

I prop. xxxvi) quod velocitas aquae,

transeuntis per spatium annulare inter circellum & latera vasis, ea erit

quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem KC vel

/ G acquirere potest.

Et (per corol. x prop. xxxvi) si vasis latitudo sit infinita, ut
lineola //^/ evanescat & altitudines I G, H G aequentur : vis aquae
defluentis in circellum erit ad pondus cylindri cujus basis est circellus
ille & altitudo est \I G, ut E Fq ad E Fq — \P Qq, quam proxime.
Nam vis aquae, uniformi motu defluentis per totum canalem, eadem
erit in circellum P Q, in quacunque canalis parte locatum.

Claudantur jam canalis orificia E F, S T, &. ascendat circellus in
fluido undique compresso & ascensu suo cogat aquam superiorem
descendere per spatium annulare inter circellum & latera canalis :
& velocitas circelli ascendentis erit ad velocitatem aquae descen-
dentis ut differentia circulorum EF & PQ ad circulum PQ, &
velocitas circelli ascendentis ad summam velocitatum, hoc est, ad

K

I

L

A

1

! ;

B

Hj

•
1

C

Q|* ,

B

£

F

P Q

1 i

»

S

.

LTBER SECUNDUS.

in

velocitatem relativam aquse descendentis qua praeterfluit circellum
ascendentem, ut differentia circulorum E F &. PQ ad circulum
E F, sive ut E Fq—P Qq ad EFq. Sit illa velocitas relativa
aequalis velocitati, qua supra ostensum est aquam transire per
idem spatium annulare dum circellus interea immotus manet, id
est, velocitati quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem
/ G acquirere potest : & vis aquae in circellum ascendentem eadem
erit ac prius (per legum corol. v) id est, resistentia circelli
ascendentis erit ad pondus cylindri aquae cujus basis est circellus
ille & altitudo est \ I G, ut E Fq ad E Fq — i P Q q quamproxime.
Velocitas autem circelli erit ad velocitatem, quam aqua cadendo
& casu suo describendo altitudinem /G acquirit, ut E Fq — P Q q
ad E Fq.

Augeatur amplitudo canalis in infinitum : & rationes illae inter
EFq—PQq & EFq, interque EFq & EFq —^PQq accedent ultimo
ad rationes aequalitatis. Et propterea velocitas circelli ea nunc erit
quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem /G acquirere
potest, resistentia vero ejus aequalis evadet ponderi cylindri cujus
basis est circellus ille & altitudo dimidium est altitudinis /G^, a
qua cylindrus cadere debet ut velocitatem circelli ascendentis acquirat;
& hac velocitate cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis
suae describet. Resistentia autem cylindri, hac velocitate secundum
longitudinem suam progredientis, eadem est cum resistentia circelli
(per lemma iv) ideoque aequalis est vi qua motus ejus, interea
dum quadruplum. longitudinis suae describit, generari potest
quamproxime.

Si longitudo cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut &
tempus, quo quadruplum longitudinis suae describit, augebitur vel
minuetur in eadem ratione ; ideoque vis illa, qua motus auctus vel
diminutus, tempore pariter aucto vel diminuto, generari vel tolli
possit, non mutabitur; ac proinde etiamnum aequalis est resistentiae
cylindri, nam & haec quoque immutata manet per lemma iv.

. Si densitas cylindri augeatur vel minuatur : motus ejus ut & vis
qua motus eodem tempore generari vel tolli potest, in eadem ratione
augebitur vel minuetur. Resistentia itaque cylindri cujuscunque
erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum quadruplum

338

DE MOTU CORPORUM

longitudinis suae describit, vel generari possit vel tolli, ut densitas
medii ad densitatem cylindri quamproxime. Q, E, D.

Fluidum autem comprimi debet ut sit continuum; continuum
vero esse debet & non elasticum ut pressio omnis, quae ab ejus com-
pressione oritur, propagetur in instanti, & in omnes moti corporis
partes aequaliter agendo resistentiam non mutet. Pressio utique, quae
a motu corporis oritur, impenditur in motum partium fluidi generandum
& resistentiam creat. Pressio autem quae oritur a compressione
fluidi, utcunque fortis sit, si propagetur in instanti, nullum generat .
motum in partibus fluidi continui, nuUam omnino inducit motus
mutationem; ideoque resistentiam nec auget nec minuit Certe
actio fluidi, quae ab ejus compressione oritur, fortior esse non
potest in partes posticas corporis moti quam in ejus partes anticas,
ideoque resistentiam in hac propositione descriptam minuere non
potest : & fortior non erit in partes anticas quam in posticas, si
modo propagatio ejus infinite velocior sit quam motus corporis
pressi. Infinite autem velocior erit & propagabitur in instanti, si
modo fluidum sit continuum & non elasticum.

CoroL I. Cylindrorum, qui secundum longitudines suas in mediis
continuis infinitis uniformiter progrediuntur, resistentiae sunt in ratione
quae componitur ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione
diametrorum & ratione densitatis mediorum.

CoroL 2. Si amplitudo canalis non
augeatur in infinitum, sed cylindrus in
medio quiescente incluso secundum
longitudinem suam progrediatur,& interea
axis ejus cum axe canalis coincidat :

resistentia ejus erit ad vim qua totus ejus £

motus, quo tempore quadruplum longitu-
dinis suae describit, vel generari possit vel
tolli, in ratione quae componitur ex ratione
EFq ad EFq^\PQq semel, & ratione
EFq ad EFq—PQq bis, & ratione den-
sitatis medii ad densitatem cylindri.

CoroL 3. lisdem positis, & quod longitudo L sit ad quadruplum
longitudinis cylindri in ratione quae componitur ex ratione E F q —

K

I

1

[i

A

1

B

Hi

r

■
•

L
1

i

1>

£

P Q

1 1

F

S

r

LIBER SECUNDUS,

339

\PQq ad E Fq semel, & ratione E Fq^P Qq ad EFq bis :
resistentia cylindri erit ad vim qua totus ejus motus, interea dum
longitudinem L describit, vel toUi possit vel generari, ut densitas
medii ad densitatem cylindri.

Scliolium.

In hac propositione resistentiam investigavimus quae oritur a sola
magnitudine transversae sectionis cylindri, neglecta resistentiae parte
qu3e ab obliquitate motuum oriri possit Nam quemadmodum in
casu primo propositionis xxxvi obliquitas motuum, quibus partes
aquae in vase undique convergebant in foramen E F^ impedivit
effluxum aquae illius per foramen : sic in hac propositione, obliquitas
motuum, quibus partes aquae ab anteriore cylindri termino pressae,
cedunt pressioni & undique divergunt, retardat eorum transitum
per loca in circuitu termini illius antecedentis versus posteriores
partcs cylindri, efficitque ut fluidum ad majorem distantiam com-
moveatur & resistentiam auget, idque in ea fere ratione qua effluxum
aquae e vase diminuit, id est, in ratione duplicata 25 ad 21
circiter. Et quemadmodum, in propositionis illius casu primo,
effecimus ut partes aquae perpendiculariter & maxima copia transirent
per foramen E F, ponendo quod aqua omnis in vase quae in circuitu
cataractae congelata fuerat, & cujus motus obliquus erat & inutilis,
maneret sine motu : sic in hac propositione, ut obliquitas motuum
tollatur, & partes aquae motu maxime directo & brevissimo cedentes
facillimum praebeant transitum cylindro, & sola maneat resistentia,
quae oritur a magnitudine sectionis transversae, quaeque diminui non
potest nisi diminuendo diametrum cylindri, concipiendum est quod
partes fluidi, quarum motus sunt obliqui & inutiles & resistentiam
creant, quiescant inter se ad utrumque cylindri terminum, & cohaereant

& cylindro jungantur. SitABCjD ^^

rectangulum, & sint A E & BE

arcus duo parabolici axe A B '

descripti, latere autem recto quod e*

E

sit ad spatium H G, describendum ^ ^

a cylindro cadente dum velocitatem suam acquirit, ut H G 2A lA B.

Sint etiam CF & DF arcus alii duo parabolici, axe CD & latere

340

DE MOTU CORPORUM

*E

D B

recto quod sit prioris lateris recti quadruplum descripti ; & con-
volutione figurae circum axem E F generetur solidum cujus media
pars A B D C six, cylindrus de quo agimus, & partes extremae A B E
& C D E contineaint partes fluidi inter se quiescentes & in corpora
duo rigida concretas, quae cylindro utrinque tanquam caput & cauda

adhaerean t. E t solidi EA CFDBy ^ ^ ^

secundum longitudinem axis sui

FE in partes versus E progred-

ientis, resistentia ea erit quamprox- #* —

ime quam in hac propositione
descripsimus, id est, quae rationem illam habet ad vim qua totus
cylindri motus, interea dum longitudo i^A C motu illo uniformiter
continuato describatur, vel toUi possit vel generari, quam densitas
fluidi habet ad densitatem cylindri quamproxime. Et hac vi
resistentia minor esse non potest quam in ratione 2 ad 3, per corol. 7
prop. xxxvi.

L E M M A V.

*SV cylindruSy spkcera & spfuerois^ quorum latitudines sunt asqualeSy
in medio canalis cylindrici ita locentur successive ut eorum axes cum
axe canalis coincidant : hcec corpora fluxum aquce per canalem
c^qtialiter impedient.

Nam spatia inter canalem & cylindrum, sphaeram & sphaeroidem
per quae aqua transit, sunt aequalia : & aqua per aequalia spatia
aequaliter transit.

Haec ita se habent ex hypothesi, quod aqua omnis supra
cylindrum sphaeram vel sphaeroidem congelatur, cujus fluiditas ad
celerrimum aquae transitum non requiritur, ut in corol. 7 prop.
xxxvi explicui.

UBER SECUNDUS.

L E M M A VI.

lisdem positis. eorpora pradicta eequaliter urgeniur ah aqiia per
catia lem fluente.

Patet per lemma v & motus legem tertiam. Aqua utique &
corpora se mutuo tequaliter agunt.

L E M M A VII.

Si aqtia quiescat in canali, & ksc corpora in partes contrarias (eqnali
velociiale per canalem feranttir : a^quates erunt eorum resislenlice
inter se.

Constat ex lemmate superiore, nam motus relativi iidem inter se
manent.

Scholiu7tt.

Eadem est ratio corporum omnium convexorum & rotundorum,
quorum axes cum axe canalis coincldunt. Diflerentia aliqua ex majore
vel minore frictione oriri potest ; sed in his lemmatis corpora esse
politissima supponimus, S: medii tenacitatem & frictionem esse
nullam, & quod partes fluidi, quie motibus suis obliquis & superfluis
fluxum aqux per canalem perturbare, impedire & retardare possunt,
quiescant inter se tanquam gelu constrict^e, & corporibus ad ipsorum
partes anticas & posticas adharreant, perinde ut in scholio propositio-
nis prascedentis exposui. Agitur enim in sequentlbus de resistentia
omnium minima quam corpora rotunda, datis maximis sectionibus
transversis descripta, habere possunt.

Corpora fluidis innatantia, ubi moventur in directum, efiiciunt
ut fluidum ad partem anticam ascendat, ad posticam subsidat, prae-
sertim si figura sint obtusa ; & inde resistentiam paulo majorem
sentiunt quam si capite & cauda sint acutis, Et corpora in fluidis
elasticis mota, si ante & post obtusa sint, fluidum paulo magis
condensant ad anticam partem & paulo magis relaxant ad posticam ;
& inde resistentiam paulo majorem sentiunt quam si capite & cauda
sint acutis. Sed nos in his lemmatis & propositionibus non agimus

342

DE MOTU CORPOR UM

de fluidis elasticis, sed de non elasticis ; non de insidentibus
fluido, sed de alte immersis. Et ubi resistentia corporum in fluidis
non elasticis innotescit, augenda erit haec resistentia aliquantulum
tam in fluidis elasticis, qualis est aer, quam in superficiebus fluidorum
stagnantium, qualia sunt maria & paludes.

PROPOSITIO XXXVIII. THEOREMA XXX.

Globi, in fluido compresso infinito & non elastico unifonniter
progredientis^ resistentia est ad vim qua totus ejus motus^ quo tempore
octo tertias partes diametri sucb describit, vel tolli possit vel generari^
ut densitas fluidi ad densitatem globi quamproxime,

Nam globus est ad cylindrum circumscriptum ut duo ad tria ;
& propterea vis illa, quae toUere possit motum omnem cylindri interea
dum cylindrus describat longitudinem quatuor diametrorum, globi
motum omnem toUet interea dum globus describat duas tertias
partes hujus longitudinis, id est, octo tertias partes diametri propriae.
Resistentia autem cylindri est ad hanc vim quamproxime ut
densitas fluidi ad densitatem cylindri vel globi per prop. xxxvii &
resistentia globi aequalis est resistentiae cylindri per lem. v, vi, vii.
Q.E.D.

CoroL I. Globorum, in mediis compressis infinitis, resistentiae
sunt in ratione quae componitur ex duplicata ratione velocitatis &
duplicata ratione diametri & ratione densitatis mediorum.

CoroL 2. Velocitas maxima quacum globus, vi ponderis sui
comparativi, in fluido resistente potest descendere, ea est quam
acquirere potest globus idem, eodem pondere, sine resistentia cadendo
& casu suo describendo spatium quod sit ad quatuor tertias partes
diametri suae ut densitas globi ad densitatem fluidi. Nam globus
tempore casus sui, cum velocitate cadendo acquisita, describet spatium
quod erit ad octo tertias diametri suae, ut densitas globi ad
densitatem fluidi : & vis ponderis motum hunc generans erit ad
vim quae motum eundem generare possit, quo tempore globus
octo tertias diametri suae eadem velocitate describit, ut densitas

LIBER SECUNDUS.

343

fluidi ad densitatem globi ; ideoque per hanc propositionem, vis
ponderis aequalis erit vi resistentiae, & propterea globum accelerare
non potest.

Corol. 3. Data & densitate globi & velocitate ejus sub initio
motus, ut & densitate fluidi compressi quiescentis in qua globus
movetur ; datur ad omne tempus & velocitas globi & ejus resistentia
& spatium ab eo descriptum, per corol. 7 prop. xxxv.

CoroL 4. Globus in fluido compresso quiescente ejusdem secum
densitatis movendo dimidiam motus sui partem prius amittet quam
longitudinem duarum ipsius diametrorum descripserit, per idem
corol. 7.

PROPOSITIO XXXIX. THEOREMA XXXI.

Globiy per fluidunt in canali cylindrico clausum & compressum
uniformiter progredientis, resistentia est ad vim, qua totus ejus
motus^ interea dum octo tertias partes diametri suce describit^
vel ge7ierari possit vel tolliy in ratione guce componitur ex
ratione orificii. canalis ad excessum hujus orificii supra
dimidium circuli maximi globiy & ratione duplicata orificii
canalis ad excessum hujus orificii supra circulum maximum
globiy & ratione densitatis fluidi ad densitatem globi guam-
proxime.

Patet per corol. 2 prop. xxxvii : procedit vero demonstratio
quemadmodum in propositione prsecedente.

Scholium.

In propositionibus duabus novissimis (perinde ut in lem. v)
suppono quod aqua omnis congelatur quae globum praecedit, & cujus
fluiditas auget resistentiam globi. Si aqua illa omnis liquescat,
augebitur resistentia aliquantulum. Sed augmentum illud in his
propositionibus parvum erit & negligi potest, propterea quod convexa
superficies globi totum fere ofiicium glaciei faciat.

344 D^ MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XL. PROBLEMA IX.

Globi, in medio fiiiidisstmo compresso progredientis, invetiire resistentiam
per pJianonmia.

Sit A pondus globi in vacuo, B pondus ejus in medio resistente,
D diameter globi, F spatium quod sit ad j D ut densitas globi ad
densitatem medii, id est, ut A ad A — B, G tempus quo globus pondere
B sine resistentia cadendo describit spatium F, & H velocitas quam
giobus hocce casu suo acquirit. Et*erit H velocitas maxima quacum
globus, pondere suo B, in medio resistente potest descendere,
per corol. 2 prop. xxxviii : & resistentia, quam globus ea cum
velocitate descendens patitur, asqualis erit ejus ponderi B : resistentia
vero, quam patitur in alia quacunque velocitate, erit ad pondus B in
duplicata ratione velocitatis hujus ad velocitatem illam maximam H,
per corol. i prop. xxxviii.

HiEC est resistentia qus oritur ab inertia materiffi fluidi. Ea vero
quae oritur ab elasticitate, tenacitate, & frictione partium ejus, sic
investigabitur.

Demittatur globus ut pondere suo B in fluido descendat ; & sit

P tempus cadendi, idque in minutis secundis si tempus G in minutis

secundis habeatur. Inveniatur numerus absolutus N qui con-

2 P
gruit logarithmo 0,4342944819 -p-, sitque L logarithmus numeri

N + i N— I

— j^ — : & velocitas cadendo acquisita erit ^;." - H, altitudo autem

2PF
descripta erit-p 1,3862943611 ^4-4,605170186^^. Si fluidum

satis profundum sit, negligi potest terminus 4,605 1 70 1 86 L F ;

2PF
& erit -t; 1,386294361 1 F altitudo descripta quamproxime. Pa-

tent h^c per libri secundi propositionem nonam & ejus corollaria.
ex hypothesi quod globus nullam aliam patiatur rcsistentiam nisi qua;
oritur ab inertia materia:. Si vero aliam insuper resistentiam patiatur.
descensus erit tardior, & ex retardatione inngtescet quantitas hujus
resistentia:.

LIBER SECUNDUS.

345

Ut corporis in fluido cadentis velocitas & descensus facilius
innotescant, composui tabulam sequentem, cujus columna prima
denotat tempora descensus, secunda exhibet velocitates cadendo
acquisitas existente velocitate maxima loooooooo, tertia exhibet
spatia temporibus illis cadendo descripta, existente 2 F spatio quod
corpus tempore G cum velocitate maxima describit, & quarta exhibet
spatia iisdem temporibus cum velocitate maxima. descripta. Numeri

2 P

in quarta columna sunt -77- , & subducendo numerum 1,3862944—

4,605 1 702 L, inveniuntur numeri in tertia columna, & multiplicandi
sunt hi numeri per spatium F ut habeantur spatia cadendo descripta.
Quinta his insuper adjecta est columna, quae continet spatia
descripta iisdem temporibus a corpore, vi ponderis sui comparativi B,
in vacuo cadente.

Tempora

Velocitates cadcntis

Spatia cadendo descripta

Spatia motu

Spatia cadendo

injluido.

in fluido.

maximo descripta.

descripta in vacuo.

0,001 G

99999fJ

0,000001 F

0,002 F

0,000001 F

0,01 G

999967

0,0001 F

0,02 F

0,0001 F

0,1 G

9966799

0,0099834 F

0,2 F

0,01 F

0,2 G

19737532

0,0397361 F

0,4 F

0,04 F

0,3 G

29131261

0,0886815 F

0,6 F

0,09 F

0,4 G

37994896

0,1559070 F

0,8 F

0,16 F

0,5 G

46211716

0,2402290 F

• 1,0 F

0,25 F

0,6 G

53704957

0,3402706 F

1,2 F

0,36 F

0,7 G

60436778

0,4545405 F

1,4 F

0,49 F

0,8 G

66403677

0,5815071 F

1,6 F

0,64 F

0,9 G

71629787

0,7196609 F

1,8 F

0,81 F

I G

76159416

0,8675617 F

2 F

I F

2 G

96402758

2,6500055 F

4 F

4 F

3 G

99505475

4,6186570 F

6 F

9 F

4G

99932930

6,6143765 F

8 F

16 F

5 G

99990920

8,6137964 F

10 F

25 F

6 G

99998771

10,6137179 F

12 F

36 F

7 G

99999834

12,6137073 F

14 F

49 F

8 G

99999980

14,6137059 F

16 F

64 F

9 G

99999997

16,6137057 F

18 F

81 F

10 G

99999999I

18,6137056 F

20 F

100 F

Scholium.

Ut resistentias fluidorum investigarem per experimenta, paravi

346

DE MOTU CORPORUM

vas ligneum quadratum, longitudine & latitudine interna digitorum
novem pedis Londinensis, profunditate pedum novem cum semisse,
idemque implevi aqua pluviali ; & globis ex cera & plumbo
incluso formatis, notavi tempora descensus globorum, existente
descensus altitudine 112 digitorum pedis. Pes solidus cubicus
Londinensis continet 76 libras Romanas aquae pluvialis, & pedis
hujus digitus solidus continet || uncias librae hujus seu grana 253^ ;
& globus aqueus diametro digiti unius descriptus continet grana
132,645 in medio aeris, vel grana 132,8 in vacuo ; & globus quilibet
alius est ut excessus ponderis ejus in vacuo supra pondus ejus in
aqua.

Exper, I. Globus, cujus pondus erat 156]^ granorum in aere &
77 granorum in aqua, altitudinem totam digitorum 1 1 2 tempore
minutorum quatuor secundorum descripsit. Et experimento repe-
tito, globus iterum cecidit eodem tempore minutorum quatuor
secundorum.

Pondus globi in vacuo est 156^ gran. & excessus hujus ponderis
supra pondus globi in aqua est 79 J| gran. Unde prodit globi
diameter 0,84224 partium digiti. Est autem ut excessus ille ad
pondus globi in vacuo, ita densitas aquae ad densitatem globi, &
ita partes octo tertise diametri globi (vi^. 2,24597 dig.) ad spatium
2 F, quod proinde erit 4,4256 dig. Globus tempore minuti unius
secundi, toto suo pondere granorum 156^!, cadendo in vacuo describet
digitos 193^; & pondere granorum 77, eodem tempore, sine
resistentia cadendo in aqua describit digitos 95,219; & tempore
G, quod sit ad minutum unum secundum in subduplicata ratione
spatii F seu 2,2128 dig, ad 95,219 dig. describet 2,2128 dig. &
velocitatem maximam H acquiret quacum potest in aqua descendere.
Est igitur tempus G o'', 15 244. Et hoc tempore G, cum
velocitate illa maxima H, globus describet spatium 2 F digitorum
4,4256; ideoque tempore minutorum quatuor secundorum describet
spatium digitorum 116,1245. Subducatur spatium 1,3862944 F
seu i,o6y6 dig. & manebit spatium 113,0569 digitorum quod globus
cadendo in arqua, in vase amplissimo, tempore minutorum qua-
tuor secundorum describet. Hoc spatium, ob angustiam vasis
lignei praedicti, minui debet in ratione quae componitur ex

LIBER SECUNDUS.

347

subduplicata ratione orificii vasis ad excessum orificii hujus supra
semicirculum maximum globi & ex simplici ratione orificii ejusdem
ad excessum ejus supra circulum maximum globi, id est, in ratione
I ad 0,9914. Quo facto, habebitur spatium 112,08 digitorum, quod
globus cadendo in aqua in hoc vase ligneo tempore minutorum
quatuor secundorum per theoriam describere debuit quamproxime.
Descripsit vero digitos 1 1 2 per experimentum.

Exper. 2. Tres globi aequales, quorum pondera seorsim erant
76 j granorum in aere & 5^-^ granorum in aqua, successive demitte-
bantur; unusquisque cecidit in aqua tempore minutorum secun-
dorum quindecim, casu suo describens altitudinem digitorum 112.

Computum ineundo prodeunt pondus globi in vacuo 76^^ gran.
excessus hujus ponderis supra pondus in aqua 71-JI gran. diameter
globi 0,81296 dig. octo tertiae partes hujus diametri 2,16789 dig.
spatium 2 F 2,3217 dig. spatium quod globus pondere ^^^ gran.
tempore i'' sine resistentia cadendo describat 12,808 dig. & tempus
G o'',30i056. Globus igitur, velocitate maxima quacum potest
in aqua vi ponderis 5^\g^an. descendere, tempore 0^^301056 describet
spatium 2,3217 dig. & tempore 15'' spatium 115,678 dig. Subducatur
spatium 1,3862944 F seu 1,609 ^^^- & manebit spatium 114,069 dig.
quod proinde globus eodem tempore in vase latissimo cadendo
describere debet. Propter angustiam vasis nostri detrahi debet
spatium 0,895 dig. circiter. Et sic manebit spatium 113,174 dig.
quod globus cadendo in hoc vase, tempore 1 5'' describere debuit per
tlieoriam quamproxime. Descripsit vero digitos 112 per experi-
mentum. Differentia est insensibilis.

Exper. 3. Globi tres aequales, quorum pondera seorsim erant
121 gran. in aere & i gran. in aqua, successive demittebantur ; &
cadebant in aqua temporibus 46'^ 47'', & 50'^ describentes
altitudinem digitorum 112.

Per theoriam hi globi cadere debuerunt tempore 40'^ circiter.
Quod tardius cecidenmt, utrum minori proportioni resistentiae,
quae a vi inertiae in tardis motibus oritur, ad resistentiam quae oritur
ab aliis causis tribuendum sit; an potius bulluh*s nonnullis globo
adhaerentibus, vel rarefactioni cerae ad calorem vel tempestatis vel
manus globum demittentis, vel etiam erroribus insensibilibus in

348 DE MOTU CORPORUM

ponderandis globis in aqua, incertum esse puto. Ideoque pondus
globi in aqua debet esse plurium granorum, ut experimentum certum
& fide dignum reddatur.

Exper. 4. Experimenta hactenus descripta coepi, ut investigarem
resistentias fluidorum, antequam theoria in propositionibus proxime
praecedentibus exposita mihi innotesceret. Postea, ut theoriam
inventam examinarem, paravi vas ligneum latitudine interna digitorum
81, profunditate pedum quindecim cum triente. Deinde ex cera
& plumbo incluso globos quatuor formavi, singulos pondere 1 39»
granorum in aere & *]\ granorum in aqua. Et hos demisi ut
tempora cadendi in aqua per pendulum, ad semi-minuta secunda
oscillans, mensurarem. Globi, ubi ponderabantur & postea cadebant,
frigidi erant & aliquamdiu frigidi manserant; quia calor ceram
rarefacit, & per rarefactionem diminuit pondus globi in aqua, &
cera rarefacta non statim ad densitatem pristinam per frigus
reducitur. Antequam caderent, immergebantur penitus in aquam ;
ne pondere partis alicujus ex aqua extantis descensus eorum sub
initio acceleraretur. Et ubi penitus immersi quiescebant, demitte-
bantur quam cautissime, ne impulsum aliquem a manu demittente
acciperent. Ceciderunt autem successive temporibus oscillationum
471» 48^, 50 & 51, describentes altitudinem pedum quindecim &
digitorum duorum. Sed tempestas jam paulo frigidior erat quam
cum globi ponderabantur, ideoque iteravi experimentum alio die,
& globi ceciderunt temporibus oscillationum 49, 491, 50 & 53, ac
tertio temporibus oscillationum 491, 50, 51 & 53. Et experimento
saepius capto, globi ceciderunt maxima ex parte temporibus
oscillationum 491 & 50. Ubi tardius cecidere, suspicor eosdem
retardatos fuisse impingendo in latera vasis.

Jam computum per theoriam ineundo, prodeunt pondus globi
in vacuo 1392 granorum. Excessus hujus ponderis supra pondus
globi in aqua 132J1. gran. Diameter globi 0,99868 dig, Octo
tertiae partes diametri 2,66315 dig. Spatium 2 F 2,8066 dig,
Spatium quod globus pondere 7^ granorum, tempore minuti unius
secundi, sine resistentia cadendo describit 9,88164 dig, Et tempus
G 0^^376843. Globus igitur, velocitate maxima, quacum potest in
aqua vi ponderis 7^ granorum descendere, tempore 0^^,376843 de-

LIBER SECUNDUS, 34^

scribit spatium 2,8066 digitorum, & tempore i" spatium 7,44766
digitorum, & tempore 25" seu oscillationum 50 spatium 186,1915 dig.
Subducatur spatium 1,386294 F, seu 1,9454 dig. & manebit spatium
184,2461 dig. quod globus eodem tempore in vase latissimo
describet. Ob angustiam vasis nostri, minuatur hoc spatium in
ratione quae componitur ex subduplicata ratione orificii vasis ad
excessum hujus orificii supra semicirculum maximum globi, &
simplici ratione ejusdem orificii ad excessum ejus supra circulum
maximum globi ; & habebitur spatium 181,86 digitorum, quod globus
in hoc vase tempore oscillationum 50 describ^re debuit per theoriam
quamproxime. Descripsit vero spatium 182 digitorum tempore
oscillationum 49I vel 50 per experimentum.

Exper. 5. Globi quatuor pondere \^\% gran. in aere & 2\\ gran.
in aqua saepe demissi cadebant tempore oscillationum 28^, 29, 29J
& 30, & nonnunquam 31, 32 & 33, describentes altitudinem pedum
quindecim & digitorum duorum.

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 29 quam-
proxime.

Exper. 6. Globi quinque pondere 2\2% gran. in aere & 79^ in
aqua saepe demissi cadebant tempore oscillationum 15, 15^, 16, 17
& 18, describentes altitudinem pedum quindecim & digitorum
duorum.

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 15 quam-
proxime.

Exper. 7. Globi quatuor pondere 2931^^7«. in aere & 35igran.
in aqua saepe demissi cadebant tempore oscillationum 29^, 30,
3^h 3^» 32 & 33. describentes altitudinem pedum quindecim & digiti
unius cum semisse.

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 28 quam-
proxime.

Causam investigando cur globorum, ejusdem ponderis & magni-
tudinis, aliqui citius alii tardius caderent, in hanc incidi ; quod globi,
ubi primum demittebantur & cadere incipiebant, oscillarent circum
centra, latere illo quod forte gravius esset primum descendente,
& motum oscillatorium generante. Nam per oscillationes suas
globus majorem motum communicat aquae, quam si sine oscil-
lationibus descenderet ; & communicando amittit partem motus

350 DE MOTU CORPORUM

proprii quo descendere deberet : & pro majore vel minore oscil-
latione, magis vel minus retardatur. Quinetiam globus recedit
semper a latere suo quod per oscillationem descendit, & recedendo
appropinquat lateribus vasis & in latera nonnunquam impingi-
tur. Et hsec oscillatio in globis gravioribus fortior est, & in
majoribus aquam magis agitat Quapropter, ut oscillatio globorum
minor redderetur, globos novos ex cera & plumbo construxi,
infigendo plumbum in latus aliquod globi prope superficiem ejus ;
& globum ita demisi, ut latus gravius, quoad fieri potuit, esset
infimum ab initio desfensus. Sic oscillationes factae sunt multo
minores quam prius, & globi temporibus minus inaequalibus ceciderunt,
ut in experimentis sequentibus.

Exper. 8. Globi quatuor, pondere granorum 1 39 in aere & 6| in
aqua, ssepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum non plu-
rium quam 52, non pauciorum quam 50, & maxima ex parte tem-
pore oscillationum 51 circiter, describentes altitudinem digitorum
182.

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 52 circi-
ter.

Exper. 9. Globi quatuor, pondere granorum 273]^ in aere &
140I in aqua, saepius demissi, ceciderunt temporibus oscillationum
non pauciorum quam 12, non plurium quam 13, describentes
altitudinem digitorum 182.

Per theoriam vero hi globi cadere debuerunt tempore oscillationum
1 1^ quamproxime.

Exper. 10. Globi quatuor, pondere granorum 384 in aere &
ii9^in aqua, ssepe demissi, cadebant temporibus oscillationum i7f,
18, i8| & 19, describentes altitudinem digitorum 181^. Et ubi
ceciderunt tempore oscillationum 19, nonnunquam audivi impulsum
eorum in latera vasis antequam ad fundum pervenerunt.

Per theoriam vero cadere debuerunt tempore oscillationum 1 5 «
quamproxime.

Exper, II. Globi tres aequales, pondere granorum 48 in aere &
31» in aqua, saepe demissi, ceciderunt temporibus oscillationum 43 j,
44, 441, 45 & 46, & maxima ex parte 44 & 45, describentes altitu-
dinem digitorum 182^ quamproxime.

LIBER SECUNDUS. 351

Per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 46I cir-
citcr.

Exper. 12. Globi tres aequales, pondere granorum 141 in aere &
41 in aqua, aliquoties demissi, ceciderunt temporibus oscillationum
61, 62, 63, 64, & 65, describentes altitudinem digitonim 182.

Et per theoriam cadere debuerunt tempore oscillationum 64^
quamproxime,

Per haec experimenta manifestum est quod, ubi globi tarde
ceciderunt, ut in experimentis secundis, quartis, quintis, octavis,
undecimis ac duodecimis, tempora cadendi recte exhibentur per
theoriam : at ubi globi velocius ceciderunt, ut in experimentis sextis,
nonis ac decimis, resistentia paulo major extitit quam in duplicata
ratione velocitatis. Nam globi inter cadendum oscillant aliquantulum;
& haec oscillatio in globis levioribus & tardius cadentibus, ob
motus languorem cito cessat; in gravioribus autem & majoribus,
ob motus fortitudinem diutius durat, & non nisi post plures
oscillationes ab aqua ambienti cohiberi potest Quinetiam globi, quo
velociores sunt, eo minus premuntur a fluido ad posticas suas partes ;
& si velocitas perpetuo augeatur, spatium vacuum tandem a
tergo relinquent, nisi compressio fluidi simul augeatur. Debet autem
compressio fluidi (per prop. xxxii & xxxiii) augeri in duplicata
ratione velocitatis, ut resistentia sit in eadem duplicata ratione.
Quoniam hoc non fit, globi velociores paulo minus premuntur a tergo,
& defectu pressionis hujus, resistentia eorum fit paulo major quam in
duplicata ratione velocitatis.

Congruit igitur theoria cum phaenomenis corporum cadentium
in aqua, reliquum* est ut examinemus phaenomena cadentium in
aere.

Exper. 13. A culmine ecclesiae Sancti Pauli, in urbe Londini,
mense Junio 17 10, globi duo vitrei simul demittebantur, unus ar^enti
vivi plenus, alter aeris ; & cadendo describebant altitudinem pedum
Lmdinensitim 220. Tabula lignea ad unum ejus terminum polis
ferreis suspendebatur, ad alterum pessulo ligneo incumbebat; &
globi duo huic tabulae impositi simul demittebantur, subtrahendo
pessulum ope fili ferrei ad terram usque demissi ut tabula polis ferreis
solummodo innixa super iisdem devolveretur, & eodem temporis
momento pendulum ad minuta secunda oscillans, per filum

352

DE MOTU CORPORUM

illud ferreum tractum demitteretur & oscillare inciperet. Diametri &
pondera globorum ac tempora cadendi exhibentur in tabula sequente.

GLOBORUM MERCURIO PLENORUM.

GLOBORUM AERE PLENORUM.

Pondfra.

Diametri.

Tempora
cadendi.

Pondera.

Diametri.

Tempora
cadendi.

908 gran.

983
866

747
808

784

0,8 digit.

0,8

0,8

0,75
0,75
0,75

4'

4

4

4+

4

4+

510 gran.
642

599
515

483

641

1
1

5,1 digit.

5.2

5.1
5.0
5.0

5>2

•

8
8

U.
8

Caeterum jtempora observata corrigi debent. Nam globi mercu-
riales (per theoriam Galilcei) minutis quatuor secundis describent
pedes Londinenses 257, & pedes 220 minutis tantum 3" 42'''. Tabula
lignea utique, detracto pessulo, tardius devolvebatur quam par
erat, & tarda sua devolutione impediebat descensum globorum sub
initio. Nam globi incumbebant tabulae prope medium ejus, &
paulo quidem propiores erant axi ejus quam pessulo. Et hinc tem-
pora cadendi prorogata fuerunt minutis tertiis octodecim circiter,
& jam corrigi debent detrahendo illa minuta, praesertim in globis
majoribus qui tabulae devolventi paulo diutius incumbebant propter
magnitudinem diametrorum. Quo facto tempora, quibus globi sex
majores cecidere, evadent 8" 12''', 7'' 42''', f' 42''', Y' 57'^
8'' 1 2''\ & f 42'''.

Globorum igitur aere plenonim quintus, diametro digitorum
quinque pondere granorum 483 constructus, cecidit tempore %"
\2"\ describendo altitudinem pedum 220. Pondus aquae huic
globo aequalis est 16600 granorum; & pondus aeris eidem aequalis
est ^l^® grafu seu 19^^ gran. ideoque pondus globi in vacuo est
502^ gra7i, & hoc pondus est ad pondus aeris globo aequaHs, ut
502 w ad 19A, & ita sunt 2 F ad octo tertias partes diametri globi,
id est, ad 137 digitos. Unde 2 F prodeunt 2Z ped, 11 dig, Globus
cadendo in vacuo, toto suo pondere 502fV granorum, tempore minuti
unius secundi describit digitos 193J ut supra, & pondere 483
gran. describit digitos 185,905, & eodem pondere 483 gran. etiam

LIBER SECUNDUS.

353

• ////

in vacuo describit spatium F seu 14 ped. 5J dig. tempore 57''' 58'
& velocitatem maximam acquirit quacum possit in aere descendere.
Hac velocitate globus, tempore 8'' 12''', describet spatium pedum
245 & digitorum 5^. Aufer 1,3863 F seu 20 ped. o\ dig. &
manebunt 225 ped. 5 di^. Hoc spatium igitur globus, tempore 8'^
12''^ cadendo describere debuit per theoriam. Descripsit vero
spatium 220 pedum per experimentum. Differentia insensibilis est.
Similibus computis ad reliquos etiam globos aere plenos applicatis,
confeci tabulam sequentem.

Ghborttm
pondera.

Diametri.

5.2
5.1

5
5

5.2

Tempora cadendi :
ah altitndine i
/editm 220

Spatia describenda
per theoriam.

Excesstds,

Siogran.
642

599

515

483
641

8^ 1 2"'
7 42
7 42

7 57

8 12

7 42

226 ped. II di^i^.
230 9
237 10

224 5

225 5
230 7

6 pcd. II dig.
10 9

7 10

4 5

5 5
10 7

Exper. 14. Anno 1719. mense Julio D. Desaguliers hujusmodi
experimenta iterum cepit, formando vesicas porcorum in orbem
sphsericum ope sphaerae ligneae concavae ambientis, quam madefactae
implere cogebantur inflando aerem ; & hasce arefactas & exemptas
demittendo ab altiore loco in templi ejusdem turri rotunda fornicata,
nempe ab altitudine pedum 272; & eodem temporis momento
demittendo etiam globum plumbeum cujus pondus erat duarum
librarum Romanarum circiter. Et interea aliqui stantes in suprema
parte templi, ubi globi demittebantur, notabant tempora tota cadendi,
& alii stantes in terra notabant differentiam temporum inter casum
globi plumbei & casum vesicae. Tempora autem mensurabantur
pendulis ad dimidia minuta secunda oscillantibus. Et eorum qui
in terra stabant unus habebat horologium cum elatere ad singula
minuta secunda quater vibrante; alius habebat machinam aliam
affabre constructam cum pendulo etiam ad singula minuta secunda
quater vibrante. Et similem machinam habebat unus eorum qui
stabant in summitate templi. Et haec instrumenta ita formabantur.

z

354

DE MOTU COKPORUM

ut motus eorum pro lubitu vel inclperent vel sisterentur. Globtis
autem plumbeus cadebat tempore minutorum secundorum quatuor
cum quadrante circiter. Et addendo hoc tempus ad praedictam
temporis differentiam. colligebatur tempus totum quo vesica cecidit.
Tempora, quibus vesicre quinque post casum globi plumbei prima
vice ceciderunt, erant \\\", I3»", 14"', 17?", & idV, & secunda
vice I4y", 14!" 14", 19", & i6j". Addantur 4}", tempus utique
quo globus plumbeus cecidir, & tempora tota, quibus vesicje
quinque ceciderunt. erant prima vice ig", 17", iSs", 22", & 215";
& secunda vice, iSJ", 18I", 181", 231", & 21". Tempora autem
In summitate templi notata erant prima vice 19^", lyi", 18J".
22ff", & 21S"; & secunda vice 19", i8g", i8h". 24", & 2ii". C^-
terum vesic^e non semper recta cadebant, sed nonnunquam volitabant,
& hinc inde oscillabantur inter cadendum. Et his motibus tempora
cadendi prorogata sunt & aucta nonnunquam dimidio minuti
unius secundi, nonnunquam minuto secundo toto. Cadebant
autem rectius vesica secimda & quarta prima vice ; & prima ac
tertia secunda vice. Vesica quinta rugosa erat & per nigas suas
nonnihil retardabatur. Diametros vesicarum deducebam ex earum
circumferentiis filo tenuissimo bis circundato mensuratis. Et theoriam
contuli cum experimentis in tabula sequcnte, assumendo densilatem
a^ris esse ad densitatcm aqua; pluvialis ut 1 ad 860, & computando
spatia quse globi per theoriam describere debuerunt cadendo.

'/^'•jX".

Diamtlri.

Tfmpora cadeildi
ab alliludint
pedum l-Jt.

Spatia iisdrtfi lenifnrrilmi

Differtntia inUrlAm.
&'fxfer.

5,28 dig.

5.'9

5.3

5.2(5

5

19-

37 Ifiid. II dig.

273 7
277 4
282 a

ri

+ .0 o^

Globorum igitur tam in aere quam in aqua motorum resistcnia
prope omnis per theoriam nostram recte exhibetiir, ac densioti
(luidorum, paribus globorum velocllatibus ac magnitudinibus, fwo-
portionalis cst.

In scholio, quod sectioni sextiE subjunctiim est, ostendimus per

Itxperimenta penduloriim quod globonim sequalium & Kquivelocium

}in aere, aqua. & argento vivo motorum resistentije sunt ut fluidorum

densitates. Idem hic ostendimus magis accurate per experimenta

corporum cadentium in aere & aqua. Nam pendula singulis oscil-

lationibus motum cient in fluido motui penduli redeuntis semper

contrarium, & resistentia ab hoc motu oriunda, ut & resistentia fili

quo pendulum suspendebatur, totam penduli resistentiam majorem

reddiderunt quam resistentia quae per experimenta corporum caden-

l^um prodiit Etenim per experimenta pendulorum in scholio illo

l-fexposita, globus ejusdem densitatis cum aqua, describendo longitu-

Idinem semldiametri sus in aere. amittere deberet motus sui partem

l^^ij^. At per theoriam in hac septima sectione expositam & expe-

[iirimentis cadentium confirmatam globus idem describendo longitudinem

teandem amittere deberet motus sui partem tantum ^^, posito

tquod densitas aquae sit ad densitatem aeris ut 860 ad i. Resistentiie

Igitur per experimenta pendulorum majores prodiere (ob causas jam

descriptas) quam per experimenta globorum cadentium, idque in

radone 4 ad 3 circlter. Attamen cum pcndulorum in aere, aqua &

argento vivo osclllanllum reslstentiae a causis similibus similiter

augeantur, proportio resistentlarum in his mediis, tam per experimenta

pendulorum, quam per experimenta coiporum cadentium. satis recte

exhibebitur. Et inde concludi potest quod corporum in fluidls

quibuscunque fluidissimis motorum resistentia;, cseteris paribus, sunt

^ut densitates fluidorum.

His ita stabililis, dicere jam Hcet quamnam motus suj partem glo-

lus quilibet, in fluido quocunque projectus, dato tempore amittet

■duamproxime. Sit D diamcter globi. & V velocitas ejus sub initio

aiotus, & T tempus, quo globus velocitate V in vacuo describet

ipatium, quod sit ad spatium * D ut densitas globi ad densitatem fluidi :

■& globus in fluido illo projcctus, tempore quovis allo f, amittet

velocitatis sus; partem 7^
spatium, quod sit ad spati

Bdescriptum in vacu<

manente parte

TV
T-t-/

& describet

formi velccitate V eodem tempore

.T + l

per

356

DR MOTU CORPORUM

numerum 2,302585093 est ad numerum t^ , per corol. 7 prop.
XXXV. In motibus tardls resistentia potest esse paulo minor propterea
quod figura globi paulo aptior slt ad motum quam figiara cylindri
eadem diametro descripti. In motibus velocibus resistentla potest esse
paulo major, propterea quod elaslicltas & compressio fluidi non
augeantur in duplicata ratione velocitatis. Sed hujusmodi minutias
hic non expendo.

Et quamvls aer, aqua, argentum vivum & similia flulda, per- di-
visionem partium in infinltum, subtlliarentur & fierent media infinlte
fluida ; tamen globls projectls haud minus resisterent. Nam
resistentia/ de qua agitur in propositionibus priecedentibus, oritur
ab inertia materlae & inertiHe materia; corporibus essentialis est &
quantitati materiEe semper proportionalis. Per divlslonem partium
fluidi, resistentia qute oritur a tenacitate & frictione partium diminui
quldem potest : sed quantitas materiie per divlsionem partlum ejus
non diminuitur ; & manente quantitate materlie, manct ejus vis
inertiae, cul reslstentia, de qua hic agitur, semper proportlonalis esL
Ut h^c reslstentia dlmlnuatur, dlmlnul debet quantitas materiie in
spatiis per quas corpora moventur. Et propterea spatia ccelestia,
per quae globi planetarum & cometarum In omnes partes Hberrime
& sine omni motus diminutione sensiblli perpetuo moventur, fluido
omni corporeo destltuuntur, si forte vapores longe tenuissimos &
trajectos lucls radios exclpias.

Projectllla utlque motum cient in fluidis progrediendo, & hic
motus oritur ab excessu pressionis fluidi ad projectills partes anticas
supra pressionem ad ejus partes postlcas, & non minor esse potest
in medils infinite fluidis quam In aere, aqua & argento vivo pro
densltate materiiE in slngulls. Hic autem pressionis excessus, pro
quantitate sua, non tantum motum ciet in fluldo, sed etiam agit
in projectile ad motum ejus retardandum : & propterea resi.stentia
in omni fluldo est ut motus In fluido a projectili excitatus, nec minor
esse potest in aithere subtllissimo pro densitate retheris, quam in acre,
aqua & ai^ento vivo pro densitatlbus horum fluidorum.

LIBER SECUNDUS.

SECTIO VIII.
Dc molu pcf fluida propagalc

PROPOSITIO XLI. THEOREMA XXXll.

Pressto non propagaiur per fiuidunt secundum lineas rectas, nisi ubi
particuls flrddi in directumjacmt.

Si jaceant particula: a, d, c, d, e in Hnea recta, potest quidem pres-
sio directe propagari ab a ad e ; at particula e urgebit particulas oblique
positas / Sl g oblique, & particul^e illse / Si. g non sustinebunt
pressionem illatam, nisi fulciantur a particulis ulterioribus /t Sl k ;
quatenus autem fulciuntur, premunt particulas fulcientes ; & h£e non
sustinebunt pressionem nisi fulciantur ab ulte-
rioribus / & tii easque premant, & sic delnceps
in infinitum. Pressio igitur, quum primum
propagatur ad particulas qux non in directum
jacent, divaricare incipiet & oblique propagabitur
in infinitum ; & postquam incipit oblique
propagari, si inciderit in particulas ulteriores,
quK non in directum jacent, iterum divaricabit; idque toties, quoties
in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D.

Corol. Si pressionis, a dato puncto per fluidum propagatte, pars
altqua obstaculo intercipiatur ; pars reliqua, quse non intercipitur,
divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam demon-
\ strari potest. A puncto A propagetur pressio quaquaversum, idque
I si fierl potest secundum lineas rectas, & obstaculo M B C K perfora-
in i? C intercipiatur ea omnis, praeter partem coniformem A P Q,
\ qu^e per foramen circulare B C transit. Planis transversis d e, /g,
I jt/distinguatur conus .//y^ in frusta; & interea dum conus .<4 .^C,
Ipressionem propagando, urget frustum conicum ulterius deg/ in
l Buperficie de, & hoc frustum urget frustum proximum /g i/i in
lauperficiey^, & frustum illud ur^et frustum tertium, & sic deinceps
lin infinitum; manifestum est (per motus legem tertiam) quod fru-

358 DE MOTU CORPORUM

stum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur
& premetur in superficie fg, quantum urget & premit frustum
illud secundum. Frustum igitur (/^^y inter coxwxm A d e Sl frustum
fkig comprimitur utrinque, & propterea (per corol. 6 prop. xix)
figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique.
Eodem igltur impetu quo premitur in superficiebus de, fg, cona-

bitur cedere ad latera dfeg; ibique (cum rigidum non sit, sed
omnimodo fluidum) excurret ac dilatabitur, nisi fluidum ambiens
adsit quc conatus iste cohibeatur. Proinde conatu excurrendi.
premet tam fluidum ambiens ad latera df eg quam (rusiwmfg/ii
eodem impetu ; & propterea pressio non minus propagabitur a
lateribus df eg in spatia NO,KL hinc inde, quam propagatur a
superficie fg versus P Q. Q. E. D.

LIBER SECUNDUS. ,,.

PROPOSITIO XLII. THEOREMA XXXIII.

Motus omnis per fluidum propagatus divergit a recto tramite in
spatia immota.

Cas. I. Propagetur motus a puncto A per foramen B C, pergat-
que, si fieri potest, in spatio conico BCQP secundum lineas rectas
divergentes a puncto A. Et ponamus primo quod motus iste sit
undarum in superficie stagnantis aqute. Sintque de, fg, hi, kl,
&c. undarum singularum partes altissimje, vallibus totidem inter-

mediis ab invicem distinctas. Igitur quoniam aqua in undarum
jugis altior est quam in fluidi partibus immotis L K, N O, defluet
eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c hinc inde
versus K L Bl N O: & quoniam in undanim valHbus depressior est
quam in fluidi partibus immotis K L, N O ; defluet eadem de parti-
bus illis immotis in undarum valles. Defluxu priore undarum jugn,
posteriore valles hinc inde dilatantur & propagantur versus K L &

360 l^E MOTU CORPORUM

NO. Et quoniam motus undarum ab ^ versus P Q ^\. per conti-
nuum defluxum jugorum in valles proximos, ideoque celerior non
est quam pro celeritate descensus; & descensus aquae hinc inde
versus KL 8i.N0 eadem velocitate peragi debet; propagabitur
dilatatio undarum hinc inde versus A"/. & jVC> eadem velocitate
qua undae ips^e ab A versus P Q recta progrediuntur. Proindeque
spatium totum hinc inde versus KL & NO ab undis dilatatis r/g r,
shis, tkli, 'vmnv, &c. occupabitur. Q.E.D. Hcec ita se habere
quilibet in aqua stagnante experiri potest

k%l

Cas. 2. Ponamus jam quod de,fg, h i, k l, m n designent pulsus a
puncto A per medium elasticum successive propagatos. Pulsus
propagari concipe per successivas condensationes & rarefactiones
medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima sphiericam occupet
superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos
aequalia intercedant intervalla. Designent autem VmGds. dc,/g, hi,
ki,&c. densissimas pulsuum partcs, per foramen PC propagatas.
Et quoniam medium ibi densius est quam in spatiis hinc Jnde versus
KL 8i.N0, dilatabit sese tam versus spatia illa K L, NO utrinque

LIBER SECUNDUS. 361

sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eoque pacto rarius
semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione
pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum
progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum
versus antecedentia intervalla rariora ; & pulsus eadem fere celeritate
sese in medii partes quiescentes K Ly N O hinc inde relaxare debent;
pulsus illi eadem fere celeritate sese dilatabunt undique in spatia
immota K L^ N O^ qua propagantur directe a centro A ; ideoque
spatium totum K L O N occupabunt Q.E.D, Hoc experimur in
sonis, qui vel monte interposito audiuntur, vel in cubiculum per
fenestram admissi sesc in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis
omnibus audiuntur, non tam reflexi a parietibus oppositis, quam a
fenestra directe propagati, quantum ex sensu judicare Hcet

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis
propagetur ab A per foramen B C : & quoniam propagatio ista non
fit, nisi quatenus partes medii centro A propiores urgent commovent-
que partes ulteriores ; & partes quae urgentur fluidae sunt, ideoque
recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur : recedent
eaedcm versus medii partes omnes quiescentes, tam laterales K L Si
N O, quam anteriores P Q, eoque pacto motus omnis, quumprimum
per foramen B C transiit, dilatari incipiet & inde tanquam a principio
& centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

PROPOSITIO XLIII. THEOREMA XXXIV.

Corptcs ovme trcmulMjji in mcdio clastico propagabit niotnm pulsuum
undique in dircctum ; in 77iedio vero non elastico motuni circularem
excitabit.

Cas. I. Nam partes corporis tremuli vicibus altemis eundo & re-
deundo itu suo urgebunt & propellent partes medii sibi proximas,
& urgendo compriment easdem & condensabunt ; dein reditu suo
sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igitur partes
medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices,
ad instar partium corporis illius tremuli : & qua ratione partes
corporis hujus agitabant hasce medii partes, hae similibus tremoribus
agitatre agitabunt partes sibi proximas, eaeque similiter agitatae

362 DE MOTU CORPORUM

agitabunt iilteriores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum
medii partes prim^e eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic
partes reliquje quoties eunt condensabimtur, & quoties redeunt sese
expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic
enim determinatas ab invicem distantias servando, non rarefierent
& condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi conden-
santur, & recedendo ubi rarefiunt, aliquas earum ibunt dum alix
redeunt ; idque vicibus altemis in infinitum. Partes autem euntes &
eundo condensat^e, ob motum suum progressivum, quo fenunt
obstacula, sunt pulsus ; & propterea pulsus successivi a corpore omni
tremulo in directum propagabuntur ; idque aequalibus circiter ab
invicem distantiis, ob ^equalia temporis intervalla, quibus corpus
tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat. Et quanquam
corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam
certam & determinatam, tamen pulsus inde per medium propagati
sese dilatabunt ad latera, per propositionem praecedentem; & a cor-
pore illo tremulo tanquam centro communi, secundum superficies
propemodum sphxricas & concentricas, undique propagabuntur,
Cujus rei exemplum allquod habemus in undis. qua^ si digito tremulo
excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus
digiti, sed, in raodum circulorum concentricorum, digitum statim
cingent & undique propagabuntur. Nara gravitas undarum supplel
locum vis elastica^.

Cas. 2. Quod si medium non sit elasticum : quoniam ejus partes
a corporis tremuli partibus vi,bratis pressse condensari nequeunt.
propagabitur raotus in instanti ad partes ubi raedium facillime cedit,
hoc est. ad partes quas corpus tremulum alioqui vacuas a teigo
relinqueret. Ideni est casus cum casu corporis in medio quocunquc
projecti. Medium cedendo projectilibus non recedit in infinitum;
sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a terga
Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque,
medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit;
& quoties corpus regreditur ad locum priorem, medium inde
repelletur & ad locum suum priorem redibit. El quamvis corpus
tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen
magnitudine datiim maneat, qnoniam tremoribus suis nequit tnedium
iibivis xirgere, quin alibi eidem simiil ccdat, efticiet ut mediuni.

LIBER SECUNDUS.

363

recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in orbem ad partes
quae eidem cedunt Q.E.D.

CoroL Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium
flammae ad pressionem, per medium ambiens, secundum lineas
rectas propagandum conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab
agitatione sola partium flammae, sed a totius dilatatione derivari.

PROPOSITIO XLIV. THEOREMA XXXV.

Si ctqua in caiialis criiribus erectis K L, M N vicibus allerftis ascetidat
& descejtdat ; comtrtuztur autent peitdtdum cujus longitudo inter
punctum suspensionis & cefttrum oscillationis a^quetur semissi
longitudinis aquce iit canali : dico quod aqtia asceftdet & descendet
iisdem temporibus quibtts peftdulum oscillatur,

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & crurum,
eandem summae horum axium aequando ; & resistentiam aquae, quae
oritur ab attritu canalis, hic non considero. Designent igitur A B,
C D mediocrem altitudinem aquae in crure utroque ; & ubi aqua

Vt

K

M

B

D

II

ijr

in crure KL ascendit ad altitudinem E F, descenderit aqua in
crure M N ad altitudinem G H. Sit autem P corpus pendulum,
V P filum, K punctum suspensionis, A* P ^ .S cyclois quam pendulum
descrihat, P ejus punctum infimum, ./^(2 arcus altitudini A E a:qualis.

364

DE MOTU CORPORUM

Vis, qua motus aquae alternis vicibus acceleratur & retardatur,
est excessus ponderis aquse in alterutro crure supra pondus in
altero, ideoque, ubi aqua in crure K L ascendit ad ^7% & in crure
altero descendit ad GH, vis illa est pondus duplicatum aquae EABF^
& propterea est ad pondus aqiiae totius mX, A E seu P Q ad VP seu

V-r

K

/ — \

M

F

B

C
G

D

jsr

P R. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur &
retardatur in cycloide (per coroL prop. li) est ad ejus pondus
totum, ut ejus distantia P Q a, loco infimo P ad cycloidis longitu-
dinem PH. Quare aquae & penduli, aequalia spatia A Ey P Q
describentium, vires motrices sunt ut pondera movenda ; ideoque,
si aqua & pendulum in principio quiescunt, vires illae movebunt
eadem aequaliter temporibus aequalibus, efficientque ut motu reciproco
simul eant & redeant. Q.E.D.

CoroL I. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus
intensior sit sive remissior, vices omnes sunt isochronae.

CoroL 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisiensium
6t : aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore
minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vicibus alternis in
infinitum. Nam pendulum pedum 3tV longitudinis tempore minuti
unius secundi oscillatur.

CoroL 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, augetur vel
diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione subduplicata.

LIBER SECVNDUS. 365

PROPOSITIO XLV. THEOREMA XXXVI.
U)idartim velocitas est in subduplicata ratiofte latitudimim,
Consequitur ex constructione propositionis sequentis.

PROPOSITIO XLVI. PROBLEMA X.

Invenire velocitatem 7i9idarum.

Constituatur pendulum cujus longitudo, inter punctum suspensionis
& centrum oscillationis, aequetur latitudini undarum : & quo tempore
pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem undce progre-
diendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam, quae vel
vajlibus imis, vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF
superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac
descendentem ; sintque Ay C, Ey &c. undarum culmina, & B, D, F^
&c. vales intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae
successivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, Ey &c.

quae nunc altissimae sunt, mox fiant infimae ; & vis motrix, qua partes
altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae ;
altemus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco
aquae in canali, easdemque temporis leges observabit : & propterea
(per prop. xliv) si distantiae inter undarum loca altissima Ay C, E
& infima B, Z?, F aequentur duplae penduli longitudini ; partes
altissimae Ay C^ Ey tempore oscillationis unius evadent infimae, &
tempore oscillationis alterius denuo ascendent. Igitur inter transitum
undarum singularum tempus erit oscillationum duarum ; hoc est,
unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis
oscillatur ; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla
est, idepque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q.E.I.
Corol. I. Igitur undae, quae pedes Parisietises 3tV latae sunt, tem-
pore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient ;

366

DE MOTU CORPORUM

ideoque tempore minuti unius primi percurrent pedes
183^, & horse spatio pedes 11 000 quamproxime.

CoroL 2. Et undarum majorum vel minorum
velocitas augebitur vel diminuetur in subduplicata
ratione latitudinis.

Haec ita se habent ex hypothesi quod partes aquae
recta ascendunt vel recta descendunt ; sed ascensus
& descensus ille verius fit per circulum, ideoque
tempus hac propositione non nisi quamproxime
definitum esse affirmo.

PROP, XLVII. THEOR. XXXVII.

Pulsibus per fluidum propagatis,
singulce fluidi particulce^ motu
reciproco breuissimo euntes &
redeunteSy accelerantur semper
& retardantur pro lege oscillan'
tis penduli.

ij

1?

l;

f::

G-.
F ■

l

f

11

Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivo-
rum sequales distantias; y^^Cplagam motus pulsuum
ab A versus B propagati \ E, F, G puncta tria
physica medii quiescentis in recta A C Sid sequales
ab invicem distantias sita ; £e, Ff, Gg spatia sequalia
perbrevia per quae puncta illa motu reciproco singulis
vibrationibus eunt & redeunt ; e, ^, 7, loca qusevis
intermedia eorundem punctorum ; &. E F, FG lineo-
las physicas seu medii partes lineares punctis illis
interjectas, & successive translatas in loca ecf), (py &
e/, /g. Rectse Ee sequalis ducatur recta PS.
Bisecetur eadem in 6>, centroque O & intervallo O P
describatur circulus SlPi. Per hujus circumferentiam
totam cum partibus suis exponatur tenipus totum
vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus; sic ut completo
tempore quovis PH vel PHSh, si demittatur ad PS perpendiculum

LIBER SECUNDUS. 367

H L vel k l, 81 capiatur Ee aequalis P L vel P /, punctum physicum
E reperiatur in e. Hac lege punctum quodvis E, eundo ab E per
6 ad ^, & inde redeundo per 6 ad E, iisdem accelerationis ac retar-
dationis gradibus vibrationes singulas peraget cum oscillante pendulo.
Probandum est quod singula medii puncta physica tali motu agitari
debeant. Fingamus igitur medium tali motu a causa quacunque
cieri, & videamus quid inde sequatur.

In circumferentia PHS/i capiantur aequales arcus HI, IK y^\ hi,
iky eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent
aequales rectae EF, EG ad pulsuum intervallum totum BC, Et
demissis perpendiculis /J/, KN vel /w, kn; quoniam puncta E, Ey G
motibus similibus successive agitantur, & vibrationes suas integras
ex itu & reditu compositas interea peragunt dum pulsus transfer-
tur a /? ad C ; si P H ve\ P HS/i sit tempus ab initio motus puncti
Ey erit PI vel PHSi tempus ab initio motus puncti /% &
PK vel P HSk tempus ab initio motus puncti G ; & propterea
Ee, E(p, Gy erunt ipsis P L, P M, P N in itu punctorum, vel ipsis
P l, P m, P n m punctorum reditu, aequales respective. Unde ey seu
EG+Gy — ^e in itu punctorum aequalis erit EG — L N, in reditu
autem aequalis ^G^ -(-/;/. Sed €7 latitudo est seu expansio partis
medii E G \n loco €7 ; & propterea expansio partis illius in itu est
ad ejus expansionem mediocrem, ut EG—LN ad E G ; in reditu
autcm ut E G + ln seu E G + L N did E G. Quare cum sit L N zd
KH ut IM ad radium OP, & KH ad EG ut circumferentia PHS/iP
ad B C, id est, si ponatur V pro radio circuli circumferentiam haben-
tis aequalem intervallo pulsuum ^ C, ut 6> P ad V ; & ex aequo L N
TiA E G wX. I M ^d V : erit expansio partis E G^punctive physici F in
loco e^ ad expansionem mediocrem, quam pars illa habet in loco
suo primo EG, ut V ^I M did V in itu, utque V + im ad V in reditu.
Unde vis elastica puncti F in loco ey est ad vim ejus elasticam

mediocrem in loco E G, ut — — zr-z-^ ad ~ in itu, in reditu vero ut

V^-IM V

ad — . Et eodem argumento vires elasticae punctorum

Y + im V

physicorum ^ & G^ in itu, sunt ut ^r^ zr=r-- & — ^7-7^. ad

^ ^ V — HL V — KN

368 J^E MOTU CORPORUM

- ; & virium differentia ad medii vim elasticam mediocrem, ut

V

HL--KN I

YY^W xiHL-^W xKN+HLxKN y . ^^^' ""^
:^^ ad -, sive ut HL — KN ad V, si.modo (ob angustos

limites vibrationum) supponamus HL & KN indefinite minores esse
quantitate V. Quare cum quantitas V detur, differentia virium est
ut HL — KN, hoc est (ob proportionales HL-^KN^d HK, & OM
ad 0/ve\ OP, datasque HK & OP) ut OM; id est, si /y bisecetur
in Q, ut Q^. Et eodem argumento differentia virium elasticarum
punctorum physicorum e & 7, in reditu lineolae physicae ey est ut
Q^. Sed differentia illa (id est, excessus vis elasticae puncti 6 supra
vim elasticam puncti 7) est vis qua interjecta medii lineola physica
€7 acceleratur in itu & retardatur in reditu ; & propterea vis acce-
leratrix lineolae physicae €7, est ut ipsius distantia a medio vibrationis
loco Q. Proinde tempus (per prop. xxxviii lib. i) recte exponitur
per arcum P I ; & medii pars linearis ^7 lege praescripta movetur
id est, lege oscillantis penduli : estque par ratio partium omnium
linearium ex quibus medium totum componitur. Q. E,D.

CoroL Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit
cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in
eorum progressu. Nam lineola physica €7, quumprimum ad locum
suum primum redierit, quiescet ; neque deinceps movebitur, nisi
vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore
tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quum
primum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt.

PROPOSITIO XLVIII. THEOREMA XXXVIII.

Pulsuum in fluido elastico propagatorum velocitates sunt in ratio7ie
composita ex subduplicata ratione vis elasticce directe & subdtiplicata
ratione densitatis inverse ; si modo fluidi vis elastica ejusdcni
coyidensationi proportionalis esse supponatur,

Cas. I. Si media sint homogenea, & pulsuum distantiae in his
mediis aequentur inter se, sed motus in uno medio intensior sit : con-

LIBER SECUNDUS. 369

tractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus.
Accurata quidem non est haec proportio. Veruntamen nisi contrac-
tiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensibiliter,
ideoque pro physice accurata haberi potest. Sunt autem vires
elasticse motrices ut contractiones & dilatationes ; & velocitates
partium aequalium simul genitee sunt ut vires. Ideoque aequales &
correspondentes pulsuum correspondentium partes itus & reditus
suos per spatia contractionibus & dilatationibus proportionalia, cum
velocitatibus quse sunt ut spatia, simul peragent : & propterea pulsus,
qui tempore itus & reditus unius latitudinem suam progrediendo
conficiunt, & in loca pulsuum proxime praecedentium semper
succedunt, ob aequalitatem distantiarum, aequali cum velocitate in
medio utroque progredientur.

Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in
uno medio quam in altero ; ponamus quod partes correspondentes
spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo &
redeundo describant : & aequales erunt earum contractiones &
dilatationes. Ideoque si media sint homogenea, aequales erunt etiam
vires illae elasticse motrices quibus reciproco motu agitantur.
Materia autem his viribus movenda est ut pulsuum latitudo ; & in
eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo &
redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in
ratione composita ex ratione subduplicata materiae & ratione
subduplicata spatii, atque ideo ut spatium. Pulsus autem tempori-
bus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia
temporibus proportionalia percurrunt; & propterea sunt aequive-
loces.

Cas, 3. In mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pulsus
omnes sunt aequiveloces. Quod si medii vel densitas vel vis elastica
intendatur, quoniam vis motrix in rationc vis elasticae, & materia
movenda in ratione densitatis augetur; tempus, quo motus iidem
pcragantur ac prius, augebitur in subduplicata ratione densitatis, ac
diminuetur in subduplicata ratione vis elasticae. Et propterea
velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione subduplicata
densitatis medii inverse & ratione subduplicata vis elasticae directe.
Q, E, D,

Haec propositio ulterius patebit ex constructione sequentis.

2 A

370

DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO XLIX. PROBLEMA XI

Datis medii densitate & vi elastica,

velocitatevi pulstmvi.

mvemre

Fingamus medium ab incumbente pondere pro
more aeris nostri comprimi ; sitque A altitudo medii
homogenei, cujus pondus adsequet pondus incumbens,
& cujus densitas eadem sit cum densitate medii
compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui au-
tem intelligatur pendulum, cujus longitudo inter punc-
tum suspensionis & centrum oscillationis sit A : &
quo tempore pendulum illud oscillationem integram
ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus
eundo conficiet spatium circumferentise circuli radio
A descripti aequale.

Nam stantibus quae in proposi-
tione XLVii constructa sunt, si linea
quaevis physica EFy singulis vibra-
tionibus describendo spatium P S,
urgeatur in extremis itus & reditus
cujusque locis P & .S, a vi elastica
quae ipsius ponderi aequetur ; pera-
get haec vibrationes singulas quo
tempore eadem in cycloide, cujus perimeter tota
longitudini P S aequalis est, oscillari posset : id adco
quia vires aequales aequalia corpuscula per ^qualia spa-
tia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora
sint in subduplicata ratione longitudinis pendulorum,
& longitudo penduli aequetur dimidio arcui cycloidis
totius ; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscil-
lationis penduli, cujus longitudo est A, in subduplicata
ratione longitudinis ^PS s^ix P O ^d longitudinem
A. Sed vis elastica, qua lineola physica E G, in
locis suis extremis P, S existens, urgetur, erat (in de-
monstratione propositionis xlvji) ad ejus vim totam
elasticam ut H L—K N tsA V, hoc est (cum punctum

11

f::

G--

'f

M

1 I

LIBER SECUNDUS.

371

K jam incidat in P) ut H K ad V : & vis illa tota, hoc est pondus
incumbens quo lineola EG comprimitur, est ad pondus lineolae ut
ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG;
ideoque ex sequo, vis qua lineola -£* G^ in locis suis P & S urgetur
est ad lineolae illius pondus ut I/Kx A Sid V x E G^ sive ut P Ox A
ad V V, nam I/K erat ad E G ut P O Sid V. Quare cum tempora,
quibus eequalia corpora per sequalia spatia impelluntur, sint reciproce
in subduplicata ratione virium, erit tempus vibrationis unius, urgente
vi illa elastica, ad tempus vibrationis, urgente vi ponderis, in
subduplicata ratione V V ad P Ox A, atque ideo ad tempus
oscillationis penduli cujus longitudo est A in subduplicata ratione
V V ad P O X A, & subduplicata ratione P O did A conjunctim ; id
est, in ratione integra V ad A. Sed tempore vibrationis unius ex
itu & reditu compositae, pulsus progrediendo conficit latitudinem
suam B C. Ergo tempus, quo pulsus percurrit spatium B C, est ad
tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositae, ut V ad A,
id est, ut /? C ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus
autem, quo pulsus percurret spatium B C, est ad tempus quo
percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem
ratione ; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret
longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q.E.D.

CoroL I. Velocitas pulsuum ea est, quam acquirunt gravia aequa-
liter accelerato motu cadendo, & casu suo describendo dimidium
altitudinis A. Nam tempore casus hujus, cum velocitate cadendo
acquisita, pulsus percurret spatium quod erit aequale toti altitudini
A ; ideoque tempore oscillationis unius ex itu & reditu compositae
percurret spatium aequale circumferentiae circuli radio A descripti :
est enim tempus casus ad tempus oscillationis ut radius circuli ad
ejusdem circumferentiam.

CoroL 2. Unde cum altitudo illa A sit ut fluidi vis elastica directe
& densitas ejusdem inverse ; velocitas pulsuum erit in ratione com-
posita ex subduplicata ratione densitatis inverse & subduplicata
ratione vis elasticae directe.

372 DE MOTU CORPORUM

PROPOSITIO L. PROBLEMA XII.
Invenire pulsimm distantias,

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus
vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spatium
quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inventa erit
pulsus unius latitudo. Q.E.L

Scholium,

Spectant propositiones novissimae ad motum lucis & sonorum.
Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola
(per prop. xli & xlii) consistere nequit. Soni vero propterea
quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quam aeris
pulsus propagati, per prop. XLin. Confirmatur id ex tremoribus
quos excitant in corporibus objectis, si modo vehementes sint &
graves, quales sunt soni tympanorum. Nam tremores celeriores &
breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas
corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum
est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cum pondera
specifica aquae pluvialis & argenti vivi sint ad invicem ut i ad
13I circiter, & ubi mercurius in Barometro altitudinem attingit
digitorum Anglicortim 30, pondus specificum aeris & aquae pluviah's
sint ad invicem ut i ad 870 circiter : erunt pondera specifica aeris &
argenti vivi ut i ad 1 1 890. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30
digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum
subjectum comprimere posset, erit 356700 digitorum, seu pedum
Anglicorum 29725. Estque haec altitudo illa ipsa quam in construc-
tione superioris problematis nominavimus A. Circuli radio 29725
pedum descripti circumferentia est pedum 186768. Et cum pendu-
lum digitos 39J: longum oscillationem ex itu & reditu compositam
tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat;
pendulum pedes 29725 seu digitos 356700 longum oscillationcm
consimilem tempore minutorum secundorum 190? absolvere debebit.
Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 186768,
ideoque tempore minuti unius secundi pedes 979.

LIBER SECUNDUS,

373

Cceterum in hoc computo nuUa habetur ratio crassitudinis solida-
rum particularum aeris, per quam sonus utique propagatur in
instanti. Cum pondus acris sit ad pondus aquae ut i ad 870, & sales
sint fere duplo densiores quam aqua ; si particulae aeris ponantur
esse ejusdem circiter densitatis cum particulis vel aquae vel salium,
& raritas aeris oriatur ab intervallis particularum : diameter parti-
culae aeris erit ad intervallum inter centra particularum, ut i ad 9
vel 10 circiter, & ad intervallum inter particulas ut i ad 8 vel 9.
Proinde ad pedes 979, quos sonus tempore minuti unius secundi juxta
calculum superiorem conficiet, addere licet pedes ^V seu 109 circiter,
ob crassitudinem particularum aeris : & sic sonus tempore minuti
unius secundi conficiet pedes 1088 circiter.

His adde quod vapores in aere latentes, cum sint alterius elateris
& alterius toni, vix aut ne vix quidem participant motum aeris
veri quo soni propagantur. His autem quiescentibus, motus ille
celerius propagabitur per solum aerem verum, idque in subdupli-
cata ratione minoris materiae. Ut si atmosphaera constet ex decem
partibus aeris veri & una parte vaporum, motus sonorum celerior
erit in subduplicata ratione 11 ad 10, vel in integra circiter ratione
2 1 ad 20, quam si propagaretur per undecim partes acris veri :
ideoque motus sonorum supra inventus, augendus erit in hac
ratione. Quo pacto sonus, tempore minuti unius secundi, conficiet
pedes 1 142.

Haec ita se habere debent tempore vemo & autumnali, ubi aer
per calorem temperatum rarescit & ejus vis elastica nonnihil intendi-
tur. At hyberno tempore, ubi aer per frigus condensatur, & ejus
vis elastica remittitur, motus sonorum tardior esse debet in subdupli-
cata ratione densitatis ; & vicissim aestivo tempore debet esse velocior.

Constat autem per experimenta quod soni tempore minuti unius
secundi eundo conficiunt pedcs Lmdinenses plus minus 1142, Pari-
sicnscs vero 1070.

Cognita sonorum velocitate innotescunt etiam intervalla pulsuum.
Invenit utique D. Sauveur, factis a se experimentis, quod fistula
aperta, cujus longitudo est pedum Parisiensiuvi plus minus quinque,
sonum edit ejusdem toni cum sono chordae quae tempore minuti
unius secundi centies recurrit. Sunt igitur pulsus plus minus
centum in spatio pedum Parisiensium 1070, quos sonus tempore

374 ^^ MOTU CORPORUM

minuti unius secundi percurrit ; ideoque pulsus unus occupat spatium
pedum Parisiefisium quasi lo^, id est, duplam circiter long^tudinem
fistuke. Unde versimile est quod latitudines pulsuum. in omnium
apertanim fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistula-
rum.

Porro cur soni cessante motu corporis sonori stadm cessant, neque
diutius audiuntur ubi longissime distamus a corporibus sonoris, quam
cum proxime absumus, patet ex corollario propositionis xi-\ti libn
hujus. Sed & cur soni in tubis stentorophonicis \-aIde augentur ex
allatis principiis manifestum est Motus enim omnis reciprocus
singulis recursibus a causa generante augeri soIeL Motus autem
in tubis dilatationem sonorum impedientibus, tardius amittitur &
fordus recurrit, & propterea a motu novo singulis recursibus impresso
magis augetur. Et haec sunt praecipua phaenomena sonorum.

SECTIO IX.
De motu circulari fluidorum,

HYPOTHESIS.

Resistentiamy quce oritur cx de/ectu lubricitatis partiumfluidiy ccrleris
paribus^ proportionalcm csse velocitatij qua partcs fluidi scparaniur
ab invicem,

PROPOSITIO LI. THEOREMA XXXIX.

•SV cylindrus solidus infinite longus in fluido uniformi & injiniio
circa axem positione datum uniformi cum motu rcz^olvaiury &
ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbcm^ pcrscvcrei auicfn
fluidi pars unaqucrque uniformitcr in motu suo ; dico quod
tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum disianiicr ab
axe cylindri.

Sit A FL cjlindrus uniformiter circa axem 6* in orbem actus, &
circulis concentricis BG My CH N, D I O, E K P, &c. distinguatur
fluidum in orbcs cylindricos innumcros concentricos solidos ejusiiem

LIBER SECUNDVS.

375

crassitudinis. Et quoniam homc^eneum est fluidum, impressiones
contiguorum orbium in se mutuo factse erunt (per hypothesin)
ut eorum translationes ab invicem, & superficies contigu^e in
quibus impressiones fiunt Si impressio in orbem aliquem major est
vel minor ex parte concava quam ex parte convexa ; praevalebit
impressio fiartior, & motum orbis vel accelerabit vel retardabit,
prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur,
Proinde ut orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret,
debent impressiones ex parte utraque sibi invicem Eequari &
fieri in regiones contrarias. Unde cum impressiones sunt ut contiguse
superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes
inverse ut superficies, hoc est, inverse ut superficierum distantice
ab axe. Sunt autem differentiEe motuum angularium circa axem
ut h£e translationes applicatse ad distantias, sive ut translationes
directe & distantiae inverse ; hoc est,
conjunctis rationibus, ut quadrata
distantiarum inverse. Quare si ad
infinits rectE SABCDEQ partes
singulas erigantur perpendicula A a,
Bby Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum S A,
SB, SC, SD, SE, &c. quadratis ,
reciproce proportionalia, & per termi- /
nos perpendicularium duci intelligatur
linea curva hyperboHca ; erunt sum- \
mse differentianim, hoc est, motus toti
angulares, ut respondentes summx
linearum A a, B b, Cc, D d, Ee, id
est, si ad constituendum medium uniformiter fluidum, orbium numerus
augeatur & latitudo minuatur in infinitum, ut areae hyperbolicae his
summis analogae AaQ, Bb Q, CcQ, DdQ, EeQ, &c. Et tempora
motibus angularibus reciproce proportionalia, erunt etiam his areis
reciproce proportionalia, Est igitur tempus periodicum particulje
cujusvis D reciproce ut area DdQ, hoc est {per notas curvarura
quadraturas) directe ut distantia S D. Q.E.D,

Corol. I. H inc motus angulares particularum fluidi sunt reciproce
ut ipsarum distantid: ab axe cylindri, & velocitates absoIutEe sunt
xqualcs.

376 DE MOTU CORPORUM

Corol. 2. Si fiuidum in vase cylindrico longitudinis infinite
contineatur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem
cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum
tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fiuidi pars unaquaeque
in motu suo : erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum
distanti^ ab axe cylindrorum.

Corol. 3. Si cylindro & fiuido ad hunc modum motis addatur vel
auferatur communis quilibet motus angularis ; quoniam hoc novo
motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabuntur
motus partium inter se. Nam translationes partium ab invicem
pendent ab attritu, Pars quEelibet in eo perseverabit motu, qui, attritu
utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quam
retardatur.

Corol. 4. Unde si toti cylindrorum & fluidi systemati auferatur
motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in
cylindro quiescente.

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus,
revolvatur cylindrus interior uniformiter ; communicabitur motus
circularis fluido, & paulatim per totum fiuidum propagabitur ; nec
prius desinet augeri quam fluidi partes singulae motum corollario
quarto definitum acquirant.

Corol. 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius
propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi
violenter detentus ; & accelerabitur ejus motus quoad usque tempora
periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylindrus
exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retardare;
& nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecus impressa motum
illum conservct, efficiet ut idem paulatim cesset.

Quce omnia in aqua profunda stagnante experiri licet.

LIBER SECUNDUS. 377

PROPOSITIO LII. THEOREMA XL.

Si spliarra soHda, in flttido uniformi & infiniio, circa axem positione
datitm uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo
agalur fluidum in orbem ; perseverct autem flnidi pars unaquteque
uniformiter in motu suo : dico quod tcmpora periodica partium
fluidi erunt ut quadrata distantiarum a centro spli^rs.

Cas. I. Sit AFL sphsra uniformiter circa axem S in orbem acta,
& circulis concentricis BGM, CHN, DIO, E KP, &c. distinguatur
fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis.
Finge autem orbes illos esse solidos ; & quoniam homogeneum est
fluidum, impressiones contiguorum orbium in se mutuo factx erunt
(per hypothesin) ut eorum translatio-
nes ab invicem &superficies contiguje
in quibus impressiones fiunt. Si
impressio in orbem aliquem majorest
vel minor ex parte concava quam ex
parte convexa ; prievalebit impressio
fortior, & velocitatem orbis vel
accelerabit vel retardabit, prout in [
eandem regionem cum ipsius motu '
vel in contrariam dirigitur. Proinde
ut orbis unusquisque in motu suo
perseveret uniformiter, debebunt
impressiones ex parte utraque sibi
invicem aequari, & fieri in regiones contrarias, Unde cum impressio-
nes sint ut continguae superficies & harum translationes ab invicem ;
erunt translationes inverse ut superficies, hoc est, inverse ut quadrata
distantiarum superficierum a centro. Sunt autem differenti^e motuum
angularium circa axem ut hae translationes applicata ad distantias,
sive ut transktiones directe & distantise inverse; hoc est, conjunctis
rationibus, ut cubi distantiarum inverse. Quare si ad rectse infinifce
S A BC D EQ partes singulas erigantur perpendicula .^ fl, .5(5, Cc,
D d, E e, &c. ipsarum S A, S B, S C, S D, S E, &c. cubis reciproce

378 !>£ MOTU CORPORUM

proportionalia, erunt summae differentiarum, hoc est, motus toti

angulares, ut respondentes summse

linearum A a, B b, Cc, D d, Ee: id

est (si ad consituendum medium

uniformiter fluidum, numerus orbium

augeatur & latitudo minuatur in

infinitum) ut areae hyperbolicx his

summis analogae A aQ, BbQ, CcQ,

DdQ, EeQ, &c. - Et tempora ;

periodica motibus angularibus reci-

proce proportionalia erunt etiam his

areis reciproce proportionalia. Est

igiturtempus periodicum orbis cujus-

\vs DIO reciproce ut area DdQ,

hoc est, per notas curvarum quadraturas, directe ut quadratum

distantiae S D. Id quod volui primo demonstrare.

Cas. 2. A centro sphaerie ducantur infinitse rectse quam plurimje,
quse cum axe datos contineant angulos, sequatibus differentiis se mutuo
superantes; & his rectis circa axem revolutis concipe orbes in
annulos innumeros secari ; & annulus unusquisque habebit annulos
quatuor sibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem &
duos laterales, Attritu interioris & exterioris non potest annulus
unusquisque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, tcqualiter
& in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus
primi. Et propterea annulorum series quaslibet a globo in inflnitum
recta pergens, movebitur pro lege casus primi, nisi quatenus
impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege
facto attritus annulorum ad latera nullus est; neque ideo motum,
quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuH. qui a centro aequaliter
distant, vel citius revolverentur vel tardius juxta polos quam juxta
eclipticam ; tardiores accelerarentur, & velociores retardarentur ab
attritu mutuo, & sic vergerent semper tempora periodica ad ^qua-
litatem, pro lege casus primi. Non impedit igitur hic attritus quo
mtnus motus fiat secundum legem casus primi, & propterea lex illa
obtinebit : hoc est, annulorum singulorum tempora periodica erunt
ut quadrata distantiarum ipsorum a centro globi. Quod volui secundo
demonstrare.

LIBER SECUNDUS. 379

Cas. 3. Dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis
in particulas innumeras constituentes substantiam absolute & unifor-
miter fluidam ; & quoniam hae sectiones non spectant ad legem
motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt,
perseverabit motus circularis ut prius. His sectionibus annuli omnes
quam minimi asperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt, aut
mutabunt aequaliter. Et manente causarum proportione manebit
effectuum proportio, hoc est, proportio motuum & periodicorum
temporum. Q, E. D. Caeterum cum motus circularis, & inde
orta vis centrifuga, major sit ad eclipticam quam ad polos ; debebit
causa aliqua adesse qua particulae singulae in circulis suis retineantur ;
ne materia, quae ad eclipticam est, recedat semper a centro & per
exteriora vorticis migret ad polos, indeque per axem ad eclipticam
circulatione perpetua revertatur.

CoroL I. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi,
sunt reciproce ut quadrata distantiarum a centro globi, & velocita-
tes absolut^ reciproce ut eadem quadrata applicata ad distantias
ab axe.

CoroL 2. Si globus in fluido quiescente similari & infinito circa
axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communica-
bitur motus fluido in morem vorticis, & motus iste paulatim pro-
pagabitur in infinitum ; neque prius cessabit in singulis fluidi partibus
accelerari, quam tempora periodica singularum partium sint ut
quadrata distantiarum a centro globi.

CoroL 3. Quoniam vorticis partes interiores ob majorem suam
velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumque ipsis ea actione
perpetuo communicant, & exteriores illi eandem motus quantitatem
in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione servant
quantitatem motus sui plane invariatam ; patet quod motus perpetuo
transfertur a centro ad circumferentiam vorticis, & per infinitatem
circumferentiae absorbetur. Materia inter sphsericas duas quasvis
superficies vortici concentricas nunquam accelerabitur, eo quod
motum omnem a materia interiore acceptum transfert semper in
exteriorem.

CoroL 4- Proinde ad conservationem vorticis constanter in eodem
movendi statu, requiritur principium aliquod activum, a quo globus
eandem semper quantitatem motus accipiat, quam imprimit in

380 J^E MOTU CORPORUM

materiam vorticis. Sine tali principio necesse est ut globus &
vorticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exterio-
res, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paulatim
& in orbem agi desinant.

CoroL 5. Si globus alter huic vortici ad certam ab ipsius centro
distantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi
aliqua constanter revolveretur ; hujus motu raperetur fluidum in
vorticem : & primo revolveretur hic vortex novus & exiguus una
cum globo circa centrum alterius, & interea latius serperet ipsius
motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis
primi. Et eadem ratione, qua hujus globus raperetur motu vorticis
alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo
circa intermedium aliquod punctum revolverentur, seque mutuo ob
motum illum circularem fugerent, nisi per vim aliquam cohibiti.
Postea si vires constanter impressae, quibus globi in motibus suis
perseverant, cessarent, & omnia legibus mechanicis permitterentur,
languesceret paulatim motus globorum (ob rationem in corol. 3 & 4
assignatam) & vortices tandem conquiescerent.

CoroL 6. Si globi plures datis in locis circum axes positione datos
certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices
totidem in infinitum pergentes. Nam globi singuli eadem ratione,
qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum, propagabunt
etiam motus suos in infinitum, adeo ut fluidi infiniti pars unaquae-
que eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat
Unde vortices non definientur ccrtis limitibus, sed in se mutuo
paulatim excurrent ; globique per actiones vorticum in se mutuo
perpetuo movebuntur de locis suis, uti in corollario superiore exposi-
tum est ; neque certam quamvis inter se positionem servabunt, nisi
per vim aliquam retenti. Cessantibus autem viribus illis quae in
globos constanter impressae conservant hosce motus, materia ob
rationem in corollario tertio & quarto assignatam, paulatim requiescet
& in vortices agi desinet.

CoroL 7. Si fluidum similare claudatur in vase sphaerico ac globi
in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus
autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur,
sintque eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum :
partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine accelera-

LIBER SECUNDUS. 381

tione & retardatione, quam sint eonim tempora periodica ut quadrata
distantiarum a centro vorticis. Alia nulla vorticis constitutio potest
esse permancns.

Corol. 8. Si vas, fluidum inclusum, & globus servent hunc motum,
& motu pra^terea communi angulari circa axem quemvis datum
revolvantur ; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium
fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam
translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars qua^libet in
eo . perse verabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis
tardetur quam acceleretur attritu ex altero.

CoroL 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus
fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & motu
contrario revolvi ; & ponc summam temporis revolutionis hujus &
revolutionis globi esse ad tempus revolutionis globi, ut quadratum
semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi : & tempora
periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata
distantiarum suarum a centro globi.

CoroL 10. Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel
circa diversum aliquem data cum velocitate quacunque moveatur,
dabitur motus fluidi. Nam si systemati toti auferatur vasis motus
angularis, mancbunt motus omnes iidcm inter se qui prius, per corol.
8. Et motus isti per corol. 9 dabuntur.

CoroL II. Si vas & fluidum quicscant & globus uniformi cum
motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum
in vas, & circumagetur vas nisi violenter detentum, ncque prius
desinent fluidum & vas accelerari, quam sint eorum tempora
pcriodica aiquaHa temporibus pcriodicis globi. Quod si vas vi aliqua
dctineatur vel revolvatur motu quovis constanti & uniformi, dcveniet
medium paulatim ad statum motus in corolariis 8, 9 & 10 definiti,
nec in alio unquam statu quocunque perseverabit. Deinde vero
si, viribus illis cessantibus quibus vas & globus ccrtis motibus
revolvebantur, pcrmittatur systema totum legibus mechanicis ; vas
& globus in se invicem agent mediante fluido, neque motus suos
in se mutuo pcr fluidum propagare prius cessabunt, quam eorum
tempora pcriodica a^quentur inter se, & systema totum ad instar
corporis unius solidi simul revolvatur.

382 DE MOTU CORPORUM

Sc/iolium.

In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem &
fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eodem
cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & sequales,
ad aequales semper a se distantias, ubivis in fluido constitutus, pro-
pagare possit. Conatur quidem materia per motum suum circularem
recedere ab axe vorticis, & propterea premit materiam omnem
ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio
ab invicem difficilior ; & per consequens diminuitur materiae fluiditas.
Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas
ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur
ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel
lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui sup-
pono. Hoc nisi fiat, materia ubi minus fluida est magis cohserebit
& segnior erit, ideoque motum tardius recipiet & longius propagabit
quam pro ratione superius assignata. Si figura vasis non sit sphae-
rica, movebuntur particulae in lineis non circularibus sed conformibus
eidem vasis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata
mediocrium distantiarum a centro quamproxlme. In partibus inter
centrum & circumferentiam, ubi latiora sunt spatia, tardiores erunt
motus, ubi angustiora velociores, neque tamen particulae velociores
petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, &
conatus recedendi a centro non minus diminuetur per decrementum
hujus curvaturae, quam augebitur per incrementum velocitatis. Per-
gendo a spatiis angustioribus in latiora recedent paulo longius a
centro, sed isto recessu tardescent ; & accedendo postea de latioribus
ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & ac-
celerabuntur particulse singulse in perpetuum. Haec ita se habebunt
in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio vorticum innotescit
per propositionis hujus corollarium sextum.

Proprietates autem vorticum hac propositione investigare conatus
sum, ut pertentarem siqua ratione phaenomena coelestia per vortices
explicari possint. Nam phaenomenon est, quod planetarum circa
jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquiplicata
distantiarum a centro jovis ; & eadem regula obtinet in planetis
qui circa solem revolvuntur. Obtinent autem hae regulae in plane-

LIBER SECUNDUS, 383

tis utrisque quam accuratissime, quatenus observationes astronomicee
hactenus prodidere. Ideoque si planetae illi a vorticibus circa jovem
& solem revolventibus deferantur, debebunt etiam hi vortices eadem
lege revolvi. Verum tempora periodica partium vorticis prodierunt
in ratione duplicata distantiarum a centro motus : neque potest
ratio illa diminui & ad rationem sesquiplicatam reduci, nisi vel
materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat a centro, vel resi-
stentia, quce oritur ex defectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta
velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem, augeatur in majori
ratione quam ea est in qua velocitas augetur. Quorum tamen
neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & minus
fluidae, nisi graves sint in centrum, circumferentiam petent; &
verisimile est quod, etiamsi demonstrationum gratia hypothesin talem
initio sectionis hujus proposuerim, ut resistentia velocitati proportionalis
esset, tamen resistentia in minori sit ratione quam ea velocitatis est
Quo concesso, tempora periodica partium vorticis erunt in majori
quam duplicata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si
vortices (uti aliquorum est opinio) celerius moveantur prope centrum,
dein tardius usque ad certum limitem, tum denuo celerius juxta
circumferentiam ; certe nec ratio sesquiplicata neque alia qua^vis
certa ac determinata obtinere potest. Viderint itaque philosophi quo
pacto pha^nomenon illud rationis sesquiplicata^ per vortices expHcari
possit.

PROPOSITIO LIII. THEOREMA XLI.

Corpora^ quce in vortice delata in orbem redeunt, ejusdem sunt
densitatis cum vortice^ & eadc7n lege cufn ipsius partibus
qtioad vclocitatem & cursus dcterminationem moventtir,

Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particulae seu puncta
physica datum servant situm inter se, congelari supponatur; haec,
quoniam neque quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam
aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius : & contra,
si vorticis pars congelata & solida ejusdem sit densitatis cum reliquo
vortice, & resolvatur in fluidum ; movebitur haec eadem lege ac
prius, nisi quatenus ipsius particulae jam fluidae factae moveantur

3«4

Dli MOTU CORPORUM

intftr sc, Xejjligatur igitur motus particularum inter se, tanquam
arl totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem
erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum vorticis
f>artium a centro a:qualiter distantium, propterea quod solidum in
fluirlum n^solutum fit pars vorticis cseteris partibus consimilis. Ergo
!Kjlidum, si sit ejusdem densitatis cum materia vorticis, eodem motu
cum ipsius partibus movebitur, in materia proxime ambiente relative
quicsccns. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere a
ccntro vorticis quam prius; ideoque vorticis vim illam, qua prius
in orbita sua tanquam in a:quilibrio constitutum retinebatur, jam
suj^crans, rccedct a centro & revolvendo describet spiralem, non
amplius in cundcm orbem rediens. Et eodem argumento si rarius
sit, acccdct ad centrum, Igitur non redibit in eundem orbem nisi
sit cjusdcm dcnsitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est,
quod rcvolvcrctur eadem lege cum partibus fluidi a centro vorticis
a:qualitcr distantibus. Q.E.D.

CoroL I. l*-rgo solidum quod in vortice revolvitur & in eundem
orbcm scmpcr rcdit, relative quiescit in fluido cui innatat.

CoroL 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem
ad (juamlibct a ccntro vorticis distantiam revolvi potest.

Scholi7C77i.

Ilinc liquet planetas a vorticibus corporeis non deferri. Nam
plancttC sccundum hypothcsin Co-
pcrnic(cain circa solcm dclati re-
volvuntur in cllipsibus umbilicum
habcntibus in sole, & radiis ad so-
lcm ductis arcas dcscribunt tem-
poribus proportionalcs. At partes
vorticis tali motu rcvolvi ncquc- p
unt. Dcsigncnt A D, B E, C F^
orbcs trcs circa solcm 6" dcscrip
tos» (luorum cxtimus 6"/^circulus
sit soli conccntricus, & intcriorum
duorum aphclia sint A, B & peri-
hclia D, E. lCrgo corpus (juod
rcvolvitur in orbc C F, radio ad solem ducto areas temporibus pro

LIBER SECUNDUS, 385

portionales describendo, movebitur uniformi cum motu. Corpus
autem, quod revolvitur in orbe B E^ tardius movebitur in aphelio
B & velocius in perihelio £, secundum leges astronomicas ; cum
tamen secundum leges mechanicas materia vorticis in spatio angusti-
ore inter A & C velocius moveri debeat quam in spatio latiore
inter D & F ; id est, in aphelio velocius quam in perihelio. Quae
duo repugnant inter se. Sic in principio signi virginis, ubi aphelium
martis jam versatur, distantia inter orbes martis & veneris est ad
distantiam eorundem orbium in principio signi piscium ut ternarius
ad binarium circiter, & propterea materia vorticis inter orbes illos
in principio piscium debet esse velocior quam in principio virginis in
ratione temarii ad binarium. Nam quo angustius est spatium per quod
eadem materiae quantitas eodem revolutionis unius tempore transit,
eo majori cum velocitate transire debet Igitur si terra in hac
materia ccelesti relative quiescens ab ea deferretur, & una circa solem
revolveretur, foret hujus velocitas in principio piscium ad ejusdem
velocitatem in principio virginis in ratione sesquialtera. Unde
solis motus diumus apparens in principio virginis major esset quam
minutorum primorum septuaginta, & in principio piscium minor
quam minutorum quadraginta & octo : cum tamen (experientia teste)
apparens iste solis motus major sit in principio piscium quam in
principio virginis, & propterea terra velocior in principio virginis quam
in principio piscium. Itaque hypothesis vorticum cum phaenomenis
astronomicis omnino pugnat, & non tam ad explicandos quam ad
perturbandos motus ccelestes conducit Quomodo vpro motus isti
in spatiis liberis sine vorticibus peraguntur intelligi potest ex libro
primo, & in mundi systemate jam plenius docebitur.

2 B

DE

MUNDI SVSTEMATE.

LIBER TERTIUS.

IN libris praecedentibus principia philosophiae tradidi, non tamen
philosophica sed mathematica tantum, ex quibus videlicet in
rebus philosophicis disputari possit Hsec sunt motuum & viri-
um leges & conditiones, quae ad philosophiam maxime spectant
Eadem tamen, ne sterilia videantur, illustravi scholiis quibusdam
philosophicis, ea tractans quae generalia sunt, & in quibus philosophia
maxime fundari videtur, uti corporum densitatem & resistentiam,
spatia corporibus vacua, motumque lucis & sonorum. Superest
ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem systematis mun-
dani. De hoc argumento composueram librum tertium methodo
populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus principia posita satis
intellecta non fuerint, ii vim consequentiarum minime percipient,
neque praejudicia deponent, quibus a multis retro annis insueverunt :
& propterea ne res in disputationes trahatur, summam libri illius
transtuli in propositiones, more mathematico, ut ab iis solis legantur
qui principia prius evolverint Veruntamen quoniam propositiones
ibi quam plurimae occurrant, quae lectoribus etiam mathematice
doctis moram nimiam injicere possint, auctor esse nolo ut quisquam
eas omnes evolvat; suffecerit siquis definitiones, leges motuum &
sectiones tres priores libri primi sedulo legat, dein transeat ad hunc
librum de mundi systemate, & reliquas libronim priorum proposi-
tiones hic citatas pro lubitu consulat

DE MUNDI S YSTEMA TE, ^c, 387

REGULAi PHILOSOPHANDI.

REGULA I.

Causas renim naturaliiim non plures admitti dedere, quam q^ice & vera:
sint & earum phcencmtenis explicandis sujfficiant.

Dicunt utiqiie philosophi : Natura nihil agit frustra, & frustra fit
per plura quod fieri potest per pauciora. Natura enim simplex est &
rerum causis superfluis non luxuriat

REGULA IL

Ideoque effectuum naturalium e/usdem generis ecede^n assigfiandte sunt

causce, quatenus fieri potest.

Uti respirationis in homine & in bestia; descensus lapidum in
Europa and in America; lucis in igne culinari & in sole; reflexionis
lucis in terra & in planetis.

REGU LA I I L

Qiialitates corporum quce intotdi & remitti nequeunt^ qtueque cor-
poribus 07)inibus competunt in quibus experimenta instituere licety
p7V qualitatibus corporum universorum habendce sunt.

Nam qualitates corporum non nisi per experimenta innotescunt,
ideoque gcnerales statuendae sunt quotquot cum experimentis gene-
raliter quadrant ; & quae minui non possunt, non possunt auferri

388 DE MUNDI SYSTEMATE

Certe contra experimentorum tenorem somnia temere confingenda
non sunt, nec a naturae analogia recedendum est, cum ea simplex
esse soleat & sibi semper consona. Extensio corporum non nisi
per sensus innotescit nec in omnibus sentitur : sed quia sensibilibus
omnibus competit de universis affirmatur. Corpora plura dura esse
experimur. Oritur autem durities totius a duritie partium, & inde
non horum tantum corporum quae sentiuntur sed aliorum etiam
omnium particulas indivisas esse duras merito concludimus. Cor-
pora omnia impenetrabilia esse non ratione sed sensu colligimus.
Quae tractamus impenetrabilia inveniuntur, & inde concludimus
impenetrabilitatem esse proprietatem corporum universorum. Cor-
pora omnia mobilia esse, & viribus quibusdam (quas vires inertiae
vocamus) perseverare in motu vel quiete, ex hisce corporum visorum
proprietatibus colligimus. Extensio, durities, impenetrabilitas, mobi-
litas & vis inertiae totius oritur ab extensione, duritie, impenetra-
bilitate, mobilitate & viribus inertiae partium : & inde concludimus
omnes omnium corporum partes minimas extendi & duras esse &
impenetrabiles & mobiles & viribus inertiae praeditas. Et hoc est
fundamentum philosophiae totius. Porro corporum partes divisas &
sibi mutuo contiguas ab invicem separari posse ex phaenomenis
novimus, & partes indivisas in partes minores ratione distingui posse
ex mathematica certum est. Utrum vero partes illae distinctae &
nondum divisae per vires naturae dividi & ab invicem separari
possint, incertum est. At si vel unico constaret experimento quod
particula aliqua indivisa, frangendo corpus durum & solidum, divi-
sionem pateretur : concluderemus vi hujus regulae, quod non solum
partes divisae separabiles essent, sed etiam quod indivisae in infinitum
dividi possent

Denique si corpora omnia in circuitu terrae gravia esse in terram,
idque pro quantitate materiae in singulis, & lunam gravem esse in
terram pro quantitate materiae suae, & vicissim mare nostrum grave
esse in lunam, & planetas omnes graves esse in se mutuo, & come-
tarum similem esse gravitatem in solem, per experimenta & obser-
vationes astronomicas universaliter constet : dicendum erit per hanc
regulam quod corpora omnia in se mutuo gravitant. Nam & for-
tius erit argumentum ex phaenomenis de gravitate universali, quam

LIBER TERTIUS. 389

de corporum impenetrabiHtate : de qua utique in corporibus coelesti-
bus nullum experimentum, nuUam prorsus observationem habemus.
Attamen gravitatem corporibus essentialem esse minime affirmo.
Per vim insitam intelligo solam vim inertiae. Haec immutabilis est
Gravitas recedendo a terra diminuitur.

R E G U L A IV.

In philosophia experimentaliy propositiones ex phanomenis per induc-
tionem collectce, non obstantibus contrariis hypothesibiis^ pro veris
aut accurate aut quamproxime haberi debenty donec alia occurrerint
phanomenay per qua aut accuratiores reddantur aut exceptionibm
obnoxice.

Hoc fieri debet ne argumentum inductionis toUatur per hypo-
theses.

390

DE MUNDI SYSTEMATE

PH^NOMENA,

PHiENOMENON I.

Planetas circumjovialesy radiis ad centrum jovis ductis^ areas describere
temporidus proportionaleSy eorumque tempora periodica^ stellis fixis
quiescentibus^ esse in ratione sesquiplicata distantiarum ab ipsius
centro.

Constat ex observationibus astronomicis. Orbes horum planeta-
rum non differunt sensibiliter a circulis jovi concentricis, & motus
eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero
periodica esse in sesquiplicata ratione semidiametrorum orbium con-
sentiunt astronomi ; & idem ex tabula sequente manifestum est.

Satellitum jovialium tempora periodica.

jd. jgh. 27' 24''j 3<i. jjh. ly 42''; 7**- 3^- 42' 36"; i6^- i6^' 32' 9

Distantice satellitum a centro jovis.

Ex observationibus

Borelli

Townlei per microm. .
Cassini per telescop. . .
Cassini per eclips. satell.

I

2

3

4

5t
5,52

5
5t

81

8,78
8

9

14

13,47

13

I4AO

24§ ^

24.72 /

23 ISemidiam.

25 A novis.

Ex temporibus periodicis .

5,667

9,017

14,384

25,299/

Elongationes satellitum jovis &. diametrum ejus D. Pound
micrometris optimis determinavit ut sequitur. Elongatio maxima
heliocentrica satellitis quarti a centro jovis micrometro in tubo quin-
decim pedes longo capta fuit, & prodiit in mediocri jovis a terra
distantia 8' 16" circiter. Ea satellitis tertii micrometro in telescopio

LIBER TERTIUS, 39 1

pedes 123 longo capta fuit, & prodiit in eadem jovis a terra distantia
4' 42'^ Elongationes maximae reliquorum satellitum in eadem jovis
a terra distantia ex temporibus periodicis prodeunt 2' 56" 47''' &
i'5i"6'^

Diameter jovis micrometro in telescopio pedes 123 longo saepius
capta fuit, & ad mediocrem jovis a sole vel terra distantiam reducta,
semper minor prodiit quam 40", nunquam minor quam 38", saepius
39". In telescopiis brevioribus haec diameterest 40'' vel 41'^ Nam
lux jovis per inaequalem refrangibilitatem nonnihil dilatatur, & haec
dilatatio minorem habet rationem ad diametrum jovis in longi-
oribus & perfectioribus telescopiis quam in brevioribus & minus per-
fectis. Tempora quibus satellites duo, primus ac tertius, transibant
per corpus jovis, ab initio ingressus ad initium exitus, & ab ingressu
completo ad exitum completum, observata sunt ope telescopii ejusdem
longioris. Et diameter jovis in mediocri ejus a terra distantia pro-
diit per transitum primi satellitis 37!'^ & per transitum tertii 37^".
Tempus etiam quo umbra primi satellitis transit per corpus jovis
observatum fuit, & inde diameter jovis in mediocri ejus a terra dis-
tantia prodiit 37" circiter. Assumamus diametrum ejus esse 37!"
quamproxime ; & elongationes maximae satellitis primi, secundi,
tertii, & quarti aequales erunt semidiametris jovis 5,965'; 9,494; 15,141
& 26,63 respective.

PHiCNOMENON II.

Planetas circumsaturnios, radiis ad saturftttm dtutis^ areas describere
temporibus proportionaleSy & eorum tempora periodicay stellis fixis
quiescentibuSy esse in ratione sesquiplicata distantiarum ab ipsius
centro,

Cassinus utique ex observationibus suis distantias eorum a centro
saturni & periodica tempora hujusmodi esse statuit.

Satellitum saturniorum tempora periodica.

i^- 21^- 18' 27"; 2^ 17*^ 41' 22"; 4^- 12**- 25' 12"; 15^ 22^- 41' 14";
79^ 7^. 48' 00".

DE MUND7 SYSTEMATE

Distantia: satellitum a centro satumi in semidianutris annuli.

Ex observatiotiibus ij^ 2\ 3J 8 34

Ex temporibiis periodicis. 1,93 3,47 3,45 8 ^3,35

Quarti satellitis elongatio maxima a centro satumi ex observationibus
coUigi solet esse semidiametronim octo quamproxime At elongatio
maxima satellitis hujus a centro saturni, micrometro optimo in tele-
scopio Hugeniano pedes 123 longo capta, prodiit semidiametrorum
octo cum septem decimis partlbus semidiamctri. Et ex hac obser-
vatione & temporibus periodicis, cHstantiae satelHtum a centro satumi
in semidiametris annuH sunt 2,1; 2,69; 3,75; 8,7 & 25,35. Satumi
diameter in eodem telescopio erat ad diametrum annuli ut 3 ad 7,
& diameter annuli diebus Maii 28 & 29 anni 1719 prodiit 43".
Et inde dlameter annuH in medtocri saturni a terra distantia est 42"
& diameter saturni 18". Hiec ita sunt in telescopiis longissimis
& optimis, propterea quod magnitudines apparentes corporum coel-
estium in longioribus telescopiis majorem habeant proportionem ad
dilatationeni lucis in terminis illorum corporum quam in brevioribus.
Si rejiciatur lux omnis erratica, manebit diameter saturni haud major
quam 16".

PH^NOMENON III.

Planetas quinque primarios mercurium, venerent, ntartem, jovem
& saturnum orbibus suis solem cingere.

Mercurium & venerem circa solem revolvi ex eorum phasibiis
lunaribus demonstratur. Piena facie lucentes ultra solem siti sunt;
dimidiata e regione soUs ; falcata cis solem, per discum ejus ad modum
macularum nonnunquam transeuntes. E.\ martis quoque plena fade
prope solis conjunctionem, & gibbosa in quadraturis, certum esl, quod
is solem ambit. De jove etiam & saturno idem ex eomm phasibus
semper plenis dcmonstratur : hos enim luce a sole mutuala splendcrc
ex umbris satellitum in ipsos projectis manifestum est

Hsec a Keplero inventa ratio in confesso est apud omnes. Eadem
utique sunt tempora periodica, eiedemque orbium dimensiones, sive
sol circa terram sive terra circa solem revolvatur. Ac de mensura
quidem temporum periodicorum convenit inter astronomos universos.
Magnitudines autem orbium Kepleriis & Dullialdus omnium diligen-
tissime ex observationibus determinaverunt : & distantis mediocres,
quse temporibus periodlcis respondent, non difierunt sensibiliter a
distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum
intermediEe; uti in tabula sequente videre licet,

Planctarum ac tcllurts tempora periodica eirca solem respectu fixarum,
in diebus & partibus decimalibtts diei.

h 4

10759.275- 433M'4-

6
686,9783.

t
365.2565-

Planetanim ac telluris distantia: mediocres a sole.

Secundum tempora periodica

4

951000. 519650.
9541 . " _ .
954006. 530096.

5»3So-
5»3So-
5»369-

De distantiis mercurii & veneris a sole disputandi non est locus,
cum hEc per eorum elongationes a sole determinentur. De distantiis
etiam superiorum planetarum a sole tollitur omnis disputatio per
eclipses satellitum jovis. Etenim per eclipses illas determinatur
positio umbr^e quam jupiter projicit, & eo nomine habetur jovis
longitudo heliocentrica, Ex longitudinibus autem heliocentrica &
geocentrica inter se collatis determinatur distantia jovis.

394

DE MVNDI SYSTEMATE

PHiCNOMENON V.

Planetas primarios radiis ad terram ductis areas describere temporibus
minime proportionales ; at radiis ad solem ductis areas temporibus
proportionales perc7irrere,

Nam respectu terrae* nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt,
nunc etiam regrediuntur : At solis respectu semper progrediuntur,
idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen
in periheliis ac tardius in apheliis, sic ut arearum aequabilis sit
descriptio. Propositio est astronomis notissima, & in jove apprime
demonstratur per eclipses satellitum, quibus eclipsibus heliocentricas
planetae hujus longitudines & distantias a sole determinari diximus.

PHiENOMENON VL

Lufiam radio ad centrum terree ducto aream tempori proporiiofiale^n

describere.

Patet ex lunae motu apparente cum ipsius diametro apparente
collato. Perturbatur autem motus lunaris aliquantulum a vi solis,
sed errorum insensibiles minutias in hisce phaenomenis negligo.

LIBER TERTIUS, 395

PROPOSITION ES,

PROPOSITIO I. THEOREMA I.

Vires^ qtiibus planetc€ circujujoviales perpetuo retrahiuittir a motibus
rectili?ieis & in orbibus suis retinentury respicere centrum jovis
& esse reciproce ut qtiadrata distafttiartim locorum ab eodem
centro,

Patet pars prior propositionis per phaenomenon primum & pro-
positionem secundam vel tertiam libri primi : & pars posterior per
phaenomenon primum & coroUarium sextum propositionis quartae
ejusdem libri.

Idem intellige de planetis qui satumum comitantur, per phaeno-
menon secundum.

PROPOSITIO II. THEOREMA II.

VireSy quibzis planeta: primarii perpetuo retraJiuntur a motibus rectili-
neis & i7i orbibus suis retinentur, respicere solem & esse reciproce ut
quadrata distantiarum ab ipsius centro,

Patet pars prior propositionis per phaenomenon quintum & propo-
sitionem secundam libri primi: & pars posterior per phaenomenon
quartum & propositionem quartam ejusdem libri. Accuratissime
autem demonstratur hsec pars proposigonis per quietem apheliorum.

Nam aberratio quam minima a ratione duplicata (per corol. i
prop. XLV lib. i) motum apsidum in singulis revolutionibus notabilem,
in pluribus enormem, efficere deberet.

396 DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO III. THEOREMA IIl.

Vim, qua luna retinetur in orbe suo, respicere terram & esse recifiroce
ut quadratum distantia locorum ab ipsius ceniro.

Patet assertionis pars prior per phaenomenon sextum & proposi-
tionem secundam vel tertiam libri primi : & pars posterior per motum
tardissimum Umaris apogEei, Nam motus il!e, qui singulis revolution-
ibus est graduum tantum trium & minutorum trium in consequentia,
contemni potest Patet enim (per corol. i prop. xlv lib. i) quod
si distantia lunx a centro terrse sit ad semidiametrum terrae ut D ad
I, vis a qua motus talis oriatur sit reciproce ut D^"*, id est,
reciproce ut ea ipsius D dignitas cujus index est 2et3, hoc est, in
ratione distantise paulo majore quam dupllcata inverse, sed quie
partibus 59? propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit
Oritur vero ab actione solis (uti posthac dicetur) & propterea hic
negligendus est. Actio soHs, quatenus lunam distrahit a terra, est ut
distantia lun^e a terra quamproxime ; ideoque (per ea quse dicuntur
in corol. 2 prop. XLV lib. r) est ad lunae vim centripetam ut 2 ad
357,45 circiter, seu r ad i^SIS. Et neglecta solis vi tantilla vis
reliqua qua luna retlnetur in orbe erit reciproce ut D". Id quod
etiam plenius constabit conferendo hanc vim cum vi gravitatJs, ut fit
in propositione sequente.

Corol. Si vis centripeta mediocris qua luna retinetur in orbe
augeatur primo in ratione i^^Trad 1 78f&, deinde etiam in ratione
duplicata semidlametri terrae ad mediocrem distantiam centri lunx
a centro terrse : habebitur vis centripeta lunaris ad superficiem ternc
posito quod vis illa descendendo ad superficiem terra: perpetuo
augeatur in reciproca altitudinis ratione duplicata.

PROPOSITIO IV. THEOREMA IV.

Lunatn gravttarc in terram, & vi gravitatis retrahi sentper a motu

rectilineo & in orbe suo retineri.

Lunae distantia mediocris a terra in syzygiis est semidiametromni
terrestrium secundum Ptolenueum & plerosque astronomorum 59.

LIBER TERTIVS.

397

secundum Vendelinum & Hugenium 60, secundum Copemicum 6oy,
secundum Strcetum 60I, & secundum Tychonem 56^. Ast Tycho,
& quotquot ejus tabulas refractionum sequuntur, constituendo re-
fractiones solis & lunae (omnino contra naturam lucis) majores
quam fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt
parallaxin lunae scrupulis totidem, hoc est, quasi duodecima vel de-
cima quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, & dis-
tantia evadet quasi 6oy semidiametrorum terrestrium, fere ut ab
aliis assignatum est Assumamus distantiam mediocrem sexaginta
semidiametrorum in syzygiis ; & lunarem periodum respectu fixarum
compleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab astronomis
statuitur ; atque ambitum terrae esse pedum Parisiensium 123249600,
uti a Gallis mensurantibus definitum est: & si luna motu omni
privari fingatur ac dimitti, ut urgente vi illa omni, qua (per corol.
prop. iii) in orbe suo retinetur, descendat in terram; haec spatio
minuti unius primi cadendo describet pedes Parisienses i5tt. Col-
ligitur hoc ex calculo vel per propositionem xxxvi libri primi,
vel (quod eodem recidit) per coroUarium nonum propositionis quartae
ejusdem libri, confecto. Nam arcus illius quem luna tempore minuti
unius primi, medio suo motu, ad distantiam sexaginta semidiame-
trorum terrestrium describat, sinus versus est pedum Parisiensium
15A circiter, vel magis accurate pedum 15 dig. i & lin. It. Unde,
cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata distantiae
ratione inversa ideoque ad superficiem terrae major sit partibus 60
X 60 quam ad lunam, corpus vi illa in regionibus nostris cadendo
describere deberet spatio minuti unius primi pedes Parisienses 60
X60X15A, & spatio minuti unius secundi pedes i^tV, vel magis
accurate pedes 15 dig. i & lin. it. Et eadem vi gravia revera de-
scendunt in terram. Nam penduli, in latitudine Lutetiae Parisiorum
ad singula minuta secunda oscillantis, longitudo est pedum trium
Parisiensium & linearum 8J, ut observavit Hugenius. Et altitudo
quam grave tempore minuti unius secundi cadendo describit, est
ad dimidiam longitudinem penduli hujus in duplicata ratione circum-
ferentiae circuli ad diametrum ejus (ut indicavit etiam Hugefiius)
ideoque est pedum Parisiensium 15 dig. i lin. il. Et propterea
vis qua luna in orbe suo retinetur, si descendatur in superficiem
terrae, aequalis evadit vi gravitatis apud nos, ideoque (per reg. i

398 I>E MUNDI SYSTEMATE

& ii) est illa ipsa vis quam nos gravitatem dicere solemus. Nam
si gravitas ab ea diversa esset, corpora viribus utrisque conjunctis
terram petendo duplo velocius descenderent, & spatio minuti unius
secundi cadendo describerent pedes Parisienses ^oj : omnino contra
experientiam.

Calculus hic fundatur in hypothesi quod terra quiescit Nam si
terra & luna moveantur circum solem, & interea quoque circum
commune gravitatis centrum revolvantur ; manente lege gravitatis
distantia centrorum lunar ac terrse ab invicem erit 6oj semidiametro-
rum terrestrium circiter ; uti computationem ineunti patebit. Com-
putatio autem inJri potest per prop. lx lib. i.

Scholiiiin.
Demonstratio propositionis sic fusius explicari potest. Si lunce
plures circum terram revolverentur, perinde ut fit in systemate
saturni vel jovis : harum tempora perlodica (per argximentum in-
ductionis) observarent legem planetarum a Keplero detectam, &
propterea harum vires centripetx forent reciproce ut quadrata dis-
tantiantm a centro terrs, per prop. i hujus. Et si earum infima
esset parva, & vertices altissimorum montium prope tangeret :
hujus vis centripeta, qua retlneretur in orbe. gravitates corponim
in verticibus illorum montlum (per computationem pra^cedentem)
sequaret quamproxime, efficeretque ut eadem lunula, si motii omni
quo pergit in orbe suo privaretur, defectu vis centrifuga;, qua in
orbe permanserat, descenderet in terram, idque eadem cum velo-
citate qua gravla cadunt in illorum montium verticibus, propter
sequalitatem virium quibus descendunt. Et si vis illa, qua lunula
illa infima descendit, diversa esset a gravitate, & lunula illa etiam
gravis esset in terram more corporum in verticibus montium : eadem
lunula \H utraque conjuncta duplo velocius descenderct. Quare
cum vircs utrjequc. & h<ne corponim gravium, & illse lunanim,
centrum terrse respiclant, & sint inter se similes & a;quales, ejedem
(per reg. i & ii) eandem habebunt causam. Et propterea vis illa,
qua luna retinetur in orbe suo, ea ipsa erit quam nos gravitatem
dicere solemus : idque maxime ne lunula in vertice montis vcl
gravitate careat, vei duplo veloclus cadat quam coq>ora gravia solcnt
cadere.

LIBER TERTIUS,

399

PROPOSITIO V. THEOREMA V.

Planetas circumjoviales graviture in jovem, circumsaturnios in satur-
numy & circumsolares in solem, & vi gravitatis suce retraki
semper a motibus rectilineis, & in ordibus curvilineis retineri,

Nam revolutiones planetarum circumjovialium circa jovem, cir-
cumsaturniorum circa saturnum, & mercurii ac veneris reliquorum-
que circumsolarium circa solem sunt phaenomena ejusdem generis
cum revolutione lunae circa terram; & propterea (per reg. ii) a
causis ejusdem generis dependent : praesertim cum demonstratum sit
quod vires, a quibus revolutiones illae dependent, respiciant centra
jovis, saturni ac solis, & recedendo a jove, satumo & sole decrescant
eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decrescit in recessu a
terra.

CoroL I. Gravitas igitur datur in planetas universos. Nam vene-
rem, mercurium, caeterosque esse corpora ejusdem generis cum
jove & saturno nemo dubitat. Et cum attractio omnis per motus
legem tertiam mutua sit, jupiter in satellites suos omnes, satumus
in suos, terraque in lunam, & sol in planetas omnes primarios gra-
vitabit.

Corol. 2. Gravitatem, quae planetam unumquemque respicit, esse
reciproce ut quadratum distantiae locorum ab ipsius centro.

Corol. 3. Graves sunt planetae omnes in se mutuo per corol. i
& 2. Et hinc jupiter & saturnus prope conjunctionem se invicem
attrahendo sensibiliter perturbant motus mutuos, sol perturbat motus
lunares, sol & luna perturbant mare nostrum, ut in sequentibus
explicabitur.

Scholittm.

Hactenus vim illam qua corpora coelestia in orbibus suis retinentur
centripetam appellavimus. Eandem jam gravitatem esse constat, &
propterea gravitatem in postemm vocabimus. Nam causa vis illius
centripetae, qua luna retinetur in orbe, extendi debet ad omnes
planetas per reg. i, 11, & iv.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO VI. THEOREMA VI.

Corpora omnia m plattetas singulos gravitare, & pondera corum in
eundem quemvis planetam, paribus distantiis a centro planeta:, pro-
portionalia esse quantitati materia: in singulis.

Descensus gravium omnium in terram (dempta sahem inaeqiiali
retardatione qus ex aeris perexigua resistentia oritur) ccqualibus
temporibus fieri, jamdudum observarunt alii ; & accuratissime quidem
notare licet squalltatem temporum in pendulis. Rem tentavi in
auro, argento, plumbo, vitro, arena, sale communi, ligno, aqua.
tritico. Comparabam pyxides duas ligneas rotundas & aequales.
Unam implebam Hgno, & idem auri pondus suspendebam (quam
potui exacte) in alterius centro oscillationis. Pyxides ab a;qualibus
pedum undecim filis pendentes coiistituebant pendula, quoad
pondus, figuram, & aeris resistentiam omnino paria : & paribus
oscillationibus, juxta positJE, ibant una & redibant diutissime.
Proinde copia materlte in auro (per corol. i & 6 prop. xxiv lib. ii.)
erat ad copiam materiae in ligno, ut vis motricis actio in totum
aurum ad ejusdem actionem in totum lignum ; hoc est, ut pondus
ad pondus. Et sic in ca:terls. In corporibus cjusdem ponderis
differentia materiie, qus vel minor esset quam pars millesima mate-
ria: totius, his experimentis manifesto deprehendi potuit. Jam vero
naturam gravitatis in planetas eandem esse atque in terram non est
dubium. Elevari enim fingantur corpora h^c terrestria ad usque
orbem lunx & una cum luna motu omni privata demitti, ut in
terram simul cadant ; & per jam ante ostensa certum est quod lem-
poribus cequalibus describent xqualla spatia cum luna, ideoque quod
sunt ad quantitatem materia: in luna, ut pondera sua ad ipsius pondus.
Porro quoniam satellites jovis temporibus revolvuntur quae sunt in
ratione sesquiplicata distantiarum a centro jovis, erunt eorum gravi-
tates acceleratrices in jovem rcciproce ut quadrata distantiarum a cen-
tro jovis ; & propterea in a;qualibus a jove distantiis, eoruin gravilates
acceleratrices evaderent asquales. Proinde temporibus xqualibus ab
a;qualibus altitudinlbus cadendo, describcrent a;qualia spatia ; perindc

LIBER TERTIUS,

401

ut fit in gravibus in hac terra nostra. Et eodem argumento planetae

circumsolares, ab aequalibus a sole distantiis demissi, descensu suo

in solem aequalibus temporibus aequalia spatia describerent. Vires

autem, quibus corpora inaequalia aequaliter accelerantur^ sunt ut

corpora ; hoc est, pondera ut quantitates materiae in planetis. Porro

jovis & ejus satellitum pondera in solem proportionalia esse quan-

titatibus materiae eorum patet ex motu satellitum quam maxime

regulari ; per corol. 3 prop. lxv lib. i. Nam si horum aliqui

magis traherentur in solem, pro quantitate materiae suae, quam

caeteri : motus satellitum (per corol. 2 prop. lxv lib. i) ex inae-

qualitate attractionis perturbarentur. Si, paribus a sole distantiis,

satelles aliquis gravior esset in solem pro quantitate materiae suae,

quam jupiter pro quantitate materiae suae, in ratione quacunque

data, puta ^ ad e: distantia inter centrum solis & centrum orbis

satellitis major semper foret quam distantia inter centrum solis &

centrum jovis in ratione subduplicata quam proxime ; uti calculo

quodam inito inveni. Et si satelles minus gravis esset in solem

in ratione illa d ad ^, distantia centri orbis satellitis a sole minor

foret quam distantia centri jovis a sole in ratione illa subduplicata.

Ideoque si, in aequalibus a sole distantiis, gravitas acceleratrix sateL

litis cujusvis in solem major esset vel minor quam gravitas accele-

ratrix jovis in solem, parte tantum millesima gravitatis totius ; foret

distantia centri orbis satellitis a sole major vel minor quam distantia

jovis a sole parte Txnny distantiae totius, id est, parte quinta distantiae

satellitis extimi a centro jovis : quae quidem orbis eccentricitas

foret valde sensibilis. Sed orbes satellitum sunt jovi concentrici,

& propterea gravitates acceleratrices jovis & satellitum in solem

aequantur inter se. Et eodem argumento pondera saturni & comitum

ejus in solem, in aequalibus a sole distantiis, sunt ut quantitates

materiae in ipsis : & pondera lunae ac terrae in solem vel nulla sunt,

vel earum massis accurate proportionalia. Aliqua autem sunt per

corol. I & 3 prop. v.

Quinetiam pondera partium singularum planetae cujusque in alium

quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si

partes aliquae plus gravitarent, aliae minus, quam pro quantitate

materiae : planeta totus, pro genere partium quibus maxime abundet,

gravitaret magis vel minus quam pro quantitate materiae totius. Sed

2 c

402 DE MUNDI SYSTEMATE

nec refert utnim partes illje extern^ slnt vel internse. Nam sl verbi
gratia corpora terrestria, qu^ apud nos sunt, in orbem lunre elevari
fingantur, & conferantur cum corpore luns : si iiorum pondera essent
ad pondera partium externarum luna; ut quantitates materi^ in iisdem,
ad pondera vero partium internarum in majori vel minori ratione,
forent eadem ad pondus lunce totius in majori vel minori rattone :
contra quam supra ostensum est,

Corol. I. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis
& texturis. Nam si cum formis variari possent ; forent majora vel
minora, pro varictate formarum, in iequali materia : omnino contra
experientiam.

Corol. 2. Corpora universa, quze circa terram sunt, gravia sunt
in terrani ; & pondera omnium, qu^ asqualiter a centro terrre
distant, sunt ut quantitates materice in iisdem. Wxc est qualitas
omnium in quibus experimenta instituere licet, & propterea pcr reg.
III de universis affirmanda est. Si ffither aut cor|]us aliud quod-
cunque vel gravitate omnino destitueretur, vel pro quantitate
materijE suce minus gravltaret : quoniam id (ex mente Aristolelis,
Cariesii & aliorum) non differt ab aliis corporibus nisi in forma
materi^, posset idem per mutationcm formae gradatim transmutari
in corpus ejusdem conditionis cum iis, qua; pro quantitate materia;
quam ma,\ime gravitant, & vicissim corpora maxime gravia, for-
mam illius gradatim inducndo, possent gravitatem suam gradatini
amittere. Ac proinde pondera penderent a formis corponim, pos-
sentque cum formis variari, contra quam probatum est Jn coroHario
superiore.

Coroi. 3. Spatia omnia non sunt ^equaliter plena. Nam si spatia
omnia squaliter plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio acris
impleretur, ob summam densitalem materii^, nil cederet gravitali
speciiica; atgenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunquc
densissimi ; & propterca nec aurum ncque aliud quodcunque corpus
in aere descendere posseL Nam corpora in fluidis, nisi spccifice
graviora sint, minime descendunt. Quod sl quantitas materix in
spatio dato per rarefactionem quamcunque diminui possit, quiJni
diminut possit in infinitum ?

Coroi. 4. Si omncs omnium corponim particulae solidx sint
ejusdem densitatis, neque sine poris rarefieri possint, vacuum datur.

LIBER TERTIUS,

403

Ejusdem densitatis esse dico, quarum vires inertiae sunt ut magni-
tudines.

• CoroL 5. Vis gravitatis diversi est generis a vi magnetica. Nam
attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua magis
trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Et vis magnetica in
uno & eodem corpore intendi potest & remitti, estque nonnunquam
longe major pro quantitate materiae quam vis gravitatis, & in recessu
a magnete decrescit in ratione distantiae non duplicata, sed fere
triplicata,quantum ex crassis quibusdam observationibus animadvertere
potui.

PROPOSITIO VII. THEOREMA VII.

GravitatefH in corpora universa Jieri, eamqne proportionalent esse

quantitati ntaterice in singulis.

Planetas pmnes in se mutuo graves esse jam ante probavimus, ut
& gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciproce ut
quadratum distantiae locorum a centro planetae. Et inde consequens
est (per prop. lxix lib. i & ejus corollaria) gravitatem in omnes
proportionalem esse materiae in iisdem.

Porro cum planetae cujusvis A partes omnes graves sint in plane-
tam quemvis B, & gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius,
ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni reactio (per
motus legem tertiam) aequalis sit ; planeta B in partes omnes planetae
A vicissim gravitabit, & erit gravitas sua in partem unamquamque
ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad materiam totius.
Q. E. D.

Corol. I. Oritur igitur & componitur gravitas in planetam totum
ex gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in
attractionibus magneticis & electricis. Oritur enim attractio omnis
in totum ex attractionibus in partes singulas. Res intelligetur in
gravitate, concipiendo planetas plures minores in unum globum
coire & planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus
partium componentium oriri debebit Siquis objiciat quod corpora
omnia, quae apud nos sunt, hac lege gravitare deberent in se mutuo,
cum tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur : respondeo quod

404

DE MUNDI SYSTEMATE

gravitas in liEec corpora, cum sit ad gravitatem in terram totam iit
sunt hsec corpora ad terram totam, longe minor est quam qute sentiri
possit.

Corof. 2. Gravitatio in singulas corporis particulas tequales est
reciproce ut quadratum distantias locorum a particulis, Patet per
corol. 3 prop. Lxxiv lib. i.

PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIH.

Sz globorum duorum in se mutuo gravitantium materia undique in
regionibus, gu(B a centris argualiter distant, iwmogema sit : eril
pOttdus globi altenttrius in altcrum reciproce ut guadratum distantite
inter centra.

Postquam invenissem gravitatem in planetam totum oriri & com-
poni ex gravitatibus in partes ; & esse in partes singulas reciproce
proportlonalem quadratis distantianim a partlbus : dubitabam an
reciproca illa proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex
vlribus pluribus composita, an vero quam proxime. Nam fieri posset
ut proportio, qus in maiorlbus distantiis satis accurate obtJneret,
prope superficiem planeta; ob incequales particularum distantias &
situs dissimiles, notabiliter errarct. Tandem vero, per prop. lxxv &
Lxxvi libri primi & ipsarum corollaria, intellexi veritatem proposi-
tionis de qua hlc agitur.

Corol. I. Hinc inveniri & intcr se comparari possimt pondera
corponim in diversos planetas. Nam pondera corporum xqualium
circum planetas in circulis revolventium sunt (per corol. 2 prop. i\*
lib. i) ut diametri circulorum directe & quadrata temporum periodi-
corum inverse ; & pondera ad superficies planetarum, aliasve quasvis
a centro dlstantias, majora sunt vel minora (per hanc propositionem)
in duplicata ratione distantianim inversa. Sic ex temporibus perio-
dicis veneris circum solem dierum 224 & horarum 16^1, satellitis
extimi circumjovialis circum jovem dierum 16 & horarum t6AtSa-
tellitis Hugeniani circum saturnum dierum 15 & horarum 23}, &
lunx circum terram dierum 27 hor. 7 min. 43, collatis cum distantia
mediocri veneris a sole & cum elongationlbus maximis heliocentri-
cis satellitis extimi circumjovialis a centro jovis 8' 16", .satellim

LIBER TERTIUS.

405

Hugeniani a centro saturni 3' 4", & lunae a centro terrae 10' 33'',
computum ineundo inveni quod corporum aequalium & a centro solis,
jovis, saturni ac terrae aequaliter distantium pondera sint in solem,
jovem, saturnum ac terram ut i, ttjVt, Wjt, & igo^asa respective, &
auctis vel diminutis distantiis, pondera diminuuntur vel augentur in
duplicata ratione : pondera aequalium corporum in solem, jovem,
satumum ac terram in distantiis loooo, 997, 791, & 109 ab eorum
centris, atque ideo in eorum superficiebus, erunt ut loooo, 943, 529,
& 435 respective. Quanta sint pondera corponim in superficie lunae
dicetur in sequentibus.

CoroL 2. Innotescit etiam quantitas materiae in planetis singulis.
Nam quantitates materiae in planetis sunt ut eorum vires in aequalibus
distantiis ab eorum centris, id est, in sole, jove, saturno ac terra
sunt ut I, TTxVr, W-rr, & ig&^aeg respective. Si parallaxis solis statuatur
major vel minor quam 10" 30"', debebit quantitas materiae in terra
augeri vel diminui in triplicata ratione.

CoroL 3. Innotescunt etiam densitates planetarum. Nam pondera
corporum aequalium & homogeneorum in sphaeras homogeneas sunt
in superficiebus sphaerarum ut sphaerarum diametri, per prop. lxxii
Hb. I, ideoque sphaerarum heterogenearum densitates sunt ut pon-
dera illa applicata ad sphaerarum diametros. Erant autem verae
solis, jovis, satumi ac terrae diametri ad invicem ut loooo, 997, 791,
& 109, & pondera in eosdem ut loooo, 943, 529 & 435 respective,
& propterea densitates sunt ut 100, 94I, 67 & 400. Densitas terrae
quae prodit ex hoc computo non pendet a parallaxi solis, sed deter-
minatur per parallaxin lunae, & propterea hic recte definitur. Est
igitur sol paulo densior quam jupiter, & jupiter quam saturnus, &
terra quadmplo densior quam sol. Nam per ingentem suum calorem
sol rarescit Luna vero densior est quam terra, ut in sequentibus
patebit

CoroL 4. Densiores igitur sunt planetae qui sunt minores, caeteris
paribus. Sic enim vis gravitatis in eomm superficiebus ad aequali-
tatem magis accedit Sed & densiores sunt planetae, caeteris paribus,
qui sunt soli propiores ; ut jupiter saturno, & terra jove. In diversis
utique distantiis a sole collocandi erant planetae ut quilibet pro
gradu densitatis calore solis majore vel minore fmeretur. Aqua
nostra, si terra locaretur in orbe saturni, rigesceret, si in orbe

4o6 J^R MUNDI S YSTEMA TE

mercurii in vapores statim abiret Nam lux solis, cui calor propor-
tionalis est, septuplo densior est in orbe mercurii quam apud nos : &
thermometro expertus sum quod septuplo solis aestivi calore aqua
ebullit. Dubium vero non est quin materia mercurii ad calorem
accommodetur, & propterea densior sit hac nostra; cum materia
omnis densior ad operationes naturales obeundas majorem calorem
requirat

PROPOSITIO IX. THEOREMA IX.

Gravitatem pergefido a mperficiebus planetarum deorstim decrescere in

ratione distantiarum a centro guafn proxime.

Si materia planetae quoad densitatem uniformis esset, obtineret
haec propositio accurate : per prop. lxxiii lib. i. Errorjgitur tantus
est, quantus ab inaequabili densitate oriri possit

PROPOSITIO X. THEOREMA X.
Motus plafietarum in coelis diutissime conservari posse.

\n scholio propositionis xl lib. ii ostensum est quod globus
aquae congelatae, in aere nostro libere movendo & longitudinem
semidiametri suae describendo, ex resistentia aeris amitteret motus
sui partem tAf. Obtinet autem eadem proportio quam proxime
in globis utcunque magnis & velocibus. Jam vero globum terrae
nostrae densiorem esse, quam si totus ex aqua constaret, sic colligo.
Si globus hicce totus esset aqueus, quaecunque rariora essent quam
aqua, ob minorem specificam gravitatem emergerent & supernata-
rent Eaque de causa globus terreus aquis undique coopertus, si
rarior esset quam aqua, emergeret alicubi, & aqua omnis inde
defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio terrae
nostrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec si densior non
esset, emergeret ex maribus, & parte sui pro gradu levitatis extaret
ex aqua, maribus omnibus in regionem oppositam confluentibus.
Eodem argumento maculae solares leviores sunt quam materia lucida
solaris cui supernatant Et in formatione qualicunque planeta-
rum, ex aqua materia omnis gravior, quo tempore massa fluida erat.

LIBER TERTIUS.

407

centrum petebat. Unde cum terra communis suprema quasi duplo
gravior sit quam aqua, & paulo inferius in fodinis quasi triplo vel
quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur : verisimile est
quod copia materiae totius in terra quasi quintuplo vel sextuplo
major sit quam si tota ex aqua constaret ; praesertim cum terram
quasi quadruplo densiorem esse quam jovem jam ante ostensum siL
Quare si jupiter paulo densior sit quam aqua, hic spatio dierum tri-
ginta, quibus longitudinem 459 semidiametrorum suarum describit,
amitteret in medio ejusdem densitatis cum aere nostro motus sui
partem fere decimam. Verum cum resistentia mediorum minuatur
in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, quae partibus 13I levior
est quam argentum vivum, minus resistat in eadem ratione ; &
aer, qui partibus 860 levior est quam aqua, minus resistat in eadem
ratione : si ascendatur in ccelos ubi pondus medii, in quo planetae
moventur, diminuitur in immensum, resistentia prope cessabit Os-
tendimus utique in scholio ad prop. xxii lib. 1 1 quod si ascenderetur
ad altitudinem milliarium ducentorum supra terram, aer ibi rarior
foret quam ad superficiem terrae in ratione 30 ad 0,0300300000)003998,
seu 75000000000000 ad 1 circiter. Et hinc stella jovis in medio
ejusdem denskatis cum aere illo superiore revolvendo, tempore
annorum 1 000000, ex resistentia medii non amitteret motus sui partem
decimam centesimam millesimam. In spatiis utique terrae proximis,
nihil invenitur quod resistentiam creet praeter aerem exhalationes
& vapores. His ex vitro cavo cylindrico diligentissime exhaustis
gravia intra vitrum liberrime & sine omni resistentia sensibili cadunt ;
ipsum aurum & pluma tenuissima simul demissai aequali cum velo-
citate cadunt, & casu suo describendo altitudinem pedum quatuor sex
vel octo simul incidunt in fundum, ut experientia compertum est.
Et propterea si in coelos ascendatur aere & exhalationibus vacuos,
planetse & cometae sine omni resistentia sensibili per spatia illa
diutissime movebuntur.

4o8 DE MVNDl SYSTEMATE

HYPOTHESIS I.

Centrum systematis mundani quiescere.

Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui terram, alii solem
in centro systematis quiescere contendant. Videamus quid inde
sequatur.

PROPOSITIO XI. THEOREMA XI.

Commune cefitrum gravitatis terrce, solis & planetarum omnium

guiescere.

Nam centrum illud (per legum corol. iv) vel quiescet vel pro-
gredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progre-
diente centrum mundi quoque movebitur contra hypothesin.

PROPOSITIO XII. THEOREMA XII.

Solem motu perpetuo agitari, sed nunquam longe recedere a communi

gravitatis centro planetarum omnium.

Nam cum (per corol. 2 prop. viii) materia in sole sit ad materiam
in jove ut 1067 ad i, & distantia jovis a sole sit ad semidiametrum
solis in ratione paulo majore ; incidet commune centrum gravitatis
jovis & solis in punctum paulo supra superficiem solis. Eodem
argumento cum materia in sole sit ad materiam in satumo ut 302 1
ad i, & distantia satumi a sole sit ad semidiametrum solis in ratione
paulo minore : incidet commune centrum gravitatis satumi & solis
in punctum paulo infra superficiem solis. Et ejusdem calculi vestigiis
insistendo si terra & planetae omnes ex una soHs parte consisterent,
commune omnium centrum gravitatis vix integra solis diametro a
centro solis distaret. Aliis in casibus distantia centromm semper
minor est. Et propterea, cum centrum illud gravitatis perpetuo
quiescit, sol pro vario planetarum situ in omnes partes movebitur, sed
a centro illo nunquam longe recedet.

Corol, Hinc commune gravitatis centrum terrae, solis & plane-
tamm omnium pro centro mundi habendum est Nam cum terra,

LIBER TERTIUS,

409

sol & planetae omnes gravitent in se mutuo, & propterea, pro vi
gravitatis suae, secundum leges motus perpetuo agitentur : perspicuum
est quod horum centra mobilia pro mundi centro quiescente haberi
nequeunt. Si corpus illud in centro locandum esset in quod corpora
omnia maxime gravitant (uti vulgi est opinio) privilegium istud
concedendum esset soli. Cum autem sol moveatur, eligendum erit
punctum quiescens, a quo centrum solis quam minime discedit, & a
quo idem adhuc minus discederet, si modo sol densior esset & major,
ut minus moveretur.

PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII.

Planette moventur in ellipsibtis umbilicum habentibus in centro solisy
& radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus
proportionales.

Disputavimus supra de his motibus ex phaenomenis. Jam cog-
nitis motuum principiis, ex his colligimus motus coelestes a priori.
Quoniam pondera planetarum in solem sunt reciproce ut quadrata
distantiarum a centro solis ; si sol quiesceret & planetae reliqui non
agerent in se mutuo, forent orbes eorum elliptici, solem in umbilico
communi habentes, & areae describerentur temporibus proportionales
(per prop. i & xi & corol. i prop. xiii lib. i) actiones autem
planetarum in se mutuo perexiguae sunt (ut possint contemni) &
motus planetarum in elHpsibus circa solem mobilem minus perturbant
(per prop. lxvi lib. 1) quam si motus isti circa solem quiescentem
peragerentur.

Actio quidem jovis in satumum non est omnino contemnenda.
Nam gravitas in jovem est ad gravitatem in solem (paribus distantiis)
ut I ad 1067; ideoque in conjunctione jovis & saturni, quoniam
distantia saturni a jove est ad distantiam satumi a sole fere ut 4 ad 9,
erit gravitas saturni in jovem ad gravitatem saturni in solem ut 81 ad
16 X 1067 seu I ad 211 circiter. Et hinc oritur perturbatio orbis
saturni in singulis planetae hujus cum jove conjunctionibus adeo
sensibilis ut ad eandem astronomi haereant. Pro vario situ planetae in
his conjunctionibus, eccentricitas ejus nunc augetur nunc diminuitur,
aphelium nunc promovetur nunc forte retrahitur, & medius motus

4IO

DE MUNDI SYSTEMATE

per vices acceleratur & retardatur. Error tamen omnis in motu
ejus circum solem a tanta vi oriundus (prseterquam in motu medio)
evitari fere potest constituendo umbilicum inferiorem orbis ejus in
communi centro gravitatis jovis & solis (per prop. lxvii lib. i) &
propterea ubi maximus est vix superat minuta duo prima. Et error
maximus in motu medio vix superat minuta duo prima annuatim. In
conjunctione autem jovis & saturni gravitates acceleratrices solis in
saturnum, jovis in saturnum & jovis in solem sunt fere ut i6, 8i &

^- ^ ^ seu 156609, ideoque differentia gravitatum solis in

25
saturnum & jovis in saturnum est ad gravitatem jovis in solem ut 65

ad 156609 seu i ad 2409. Huic autem differentiae proportionalis

est maxima satumi efficacia ad perturbandum motum jovis, & prop-

terea perturbatio orbis jovialis longe minor est quam ea saturnii.

Reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores, praeter-

quam quod orbis terrae sensibiliter perturbatur a luna. Commune

centrum gravitatis terrae & lunae elHpsin circum solem in umbilico

positum percurrit, & radio ad solem ducto areas in eadem temporibus

proportionales describit, terra vero circum hoc centrum commune

motu menstruo revolvitur.

PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIV.
Orbium aphelia & nodi quiescunt.

Aphelia quiescunt, per prop. xi lib. i ; ut & orbium plana, per
ejusdem libri prop. i & quiescentibus planis quiescunt nodi. Atta-
men a planetarum revolventium & cometarum actionibus in se invicem
orientur inaequalitates aliquae, sed quae ob parvitatem hic contemni
possunt.

CoroL i. Quiescunt etiam stellae fixae, propterea quod datas ad
aphelia nodosque positiones servant.

Corol. 2. Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex
terrae motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum
distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione systematis nostri.
Quinimo fixae in omnes cceli partes aequaliter dispersae contrariis
attractionibus vires mutuas destruunt, per prop. lxx lib. i.

LIBER TERTIUS, 41 1

Scholium.

Cum planetae soli propiores (nempe mercurius, venus, terra, &
mars) ob corporum parvitatem parum agant in se invicem : horum
aphelia & nodi quiescent, nisi quatenus a viribus jovis, saturni
& corporum superiorum turbentur. Et inde colligi potest per
theoriam gravitatis, quod horum aphelia moventur aliquantulum in
consequentia respectu fixarum, idque in proportione sesquiplicata
distantiarum horum planetarum a sole. Ut si aphelium martis in
annis centum conficiat 33' 20" in consequentia respectu fixarum ;
aphelia terrae, veneris, & mercurii in annis centum conficient 1 7' 40",
10' 53'', & 4' \6" respective. Et hi motus, ob parvitatem, negli-
guntur in hac proposftione.

PROPOSITIO XV. PROBLEMA I.

Invenire orbitim principales diametros.

Capiendae sunt hae in ratione subsesquiplicata temporum periodi-
corum, per prop. xv lib. i ; deinde sigillatim augendae in ratione
summae massarum solis & planetae cujusque reyolventis ad primam
duarum medie proportionalium inter summam illam & solem, per
prop. LX lib. I.

PROPOSITIO XVI. PROBLEMA II.
Invenire orbitim eccefttricitates & apJielia.

Problema confit per prop. xviii lib. i.

PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV.

Planetaru7n motus diurnos uni/ormes esse, & librationem lunce ex

ipsius motu diurno oriri.

Patet per motus legem i, & corol. 22 prop. lxvi lib. i. Jupiter
utique respectu fixarum revolvitur horis 9 56', mars horis 24 39',
venus horis 23 circiter, terra horis 23 56', sol diebus 25^ & luna
diebus 27 hor. 7. 43'. Haec ita se habere ex phaenomenis manifes-
tum est. Maculae in corpore solis ad eundem situm in disco solis
redeunt diebus 2 7I circiter, respectu terrae ; ideoque respectu fixa-
rum sol revolvitur diebus 25I circiter. Quoniam vero lunae circa

412

DE iMUNDI SYSTEMATE

axem suum uniformiter revolventis dies menstruus est : hujus facies
eadem ulteriorem umbilicum orbis ejus semper respiciet quam-
proxime, & propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde a
terra. Hkc est libratio luna^ in longitudinem. Nam libratio in
latitudinem orta est ex latitudine luuEe & inclinatione axis ejus ad
planum eclipticas. Hanc librationis lunaris theoriam D. N. Afercaior
in astronomia sua, initio anni 1676 edita, ex literis meis plenius
exposuit. Siniiii motu extimus saturni satelles circa axem suum
revotvi videtur, eadem sui facie saturnum perpetuo respiciens. Nam
circum saturnum revolvendo, quoties ad orbis sui partem orienta-
lem accedit, atgerrime videtur & plerumque vlderi cessat : id quod
evenire potest per maculas quasdam in ea corporis parte quae terne
tunc obvertitur, ut Cassimts notavit. Simili etiam motii satelles
extimus jovialis circa axem suum revolvi videtur, propterea quod in
parte corporis jovi aversa maculam habeat qua; tanquam in corpore
jovis cernitur ubicunque satelles inter jovem & oculos nostros
transit.

PROPOSITIO XVIII. THEOREMA XVI.

Axes planetarnm diameh^is qua ad eosdent axes normaliter di4cunttir
minorcs esse.

Planetae sublato omni raotu circulari diurno figuram sphaericam.
ob jequalem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per
motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta iequa-
torem ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu
suo ad zequatorem diametros adaugebit, axem vero descensu suo ad
polos diminuet. Sic jovis diameter (consentientibus astronomorum
observationibus) brevior deprehenditur inter polos quam ab orientc
in occidentem. Eodem argumento, nisi terra nostra paulo altior
esset sub xquatore quam ad polos, maria ad polos subsiderent, &
juxta aequatorem ascendendo ibi omnia inundarent

PROPOSITIO XIX. PROBLEMA III.
Invenire proportionem axis planetts ad diametros eidcnt perpettdicuiarts.
Norwoodus noster clrca annum 1635 mensurando distantiam pedum

LIBER TERTIUS. 413

Londinensium 905751 vaXj^r Londinum & Eboracum, & observando
differentiam latitudinum 2 gr. 28' collegit mensuram gradus unius
esse pedum Londinensium 367196, idest, hexapedarum Parisiensium

57300.

Picartus mensurando arcum gradus unius & 22' 55" in meridiano
inter Ambianum & Malvoisina^n, invenit arcum gradus unius esse
hexapedarum Parisiensium 57060. Cassinus senior mensuravit dis-
tantiam in meridiano a villa Collioure in Roussilion ad observatorium
Parisiense ; & filius ejus addidit distantiam ab observatorio ad turrem
urbis Dufikirk. Distantia tota erat hexapedarum 486 156^, & differ-
entia latitudinum villae Collioure & urbis Dunkirk erat graduum octo
& 31' wi". Unde arcus gradus unius prodit hexapedarum Pari-
siensium 57061. Et ex his mensuris coUigitur ambitus terrse pedum
Parisiensium 123249600, & semidiameter ejus pedum 1 961 5800, ex
hypothesi quod terra sit sphaerica.

In latitudine Lutetice Parisiorum corpus grave tempore minuti
unius secundi cadendo describit pedes Parisienses 15 dig. i lin. \\
ut supra, id est, lineas 21737. Pondus corporis diminuitur per
pondus aeris ambientis. Ponamus pondus amissum esse partem un-
decimam millesimam ponderis totius, & corpus illud grave cadendo
in vacuo describet altitudinem linearum 2 1 74 tempore minuti unius
secundi.

Corpus in circulo ad distantiam pedum 196 15800 a centro, singulis
diebus sidereis horarum 23. 56' 4'' uniformiter revolvens, tempore
minuti unius secundi describet arcum pedum 1433,46, cujus sinus
versus est pedum 0,0523656, seu linearum 7,54064. Ideoque vis,
qua gravia descendunt in latitudine Lutetice, est ad vim centrifugam
corporum in aequatore a terrae motu diurno oriundam, ut 2174 ad
7,54064.

Vis centrifuga corporum in aequatore terrae est ad vim centri-
fugam, qua corpora directe tendunt a terra in latitudine LuteticB
graduum 48. 50' 10", in duplicata ratione radii ad sinum comple-
menti latitudinis illius, id est, ut 7,54064 ad 3,267. Addatur haec
vis ad vim qua gravia descendunt in latitudine illa LuteticF, & corpus
in latitudine illa, vi tota gravitatis cadendo, tempore minuti unius
secundi describet lineas 2177,267 seu pedes Parisienses 15 dig. i
& lin. 5,267. Et vis tota gravitatis in latitudine illa erit ad vim

414

DE MVNDl SYSTEMATE

centrifugam corporum in zequatore terrae ut 2177,267 ad 7,54064 seu
289 ad I.

Unde si A P BQ figuram terrse designet jam non amplius sphae-
ricam sed revolutione ellipseos circum axem minorem PQ genitam,
sitque A CQqca canalis aqu^e plena, a polo Qq ad centrum Cc &
inde ad aequatorem A a pergens : debebit pondus aquae in canalis
crure A Cca esse ad pondus aqu^e in cnire altero Q Ccq ut 289 ad
28S, eo quod vis centrlfuga ex clrculari motu orta partem unam e
ponderis partibus 289 sustinebit ac dctrahet, & pondus 2S8 in altero
crure sustinebit reliquas. Porro (ex propo-
sitionis xcr corol. 2 lib. i) computationem
ineundo invenio quod, si terra constaret ex
uniformi materia motuque omni privaretur
& esset ejus axis P Q nA diametrum AB
ut 100 ad loi, gravitas in loco Q in ler-
ram foret ad gravitatem in eodem loco Q in
sphieram centro C radio PC vel ^ C de
scriptam, ut 126 ad 125. Et eodem argii-
mento gravitas in loco A in sphceroidem, convolutione elHpseos
APBQ circa axem AB descriptam, est ad gravitatem in eodem
loco A in sph^eram centro C radio A C descriptam. ut i 25 ad 126.
Est autem gravitas in loco A \n terram niedia proportionalis inter
gravitatcs in dictam sph^roidem & sphsram : propterea quod sph^eni,
diminuendo diametrum PQ in ratlone loi ad 100, vertilur in figuram
terrEe ; & ha:c figura dimlnuendo In eadem ratione dlametrum teniam,
qiias diametris duabus A B, PQ, perpendlcularis est, vertitur in
dictam sph.-eroidem ; & gravltas In A, m casu utroque, diminuiliir
in eadem ratione quam proxime. Est igitur gravltas in A in sph.Trram
centro C radio A C descriptam ad gravitatem in A in terram ut
126 ad 125?, & gravitas in \ocoQ In sphxram centro C radio QC
descriptam est ad gravitatem in loco A in sphieram centro C radio
A C descriptam in ratione diametronim (per prop. i.xxir lib. 1); id
est, ut 100 ad 101. Conjungantur jam hs tres rationes. 126 ad 125.
126 ad 125J, & 100 ad 101 : & fiet gravitas in loco Q \n terram ad
gravltatem in loco .4 in terram, ut 126 x 126 x 100 ad izsxi^^Jx
101, seu ut 501 ad 500.

1

LIBER TERTIUS.

415

Jam cum (per corol. 3 prop. xci Hb. i) gravitas in canalis crure
utrovis ACca vel QCcq sit ut distantia locorum a centro terrae;
si crura illa superficiebus transversis & eequidistantibus distinguantur
in partes totis proportionales, erunt pondera partium singularum in
crure A Cca ad pondera partium totidem in crure altero, ut mag-
nitudines & gravitates acceleratrices conjunctim ; id est, ut loi ad
100 & 500 ad 501, hoc est, ut 505 ad 501. Ac proinde si vis
centrifuga partis cujusque in crure A Cca ex motu diurno oriunda
fuissct ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eo ut de pondere
partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret ;
manerent pondera in utroque crure a^qualia, & propterea fluidum
consisteret in sequilibrio. Verum vis centrifuga partis cujusque est
ad pondus ejusdem ut i ad 289, hoc est, vis centrifuga quae deberet
esse ponderis pars Va^ est tantum pars Tlir. Et propterea dico,
secundum regulam auream, quod si vis centrifuga wr faciat ut
altitudo aquse in crure A Cca superet altitudinem aquae in crure
Q Ccq parte centesima totius altitudinis : vis centrifuga ^i^ faciet ut
excessus altitudinis in cnire A Cca sit altitudinis in crure altero
QCcq pars tantum ^\^, Est igitur diameter terrae secundum aequa-
torem ad ipsius diametrum per polos ut 230 ad 229. Ideoque cum
terrae semidiameter mediocris, juxta mensuram Ptcarii\ sit pedum
Parisiensium 1 961 5800, seu milliarium 3923,16 (posito quod milliare
sit mensura pedum 5000) terra altior erit ad aequatorem quam ad
polos excessu pedum 85472, seu milliarum 171V. Et altitudo ejus ad
aequatorem erit 19658600 pedum circiter, & ad polos 19573000
pedum.

Si planeta major sit vel minor quam terra manente ejus densitate
ac tempore periodico revoUitionis diurnae, manebit proportio vis
centrifugae ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio
diametri inter polos ad diametrum secundum aequatorem. At si
motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur,
augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, &
propterea differentia diametrorum augebitur vel minuetur in eadem
duplicata ratione quamproxime. Et si densitas planetae augeatur
vel minuatur in ratione quavis, gravitas etiam in ipsum tendens
augebitur vel minuetur in eadem ratione, & differentia diametrorum
vicissim minuetur in ratione gravitatis auctae vel augebitur in ratione

4i6

DE MUNDI SYSTEMATE

gravitatis diminutae. Unde cum terra respectu fixarum revolvatur
horis 23. 56', jupiter autem horis 9. 56', sintque temporum quadrata
ut 29 ad 5, & revolventium densitates ut 400 ad 94^ : differentia

diametrorum jovis erit ad ipsius diametrum minorem ut — x ^^

5 94i

ad I, seu i ad 9J quamproxime. Est igitur diameter jovis ab

229

oriente in occidentem ducta ad ejus diametrum inter polos ut lol
ad 9I quamproxime. Unde cum ejus diameter major sit 37" ejus
diameter minor quae polis interjacet erit 33'' 2^'". Pro luce
erratica addantur 3'' circiter, & hujus planetae diametri apparentes
evadent 40'' & 36'' 2^'" : quae sunt ad invicem ut 1 1 J ad iof quam-
proxim^. Hoc ita se habet ex hypothesi quod corpus jovis sit
uniformiter densum. At si corpus ejus sit densius versus planum
aequatoris quam versus polos diametri ejus possunt esse ad invicem
ut 12 ad II, vel 13 ad 12, vel forte 14 ad 13. Et Cassinus quidem
anno 1691 observavit, quod jovis diameter ab oriente in occidentem
porrecta diametrum alteram superaret parte sui circiter decima
quinta. Poundiis autem noster telescopio pedum 123 longitudinis
& optimo micrometro diametros jovis anno 1719 mensuravit ut
sequitur.

Tempora

•

Diam. max.

Diam. min.

Diametri ad invieem.

dies

Jan. 28
Mar. 6
Mar. 9
Apr. 9

hor.

6

7
7
9

part.

I3»40
I3»I2

I3»'2

12,32

part.
12,28
12,20
12,08
11,48

Ut \2 ad 11

i3f i2|

T2j Il|

I41 13^

Congruit igitur theoria cum phaenomenis. Nam planetse magis
incalescunt ad lucem soHs versus aequatores suos, & propterea paulo
magis ibi decoquuntur quam versus polos.

Quinetiam gravitatem per rotationem diurnam terrae nostrae minui
sub aequatore atque ideo terram ibi altius surgere quam ad polos
(si materia ejus uniformiter densa sit) patebit per experimenta pen-
dulorum quae recensentur in propositione sequente.

LIBER TERTIUS.

417

PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV.

Invenire & inter se comparare pondera corporinn in terrce Jmjus

regionibus diversis.

Quoniam pondera inaequalium crurum canalis aqueae A CQ qca
sequalia sunt ; & pondera partium, cruribus totis proportionalium &
similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, ideoque
etiam aequantur inter se ; erunt pondera a^qualium & in cruribus
similiter sitarum partium reciproce ut crura, id est, reciproce ut 230
ad 229. Et par est ratio homogeneorum & aequalium quorumvis &
in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum pondera sunt
reciproce ut crura, id est, reciproce ut distantiae corporum a centro
terrae. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in
superficie terrse consistant; erunt ponderaeorum ad invicem reciproce
ut distantiae eorum a centro. Et eodem argumento pondera, in aliis
quibuscunque per totam terrae superficiem regionibus, sunt reciproce
ut distantiae locorum a centro ; & propterea, ex hypothesi quod terra
sphaerois sit, dantur proportione.

Unde tale confit theorema, quod incrementum ponderis pergendo
ab aequatore ad polos sit quam proxime ut sinus versus latitudinis
dupHcatae vel, quod perinde est, ut quadratum sinus recti latitudinis.
Et in eadem circiter ratione augentur arcus graduum latitudinis in
meridiano. Ideoque cum latitudo Luteticc Parisiorum sit 48^*50',
ea locorum sub aequatore 00«^ 00', & ea locorum ad polos 90 ^"^* &
duplorum sinus versi sint 11 334, 00000 & 20000, existente radio
loooo, & gravitas ad polum sit ad gravitatem sub aequatore ut 230
ad 229, & excessus gravitatis ad polum ad gravitatem sub aequatore
ut I ad 229 : erit excessus gravitatis in latitudine Luteticv ad gravi-
tatem sub aequatore, ut i x \ll^ ad 229, seu 5667 ad 2290000. Et
propterea gravitates totae in his locis erunt ad invicem ut 2295667
ad 2290000. Quare cum longitudines pendulorum aequalibus tem-
poribus oscillantium sint ut gravitates, & in latitudine Lutetice Pari-
siorum longitudo penduli singulis minutis secundis oscillantis sit
pedum trium Parisiensium & linearum 8i, vel potius ob pondus aeris
8^ : longitudo penduli sub aequatore superabitur a longitudine syn-

2 D

4i8

DE MUNDI SYSTEMATE

chroni penduli Parisiensis excessu lineae unius & 87 partium mille-
simarum linese. Et simili computo confit tabula sequens.

Latitudo loci.

\

Longitudo penduli.

Mensura gradus unius in
meridiano.

grad.

/rt/. //'«.

hexafeda.

0

3 7,468

56637

5

3 7,482

56642

10

3 7,526

56659

•

15

3 7,596

56687

20

3 . 7,692

56724

25

3 7,812

56769

30

3 7,948

56823

35

3 8,099

56882

40

3 8,261

56945

I

3 8,294

56958

2

3 8,327

56971

3

3 8,361

56984

4

3 8,394

56997

45

3 8,428

57010

6

3 8,461

57022

7

3 8,494

57035

8

3 8,528

57048

9

3 8,561

57061

50

3 8,594

57074

55

3 8,756

57137

60

3 8,907

57196

65

3 9,044

57250

70

3 9,162

57295

75

3 9,258

' 57332

80

3 9,329

; 57360

85

3 9,372

1 57377

90

3 9,387

57382

1

Constat autem per hanc tabulam quod graduum ina^qualitas tam
parva sit, ut in rebus geographicis figura terrae pro sphaerica haberi
possit : praesertim si terra paulo densior sit versus planum aequatoris
quam versus polos.

Jam vero astronomi aliqui in longinquas regiones ad observationes
astronomicas faciendas missi obscrvarunt quod horologia oscillatoria
tardius moverentur prope aequatorem quam in regionibus nostris.
Et primo quidem D. Richer hoc observavit anno 1672 in insula
Caymnce, Nam dum observaret transitum fixarum per meridianum

LIBER TERTIUS.

419

mense AtcgustOy reperit horologium suum tardius moveri quam pro
medio motu solis, existente differentia 2' 28'' singulis diebus. De-
inde faciendo ut pendulum simplex ad minuta singula secunda per
horologium optimum mensurata oscillaret, notavit longitudinem
penduli simplicis, & hoc fecit saepius singulis septimanis per menses
decem. Tum in Galliam redux contulit longitudinem hujus penduli
cum longitudine penduli Parisiensis (quse erat trium pedum Parisi-
ensium & octo linearum cum tribus quintis partibus lineae) &
reperit breviorem esse, existente differentia lineae unius cum quadrante.

Postea Halleius noster circa annum 1677 ad. insulam Sandce
Helence navigans reperit horologium suum oscillatorium ibi tardius
moveri quam Londini, sed differentiam non notavit. Pendulum
vero brevius reddidit plusquam octava parte digiti, seu linea una
cum semisse. Et ad hoc efificiendum, cum longitudo cochleae in
ima parte penduli non sufificeret, annulum ligneum thecae cochleae &
ponderi pendulo interposuit.

Deinde anno 1682 D. Varin & D. £>es Hayes invenerunt
longitudinem penduli singulis minutis secundis oscillantis in ob-
servatorio regio Parisiensi esse ped. 3 lin. 81. Et in insula Gorea
eadem methodo longitudinem penduli synchroni invenerunt esse
ped. 3 lin. 6^, existente longitudinum differentia lin. 2. Et
eodem anno ad insulas Guadaloupam & Martinicam navigantes,
invenerunt longitudinem penduli synchroni in his insulis esse ped.
3 lin. (A.

Posthac D. Couplet filius anno 1697 mense ynlio horologium
suum oscillatorium ad motum solis medium in observatorio regio
Parisiensi sic aptavit, ut tempore satis longo horologium cum motu
solis congrueret. Deinde Ulyssipponem navigans invenit quod mense
Novembri proximo horologium tardius iret quam prius, existente
differentia 2' 13'^ in horis 24. Et mense Martio sequente Paraibam
navigans invenit ibi horologium suum tardius ire quam Parisiis,
existente differentia 4' 12" in horis 24. Et afifirmat pendulum
ad miniita secunda oscillans brevius fuisse Ulyssipponi lineis 2\
& Paraibce lineis 3I quam Parisiis. Rectius posuisset differentias
esse il & 2I. Nam hae differentiae differentiis temporum 2' 13'',
& 4' 12'' respondent. Crassioribus hujus observationibus minus
fidendum est.

420

DE MUNDI SYSTEMATE

Annis proximis (1699 & i 700) D. Des Hayes ad Anteriaim dt;ntio
navigans determinavit quod in insulis Cayetmee & Granafics longi-
tudo pcnduli ad minuta secunda oscillantis esset paulo minor qiiam
ped. 3 lin. 6i, quodque in insula S. Christophori longitudo illa
esset ped. 3 lin. 6i-, & quod in Insula S. Dominiei eadem esset
ped. 3 lin. 7.

Annoque 1704. P. Fcuilleus invenit in Porlo-bello in America
longitudinem penduli ad minuta secunda oscillantis esse pedum
trium Parisiensium & linearum tantum 5tif, id est, tribus fere lineis
breviorem quam Luteliie Parisiorum, sed errante observatione,
Nam deinde ad insulam Martinicam navigans, invenit longitu-
dinem penduli isochroni esse pedum tantum trium Parisiensium &
linearum 51!?.

Latitudo autem Paraibce est 6^- 38' ad austrum, & ea Porlo-belii
9^' 33' ad boream, & latitudines insularum Cayenyice, Gorea:, Guada-
loupcc, MarlimoE, Granadar, Sancti Christopiwri, & Sancti Dominiei
sunt respective 4*"' 55'. i^^''- 40', 14^'- 00', i^*'- 44', 12^- 6', i j"'
19', & ig^' 48' ad boream. Et excessus longitudinis penduli
Parisiensis supra longitudines pendulonmi isochronorum in his
latitudinibus observatas sunt paulo majores quam, pro tabula longi-
tudinum penduli superius computata. Et propterea terra aliquanto
altior est sub aequatore quam pro superiore calculo, & densior ad
centnim quam in fodinis prope superficiem, nisi forte calores in zona
torrida longitudinem pendulorum aliquantulum auxerint

Observavit utique D. Picartus quod virga ferrea, qu^ tempore
hyberno ubi gelabant frigora erat pedis unius longitudine, ad ignem
caiefacta evasit pedis unius cum quarta parte lineie. Deinde D.
de la Hire observavit quod virga ferrea quae tempore consimili
hybemo sex erat pedum longitudinis, ubi soli asstivo exponebatur
cvasit sex pcdum longitudinis cum duabus tertlis partibus Hneai. In
priore casu calor major fuit quam In postcriore, in hoc vero major
fuit quam calor externarum partium corporis humani, Nam metalla
ad solem lestivum valde incalescunt, At virga penduli jn horologio
oscillatorio nunquam exponl solet calori solis aestivi, nunquam calorem
concipit calori externx superficiei corporis humani cequalem. El
propterea virga penduli in horologio tres pedes longa paulo
quidem longior erlt tempore ^stivo quam hyberno, sed excessu

LIBBR TERTIUS.

421

quartam partem Hneae unius vix superante. Proinde differentia tota
longitudinis pendulorum quae in diversis regionibus isochrona sunt
diverso calori attribui non potest. Sed neque erroribus astronomorum
e Gallia missorum tribuenda est haec differentia. Nam quamvis
eorum observationes non perfecte congruant inter se, tamen errores
sunt adeo parvi ut contemni possint Et in hoc concordant omnes,
quod isochrona pendula sunt breviora sub aequatore quam in obser-
vatorio regio Parisiensi, existente differentia non minore quam lineae
unius cum quadrante, non majore quam linearum 2I. Per observa-
tiones D. Richeri in Cayenria factas differentia fuit lineae unius cum
quadrante. Per eas D. Des Hayes differentia illa correcta prodiit
lineae unius cum semisse vel unius cum tribus quartis partibus lineae.
Per eas aliorum minus accuratas prodiit eadem quasi duarum line-
arum. Et haec discrepantia partim ab erroribus observationum,
partim a dissimilitudine partium internarum terrae & altitudine mon-
tium, & partim a diversis aeris caloribus oriri potuit.

Virga ferrea pedes tres longa tempore hyberno in Anglia brevior
est quam tempore aestivo, sexta parte lineae unius, quantum sentio.
Ob calores sub aequatore auferatur haec quantitas de differentia lineae
unius cum quadrante a Richero observata, & manebit linea lA : quae
cum linea It^ per theoriam jam ante collecta probe congruit
Ric/ierus autem observationes in Cayenna factas singulis septimanis
per menses decem iteravit, & longitudines penduli in virga ferrea ibi
notatas cum longitudinibus ejus in Gallia similiter notatis contulit
Quae diligentia & cautela in aliis observatoribus defuisse videtur. Si
hujus observationibus fidendum est, terra altior erit ad aequatorem
quam ad polos excessu milliarium septendecim circiter, ut supra per
theoriam prodiit

42 2 DE MUNDI S YSTEMA TE

PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVII.

Puncta (pqtihioctialia regredi, & axem terrce singiilis revohitionibus
annuis nutaftdo dis hiclinari in eclipticam & bis redire ad positioneni
priorem,

Patet per corol. 20 prop. lxvi lib. i. Motus tamen iste nutandi
perexiguus esset debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis.

PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII.

Motus omnes Iwtares, omnesque motuum incvqualitates ex allatis

principiis consequi.

Planetas majores, interea dum circa solem feruntur, posse alios
minores circum se revolventes planetas deferre, & minores illos in
ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere
patet per prop. lxv lib. i. Actione autem solis perturbabuntur
eorum motus multimode, iisque adficientur inaequalitatibus quse in
luna nostra notantur. Haec utique (per corol. 2, 3, 4, & 5 prop.
Lxvi) velocius movetur, ac radio ad terram ducto describit aream
pro tempore majorem, orbemque habet minus curvum atque ideo
propius accedit ad terram in syzygiis quam in quadraturis, nisi qua-
tenus impedit motus eccentricitatis. Eccentricitas enim maxima est
(per corol. 9 prop. lxvi) ubi apogseum lunae in syzygiis versatur, &
minima ubi idem in quadraturis consistit ; & inde luna in perigaeo
velocior est & nobis propior, in apogaeo autem tardior & remotior
in syzygiis quam in quadraturis. Progreditur insuper apogaeum,
& regrediuntur nodi, sed motu inaequabili. Et apogaeum quidem
(per corol. 7 & 8 prop. lxvi) velocius progreditur in syzygiis suis,
tardius regreditur in quadraturis, & excessu progressus supra re-
gressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per corol. 2
prop. Lxvi) quiescunt in syzygiis suis & velocissime regrediuntur
in quadraturis. Sed & major est lunae latitudo maxima in ipsius
quadraturis (per corol. 10 prop. Lxvi) quam in syzygiis : & motus
medius tardior in pcrihelio terrse (per corol. 6 prop. lxvi) quam in
ipsius aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab astrono-
mis notatae.

LIBER TERTIUS.

423

Sunt etiam aliae quaedam a prioribus astronomis non observatae
inaequalitates, quibus motus lunares adeo perturbantur, ut nuUa hac-
tenus lege ad regulam aliquam certam reduci potuerint. Velocitates
enim seu motus horarii apogaei & nodorum lunae & eorundem
aequationes, ut & differentia inter eccentricitatem maximam in syzy-
giis & minimam in quadraturis, & inaequalitas quae variatio dicitur
augentur ac diminuuntur annuatim (per corol. 14 prop. lxvi) in
triplicata ratione diametri apparentis solaris. Et variatio praeterea
augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas
quam proxime (per corol. i & 2 lem. x & corol. 16 prop. lxvi lib. i)
sed haec inaequalitas in caJculo astronomico ad prosthaphaeresin lunae
referri solet, & cum ea confundi.

PROPOSITIO XXIII. PROBLEMA V.

Motus incequales satellitum jovis & saturni a motidus lunaribus

derivare,

Ex motibus lunae nostrae motus analogi lunarum seu satellitum
jovis sic derivantur. Motus medius nodorum satellitis extimi jovialis,
est ad motum medium nodorum lunae nostrae in ratione composita ex
ratione duplicata temporis periodici terrae circa solem ad tempus
periodicum jovis circa solem & ratione simplici temporis periodici
satellitis circa jovem ad tempus periodicum lunae circa terram (per
corol. 16 prop. Lxvi lib. i) ideoque annis centum conficit nodus iste
8^- 24' in antecedentia. Motus medii nodorum satellitum interiorum
sunt ad motum hujus ut illorum tempora periodica ad tempus perio-
dicum hujus (per idem coroUarium) & inde dantur. Motus autem
augis satellitis cujusque in consequentia est ad motum nodorum
ipsius in antecedentia ut motus apogaei lunae nostrae ad hujus motum
nodorum (per idem corol.) & inde datur. Diminui tamen debet
motus augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel i ad 2 circiter ob
causam quam hic exponere non vacat. yEquationes maximae nodo-
rum & augis satellitis cujusque fere sunt ad aequationes maximas
nodorum & augis lunae respective ut motus nodorum & augis satel-
litum tempore unius revolutionis aequationum priorum ad motus
nodorum & apogaei luncC tempore unius revolutionis aequationum

424

DE MVNDI SYSTEMATE

posteriorum. Variatio satelHtis e jove spectati est ad variationem
lunse ut sunt ad invicem toti motus nodorum temporibus quibus
satelles & luna ad solem revolvuntur, per idem coroUarium ; ideoque
in satellite extimo non superat ^" 1 2

jff

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX.
Fluxum & refltixum maris ab actionibus solis ac luncs oriri.

Mare singulis diebus tam lunaribus quam solaribus bis intumescere
debere ac bis defluere patet per corol. 19 & 20 prop. lxvi lib. i ut
& aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appul-
sum luminarium ad meridianum loci minori quam sex horarum spatio
sequi, uti fit in maris Atlantici & y£t/iiopici tractu toto orientali inter
Galliam & promontorium Bo?ice Spei ut & in maris Pacifici littore
Chile7isi & Peruviaiio : in quibus omnibus littoribus aestus in horam
circiter secundam tertiam vel quartam incidit, nisi ubi motus ab
oceano profundo per loca vadosa propagatus usque ad horam quintam
sextam septimam aut ultra retardatur. Horas numero ab appulsu
luminaris utriusque ad meridianum loci, tam infra horizontem quam
supra, & per horas diei lunaris intelligo vigesimas quartas partes
temporis quo luna motu apparente diurno ad meridianum loci rever-
titur. Vis solis vel lunae ad mare elevandum maxima est in ipso
appulsu luminaris ad meridianum loci. Sed vis eo tempore in mare
impressa manet aliquamdiu & per vim novam subinde impressam
augetur, donec mare ad altitudinem maximam ascenderit, id quod
fiet spatio hora^ unius duarumve sed saepius ad littora spatio horarum
trium circiter vel etiam plurium si mare sit vadosum.

Motus autem bini, quos luminaria duo excitant, non cernentur
distincte, sed motum quendam mixtum efiicient. In luminarium
conjunctione vel oppositione conjungentur eorum effectus, & com-
ponetur fluxus & rcfluxus maximus. In quadraturis sol attollet
aquam ubi luna deprimit, deprimetque ubi luna attollit ; & ex
effectuum difierentia aestus omnium minimus orietur. Et quoniam,
experientia teste, major cst efiectus lunae quam solis, incidet aquae
maxima altitudo in horam tertiam lunarem circiter. Extra syzygias
& quadraturas, aestus maximus qui sola vi lunari incidere semper
deberet in horam tertiam lunarem, & sola solari in tertiam solarem.

LJBER TERTIUS.

425

compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiae
lunari propinquius est ; ideoque in transitu lunae a syzygiis ad qua-
draturas, ubi hora tertia solaris praecedit tertiam lunarem, maxima
aquae altitudo praecedet etiam tertiam lunarem, idque maximo inter-
vallo paulo post octantes lunae ; & paribus intervallis aestus maximus
sequetur horam tertiam lunarem in transitu lunae a quadratyris ad
syzygias. Haec ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis fluviorum
fluxus majores caeteris paribus tardius ad oic/i^i/ venient

Pendent autem effectus luminarium ex eorum distantiis a terra.
In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus
minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur
sol tempore hyberno, in perigaeo existens, majores edit effectus,
efficitque ut aestus in syzygiis paulo majores sint, & in quadraturis
paulo minores (caeteris paribus) quam tempore aestivo; & luna in
perigaeo singulis mensibus majores ciet aestus quam ante vel post dies
quindecim, ubi in apogaeo versatur. Unde fit ut aestus duo omnino
maximi in syzygiis continuis se mutuo non sequantur.

Pendet etiam effectus utriusque luminaris ex ipsius declinatione
seu distantia ab aequatore. Nam si luminare in polo constitueretur,
traheret illud singulas aquae partes constanter sine actionis intensione
& remissione, ideoque nullam motus reciprocationem cieret Igitur
luminaria recedendo ab aequatore polum versus effectus suos gradatim
amittent, & propterea minores ciebunt aestus in syzygiis solstitialibus
quam in aequinoctialibus. In quadaturis autem solstitialibus majores
ciebunt aestus quam in quadraturis aequinoctialibus ; eo quod lunae
jam in aequatore constitutae effectus maxime superat effectum solis.
Incidunt igitur aestus maximi in syzygias & minimi in quadraturas
luminarium, circa tempora aequinoctii utriusque. Et aestum maximum
in syzygiis comitatur semper minimus in quadraturis, ut experientia
compertum est. Per minorem autem distantiam soHs a terra tem-
pore hyberno quam tempore aestivo fit ut aestus maximi & minimi
saepius praecedant aequinoctium vernum quam sequantur, & saepius
sequantur autumnale quam praecedant.

Pendent etiam effectus luminarium ex locorum latitudine. De-
signet ApEP tellurem aquis profundis undique coopertam ; C cen-
trum ejus ; P, p polos ; A E aequatorem ; F locum quemvis extra
aequatorem ; Ff parallelum loci ; D d parallelum ei respondentem ex

L

426 ' DE MUyDl S YSTEMA TE

alUtn parte atquatoris ; L locum quetn luna tribus ante horis occu-
ird\/at ; II locum telluris ei perpendiculariter subjectum ; h locum
huic opfKisitum ; K, k loca inde gradibus 90 distantia ; C H. Ch maris
altitudincs maximas mensuratas a centro telluris ; & CK^ C k alti-
tudines minimas : & si axibus Hh, K k describatur ellipsis, deinde
cHipscos hujus revolutione circa axem majorem Hh describatur sphae-
rois II P K hp k ; designabit
ha:c figuram maris quam prox-
ime, & crunt C,I\ Cfy C D,
Cd altitudincs maris in locis
f*\ /f A d Quinetiam si in /^
pra^fata cllipseos revolutione
punctum quodvis N describat
circulum N Af, sccantem pa-
rallclos F/, Dd \n locis qui-
busvis Rf T, & tcquatorem
yl E \\\ S ; crit C N altitudo maris in locis omnibus, Ry Sj 7*, sitis in
hoc circulo. Minc^in revolutione diurna loci cujusvis F affluxus erit
maxinius in F hora tcrtia post appulsum lunae ad meridianum supra
horizontcm ; postca dcfluxus maximus in Q hora tertia post occasum
lunic ; dcin affluxus maximus in f hora tertia post appulsum lunse ad
mcridianum infra horizontem ; ultimo defluxus maximus in Q hora
tcrtia post ortum lunoi ; & affluxus posterior in / erit minor quam
affluxus prior in F, Distinguitur enim mare totum in duos omnino
fluctus hcniisphtTricos, unum in hemisphaerio K H k ad boream ver-
fjcnt(*m, altcnun in hcmisphairio opposito K hk ; quos igitur fluctum
l^orcaliMn it fluctum australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi
mutuo oppositi vcniunt pcr viccs ad meridianos locorum singulorum,
inlorposilo inlcrvallo horarum lunarium duodecim. Cumque regiones
hort*ah»s ma^jis participant fluctum borealem, & australes magis
australt»m, indo oriuntur ;vstus ahernis vicibus majores & minores
in locis singulis cxtra ;rquatorcm, in quibus luminaria oriuntur &
occidunt. /Ivstus autcm m;yon luna in verticem loci declinante, in-
oidt^t in horam circiter tcrtiam post appulsum luna^ ad meridianum
supra hori/ontom, & luna dcclinationcm mutante vertetur in minorem.
\\\ rtuxuiun dilVoaMitia maxima incidet in tempora solstitiorum ;
pra\sortim si huur noilus ascondens versatur in principio arietis.

«•

LIBER TERTIUS. 427

Sic experientia compertum est, quod aestus matutini tempore hyber-
no superent vespertinos & verspertini tempore aestivo matutinos,
ad PlyinutJmm quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam
vero altitudine quindecim digitorum : observantibus Colepressio &
Sttirmio.

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim
illam reciprocationis aquarum, qua maris aestus, etiam cessantibus
luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio
haecce motus impressi minuit differentiam aestum alternorum ; &
aestus proxime post syzygias majores reddit, eosque proxime post
quadraturas minuit. Unde fit ut aestus alterni ad Plymuthum &
Bristolium non multo magis differant ab invicem quam altitudine
pedis unius vel digitorum quindecim ; utque aestus omnium maximi
in iisdem portubus, non sint primi a syzygiis, sed tertii. Retardantur
etiam motus omnes in transitu per vada, adeo ut aestus omnium
maximi in fretis quibusdam & fluviorum ostiis sint quarti vel etiam
quinti a syzygiis.

Porro fieri potest ut aestus propagetur ab oceano per freta diversa
ad eundem portum, & citius transeat per aliqua freta quam per alia :
quo in casu aestus idem, in duos vel plures successive advenientes
divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fin-
gamus aestus duos aequales a diversis locis in eundem portum venire,
quorum prior pracedat altenim spatio horarum sex, incidatque in
horam tertiam ab appulsu lunae ad meridianum portus. Si luna in
hocce suo ad meridianum appulsu versabatur in aequatore, venient
singulis horis senis aequales affluxus, qui in mutuos refluxus incidendo
eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei illius efificient ut aqua
tranquille stagnet. Si luna tunc declinabat ab aequatore, fient aestus
in oceano vicibus alternis majores & minores, uti dictum est; &
inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores & bini
minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component
aquam altissimam in medio inter utrumque, afifluxus major & minor
faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in medio ipsorum,
& inter affluxus binos minor^ aqua ascendet ad altitudinem minimam.
Sic spatio viginti quatuor horarum aqua non bis ut fieri solet sed
semel tantum perveniet ad maximam altitudinem & semel ad mini-
mam ; & altitudo maxima, si luna declinat in polum supra horizontem

428 DE MUNBI SYSTEMATE

loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu lunae
ad meridianum, atque luna decHnationem mutante mutabitur in
defluxum. Quorum omnium exemplum in portu regni Tunguini
ad Batsham sub latitudine boreali 20^- 50^ Halleius ex nautarum
observationibus patefecit Ibi aqua die transitum lunae per aequa-
torem sequente stagnat, dein luna ad boream declinante incipit
fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis
diebus; & aestus incidit in occasum lunae, defluxus maximus in
ortum. Cum lunae declinatione augetur hic aestus usque ad diem
septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus
decrescit, quibus antea creverat ; & luna declinationem mutante
cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus
in occasum lunae & affluxus in ortum, donec luna iterum mutet
declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet,
alter ab oceano Simnsi inter continentem & insulam Luconiam^ alter
a mari Indico inter continentem & insiilam Borneo. An aestus
spatio horarum duodecim a mari Indico & spatio horarum sex a
mari Sinefisi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam
lunarem incidentes, componant hujusmodi motus ; sitne alia marium
illorum conditio, observationibus vicinorum Httorum determinandum
relinquo.

Hactenus causas motuum lunse & marium reddidi. De quantitate
motuum jam convenit aliqua subjungere.

PROPOSITIO XXV. PROBLEMA VI.
Invenire vires solis ad perturbandos motus lufue.
Designet ^y solem, /'terram, P lunam, CA DB ovh^m lunae. In

SP capiatur SK aequalis ^S T; sitquc SL ad SK in duplicata ratione

LIBER TERTIUS.

429

vS K ad SPy & ipsi P T agatur parallela L M ; & si gravitas ac-
celeratrix terrae in solem exponatur per distantiam 6^ 7" vel 6^ A",
erit S L gravitas acceleratrix lunae in solem. Ea componitur ex
partibus S M^ L M, quarum L M 81 ipsius ^'J/pars TM perturbat
motum lunse, ut in libri primi prop. lxvi & ejus corollariis expositum
est. Quatenus terra & luna circum commune gravitatis centrum re-
volvuntur, perturbabitur etiam motus terra^ circa centrum illud a
viribus consimilibus ; sed summas tam virium quam motuum referre
licet ad lunam & summas virium per lineas ipsis analogas T M 81
ML designare. Vis M L \n mediocri sua quantitate est ad vim
centripetam, qua luna in orbe suo circa terram quiescentem ad dis-
tantiam P T revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodi-
corum lunse circa terram & terree circa solem (per corol. 1 7 prop. lxvi
lib. i) hoc est, in duplicata ratione dierum 27 hor. 7 min. 43 ad
dies 365 hor. 6 min. 9, id est, ut 1000 ad 178725, seu i ad 178!^.
Invenimus autem in propositione quarta quod, si terra & luna circa
commune gravitatis centrum revolvantur, earum distantia mediocris
ab invicem erit 60J semidiametrorum mediocrium terrae quamproxime.
Et vis, qua luna in orbe circa terram quiescentem ad distantiam
P T semidiametrorum terrestrium 60I revolvi posset, est ad vim,
qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi
posset, ut 60.J ad 60 ; & hsec vis ad vim gravitatis apud nos ut i ad
60x60 quamproxime. Ideoque vis mediocris ML est ad vim
gravitatis in superficie terrae ut i x 6os ad 60 x 60 x 60 x 1 78IJ, seu
I ad 638092,6. Inde vero & ex proportione linearum TMy M L^
datur etiam vis T M: & hae sunt vires solis quibus lunae motus per-
turbantur. Q. E. /.

PROPOSITIO XXVI. PROBLEMA VII.

Invenire increme^itum horarium arece quam luna, radio ad terram

ducto, in orbe circulari describit,

Diximus aream, quam luna radio ad terram ducto describit, esse
tempori proportionalem, nisi quatenus motus lunaris ab actione solis
turbatur. Inaequalitatem momenti vel incrementi horarii hic inves-
tigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus
orbem lunae circularem esse, & inaequalitates omnes negligamus, ea

430

DE MUNDI SYSTEMATE

sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem vero solis distantiam
ponamus etiam lineas 6^ P, 6^ 7^ sibi invicem parallelas esse. Hoc
pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem
TP^ ut & vis TM ad mediocrem suam quantitatem 2>P ^- Hae
vires (per legum corol. 2) componunt vim T L ; & hsec vis, si in
radium TP demittatur perpendiculum L E, resolvitur in vires T E,
E L, quarum TE agendo semper secundum radium TP nec
accelerat nec retardat descriptionem arese TP C radio illo T P
factam ; &. E L agendo secundum perpendiculum accelerat vel re-
tardat ipsam, quantum accderat vel retardat lunam. Acceleratio illa
lunae, in transitu ipsius a quadratura C ad conjunctionem Ay singulis

temporis momentis facta, est ut ipsa vis accelerans E Z, hoc est, ut

zPKxTK ^

— — . txponatur tempus per motum medium lunarem, vel

(quod eodem fere recidit) per angulum C TP, vel etiam per arcum
CP. Ad C 2" erigatur normalis CG ipsi C 2" aequalis. Et diviso
arcu quadrantali A C m particulas innumeras aequales Pp^ &c. per
quas aequales totidem particulse temporis exponi possint, ductaque/^
perpendiculari ad C T jungatur TG ipsis K P, kp productis occur-
rens in /^&/; & erit /^Tc^aequalis TK, & Kk erit ad P K yxt Pp
ad Tp, hoc est in data ratione, ideoque FKy.Kk seu area FKkf^vit

LIBER TERTIUS,

431

xPKy. TK
ut — jT-p , id est, vX E L ; & composite, area tota G C K F yxt

summa omnium virium E L tempore toto CP impressarum in lunam,
atque ideo etiam ut velocitas hac summa genita, id est, ut acceleratio
descriptionis areae C TP, seu incrementum momenti. Vis, qua
luna circa terram quiescentem ad distantiam TP tempore suo perio-
dico C A D B dievxxm 27 hor. 7 min. 43 revolvi posset, efficeret
ut corpus tempore C T cadendo describeret longitudinem k C T &.
velocitatem simul acquireret aequalem velocitati, qua luna in orbe
suo movetur. Patet hoc per corol. 9 prop. iv lib. i. Cum autem
perpendiculum K d in TP demissum sit ipsius E L pars tertia &
ipsius TP s^n M L in octantibus pars dimidia, vis EL in octantibus,
ubi maxima est, superabit vim M L in ratione 3 ad 2, ideoque erit ad
vim illam, qua luna tempore suo periodico circa terram quiescentem
revolvi posset, ut 100 ad 1x17872^ seu 11915, & tempore CT
velocitatem generare deberet quae esset pars tiStt velocitatis lunaris,
tempore autem C P A velocitatem majorem generaret in ratione C A
ad C T^seu T P, Exponatur vis maxima E L inoctantibus per aream
F KxKk rectangulo \ TP xP p aequalem. Et velocitas, quam vis
maxima tempore quovis C P generare posset, erit ad velocitatem
quam vis omnis minor E L eodem tempore generat, ut rectangulum
i TPx CP ad aream K C G F : tempore autem toto CPA veloci-
tates genitae erunt ad invicem ut rectangulum 1 TP x C A & triangu-
lum TCGy sive ut arcus quadrantalis CA & radius TP. Ideoque
(per prop. ix lib. v elem.) velocitas posterior, toto tempore genita,
erit pars twtt velocitatis lunae. Huic lunae velocitati, quae areae
momento mediocri analoga est, addatur & auferatur dimidium veloci-
tatis alterius ; & si momentum mediocre exponatur per numerum
1 1915, summa 1 191 5 -h 50 seu 1 1965 exhibebit momentum maximum
areae in syzgyia A, ac differentia 1 1915 — 50 seu 11 865 ejusdem
momentum minimum in quadraturis. Igitur areae temporibus
aequalibus in syzgiis & quadraturis descriptae sunt ad invicem ut
11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momen-
tum, quod sit ad momentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG
ad triangulum TC G (vel quod perinde est, ut quadratum sinus PK
ad quadrantum radii TP, id est, ut P^ad TP) & summa exhibebit
momentum areae, ubi luna est in loco quovis intermedio P.

432 OE MVNDl S^^STEMATE

Hjec omnia ita se habent, ex hypothesi quod sol & terra quiescunt,
& luna tempore synodico dienim 27 hor. 7 min.43 revolvitur. Cum
autem periodus synodica lunaris vere sit dierum 29 hor. 12 & min.
44, augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis,
id est, in ratione 1080853 ^^ looopoo. Hoc pacto incrementum
totum, quod erat pars itSti momenti mediocris, jam fiet ejusdem
pars TTTjs. Ideoque momentum areje in quadratura lunae erit ad
ejus momentum in syzygia ut 11023 — 50 ad 11023 + 50, seu 10973
ad 1 1073 ; & ad ejus momentum, ubi luna in alio quovis loco
intermedio P versatur, ut 10973 ^'^ 10973 + /*</, existente videlicet
TP aequali 100.

Area igitur, quam luna radio ad terram ducto singulis temporis
particulis sequaltbus describit, est quam proxime ut summa numeri
219,46 & slnus versi duplicatae distantiae lun^ a quadratura proxima,
in circulo cujus radius est unitas. Haec itase habent ubi variatio in
octantibus est magnitudinis mediocris. Sin variatio ibi major sit vel
minor, augeri debet vel minui sinus ille versus in eadem ratione.

PROPOSITIO XXVII. PROBLEMA VUI.
Ex motu /wrario lutia; invenire ipslus distantiam a ierra.

Area, quam luna radio adterram ductosingulis temporis momentis
describit, est ut motus horarius lunae & quadratum distantise lunae
a terra conjunctim ; & propterea distantia- lunse a terra est in ratione
composita ex subduplicata ratione areae directe & subduplicata ratione
motus horarii inverse. Q. E. I.

Corol. I. Hinc datur lunse diameter apparens : quippe quje sit
reciproce ut ipsius distantia a terra. Tentent astronomi quam probe
hsec regula cum phaenomenis congruat

Corol. 2. Hinc etiam orbis lunaris accuratius ex phsenomenis quam
antehac definiri potest.

LIBER TERTIUS. 433

PROPOSITIO XXVIII. PROBLEMA IX.

Invenire diametros orbis in quo luna, sine eccentricitate, moveri

deberet.

Curvatura trajectoriae, quam mobile, si secundum trajectoriae

illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directe &

quadratum velocitatis inverse. Curvaturas linearum pono esse inter

se in ultima proportione sinuum vel tangentium angulorum con-

tactuum ad radios aequales pertinentium, ubi radii illi in infinitum

diminuuntur. Attractio autem lunae in terram in syzygiis est exces-

sus gravitatis ipsius in terram supra vim solarem 2 PK {yi^^^g- pag.

428) qua gravitas acceleratrix lunae in solem superat gravitatem acce-

leratricem terrae in solem vel ab ea superatur. In quadraturis

autem attractio illa est summa gravitatis lunae in terram & vis solaris

A T -¥ C T
K Ty qua luna in terram trahitur. Et hae attractiones, si -^-

2

j. ^ TVT ^ 178725 2000 Q 178725 , 1000

dicatur N, sunt J—L^ — —- — -- & '' ^ -h — — quam

ATq C T X N C Tq A T x N

proxime; seu ut 178725 N x C Tq — 2000 A Tq x C T &

178725 N X -^ Tq + 1000 C Tq x A T Nam si gravitas accele-

ratrix lunae in terram exponatur per numerum 178725, vis mediocris

ML, quae in quadraturis est P T vel TK & lunam trahit in terram,

erit 1000, & vis mediocris TM in syzygiis erit 3000 ; de qua, si vis

mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua luna in syzygiis

distrahitur a terra, quamque jam ante nominavi 2 PK. Velocitas

autem lunae in syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in quadra-

turis C & /?, ut C Z" ad A T & momentum areae quam luna radio

ad terram ducto describit in syzygiis ad momentum ejusdem areae in

quadraturis conjunctim, i. e. ut 11073 C2"ad 10973 ^ ^- Sumatur

haec ratio bis inverse & ratio pfior semel directe, & fiet curvatura

orbis lunaris in syzygiis ad ejusdem curvaturam in quadraturis ut

120406729 X 178725 A Tq X C Tq X N — 120406729 x

2000 A Tqq x C T 2A 122611329 x 178725 A Tq x CTq x N

+ 1 2261 1329 X 1000 C T q q X A T/\. e. ut 2 15 1969 A T x C T

X N — 24081 A Tc7ib. ad2i9i37i AT x CT x N -f- 12261 CTciib.

Quoniam figura orbis lunaris ignoratur, hujus vice assumamus

ellipsin DBCA, in cujus centro 7" terra coUocetur, & cujus axis

2 E

434

DE MUNDI SYSTEMATE

major D C quadraturis, minor A B syzygiis interjaceat. Cum autem
planum ellipseos hujus motu angulari circa terram revolvatur, & tra-
jectoria cujus curvaturatn consideramus describi debet in plano quod
omni motu angulari omnino destitui- %f:-.

tur : consideranda erit figura, quam j

luna in ellipsi illa revolvendo descri- 1

bit in hoc plano, hoc est figura Cpa,
cujus puncta singula p inveniuntur
capiendo punctum quodvis P in el-
lipsi, quod locum lunx repnxsentet,
& ducendo Tp .^qualem TP, ea lege
ut angulus P Tp Eequalis sit motui
apparenti solis a tempore quadraturse
C confecto ; vel (quod eodem fere
recidit) ut angulus C Tp sit ad angu- '
lum C T P ut tcmpus revoiutionis
synodica^ lunaris ad tempus revolu-
tionis periodicffi seu 2^- 12''* 44' ad
jyj, yh. ^j/ Capiatur igitur angulus
C Ta in eadem ratione ad angulum rectum C TA. & sit longitudo
Ta a^qualis longitudinl TA ; & erit a apsis ima & C apsis summa
orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia
inter curvaturam orbls Cpa in vertice a & curvaturam circuli centro
T^intervalio TA descripti sit ad differentiam inter curvaturam ellip-
seos in vertice A & curvaturam ejusdem clrculi in duplicata ratione
anguli CTP ad angulum CTp; & quod curvatura ellipseos in A
sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione TA ad TC : &
curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro T intervallo TC
descripti ut yC" ad TA ; hujus autem curvatura ad curvaturam
ellipseos in C in duplicata ratione T A ad TC; & differentia Jnter
curvaturam ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi ad
differentiam intcr curvaturam figurx Tpa in vertice C & curvaiuram
ejusdem circuli m duplicata ratione anguH C Tp ad angulum C T P.
Quie quidem ratlones ex sinubus angulomm contactiis ac differcntia-
rum angulorum facile coiliguntur. His autem inter se collatis. pro-
dit curvatura figurse Cpa in a ad ipsius curvaturam in C wx A T
cub. + TNnftV5 CTq X AT^6.C Tcub. + iVoiroii A Tq yi. CT. Ubi

LIBER TERTIUS. 435

numerus loVoVo designat differentiam quadratorum angulorum C TP
& C Tp applicatam ad quadratum anguli minoris C TP^ seu (quod
perinde est) differentiam quadratorum temporum 27"*- 7^* 43' & 29***
12^- 44' applicatam ad quadratum temporis 27**' 7^* 43'.

Igitur cum a designet syzygiam lunse & C ipsius quadraturam,
proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae
orbis lunse in syzygiis ad ejusdem curvaturam in quadraturis, quam
supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio C Z" ad A Ty
duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad
A Tx C T applicati fiunt 2062,79 C 7^^^—2151969 N x C 7" cub.
+ 368676 Nx^ TxC 7^^7+36342 A TqxCTq-2>^2o/^y Nx
A Tqx C T+^igi^^yi NxA T ^/^^. + 4051,4 A Tqq=o. Hic
pro terminorum A T & C 7^semisumma N scribo i, & pro eorundem
semidifferentia ponendo x, fit C T= i +Xy & A T= i —x: quibus in
aequatione scriptis, & aequatione prodeunte resoluta, obtinetur x
aequalis 0,00719, & inde semidiameter C 7" fit 1,00719, & semi-
diameter A T 0,99281, qui numeri sunt ut yo^r & 69^^ quam prox-
ime. Est igitur distantia lunae a terra in syzygiis ad ipsius distan-
tiam in quadraturis (seposita scilicet eccentricitatis consideratione) ut
69^V ad 70!jV, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

PROPOSITIO XXIX. PROBLEMA X.

Invenire variatione^n luncr,

Oritur haec inaequalitas partim ex forma elliptica orbis lunaris,
partim ex inaequalitate momentorum areae, quam luna radio ad terram
ducto describit. Si luna P in ellipsi D B C A circa terram in centro
ellipseos quiescentem moveretur, & radio T P ad terram ducto de-
scriberet aream C TP tempori proportionalem ; esset autem ellipseos
semidiameter maxima C Z" ad semidiametrum minimam TA ut
70 ad 69 : foret tangens anguli C T P ad tangentem anguli motus
medii a quadratura C computati, ut ellipseos semidiameter T A ad
ejusdem semidiametrum 7"Cseu 69 ad 70. Debet autem descriptio
areae C T P, in progressu lunae a quadratura ad syzygiam, ea ratione
accelerari, ut ejus momentum in syzygia lunae sit ad ejus momentum
in quadratura ut 11073 ^d 10973, utque excessus momenti in loco
quovis intermedio P supra momentum in quadratura sit ut quadra-

436

DE MUNDI SYSTEMATE

S0

i

tum sinus anguli CTP. Id quod satis accurate fiet, si tangens

anguli C T P diminuatur in subduplicata ratione numeri 10973 *^d

numerum 11073, id est, in ratione numeri 68,6877 ^^ numerum 69.

Quo pacto tangens anguli C TP jam erit ad tangentem motus medii

ut 68,6877 ad 70, & angulus C TP in octantibus, ubi motus medius

est 45^* invenietur 44^* 27' 2Z" qui

subductus de angulo motus medii

45*^- relinquit variationem maximam

32' 32'^ Haec ita se haberent si

luna, pergendo a quadratura ad syzy-

giam, describeret angulum C T A

graduum tantum nonaginta. Verum

ob motum terrae, quo sol in conse-

quentia motu apparente transfertur,

luna, priusquam solem assequitur, de-

scribit angulum CTa angulo recto

majorem in ratione temporis revolu- d|

tionis lunaris synodicae ad tempus re-

volutionis periodicae, id est, in ratione

29*^ 12^- 44^ ad 27*^ 7^- 43'. Et hoc

pacto anguli omnes circa centrum T

dilatantur in eadem ratione, & variatio maxima, quae secus^esset 32'

32'', jam aucta in eadem ratione fit 35' \o".

Haec est ejus magnitudo in mediocri distantia solis a terra, neg-
lectis differentiis quae a curvatura orbis magni majorique solis actione
in lunam falcatam & novam quam in gibbosam & plenam oriri
possint. In aliis distantiis soHs a terra variatio maxima est in ratione
quae componitur ex duplicata ratione temporis revolutionis synodicae
lunaris (dato anni tempore) directe & triplicata ratione distantiae solis
a terra inverse. Ideoque in apogaeo solis variatio maxima est 33'
14'', & in ejus perigaeo 37' 1 1'\ si modo eccentricitas solis sit ad orbis
magni semidiametrum transversam ut i6tf ad 1000.

Hactenus variationem investigavimus in orbe non eccentrico, in
quo utique luna in octantibus suis semper est in mediocri sua dis-
tantia a terra. Si luna propter eccentricitatem suam magis vel
minus distat a terra quam si locaretur in hoc orbe, variatio paulo
major esse potest vel paulo minor quam pro regula hic allata : sed

^

aS^^^

F^

^^*'

^^v::'.

y^-61.

^<x

//%

g 9 \

' y ^

\

' ^

m §

\
\

\

1 /

\

1

/y 1

T y

\ 1

/

\ 1

M

% 1

M

\ 1

m

V

/

\.

y

* ^^^

^^

\ ^^^^

^^^

\ ^'•^..^

^^00^

\ ^*-

■^^

"^

\

B

LIBER TERTIUS.

437

excessum vel defectum ab astronomis per phaenomena determinandum
relinquo.

PROPOSITIO XXX. PROBLEMA XI. _

Invenire motum horarium mdorum luncs in orbe circulari.

Designet .S solem, T terram, P lunam, NP n orbem lunae, Np n
vestigium orbis in plano eclipticae ; N^ n nodos, n TNm lineam
nodorum infinite productam; P I , P A^perpendicula demissa in lineas
S T, Q q; P p perpendiculum demissum in planum eclipticae ; A B
syzygias lunae in plano eclipticae ; A Z perpendiculum in lineam

nodorum Nn ; Q,q quadraturas lunae in plano eclipticae, 8ip K per-
pendiculum in lineam Qq quadraturis interjacentem. Vis solis ad
perturbandum motum lunae (per prop. xxv) duplex est, altera lineae
L Mm schemate propositionis illius, altera linea^ i^/ Z" proportionalis.
Et luna vi priore in terram, posteriore in solem secundum lineam

438

DE MUNDI SYSTEMATE

rectae S T^l terra ad solem ductae parallelam trahitur. Vis prior JL M
agit secundum planum orbis lunaris, & propterea situm plani nil
mutat. Haec igitur negligenda est. Vis posterior M T^qua planum
orbis lunaris perturbatur eadem est cum vi 3 P j^ vel 3 / 7! Et haec
vis (per prop. xxv) est ad vim qua luna in circulo circa terram quies-
centem tempore suo periodico uniformiter revol vi posset, ut 3 / Z* ad
radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive ut/T^ad
radium multiplicatum per 59,575. Caeterum in hoc calculo, & eo

omni qui sequitur, considero lineas omnes a luna ad solem ductas
tanquam parallelas lineae quae a terra ad solem ducitur, propterea quod
inclinatio tantum fere minuit effectus omnes in aliquibus casibus,
quantum auget in aliis ; & nodorum motus mediocres quaerimus,
neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum red-
derent

Designet jam P M arcum, quem luna dato tempore quam minimo
describit, &. M L lineolam cujus dimidium luna, impellente vi prae-
fata 3/7; eodem tempore describere posset. Jungantur PZ, MP,

LIBER TERTIUS. 439

& producantur eae ad /^^ & /, ubi secent planum eclipticae ; inque Tnt

demittatur perpendiculum P H. Et quoniam recta ML parallela

est plano eclipticae, ideoque cum recta ntl quae in plano illo jacet

concurrere non potest, & tamen jacent hae rectae in plano communi

LMPml; parallelae erunt hae rectae, & propterea similia erunt tri-

angula L MP^ ImP, Jam cum MPmsit in plano orbis, in quo luna

in loco P movebatur, incidet punctum m in lineam JVn per orbis

illius nodos JV, n ductam. Et quoniam vis qua dimidium lineolae L M

generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, generaret

lineam illam totam ; & efficeret ut luna moveretur in arcu, cujus

chorda esset L P, atque ideo transferret lunam de plano M P m T in

planum L P IT; motus angularis nodorum a vi illa genitus aequalis

erit angulo m TL Est autem ml^AmP vX M L ad M P, ideoque,

cum M P ob datum tempus data sit, est m l ut rectangulum ML x mP,

id est, ut rectangulum / Tx. m P. Et angulus m Tl, si modo angulus

^ , . ^l o ITxPm ., ^.,

I ml rectus sit, est ut -^; — , & propterea ut t^ , id est (ob pro-

ITxPH
portionales Tm &,mP, TP & P H) ut ^^ — , ideoque ob da-

tam T P, ut I TxPH. Quod si angulus Tpi/ seu S TN obliquus
sit, erit angulus m Tl adhuc minor in ratione sinus anguli 6^ TN
ad radium, seu -^ Z ad A T Est igitur velocitas nodorum ut
I TxP HxA Zy sive ut contentum sub sinubus trium angulorum
TPIPTN&STN.

Si anguli illi, nodis in quadraturis & luna in syzygia existentibus,
recti sint, lineola m l abibit in infinitum, & angulus m Tl evadet an-
gulomP/ aequalis. Hoc autem in casu angulus mP / cst ad angu-
lum P TM, quem luna eodem tempore motu suo apparente circa terram
describit, ut i ad 59,575. Nam angulus mP l aequalis est angulo
L P M, id est, angulo deflexionis lunae a recto tramite, quem sola vis
praefata solaris 3 / T^, si tum cessaret lunae gravitas, dato illo tempore
generare posset; & angulus P 7" J/ aequalis est.angulo deflexionis
lunae a recto tramite, quem vis illa, qua luna in orbe suo retinetur,
si tum cessaret vis solaris 3 / /i eodem tempore generaret. Et hae
vires, ut supra diximus, sunt ad invicem ut i ad 59,575. Ergo cum
motus medius horarius lunae respectu fixarum sit 32^ 56" 27"' I2l*''-,
motus horarius nodi in hoc casu erit 33" 10'" 33'''- i^"". Aliis

440

DE MUNDI SYSTEMATE

autem in casibus motus iste horarlus erit ad 33" \o"' ^^*""* 12^- ut
contentum sub sinubus angulorum trium TPIyPTN & S TN
(seu distantiarum lunae a quadratura, lunae a nodo & nodi a sole) ad
cubum radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in
negativum deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus
regressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari.
Unde fit ut nodi progrediantur quoties luna inter quadraturam alteru-
tram & nodum quadraturae proximum versatur. Aliis in casibus
regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum singulis
mensibus feruntur in antecedentia. .

CoroL I. Hinc si a dati arcus quam minimi P J/terminis P& M
ad lineam quadraturas jungentem Q q demittantur perpendicula P Ky
M k, eademque producantur donec secent lineam nodorum N 71 in
D & d; erit motus horarius nodorum ut area M P Dd &. quadratum
lineae A Z conjunctim. Sunto enim P K^ P H SlA Z praedicti tres

Q E

sinus ; nempe PK sinus distantiae lunae a quadratura, P H smus
distantiae lunae a nodo, & A Z sinus distantiae nodi a sole : & erit
velocitas nodi ut contentum PKxPHxAZ. Est autem P Tad
PK ut PM ad Kk, ideoquc ob datas P T&PM^st Kk ipsi P K
proportionalis. Est & AT z.d P D wX, A Z ^d P Hy Sc propterea
PH rectangulo P DxA Z proportionalis. Et conjunctis rationibus
PKxP H est ut contentum KkxP DxAZ, & PKxPHxAZ
utKkxPDx AZ qu, id est ut area P DdM & A Z qii. conjunctim.
Q, E. D,

LIBER TERTIUS.

441

CoroL 2. In data quavis nodorum positione, motus horarius
mediocris est semissis motus horarii in syzygiis lunae, ideoque est
ad 16'' 35''^ i6*''- 36''* ut quadratum sinus distantiae nodorum a syzygiis
ad quadratum radii, sive \x\, A Z qu. TiA A T q7i. Nam si luna
uniformi cum motu perambulet semicirculum Q A q summa omnium
arearum P DdMy quo tempore luna pergit a ^ ad J/, erit area
Q MdE quae ad circuli tangentem Q E terminatur ; & quo tempore
luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam
linea P D describit, dein luna pergente ab n ad ^, linea P D cadet
extra circulum, & aream nqe zA circuli tangentem qe terminatam
describet ; quae, quoniam nodi prius regrediebantur, jam vero pro-
grediuntur, subduci debet de area priore, & cum aequalis sit areae
Q E N, relinquet semicirculum N QAn. Igitur summa omnium
arearum P D dM quo tempore luna semicirculum describit est area
semicirculi ; & summa omnium quo tempore luna circulum describit
est area circuli totius. At area PDdM, ubi luna versatur in
syzygiis, est rectangulum sub arcu P M &. radio P T; & summa
omnium huic aequalium arearum, quo tempore luna circulum describit,
est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli ; & hoc rec-
tangulum, cum sit aequale duobus circulis, duplo majus est quam
rectangulum prius. Proinde nodi ea cum velocitate uniformiter
continuata quam habent in syzygiis lunaribus spatium duplo majus
describerent quam revera describunt ; & propterea motus mediocris
quocum, si uniformiter continuaretur, spatium a se inaequabili cum
motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem
habent in syzygiis lunae. Unde cum motus horarius maximus, si
nodi in quadraturis versantur, sit 33'' \d" ^^*""- i^""*, motus mediocris
horarius in hoc casu erit 16'' 35"^ i6*''* 36''-. Et cum motus horarius
nodorum semper sit ut A Z q u. & area P DdM conjunctim, & prop-
terea motus horarius nodorum in syzygiis lunae ut A Z qu. & area
P DdM conjunctim, id est (ob datam aream P DdM in syzygiis
descriptam) vX A Z q u. erit etiam motus mediocris ut -^ Z ^ u. atque
ideo hic motus, ubi nodi extra quadraturas versantur, erit ad 16"
35''' i6^'* 36" MtAZqti.^dAATq u. Q. E. D.

442

DE MUNDJ SYSTEMATE

PROPOSITIO XXXI. PROBLEMA XII.

Invenire motunt horarium nodorum lunce in orbe elliptico.

Designet Qpmaq ellipsin, axe majore Qq^ mmore ab descrip-
tam, Q A q B circulum circumscriptum, T terram in utriusque centro
communi, 6^ solem, / lunam in ellipsi motam, Sl p m arcum quem
data temporis particula quam minima describit, N &, n nodos linea

jV^ junctos, / A"& /;^^ perpendicula in axem (2^demissa & hinc
inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineae nodorum
in D & d. Et si luna, radio ad terram ducto, aream describat tem-
pori proportionalem, erit motus horarius nodi in ellipsi ut area
p D dm %i A Z q conjunctim.

LIBER TERTIUS.

443

Nam si /^/^tangat circulum in P & producta occurrat TN in /%

&/y tangat ellipsin in/ & producta occurrat eidem T N \nf, con-

veniant autem hae tangentes in axe Z"^ ad Y ; & si M L designet

spatium quod luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum

P M, urgente & impellente vi praedicta 3/7" seu 3 P A^, motu

transverso describere posset, Sl ml designet spatium quod luna in

ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 / 7" seu 2> P K,

describere posset ; & producantur L P 8l Ip donec occurrant plano

eclipticae in G^ & ^/ & jungantur FG 8i/g, quarum PG producta

secet/yi/^ & TQ m c, e 8l R respective, &y^producta secet TQ

in r. Quoniam vis 3 / Z* seu 3 P A!" in circulo est ad vim 3 / Z" seu

2^pKm ellipsi, ut P K ^di p K, seu A T TiA a T; erit spatium ML

vi priore genitum ad spatium ;;// vi posteriore genitum, ut P K did

p K, id est, ob similes figuras P YKp & FY R c, ut FR ad cR. Est

autem ML ^d FG (ob similia triangula P L M, P G F) \xl P L 2A

P Gy hoc est (ob parallelas Lk^ P Ky G R) ut / / ad / ^, id est (ob

similia triangula//w, cpe) ut / w ad ^ e; & inverse ut L M ^st ad Int,

seu FR ad c Ry ita est FG 2A ce. Et propterea ^\fg esset ad ^^ ut

/Kad ^ r, id est, ut/r 2A c R (hoc est, ut/r ad FR &i FR ?id c R

conjunctim, id est, ut/7"ad FT & FG ad ce conjunctim) quoniam

ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG 8l fT

ad F T, (oretfg ^d FG ut fTad F T; atque ideo anguli, quos FG

8ifg subtenderent ad terram T, eequarentur inter se. Sed anguli illi

(per ea quse in pra^cedente propositione exposuimus) sunt motus no-

dorum, quo tempore luna in circulo arcum P M, in ellipsi arcum

p m percurrit : & propterea motus nodorum in circulo & ellipsi

aequarentur inter se. Haec ita se haberent, si modofg esset did ce \xt

cexfY
/K ad c Y, id est, si fg aequalis esset ^r—. Verum ob similia

triangula /^/, cep, est fg did ce ut // ad cp; ideoque/^ aequalis

est LIL ; & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad

cp

angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est, motus nodorum in

c ey^ f t)
ellipsi ad motum nodorum in circulo, ut hsec fg seu ^-^ ad pri-

cp

cey.fY
orem fg seu p — , id est, ut fp x cYadfYx cp, seufp ad/F &

444

DE MUNDJ SYSTEMATE

c V 2id cpy hoc est, ^\ph ipsi TN parallela occurrat FP in A, ut Fh
ad FY & FY ad FP; hoc est, ut Fh ad FP seu Di> ad Z?P,
ideoque ut area Dp md Sid ^ream D P Md. Et propterea, cum (per
corol. I prop. xxx) area posterior &l A Z q conjunctim proportionalia
sint motui horario nodorum in circulo, erunt area prior %l A Z q con-
junctim proportionalia motui horario nodorum in ellipsi. Q. E. D.

CoroL Quare cum, in data nodorum positione, summa omnium
arearum / Z?^;;^, quo tempore luna pergit a quadratura ad locum
quemvis m, sit area mpQEd, quae ad cllipseos tangentem Q E ter-
minatur ; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra,
sit area ellipseos totius: motus mediocris nodorum in ellipsi erit
ad motum mediocrem nodorum in circulo, ut elHpsis ad circulum ;

LIBER TERTIUS.

445

id est, ut Z"^ ad T A, seu 69 ad 70. Et propterea, cum (per corol.
2 prop. xxx) motus mediocris horarius nodorum in circulo sit ad
16'' 35"' i6'''- 36''* vX A Z q ti. Tiidi A T qu. si capiatur angulus 16"
21^'' 3'''* 30''- ad angulum 16'' 35''^ i6*''* 36''- ut 69 ad 70, erit motus
mediocris horarius nodorum in elHpsi ad 16" 21''^ 2>^^- 30""* ut -^ if^
ad -^ Tq ; hoc est, ut quadratum sinus distantiae nodi a sole ad qua-
dratum radii.

Caeterum luna, radio ad terram ducto, aream velocius describit in
syzygiis quam in quadraturis, & eo nomine tempus in syzygiis con-
trahitur, in quadraturis producitur ; & una cum tempore motus
nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areae in
quadraturis luna^ ad ejus momentum in syzygiis ut 10973 ^^ 1^073,
& propterea momentum mediocre in octantibus est ad excessum in
syzygiis, defectumque in quadraturis, ut numerorum semisumma
11023 ad eorundem semidififerentiam 50. Unde cum tempus lunae
in singulis orbis particulis aequalibus sit reciproce ut ipsius velocitas,
erit tempus mediocre in octantibus ad excessum temporis in qua-
draturis, ac defectum in syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 1 1023
ad 50 quam proxime. Pergendo autem a quadraturis ad syzygiis,
invenio quod excessus momentorum areae in locis singulis, supra
momentum minimum in quadraturis, sit ut quadratum sinus distantiae
lunae a quadraturis quam proxime ; & propterea differentia inter
momentum in loco quocunque & momentum mediocre in octantibus
est ut differentia inter quadratum sinus distantiae lunae a quadraturis
& quadratum sinus graduum 45, seu semissem quadrati radii ; &
incrementum temporis in locis singulis inter octantes & quadraturas,
& decrementum ejus inter octantes & syzygias, est in eadem ratione.
Motus autem nodorum, quo tempore luna percurrit singulas orbis
particulas aequales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione
temporis. Est enim motus iste, dum luna percurrit P M (caeteris
paribus) ut M L, & M L est in duplicata ratione temporis. Quare
motus nodorum in syzygiis, eo tempore confectus quo luna datas
orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri
11073 ad numerum 11023 ; estque decrementum ad motum reliquum
ut 100 ad 10973, ad motum vero totum ut 100 ad 11073 quam
proxime. Decrementum autem in locis inter octantes & syzygias,
& incrementum in locis inter octantes & quadraturas, est quam

446

DE MUNDI SYSTEMATE

proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis iltis ad motum
totum in syzygiis & differentia inter quadratum sinus dislantise lunas
a quadratura. & semissem quadrati radii ad semissem quadrati radii
conjunctim. Unde si nodi in quadraturis versentur, & capiantur loca
duo aequaliter ab octante liinc inde distantia, & alia duo a syzygia &
quadratura iisdem intcrvallis distantia, deque decrementis motuum
in locis duobus inter syzygiam & octantem subducantur incrementa
motuum in locis reliquis duobus, qua: sunt inter octantem & quadra-
turam ; decrementum reliquum a;quale erit decrcmento in syzygia :
uti rationem ineunti facile constabit. Proindeque decrementum
medlocre. quod de nodorum motu mediocri subduci debet, est pars
quarta decrementi in syzygia Motus totus horarius nodorum in
syzygiis, ubi luna radio ad terram ducto aream tempori propor-
tionalem describere supponebatur, erat 32" 42'" 7". Et decremen-
tum motus nodorum, quo tempore luna jam velocior describit idem
spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; ideoque
decrementum illud est i 7'" 43'" iT, cujus pars quarta 4'" as""- ^S"-
motui horario mediocri superius invento 16" 21'" 3"- 30'' subducta
relinquit 16" 16'" 37'"- 42"- motum mediocrem horariam correctum.

Si nodi versantur extra quadraturas, & spectentur loca bina a
syzygiis hinc inde a;qualiter distantia ; summa motuum nodorum, ubi
luna versatur in his locis, crit ad summam motuum, ubi luna in ilsdem
locis & nodi in quadraturis versantur, ut A Z q u. zA A T g u. Et
decrementa motuum, a causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem
ut ipsi motus, ideoque motus rellqui crunt ad invicem ut A Z gu. zA
A T gn. &. motus mediocres ut motus rcliqui. Est itaque motus
mediocris horarius correctus, in dato quocunque nodonim situ, ad 16"
16'" 37'' 42'- ul A Z git. ad A T gu.; id est, ut quadratuni sinus
distantix nodorum a syzygiis ad quadratum radJi.

LIBER TERTIVS. 447

PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA XIII.

Invenire motum medium nodorum luna.

Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum
mediocrium in anno. Concipe nodum versari in N, & singulis horis
completis retrahi in locum suum priorem ut non obstante motu suo
proprio datum semper servet situm ad stellas fixas. Interea vero
solem S, per motum terrte, progredi a nodo & cursum annuum
apparentem uniformiter complere. Sit autem A a arcus datus quam
minimus, quem recta 7'^ ad solem semper ducta, intersectione sui &
circuli N An, dato tempore quam minimo describit : & motus
horarius mediocris (per jam ostensa) erit ut A Z q, id est (ob pro-
portionales A Z, ZY) ut rectangulum sub A Z 8l Z V, hoc est, ut

area A Z Y a. Et summa omnium horariorum motuum mediocnum
ab initio, ut summa omnium arearum a Y Z A, id est, ut area N A Z.
Est autem maxima A Z Y a aequalis rectangulo sub arcu A a & radio
circuli ; & propterea summa omnium rectangulorum in circulo toto
ad summam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangu-
lum sub circumferentia tota & radio, id est, ut i ad 2. Motus
autem horarius rectangulo maximo respondens erat 16" 16"' 37''-
42'-. Et hic motus, anno toto sidereo dierum 365 hor. 6 min. 9 fit
39^' 38' 7" 50'". Ideoque hujus dimidium ig^- 49' 3" 55'" est

448 ^E MUNDI SYSTEMATE

motus mediiis nodorum circulo toti respondens. Et motus no-
dorum, quo tempore sol pergit ab A^ad A, est ad ig^- 49' 3" 55"'
ut area iV^ Z ad circulum totum,

Ha;c ita se habent ex hypothesi, quod nodus horis singulis in
locum priorem retrahitur, sic ut sol anno toto completo ad nodum
eundem redeat a quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum
nodi fit ut sol citius ad nodum revertatur, & computanda jam est
abbreviatio temporis. Cum sol anno toto conficiat 360 gradus, &
nodus motu maximo eodem tempore conficeret y^'^- 38' 7" 50"',
seu 39,6355 gradus ; & motus mediocris nodi in loco quovis iVsit ad
ipsius motum mediocrem in quadraturis suis, ut A Z q ■sA A Tq:
erit motus solis ad motum nodi in N, ut 360 A Tq ad 39,6355 A Zq ;
id est, ut 9,0827667 A Tq ad A Zq. Unde si circuli totius circumfe-

rentia NAn dividatur in particulas squales A a, tempus quo sol
percurrat particulam Aa, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo
percurrit eandem partlculam, si circulus una cum nodis circa centrum
T revolvatur, reciproce ut 9,0827667 A Tq ad 9.0827667 A Tq
+ A Zq. Nam tempus est reciproce ut velocitas qua particula per-
curritur, & haec velocitas est summa velocitatum solis & nodi. Igitur
si tempus, quo sol sine motu nodi percurreret arcum NA, exponatur
per sectorem N T A, & particula temporis quo percurreret arcum
quam minimum A a, exponatur per sectoris particulam A Ta ; & (per-
pendiculo aY \xi. N n demisso) si in A Z capiatur {iZ, ejus lon-

LIBER TERTIUS. 449

gitudinis ut sit rectangulum dZ in Z K ad sectoris particulam A Ta
ut A Z q ad 9,0827646 A Tq + A Z q, id est, ut sit dZ ad i ^ Z ut
A Tq ad 9,0827646 A Tq + A Z q ; rectangulum dZ in Z Kdesig-
nabit decrementum temporis ex motu nodi oriundum, tempore toto
quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam N dG n,
area curvilinea N dZ erit decrementum totum, quo tempore arcus
totus N A percurritur; & propterea excessus sectoris N A T supra
aream N d Z erit tempus illud totum. Et quoniam motus nodi tem-
pore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area Aa YZ
diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur m A Z longitudo
eZy quae sit ad longitudinem ^Z ut >4Z^ad 9,0827646 A Tq-vAZq.
Sic enim rectangulum eZ \n Z V erit ad aream A Z Ya ut decre-
mentum temporis, quo arcus A a percurritur, ad tempus totum quo
percurreretur, si nodus quiesceret : & propterea rectangulum illud
respondebit decremento motus nodi. Et si punctum e tangat curvam
NeFuy area tota NeZ, quae summa est omnium decrementorum,
respondebit decremento toti quo tempore arcus A N percurritur ;
& area reliqua NAe respondebit motui reliquo, qui verus est nodi
motus quo tempore arcus totus N A per solis & nodi conjunctos
motus percurritur. Jam vero area semicirculi est ad aream figurae
N eFn, per methodum serierum infinitarum qua^sitam, ut 793 ad
60 quamproxime. Motus autem qui respondet circulo toti erat
19^- 49' 3^' 55''' & propterea motus, qui figurae N e F n duplicatae
respondet, est i^- 29' 58^^ 2'". Qui de motu priore subductus re-
linquit 18^ 19' 5'' 53''' motum totum nodi respectu fixarum inter
sui ipsius conjunctiones cum sole ; & hic motus de solis motu annuo
graduum 360 subductus, relinquit 34 1^'"' 40' 54'' ^'" motum solis inter
easdem conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum
360^"^- ut nodi motus jam inventus i8^- 19' ^" 53'^' ad ipsius motum
annuum, qui propterea erit i^^"'' 18' \" 23'''. Hic est motus medius
nodorum in anno sidereo. Idem per tabulas astronomicas est 19^
21' 21^' 50'''. Differentia minor est parte trecentesima motus totius,
& ab orbis lunaris eccentricitate & inclinatione ad planum eclipticae
oriri videtur. Per eccentricitatem orbis motus nodorum nimis accele-
ratur, & per ejus inclinationem vicissim retardatur aliquantulum & ad
justam velocitatem reducitur.

2 F

450

DE ^ruyni systemate

PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA XIV.
Invenire violum verum ftodorum luncB.

In tempore quod est ut area NTA — NdZ (in fig. pr-iecedj
motus iste est ut area N A e, & inde datur. Verum ob nimiam
calculi difficultatem praestat sequentem problematis constructionem
adhibere. Centro C, intervallo quovis C D, describatur circulus
B EFD. Producatur i?C ad A^ ut sit ABsid AC ut motus medius
ad semissem motus veri mediocris, ubi nodi sunt in quadraturis, id est,
ut 19«^ 18' i'' 23''' ad 19^- 49' 3" 55"', atque ideo .ff C ad -^ C ut
motuum differentia o^- 31^ 2" 32''', ad motum posteriorem 19«^- 49' 3''
55''' hoc est, ut I ad 38^; dein per punctum D ducatur infinita
Ggf quae tangat circulum in D ; & si capiatur angulus BCE vel
B C F aequalis duplae distantiae solis a loco nodi, per motum medium
invento; & agatur A E vel A F secans perpendiculum D G in G ;
& capiatur angulus qui sit ad motum totum nodi inter ipsius syzygias
(id est, ad 9^- 11' 3'') ut tangens Z? C ad circuli BED circumfer-
entiam totam ; atque angulus iste (pro quo angulus D A G usurpari

potest) ad motum medium nodorum addatur ubi nodi transeunt a
quadraturis ad syzygias, & ab eodem motu medio subducatur ubi
transeunt a syzygiis ad quadraturas ; habebitur eorum motus verus.
Nam motus verus sic inventus congruet quam proxime cum motu
vero qui prodit exponendo tempus per aream N TA — N dZ &
motum nodi per aream NAe; ut rem perpendenti & computa-
tiones instituenti constabit. Haec est aequatio semestris motus

LIBER TERTIUS.

451

nodorum. Est & aequatlo menstrua, sed quae ad inventionem latitu-
dinis lunae minime necessaria est. Nam cum variatio inclinationis
orbis lunaris ad planum eclipticae duplici inaequalitati obnoxia sit,
alteri semestri, alteri autem menstruae ; hujus menstrua inaequalitas &
aequatio menstrua nodorum ita se mutuo contemperant & corrigunt, ut
ambae in determinanda latitudine lunae negligi possint.

CoroL Ex hac & praecedente propositione liquet quod nodi in
syzygiis suis quiescunt, in quadraturis autem regrediuntur motu
horario 16'' 19''' 26'''. Et quod aequatio motus nodorum in octan-
tibus sit i^- 30'. Quae omnia cum phaenomenis coelestibus probe
quadrant.

Scholium.

Alia ratione motum nodorum y. Machin Astron. Prof. Gresham.
& Hen. Pe^nberton M.D. seorsum invenerunt. Hujus methodi
mentio quaedam alibi facta est. Et utriusque chartae, quas vidi, duas
propositiones continebant & inter se in utrisque congruebant Char-
tam vero D. Machin, cum prior in manus meas venerit, hic adjungam.

De MoTU NoDORUM LUNyE.

PROPOSITIO I.

*' Motns solis medins a nodo definitur per medinm proportionale
^^ geometricum inter fnotum ipsius solis medijwt & motum illum medio-
*' crem quo sol celerrimh recedit a nodo in qtiadraturis.

**Sit T locus ubi terra, N' n linea nodorum lunae ad tempus
" quodvis datum, K T M huic ad rectos angulos ducta, T A recta
" circum centrum revolvens ea cum velocitate angulari qua sol & nodus
** a se invicem recedunt, ita ut angulus inter rectam quiescentem N n
" & revolventem T A semper fiat aequalis distantiae locorum solis &
" nodi. Jam si recta quaevis T K dividatur in partes TS & SK quae
" sint ut motus solis horarius medius ad motum horarium mediocrem
" nodi in quadraturis, & ponatur recta T^ZTmedia proportionalis inter
" partem TS & totam TK, haec recta inter reliquas proportionalis erit
" motui medio solis a nodo.

452

DE MUNDI SYSTEMATE

<<
H
ii
(<
((
ii
(i
(i

"Describatur enim circulus N KnM centro T & radio T^K,
eodemque centro & semiaxibus Tlf & T N describatur ellipsis
N Hn Ly 8i in tempore quo sol a nodo recedit per arcum JV a^ si
ducatur recta Tba, area sectoris N Ta exponet summam motuum
nodi & solis in eodem tempore. Sit igitur arcus a A quam minimus
quem recta Tba praefata lege revolvens in datd temporis particula
uniformiter describit, & sector quam minimus TA a erit ut summa
velocitatum qua sol & nodus tum temporis seorsim feruntur. Solis
autem velocitas fere uniformis est, utpote cujus parva inaequalitas

vix ullam inducit in medio nodorum motu varietatem. Altera
pars hujus summae, nempe velocitas nodi in mediocri sua quan-
titate, augetur in recessu a syzygiis in duplicata ratione sinus
distantiae ejus a sole per Corol. Prop. 31 Lib. 3^ Princip. &
cum maxima est in quadraturis ad solem in K, eandem rationem
obtinet ad solis velocitatem ac ea quam habet S K ^A TS hoc
est ut (differentia quadratorum ex TK & T H vel) rectanguhim
K H M ?id 7"// quadratum. Sed ellipsis NBH dividit secto-
rem A Ta summae harum duarum velocitatum exponentem in
duas partes ABba & BTb ipsis velocitatibus proportionales,
Producatur enim B T 2A circulum in /8, & a puncto B demitta-

LIBER TERTIUS.

453

** tur ad axem majorem perpendlcularis B Gy quae utrinque producta
*^occurrat circulo in punctis F &, /; 81 quoniam spatium A B ba est
" ad sectorem TBb ut rectangulum A B^ ad B T quadratum
** (rectangulum enim illud aequatur dififerentiae quadratorum ex TA
** & T B ob rectam A ^ aequaliter & inaequaliter sectam in 7" & B)y
** haec igitur ratio ubi spatium ABba maximum est in K eadem
** erit ac ratio rectanguli K H M ^A H T quadratum. Sed maxima
*' nodi mediocris velocitas erat ad solis velocitatem in hac ratione.
** Igitur in quadraturis sector A Ta dividitur in partes velocitatibus
" proportionales. Et quoniam rectang. K H M est ad //' T^quadr. ut
** FB/did BG quad. & rectangulum AB^ aequatur rectangulo FB/
^* erit igitur areola A B ba ubi maxima est ad reliquum sectorem
" TBby ut rectang. AB^ 2i6.BG quadr. Sed ratio harum areolarum
" semper erat ut A B fi rectang. Sid B T quadratum ; & propterea
^* areola A Bba in loco A minor est simili areola in quadraturis in
" duplicata ratione B G a,d B T, hoc est, in duplicata ratione sinus
" distantiae solis a nodo. Et proinde summa omnium areolarum
" ABba nempe spatium ABN erit ut motus nodi in tempore quo sol
'* digreditur a nodo per arcum N A, Et spatium reliquum nempe
" sector ellipticus N TB erit ut motus solis medius in eodem tempore.
'* Et propterea quoniam annuus motus nodi medius is est qui fit in
" tempore quo sol periodum suam absolverit, motus nodi medius a
^* sole erit ad motum ipsius solis medium, ut area circuli ad aream
" ellipseos, hoc est, ut recta TK ad rectam T H mediam scilicet
" proportionalem inter T K & T S ; vel quod eodem redit ut media
" proportionalis T H ad rectam TS.

PROPOSITIO II.
^^ Dato motu medio nodorum lufus invenire motum verum.

"Sit angulus A distantia solis a loco nodi medio, sive motus
" medius solis a nodo. Tum si capiatur angulus B cujus tangens
" sit ad tangentem anguli A ut TH ad TKy hoc est, in subduplicata
** ratione motus mediocris horarii solis ad motum mediocrem hora-
" rium solis a nodo in quadraturis versante ; erit idem angulus B
" distantia solis a loco nodi vero. Nam jungatur F T & ex demon-

454

DL MUXDI SYSTEMATE

*' Htrationc f/ropositianis superioris erit angulus F T X distantia solis
'* a \(ycxy nfxli m^rdio, angulus autem A T X distantia a loco vero, &
'* tanjfcnt/rs horum angulorum sunt inter se ut T K ad T H.

" CoroL Hinc angulus FTA est sequatio nodorum lunae, sinusque
" hujuH anj^uli ubi maximus est in octantibus est ad radium ut K H
** iul y^K+ T n. Sinus autem hujus aequationis in loco quovis alio
'' A cst ad sinum maximum, ut sinus summae angulorum FTX+A TX
** iul radium : hoc cst fere u^ sinus duplae distantiae solis a loco nodi
" mcdio (nempc 2 F T X) ad radium.

Scholium.

''Si motus nodorum mediocris horarius in quadraturis sit 16''
*' i6''' 37''' 42"^ hoc cst in anno tpto sidereo 39° 38' 7" 50"' erit
'* T II ad T K in subduplicata ratione numeri 9,0827646 ad numerum
'' 10,0827646, hoc est ut 18,6524761 ad 19,6524761. Et propterea
'* T II ad II K ut 18,6524761 ad i, hoc est, ut motus solis in anno
*• sidcrco ad motum nodi medium 19° 18' i'' 23'''!.

"At si motus mcdius nodorum Lunae in 20 annis Julianis sit
** 386" 50' 1 5'' sicut ex observationibus in theoria lunae adhibitis
** (lcducitur : motus medius nodorum in anno sidereo erit 19° 20' 31'^
*' 58'^ !• t TII crit ad HK ut 360«^- ad 19° 20' 31'' 58''^ hoc est
*• ut 18,61214 ad I . U nde motus mediocris horarius nodorum in quad-
*' raturis cvadct 16'' 18''' 48'^ Et aequatio nodorum maxima in
•' octantibus i" 29^ 57^

.// »

PKOPOSITIO XXXIV. PROBLEMA XV.

liivcnirc variatiomm /lorariam inclinationis o^-bis Itntaris ad pla^ium

cc/ipticcr.

IVsi^nt^it .7 & (/ syzyj^ias; Q Sc g quadraturas; A'' & n nodos ;
/' loomn hnur in orbe suo; / vcstij^ium loci illius in plano eclipticae ;
iS: w /V molum momcntanoum nodorum ut supra. Et si ad lineam
y*w dmiittatur pcriuMulicuhun /' (/, jungatur / (7, & producatur ea
diMUv iuvurral '// \\\ ^;^ is: junjjatur etiam P^: erit angulus PGp
Inclinalio i>rbis lunaris ad planum ecliptica\ ubi luna versatur in P;
iS: anguhis /\;*/ inclinatio ojusdem post momentum temporis com-

LIBER TERTIUS,

455

pletum ; ideoque angulus G P g variatio momentanea inclinationis.
Est autem hic angulus G P g ad angulum GTg ut TG Sid PG &
P p TkA P G conjunctim. Et propterea si pro momento temporis
substituatur hora; cum angulus. 6^ 7]f (per prop. xxx) sit ad angulum

7/ ^^tff

33 lo"' 33- wtlTxPGxAZ^dAT aib. erit angulus GPg (seu
inclinationis horaria variatio) ad angulum 33" 10'" 33'^ ut ITxAZ

y^TGxj^TidATcub. Q.E.L

Haec xtd^ se habent ex hypothesi quod luna in orbe circulari
uniformiter gjTatur. Quod si orbis ille ellipticus sit, motus mediocris
nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti
supra expositum est Et in eadem ratione minuetur etiam
inclinationis variatio.

456 DE MVNDI SYSTEMATE

CoroL I. Si ad Nyt erigatur perpendiculum 77% sitque /i?/ motus
horarius lunee in plano ecHpticai ; & perpendicula / K, M k \n Q T
demissa & utrinque producta occurrant T F in H 8i k : erit / T ad
A T ut Kk ad Mp, & TG ad Hp ut TZ ad A T, ideoque / Tx

TG aequale ^r^ , hoc est, aequale areae Hp Mh ductae

TZ

in rationem : & propterea inclinationis variatio horaria ad 33''

10'" 33- ut Hp Mh ducta in ^ Zx ^;^ X 4^ ad A T aib.
^^ ^ Mp PG

CoroL 2. Ideoque si terra & nodi singulis horis completis

retraherentur a locis suis novis, & in loca priora in instanti semper

reducerenter, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus

maneret ; tota inclinationis variatio tempore mensis illius foret ad

33'' \d" 33'^ ut aggregatum omnium areanim Hp M h, in

revolutione puncti / genitarum, & sub signis propriis + &— conjunc-

P i>
tarum, ductum \xi A Zy. T Z x -5-^ ad Mp y.AT cud. id est, ut

Pp
circulus totus Q A qa ductus \vi A Zy. TZ x -j^ ad Mp y.AT cub.

Pp
hoc est ut circumferentia Q Aqa ducta in -^ Z x TZ x ad 2 Mp

xA T quad.

CoroL 3. Proinde in dato nodorum situ variatio mediocris horaria,
ex qua per mensem uniformiter continuata variatio illa menstrua

Pp
generari posset, est ad 33'^ \d" Z'^^ "^"^- A Z y. TZx-^^ D.d 2 A Tq^

A Z y TZ

sive ut Pp X — ad P 6^ X 4 -^ 7; id est (cum Pp sit ad P 6^

"2" xL 1

A Z y T Z

ut sinus inclinationis praedictae ad radium, & — ^ — sit ad 4 ^ 7"

ut sinus duplicati anguli A Tn ad radium quadruplicatum) ut
inclinationis ejusdem sinus ductus in sinum duplicatae distantiae
nodorum a sole ad quadruplum quadratum radii

Co7vL 4. Quoniam inclinationis horaria variatio, ubi nodi in
quadraturis versantur, est (per hanc propositionem) ad angulum 33"

LIBER TERTIUS. 457

\d" 33'^ MtlTxAZxTGx^ 2idA T cub. id est, ut ^^^J^
^^ PG \AT

X -^ zA 2 A T ; hoc est, ut sinus duplicatae distantiae lunae k qua-
P G

draturis ductus in — ^ ad radium duplicatum : summa omnium varia-

PG ^

tionum horariarum, quo tempore luna in hoc situ nodorum transit a

quadratura ad syzygiam (id est spatio horarum 177J) erit ad sum-

mam totidem angulorum 33'' 10''' 33'^ seu 58 78'^ ut summa omnium

Pl)

sinuum dupHcatae distantiae lunae k quadraturis ducta in — ^ ad

summam totidem diametrorum ; hoc est, ut diameter ducta in -^ ad

circumferentiam ; id est, si incHnatio sit 5^* i\ ut 7 x 10000 ad 22, seu
278 ad loooo. Proindeque variatio tota, ex summa omnium horari-
arum variationum tempore praedicto conflata, est 163'^ seu 2' 43'^

PROPOSITIO XXXV. PROBLEMA XVI.

Dato tempore invenire inclinationem orbis lunaris ad planum

eclipticce,

Sit A D sinus incHnationis maximae, 81 A B sinus incHnationis
minimae. Bisecetur B D m C, & centro C intervaHo B C describatur
circulus B G D. In A C capiatur C^ in ea ratione ad £ B quam

AH

E B habet 2id 2 BA : et si dato tempore constituatur angulus A E G
aequaHs dupHcatae distantiae nodorum k quadraturis, & 2id A D de-
mittatur perpendiculum G/f: erit A //"sinus incHnationis quaesitae.

458 ^E MUNDI SYSTEMATE

Nam GEq aequale est GHq + HEq = B H D + HEg = II BD+
HEq-BHq^HBD + BEq-^i BHxBE^BEq+l^ JE C x
B H=2 ECxAB + 2 ECxB H=2 ECxA H. Ideoque cum
2 E C detur est G^j5'^ ut ^ H, Designet jam A Eg- duplicatam
distantiam nodorum a quadraturis post datum aliquod momentum
temporis completum, & arcus Gg ob datum angulum G E g erit

Af-

ut distantia G E. Est autem H h ad G g ut G H ^A G C, 8c prop-
terea H h est ut contentum G H x. G g, seu G H y. G E ; id est, ut

^^xGEqs^M ^^xAH, idest, ut A H & sinus anguli^^6^
G E G E

conjunctim. Igitur si ^ ^ in casu aliquo sit "sinus inclinationis,

augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis per Corol.

3 Propositionis superioris, & propterea sinui illi aequalis semper

manebit. Sed A H, ubi punctum G incidit in punctum alterutrum

B vel D, huic sinui sequalis est, & propterea eidem semper aequalis

manet. Q, E. D.

In hac demonstratione supposui augulum B E G, qui est duplicata

distantia nodorum a quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes

inaequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum

B E G rectum esse & in hoc casu G g esse augmentum horarium

duplae distantiae nodorum & soHs ab invicem ; & inclinationis vari-

atio horaria in eodem casu (per Corol. 3 Prop. novissimae) erit ad

33^' \d" 33^'' ut contentum sub inclinationis sinu A H 8l sinuanguli

recti B E Gy qui est duplicata distantia nodorum a sole, ad quaT-

ruplum quadratum radii ; id est, ut mediocris inclinationis sinus A H

ad radium quadruplicatum ; hoc est (cum iriclinatio illa mediocris

sit quasi 5^* 8'J) ut ejus sinus 896 ad radium quadruplicatum

40000, sive ut 224 ad loooo. Est autem variatio tota, sinuum dif-

LIBER TERTIC/S.

459

ferentiae B D respondens, ad variationem illam horariam ut diameter
B D 2A arcum Gg; id est, ut diameter B D ^d semicircumferenti-
am B G D &i tempus horarum 2079TV, quo nodus pergit k quadra-
turis ad syzygias, ad horam unam conjunctim ; hoc est, ut 7 ad
II & 2079t(f ad I. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet
variatio tota B D 2id 33'' 10''' 33''' ut 224 x 7 x 2079T<r ad iioooo,
id est, ut 29645 ad 1000, & inde variatio illa BD prodibit 16'

Haec est inclinationis variatio maxima quatenus locus lunae in orbe
suo non consideratur. Nam inclinatio, si nodi in syzygiis versantur,
nil mutatur ex vario situ lunae. At si nodi in quadraturia consistunt,
incHnatio minor est ubi luna versatur in syzygiis, quam ubi ea ver-
satur in quadraturis, excessu 2' 43'' ; uti in propositionis superio-
ris Corollario quarto indicavimus. Et hujus excessus dimidio i'
21^'^ variatio tota mediocris B D in quadraturis lunaribus dimi-
nuta fit 15' 2'', in ipsius autem syzygiis aucta fit 17' 45''. Si luna
igitur in syzygiis constituatur, variatio tota in transitu nodorum a
quadraturis ad syzygias erit 1 7' 45'' : ideoque si inclinatio, ubi
nodi in syzygiis versantur, sit 5^* 1 7' 20" ; eadem, ubi nodi sunt
in quadraturis & luna in syzgyiis erit 4^* 59' 35''. Atque haec ita
se habere confirmatur ex observationibus.

Si jam desideretur orbis inclinatio illa, ubi luna in syzygiis & nodi
ubivis versantur; fiat A B ad A D ut sinus graduum 4 59' 35''
ad sinum graduum 517' 20'', & capiatur angulus A E G aequalis
duplicatae distantiae nodorum a quadraturis ; & erit -^/Tsinus incli-
nationis quaesitae. Huic orbis inclinationi aequaHs est ejusdem incH-
natio, ubi luna distat 90^- k nodis. In aHis lunae locis inaequaHtas
menstrua, quam incHnationis variatio admittit, in calculo latitudinis
lunae compensatur, & quodammodo toHitur per inaequaHtatem men-
struam motus nodorum (ut supra diximus) ideoque in calculo lati-
tudinis iHius negHgi potest.

Scholitim.

Hisce motuum lunarlum computationibus ostendere volui, quod
motus lunares per theoriam gravitatis a causis suis computari pos-
sint. Per eandem theoriam inveni praeterea quod aequatio annua

46o DE MUNDI SYSTEMATE

medii motus lunae oriatur a varia dilatatione orbis lunse per vim solis
juxta Corol. 6 Prop. lxvi Lib. L Haec vis in perig-aeo solis maior
est, & orbem lunae dilatat; in apogaeo ejus minor est, & orbem
illum contrahi permittit. In orbe dilatato luna tardius revolvitur in
contracto citius ; & aequatio annua, per quam haec insequalitas com-
pensatur, in apogaeo & perigaeo solis nulla est, in mediocri solis a
terra distantia ad ii' 50'' circiter ascendit, in aliis locis aequatiom
centri solis proportionalis est ; & additur medio motui lunse ubi terra
pergit ab aphelio suo ad perihelium, & in opposita orbis parte sub-
ducitur. Assumendo radium orbis magni 1000 & eccentricitatem
terrae i6f haec aequatio, ubi maxima est, per theoriam gravitatis
prodiit 11' 49''. Sed eccentricitas terrae paulo major esse videtur
& aucta eccentricitate haec aequatio augeri debet in eadem ratione.
Sit eccentricitas i6i4, & aequatio maxima erit 11' 51".

Inveni etiam quod in perihelio terrae, propter majorem vim soh's,
apogaeum & nodi lunae velocius moventur quam in aphelio ejus,
idque in triplicata ratione distantiae terrae a sole inverse. Et inde
oriuntur aequationes annuae horum motuum aequationi centri solis
proportionales. Motus autem soHs est in duplicata ratione distantise
terrae a sole inverse, & maxima centri aequatio, quam haec inaequali-
tas generat, est i^"^* 56' 20'' prsedictae soHs eccentricitati 161I con-
gruens. Ouod si motus solis esset in triplicata ratione distantise
inverse, haec inaequalitas generaret aequationem maximam tF- 54' 30''.
Et propterea acquationes maximae, quas inaequalitates motuum apo-
gaei & nodorum lunae generant, sunt ad 2^- 54' 30'' ut motus medius
diurnus apogaei & motus medius diurnus nodorum lunae sunt ad
motum medium diurnum solis. Unde prodit aequatio maxima
medii motus apogaei 19' 43'^ & aequatio maxima medii motus
nodorum 9' 24''. Additur vero aequatio prior & subducitur posteri-
or, ubi terra pergit a periheHo suo ad apheHum : & contrarium fit
in opposita orbis parte.

Per theoriam gravitatis constitit etiam quod actio solis in lunam
paulo major sit, ubi transversa diameter orbis lunaris transit per
solem, quam ubi eadcm ad rectos est angulos cum linea terram &
solem jungente : & propterea orbis lunaris paulo major est in priore
casu quam in posteriore. Et hinc oritur aHa aequatio motus medii

LIBER TERTIUS.

461

H Itinaris, pendens a situ apoga;! lunce ad solem, quas quidem maxima
est ciim apogxum lume versatur in octante cum sole ; & nulla cum
illud ad quadraturas vel syzyg^ias pervenit : & motui medlo additur
in transitu apoga;i lunae a solis quadratura ad syzygiam, & subducitur
in transitu apogaei a syzygia ad quadraturam. Hicc a:quatio, quam
semestrem vocabo, in octantibus apogae!, quando maxima est,

Iascendit ad 3' 45" circiter, quantum ex phcenomenis colligere potui.
HiEC est cjus quantitas in mediocri solis distantia a terra. Augetur
vero ac diminuitur in triplicata ratione distantiie solis Inverse, ideoque
in maxima solis distantia est 3' 34", & in minima 3' 56" quamproxime:
ubi vero apoga;um lun^ situm est extra octantes, evadit minor;
estque ad asquationem maximam, ut sinus duplie distantiie apogaei
lunEC a proxima syzygia vel quadratura ad radium.
Per eandem gravitatis theoriam actio solis in kinam paulo major
est ubi linea recta per nodos lun.-e ducta transit per solem, quam ubi
linea illa ad rectos est angulos cum recta solem ac terram jungente.
Et inde oritur alia medii motus lunaris requatio, quam semestrem
secundam vocabo, quaeque maxima est ubi nodi in solis octantibus
versantur, & evanescit ubi sunt in .syzygiis vel quadraturis, & in aliis
nodorum positionibus proportionalis est sinui dupl^e distantix nodi
altenitrius a proxima syzygia aut quadratura ; additur vero medio
motui lun^, si sol distat a nodo sibi proxinio in antecedentia,
subducitur si in consequentia, & in octantibus, ubi maxima est,
ascendit ad 47" in mediocri solis distantia a terra, uti e.': theoria
gravitatis colligo. In aliis solis distantiis h<xc ^equatio maxima in
octantibus nodorum est reciproce ut cubus distantia; solis a terra,
ideoquc in perigBeo solis ad 49" in apogpso ejus ad 45" circiter
ascendit.

Per eandem gravitatis theoriam apoga:um lunse progreditur quam
maxime ubi vel cum sole conjungitur vel eidem opponitur, &
regreditur ubi cum sole quadraturam facit Et eccentricitas fit
maxima in priore casu & minima in posteriore per Corol. 7, 8 & 9
Prop. Lxvi Lib I. Et hce imqualitates per eadem Corollaria per-
magnse sunt, & aequationem princlpalem apogGei generant, quam
semestrem vocabo. Et a:quatio maxima semestris est 1 2*^ 1 8' circiter,
quantum ex observationibus colligere potui. Horroxhis noster lunam

462 ^^ MUNDl SYSTEMATE

in ellipsi circum terram, in ejus umbilico inferiore constitutam, revolvi
primus statuit. Halleius centrum ellipseos in epicyclo locavit, cujus
centrum uniformiter revolvitur circum terram. Et ex motu in
epicyclo oriuntur inaequalitates jam dictae in progressu & regressu
apogaei & quantitate eccentricitatis. Dividi intelligatur distantia
mediocris lunae a terra in partes 1 00000, & referat T terram & T C
eccentricitatem mediocrem lunae partium 5505. Producatur 7"C ad
B, ut sit C B sinus aequationis maximae semestris 12^* 18' ad radium
TC, 81 circulus B DA centro C intervallo CB descriptus erit
epicyclus ille in quo centrum orbis lunaris locatur & secundum ordinem
literarum B D A revolvitur. Capiatur angulus B C D aequalis duplo
argumento annuo, seu duplae distantiae veri loci solis ab apogaeo
lunae semel aequato, & erit C T D aequatio semestris apogaei lunae

& T D eccentricitas orbis ejus in apogaeum secundo aequatum
tendens. Habitis autem lunae motu medio & apogaeo &

eccentricitate, ut & orbis axe majore partium 200000 ; ex his eruetur
verus lunae locus in orbe & distantia ejus a terra, idque per methodos
notissimas.

In perihelio terrae, propter majorem vim solis, centrum orbis lunae
velocius movetur circum centrum C quam in apheHo, idque in
triplicata ratione distantiae terrae a sole inverse. Ob aequationem
centri solis in argumento annuo comprehensam, centrum orbis lunae
velocius movetur in epicyclo B D A \n duplicata ratione distantiae
terrae a sole inverse. Ut idem adhuc velocius moveatur in ratione
simpHci distantiae inverse ; ab orbis centro D agatur recta D E ver-
sus apogaeum lunae, seu rectae TC paraHela, & capiatur angulus EDF
aequaHs excessui argumenti annui praedicti supra distantiam apogaM
lunae a perigaeo soHs in consequentia ; vel quod perinde est capiatur

LIBER TERTIUS.

463

angulus C D F aequalis complemento anomaliae verae solis ad gradus
360. Et sit Z?/^ad Z? C ut dupla eccentricitas orbis magni ad dis-
tantiam mediocrem solis a terra & motus medius diurnus solis ab
apogaeo lunae ad motum medium diurnum solis ab apogaeo proprio
conjunctim, id est, ut 33I ad 1000 & 52' 27'' 16''' ad 59' 8^' \o'"
conjunctim, sive ut 3 ad 100. Et concipe centrum orbis lunae locari
in puncto F^ & in epicyclo, cujus centrum est Z? & radius DF, interea
revolvi dum punctum D progreditur in circumferentia circuli DABD.
Hac enim ratione velocitas, qua centrum orbis lunae in linea quadam
curva circum centrum C descripta movebitur, erit reciproce ut cubus
distantiae solis a terra quamproxime, ut oportet.

Computatio motus hujus difficilis est, sed facilior reddetur per
approximationem sequentem. Si distantia mediocris lunae a terra
sit partium ioockdo, & eccentricitas TC sit partium 5505 ut supra :
recta C-5 vel C D invenietur partium 11 721, & recta D F partium
35I. Et haec recta ad distantiam TC subtendit angulum ad terram
quem translatio centri orbis a loco D ad locum F generat in motu
centri hujus : & eadem recta duplicata in situ parallelo ad distantiam
superioris umbilici orbis lunae a terra subtendit eundem angulum,
quem utique translatio illa generat in motu umbilici, & ad distantiam
lunae a terra subtendit angulum quem eadem translatio generat in
motu lunae, quique propterea aequatio centri secunda dici potest. Et
haec aequatio, in mediocri lunae distantia a terra, est ut sinus anguli,
quem recta illa Z?/^cum recta a puncto /^ad lunam ducta continet
quamproxime, &ubi maxima est evadit 2' 25'^ Angulus autem quem
recta D F 81 recta a puncto F ad lunam ducta comprehendunt in-
venitur vel subducendo anguhim E D Fdh anomalia media lunae, vel
addendo distantiam lunae a sole ad distantiam apogaei lunae ab apogaeo
solis. Et ut radius est ad sinum anguli sic inventi, ita 2' 25'' sunt ad
aequationem centri secundam, addendam si summa illa sit minor
semicirculo, subducendam si major. Sic habebitur ejus longitudo in
ipsis luminarium syzygiis.

Cum atmosphaera terrae ad usque altitudinem milliarium 35 vel 40
refringat lucem solis, & refringendo spargat eandem in umbram terrae,
& spargendo lucem in confinio umbrae dilatet umbram : ad diametrum
umbrae, quae per parallaxim prodit, addo minutum unum primum in
ecHpsibus lunae, vel minutum unum cum triente.

464 ^^ MUNDI SYSTEMATE

Theoria vero lunae primo in syzygiis, deinde in quadraturis, &
ultimo in octantibus per phsenomena examinari & stabiHri debet. Et
opus hocce aggressurus motus medios solis & lunae ad tempus meridi-
anum in observatorio regio Grenoviceitsi, die ultimo mensis Decembris
anni 1 700 st. vet. non incommode sequentes adhibebit : nempe
motum medium solis YS 20^* 43' 40'', & apogaei ejus az5 7^"* 44' 30'', &
motum medium lunre ^ 15^* 21' 00'', & apogeei ejus K 8^- 20' 00'',
& nodi ascendentis ^ 27^- 24^20''; & differentiam meridianorum
ol^servatorii hujus & observatorii regii Parisiensis o^°'' 9°*'"' 20****.
Motus autem medii lunae & apogsei ejus nondum satis accurate
habentur.

PROPOSITIO XXXVI. PROBLEMA XVII.

Invenire vim solis ad mare 7novendum,

Solis vis M L seu P T, in quadraturis lunaribus, ad perturbandos
motus lunares erat (per Prop. xxv hujus) ad vim gravitatis apud
nos, ut I ad 638092,6. Et vis TM — L M seu 2 P I^ m syzygiis
lunaribus est duplo major. Mee autem vires, si descendatur ad super-
ficiem terrae, diminuuntur in ratione distantiarum a centro terrae, id
est, in ratione 60I ad i ; ideoque vis prior in superficie terrae est
ad vim gravitatis ut i ad 38604600. Hac vi mare deprimitur in
locis, quae 90 gradibus distant a sole. Vi altera, quae duplo major
est, mare elevatur & sub sole & in regione soli opposita. Summa

virium est ad vim gravitatis ut i ad 12868200. Et quoniam vis ea-
dem eundem ciet motum, sive ea deprimat aquam in regionibus quae

LIBER TERTIUS,

465

90 gradibus distant a sole, sive elevet eandem in regionibus sub sole
& soli oppositis, haec summa erit tota solis vis ad mare agitandum ;
& eundem habebit effectum, ac si tota in regionibus sub sole & soli
oppositis mare elevaret, in regionibus autem quae 90 gradibus distant
a sole nil ageret

Haec est vis solis ad mare ciendum in loco quovis dato, ubi sol
tam in vertice loci versatur quam in mediocri sua distantia a terra.
In aliis solis positionibus vis ad mare attollendum est ut sinus versus
duplae altitudinis solis supra horizontem loci directe & cubus distantiae
solis a terra inverse.

CoroL Cum vis centrifuga partium terrae a diurno terrae motu
oriunda, quae est ad vim gravitatis ut i ad 289, efficiat ut altitudo
aquae sub aequatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum
Parisiensium 85472, ut supra in prop. xix ; vis solaris de qua egimus,
cum sit ad vim gravitatis ut i ad 12868200, atque ideo ad vim illam
centrifugam ut 289 ad 12868200 seu i ad 44527, efficiet ut altitudo
aquae in regionibus sub sole & soli oppositis superet altitudinem ejus
in locis, quae 90 gradibus distant a sole, mensura tantum pedis unius
Parisiensis & digitorum undecim cum tricesima parte digiti. Est
enim haec mensura ad mensuram pedum 85472 ut i ad 44527.

PROPOSITIO XXXVII. PROBLEMA XVIII.

Invenire vim lunce ad mare movendum.

Vis lunse ad mare movendum coUigenda est ex ejus proportione ad
vim solis, & haec proportio colHgenda est ex proportione motuum
maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluvii Avonce ad
lapidem tertium infra Bristoliam tempore vemo & autumnali totus
aquae ascensus in conjunctione & oppositione luminarium, observante
Samuele Sturmio, est pedum plus minus 45, in quadraturis autem
est pedum tantum 25. Altitudo prior ex summa virium, posterior ex
earundem differentia oritur. Solis igitur & lunae in aequatore ver-
santium & mediocriter a terra distantium sunto vires S & L, & erit
L + S ad L — S ut 45 ad 25, seu 9 ad 5.

2 G

466 DE MUNDJ SYSTEMATE

In portu P /ytm/ fM xstus maris ex observatlone Samuc/is Colepressi
ad pedes plus minus sexdecim altitudine mediocri attollitiir, ac tem-
pore verno & autumiiali altitudo a^stus in syzygiis superare potest
altitudinem ejus in quadratiiris pedibus plus septem vel octo. Si
maxima harum altitudlnum differentia sit pedum novem, erit L + S
ad L — S ut 20t ad rijseu^i ad 23. Qu:e proportio satis congruit
cum priore. Ob magnitudinem jestus in portu Bristolis observa-
tionibus Shirmii magis fidendum esse videtur, ideoque donec aliquid
certius constiterit proportlonem 9 ad 5 usurpabimus.

Casterum ob aquarum reciprocos motus sstus maximl non inci-
dunt in ipsas luminarium syzygias, sed sunt tertii a syzygiis ut dictuin
fuit, seu proxlme sequuntur tertium lunie post syzygtas appulsum ad
meridianum locl, vel potlus (ut a Stiirmio notatur) sunt tertii post
diem novilunii vcl plenilunii. seu post horam a novilunio vel pleni-
lunio plus minus duodecimam, ideoque incidunt in horam a novilunio
vel plenilunio plus minus quadragesimam tertiam. Incidunt vero in
hoc portu in horam septimam circiter ab appulsu lunai ad meridianum
loci ; ideoque proxime sequuntur appulsum luna; ad meridianum,
ubi luna distat a sole vel ab oppositione solis gradibus plus minus
octodecim vel novemdecim in consequentia. ^tstas & hyems
maximc vigent, non in ipsis solstitiis, sed ubi sol distat a solstitiis
decima circiter parte totius circuitus, seu gradibus plus minus 36
vel 37. Et similitcr maximus iestus maris oritur ab appulsu lunse
ad meridianum locl, ubi Uma distat a sole decima circiter parte motus
totius ab a;stu ad iestum. Sit distantia illa graduum plus minus iSJ.
Et vis solis in hac distantia lun^ a syzygiis & quadraturis minor
erit ad augendum & ad minnendum motum marisavi luna; oriundum,
quam in ipsis syzygiis & quadraluris, in ratione radii ad sinum com-
plementi distantije hujus duplicata: seu anguli graduum 37, hoc est,
in ratione looooooo ad 7986355. Ideoque in analogia superiore pro
S scribi debet 0,7986355 S.

Sed & vis luna^ in quadraturis, ob declinationem lun^ ab cequa-
tore. diminui debet. Nam luna in quadraturis, vel potius in gradu
i8a post quadraturas, in declinatione graduum plus minus 22 15'
versatur. Et luminaris ab a;quatore declinantis vis ad mare mo-

LIBER TERTIUS, 467

vendum diminuitur in duplicata ratione sinus complementi declinationis
quamproxime. Et propterea vis lunae in his quadraturis est tan-
tum 0,8570327 L. Est igitur L + 0,79863558 ad 0,85 703 2 7L —
0,79863558 ut 9 ad 5.

Praeterea diametri orbis, in quo luna sine eccentricitate moveri
deberet, sunt ad invicem ut 69 ad 70 ; ideoque distantia lunae a
terra in syzygiis est ad distantiam ejus in quadraturis ut 69 ad 70,
caeteris paribus. Et distantiae ejus in gradu 18J asyzygiis, ubi aestus
maximus generatur, & in gradu i8i a quadraturis, ubi aestus minimus
generatur, sunt ad mediocrem ejus distantiam ut 69,098747 &
69,897345 ad 69J. Vires autem lunae ad mare movendum sunt in
triplicata ratione distantiarum inverse, ideoque vires in maxima &
minima harum distantiarum sunt ad vim in mediocri distantia ut
0,9830427 & 1,017522 ad I. Unde fit 1,017522^ +0,7986355 8
ad 0,9830427 X 0,8570327 L— 0,7986355 8 ut 9 ad 5. Et 8 ad L ut
I ad 4,4815. Itaque cum vis solis sit ad vim gravitatis ut i ad
12868200, vis lunae erit ad vim gravitatis ut i ad 2871400.

Corol. I. Cum aqua vi soHs agitata ascendat ad altitudinem pedis
unius & undecim digitorum cum tricesima parte digiti, eadem vi
lunae ascendet ad altitudinem octo pedum & digitorum 7A, & vi
utraque ad altitudinem pedum decem cum semisse, & ubi luna est
in perigaeo ad altitudinem pedum duodecim cum semisse & ultra,
praesertim ubi aestus ventis spirantibus adjuvatur. Tanta autem vis
ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, & quantitati
motuum probe respondet Nam in maribus quae ab oriente in
occidentem late patent, uti in mari Pacifico & maris Atlantici &
y^thiopici partibus extra tropicos, aqua attolH solet ad altitudinem pe-
dum sex, novem, duodecim vel quindecim. In mari autem PacificOj
quod profundius est & latius patet, aestus dicuntur esse majores quam
in Atlantico & AEtkiopico, Etenim ut plenus sit aestus latitudo maris
ab oriente in occidentem non minor esse debet quam graduum
nonaginta. In mari ^thiopico ascensus aquae intra tropicos minor est
quam in zonis temperatis propter angustiam maris inter Africavt &
australenf partem -^w^V^. In medio mari aqua nequit ascendere,
nisi ad Httus utrumque & orientale & occidentale simul descendat :

468 ^^ MUMDI SYSTEMATE

cum tamen vicibus altemis ad littora illa in maribus nostris angnstis
descendere debeat Ea de causa fluxus & refluxus in insulis, quae
a littoribus longissime absunt, perexiguus esset solet In portubus
quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca vadosa ad sinus
altemis vicibus implendos & evacuandos influere & eifluere cogitur,
fluxus & refluxus debent esse solito majores, uti ad Plymuthum
& pontem Cfiepstowce in Anglia ; ad montes 61 Mic/uelis & urbem
Abrificatuorum (vulgo Avranches) in Normannia ; ad CamSaiam &
Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum velocitate
accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit
ad multa millaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi
potest, quam aqua attoUitur vel deprimitur ad pedes 30, 40, vel 50
& amplius. Et par est ratio fretoram oblongomm & vadosoram,
uti Magellanici & ejus quo Aitglia circundatur. iEstus in hujusmodi
portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum
augetur. Ad littora vero quae descensu praecipiti ad mare profundum
&,apertum spectant, ubi aqua sine impetu eflluendi & remeandi
attolli & subsidere potest, mag^itudo aestus respondet viribus solis &
lunae.

CoroL 2. Cum vis lunae ad mare movendum sit ad vim gravitatis
ut I ad 2871400, perspicuum est quod vis illa sit longe minor quam
quae vel in experimentis penduloram vel in staticis aut hydrostaticis
quibuscunque sentiri possit In aestu solo marino haec vis sensibilem
edit eflectum.

CoroL 3. Quoniam vis lunae ad mare movendum est ad solis vim
consimilem ut 4,4815 ad i, & vires illae (per corol. 14 prop. lxvi
lib. i) sunt ut densitates corporam lunae & solis & cubi diametroram
apparentium conjunctim ; densitas lunae erit ad densitatem solis
ut 4,4815 ad I directe & cubus diametri lunae ad cubum diametri
solis inverse : id est (cum diametri mediocres apparentes lunae &
solis sint 31' \6''k & 32' 12'') ut 4891 ad 1000. Densitas autem
solis erat ad densitatem terrae ut 1000 ad 4000; & propterea densitas
lunae est ad densitatem terrae ut 4891 ad 4000 seu 11 ad 9. Est
igitur corpus lunae densius & magis terrestre quam terra nostra.

LIBER TERTIUS, 469

CoroL 4. Et cum vera diameter lunae ex observationibus astrono-
micis sit ad veram diametrum terrae ut 100 ad 365 ; erit massa lunae
ad massam terrae ut i ad 39,788.

CoroL 5. Et gravitas acceleratrix in superficie lunae erit quasi
triplo minpr quam gravitas acceleratrix in superficie terrae.

CoroL 6. Et distantia centri lunae a centro terrae erit ad distantiam
centri lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae, ut 40,788
ad 39,788.

CoroL 7. Et mediocris distantia centri lunae a centro terrae in
octantibus lunae erit semidiametrorum maximarum terrae 60I quam-
proxime. Nam terrae semidiameter maxima fuit pedum Parisie?isium
19658600, & mediocris distantia centrorum terrae & lunae, ex hujus-
modi semidiametris 60I constans, aequalis est pedibus 1 187379440.
Et haec distantia (per corollarium superius) est ad distantiam centri
lunae a communi gravitatis centro terrae & lunae ut 40,788 ad 39,788 :
ideoque distantia posterior est pedum 11 58268534. Et cum luna
revolvatur, respectu fixarum, diebus 27 horis 7 & minutis primis 43?;
sinus versus anguli, quem luna tempore minuti unius primi descri-
bit, est 12 75 2 341, existente radio 1000,000000,000000. Et ut radius
est ad hunc sinum versum, ita sunt pedes 1 158268534 ad pedes
14,7706353. Luna igitur vi illa, qua retinetur in orbe, cadendo in
terram tempore minuti unius primi describet pedes 14,7706353. Et
augendo hanc vim in ratione 178K ad 177!^ habebitur vis tota
gravitatis in orbe lunae per Corol. Prop. iii. Et hac vi luna cadendo
tempore minuti unius primi describet pedes 14,8538067. Et ad
sexagesimam partem distantiae lunae a centro terrae, id est ad dis-
tantiam pedum 197896573 a centro terrae, corpus grave tempore
minuti unius secundi cadendo describet etiam pedes 14,8538067.
Ideoque ad distantiam pedum 196 15800, qui sunt terrae semidiameter
mediocris, grave cadendo describet pedes 15,11175, seu pedes 15
dig. I & lin. 4A. Hic erit descensus corporum in latitudine gra-
duum 45. Et per tabulam praecedentem in prop. xx descriptam
descensus erit paulo major in latitudine LtUetice Parisiorum existente
excessu quasi f partium lineae. Gravia igitur per hoc computum
in latitudine Lutetice cadendo in vacuo describent tempore unius
secundi pedes Parisienses 1 5 dig. i & lin. 4H circiter. Et si gravi-

^-O DE MUNDI SYSTEMATE

tas minuatur auferendo vim centrifugam, quae oritur a motu diumo
terrai in illa latitudine, gravia ibi cadendo describent tempore mi-
nuti unius secundi pedes 15 dig. i & lin. i|. Et hac velocitate
gravia cadcre in latitudine LiUdice supra ostensum est ad prop. rv

& XIX.

CoroL 8. Distantia mediocris centrorum terrae & lunae in syzy-
giis lunai est sexaginta semidiametrorum maximarum terrae, dempta
tricesima parte semidiametri circiter. Et in quadraturis lunse dis-
tantia mediocris eorundem centrorum est 60^ semidiametrorum
terrai. Nam hae duac distantiae sunt ad distantiam mediocrem lunae
in octantibus ut 69 & 70 ad 69.J per prop. xxviii.

CoroL 9. Distantia mediocris centrorum terrae & lunae in syzygiis
Umae est sexaginta semidiametrorum mediocrium terrae cum decima
parte semidiametri. Et in quadraturis lunae distantia "mediocris
eonmdem centrorum est sexaginta & unius semidiametrorum medio-
crium tcrrac, dempta tricesima parte semidiametri.

CoroL 10. In syzygiis lunae parallaxis ejus horizontalis mediocris
in latitudinibus graduum o, 30, 38, 45, 52, 60, 90, est 57^ 20'^
5/ i6^ 57' 14^ 5/ 12^ 57' lo^ 57' 8^ 57' 4'' respective.

In his computationibus attractionem magneticam terrae non con-
sideravi, cujus utique quantitas perparva est & ignoratur. Siquando
vero h:ec attractio investigari poterit, & mensurae graduum in meridi-
ano, ac longitudines pendulonim isochronorum in diversis parallelis,
legesque motuum maris, & parallaxis lunae cum diametris apparen-
tibus solis & lunae ex phaenomenis accuratius determinatae fuerint :
licebit calculum hunc omnem accuratius repetere.

PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA XIX.

Inve7ii7'e Jigtiram corporis luncr.

Si corpus lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis terrae ad
fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum esset ad vim
lunae, qua mare nostrum in partibus & sub luna & lunae oppositis
attollitur, ut gravitas acceleratrix lunae in terram ad gravitatem ac-
celeratricem terrae in lunam & diameter lunae ad diametrum terrae

LIBER TERTJUS. 471

conjunctim ; id est, ut 39,788 ad i & 100 ad 365 conjunctim, seu
1081 ad 100. Unde cum mare nostrum vi lunae attoUatur ad pedes
81, fluidum lunare vi terrae attolli deberet ad pedes 93. Eaque de
causa figura lunse sphaerois esset, cujus maxima diameter producta
transiret per centrum terrae & superaret diametros perpendiculares
excessu pedum 186. Talem igitur figuram luna affectat, eamque sub
initio induere debuit. Q. E, /.

CoroL Inde vero fit ut eadem semper lunae facies in terram obver-
tatur. In alio enim situ corpus lunare quiescere non potest, scd ad
hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes, ob par-
vitatem virium agitantium, essent longe tardissimae : adeo ut facies
illa, quae terram semper respicere deberet, possit alterum orbis lunaris
umbilicum (ob rationem in prop. xvii allatam) respicere, neque statim
abinde retrahi & in terram converti.

LEMMA L

Si A P E p terram designet uniformiter densam, eentroque C &
polis P, p df crquatore A E delineatam ; & si centro C radio C P
describi intelligatur sph^ra P a p e ; j// autcm O R planum, ctii rccta a
centro solis ad centrum terrcs ducta normalitcr insistit ; & terrce totius
exterioris PapA PepE, qtue sphcrra modo dcscripta altior cst, par-
ticulcc singulce conentur recedc7'e hinc inde a plano O R, sitque conaius
particulce cujusque ut ejusdem distantia a plajio : dico primo, quod
tota particularu7n omnium in ccquatoris circulo A E, cxt^^a globum
tniiformitcr per totum circuitiun in morem annuli dispositarum, vis &
ejfficacia ad terram circtnn centrtcm cjus rotandam sit ad totam pa7'-
tictilarum totide^n in crquatoris ptmcto A, quod a plano Q R maxime
distaty consistentitcm vim & efficaciajn ad terram coftsimili motu circu-
lari circum cefitrum ejus movendam, ut unum ad duo, Et motus iste
circularis circum axem, in commtcni sectione ccquatoris & plani Q R
jacentem^ peragetur.

47^

DE MUNDI SYSTEMATE

Nam centro K diametro I L describatur semicirculus I N LK.
Dividi intelligatur semicircumferentia I N L in partes innumeras
aiquales, & a partibus singulis N ad diametrum I L demittantur sinus
N M. Et summa quadratorum ex sinibus omnibus N M aequalis
erit summae quadratorum ex sinibus K M^ & summa utraque aequalis
erit summse quadratorum ex totidem semidiametris IC N ; ideoque
summa quadratorum ex omnibus N M ent duplo minor quam summa
quadratorum ex totidem semidiametris K N.

Jam dividatur perimeter circuli .^ -£* in particulas totidem ^equales,
& ab carum unaquaque F ad planum Q R demittatur perpendiculum
FGy ut & a puncto A perpendiculum A H. Et vis, qua particula F
reccdit a plano Q Rj erit ut perpendiculum illud FG per hypo-
thcsin, & ha^c vis ducta in distantiam C G erit efficacia particula^ F
ad terram circum centrum cjus convertendam. Ideoque efficacia
particulai in loco F erit ad efficaciam particulae in loco A ut
FGy.GC7iiA A //x // C, hoc est, ut FCqzA A Cq ; & propterea
efficacia tota particularum omnium in locis suis F erit ad efficaciam
particularum totidem in loco A ut summa omnium FCq ad summam
totidem A Cg, hoc est (per jam demonstrata) ut unum ad duo.
Q. E. D.

Et quoniam particulae agunt recedendo perpendiculariter a plano
Q Ry idque aequalitcr ab utraque parte hujus plani : eadem convcr-

LIBER TERTIUS.

473

tent circumferentiam circuli sequatoris, eique inhaerentem terram,
circum axem tam in plano illo QR quam in plano aequatoris
jacentem.

LEMMA II.

lisdent positis : dico secundo quod vis & efficacia tota particulariim
omnium extra globum undique sitarum ad terram circum axem cundem
rotandam sit ad vim totam particularum totidem, in csquatoris circulo
A E uniformiter per totum circtiitttm in morem afinuli dispositarum,
ad terram consimili motu circulari movendam, ut duo ad quinqtie.

Sit enim I K circulus quilibet minor aequatori AE parallelus,
sintque Z, / particulae duae quaevis aequales in hoc circulo extra globum
Pape sitae. Et si in planum Q R^ quod radio in solem ducto
perpendiculare est, demittantur perpendicula LM^lm: vires totae,
quibus particulae illae fugiunt planum Q Ry proportionales erunt
perpendiculis illis LM, Im. Sit autem recta Ll plano Pape parallela

& bisecetur eadem in X, & per punctum X agatur JVn, quae parallela
sit plano QR & perpendicuHs L M, Im occurrat in N ac «, & in
planum QR demittatur perpendiculum XY. Et particularum L &. l
vires contrariae ad terram in contrarias partes rotandam sunt ut
LMxMC Sil^nxmC, hoc est, \itLNxMC'¥NMxMC8i In

474

DE MUNDI SYSTEMATE

xmC—nmxmC, seu L Ny.M C-^NMxMC & LNy.mC—N'M
xmC: & harum diffQrentisL L Nx Mm—N MxM C+mC est vis
particularum ambarum simul sumptarum ad terram rotandam. Hujus
difFerentiae pars affirmativa LNxMm seu 2 LNxN X est ad
particularum duarum ejusdem magnitudinis in A consistentium vim
2 A Hx HC, ut LXq ad ACq. Et pars negativa NMx MC+mC
seu 2 X VxC V ad particularum earundem in A consistentium vim

2 A Hx H C, ut CX q ad A Cq, Ac proinde partium differentia,
id est, particularum duarum L & / simul sumptarum vis ad terram
rotandam est ad vim particularum duarum iisdem aequalium & in loco
A consistentium ad terram itidem rotandam, ut LXq—CXq ad ACq.
Sed si circuli / A^ circumferentia /A^ dividatur in particulas innume-
ras aequales Z, erunt omnes Z-.^^ ad totidem /A"^ ut i ad 2 (per
lem. i) atque ad totidem A Cq, ut I Xq ad 2 A Cq; & totidem
CXq ad totidem A Cq ut 2 C X q ad 2 A C q. Quare vires
conjunctae particularum omnium in circuitu circuli I K sunt ad vires
conjunctas particularum totidem in loco A, ut I Xq^-^C X q ad
2A Cq: & propterea (per lem. i) ad vires conjunctas particularum
totidem in circuitu circuli A E, ut I X q—2 C X q ad A Cq.

Jam vero si sphaerae diameter Pp dividatur in partes innumeras
aequales, quibus insistant circuli totidem I K, materia in perimetro
circuli cujusque I K erit ut IXq: ideoque vis materiae illius ad terram

LIBER TERTIVS.

475

rotandam erit mX. I X qm I X q—2 C X q, Et vis materiae ejusdem,
si in circuli A E perimetro consisteret, esset vX I X q m A C q, Et
propterea vis particularum omnium materiae totius, extra globum in
perimetris circulorum omnium consistentis, est ad vim particularum
totidem in perimetro circuli maximi A E consistentis, ut omnia I X q
in I X q—2 C X q ad totidem I X q in A Cq, hoc est, ut omnia A Cq
— C X q in A Cq—'^ CXqad totidem A Cq—CXq in A Cq, id est,
ut omnia A Cqq—^ A Cqx C X q+ 7» ^-^99 ^^ totidem A Cq q —
A Cq X C X q, hoc est, ut tota quantitas fluens, cujus fluxio est A Cqq
— 4 A CqYs CXq+2 CXqq, ad totam quantitatem fluentem, cujus
fluxio ^st A Cqq—A CqxC X q ; ac proinde per methodum fluxio-
num, ut A Cqqx C X—^ A Cqx C X cu6 + t CX qc ad A Cq qx
CX—IA Cqx CX cub, id est, si pro CX scribatur tota Cp vel
A C.wtT^ A Cq c 2A\ A Cq c, hoc est, ut duo ad quinque. Q. E, D.

LEMMA III.

lisdem positis : dico tertio quod motus terrce totius circum axemjam
anie descriptum^ ex motibus particularum omnium composituSy erit ad
motum annuli prcrdicti circum axem eundem in ratione^ quee componitur
ex ratione materice in terra ad materiam in annulo & ratio7ie trium
qtcadratortim ex arcu quadrantali circuli cujuscunque ad duo quadrata
ex diametro ; id est, in ratione materice ad materiam & numeri
925275 ad numerum loooooo.

Est enim motus cylindri circum axem suum immotum revolventis
ad motum sphaerae inscriptae & simul revolventis, ut quaelibet quatuor
aequalia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis : & motus cylindri
ad motum annuli tenuissimi, sphaeram & cylindrum ad communem
eorum contactum ambientis, ut duplum materiae in cylindro ad triplum
materiae in annulo ; & annuli motus iste circum axem cylindri unifor-
miter continuatus ad ejusdem motum uniformem circum diametrum
propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli
ad duplum diametri.

476

DE MUNDI SYSTEMATE

H YPOTHESIS I I.

Si annuhis prcedictuSy terra omni reliqua sublata^ solus in orbe
terrcB motu annuo circa solem ferretury & interea circa axem smim^
ad planum eclipticcB in angulo graduum 23? inclinatumy motu diurno
revolveretur : identforet motus punctorum crguinoctialiumy sive annultis
istefluidus essety sive is ex materia rigida & firma constaret.

PROPOSITIO XXXIX. PROBLEMA XX.

Invenire prcccessionem crquinoctiorum.

Motus mediocris horarius nodorum lunae in orbe circulari, ubi
nodi sunt in quadraturis, erat 16'' 35'" 16*'' 36"", & hujus dimidium
g// jj^/// 28*'' 18'' (ob rationes supra explicatas) est motus medius
horarius nodorum in tali orbe; fitque anno toto sidereo 20^* ii^ 46'^
Quoniam igitur nodi lunae in tali orbe conficerent annuatim 20*^* 1 1'
46'' in antecedentia ; & si plures essent lunse motus nodorum cujusque
(per corol. 16 prop. lxvi lib. i) forent ut tempora periodica; si luna
spatio diei siderei juxta superficiem terrae revolveretur, motus annuus
nodorum foret ad 20^- 11' 46'' ut dies sidereus horarum 23 56' ad
tempus periodicum lunae dierum 27 hor. 743'; id est, ut 1436 ad
39343. Et par est ratio nodorum annuli lunarum terram ambientis ;
sive lunae illa^ se mutuo non contingant, sive liquescant & in annulum
continuum formentur, sive denique annulus ille rigescat & inflexibilis
reddatur.

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae
sequalis sit terrae omni P ap A P ep E quae globo P ape superior est ;
(Vid. fig. pag. 474) & quoniam globus iste est ad terram illam supe-
riorem ut a Cqu. ad A Cqu.—a Cqu. id est (cum terrae semidiameter
minor P C vel a C sit ad semidiametrum majorem A C ut 229 ad 230)
ut 52441 ad 459; si annulus iste terram secundum aequatorem cin-
geret & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus
annuli essct ad motum globi interioris (per hujus lem. iii) ut 459 ad
52441 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est, ut 4590 ad 485223 ;
ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli ac globi, ut
4590 ad 489813. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum,

LIBER TERTIUS,

477

quo ipsius nodi seu puncta sequinoctialia regrediuntur, cum globo
communicet : motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum
priorem, ut 4590 ad 489813; & propterea motus punctorum sequi-
noctialium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus
punctorum aequinoctialium corporis ex annulo & globo compositi
ad motum 20^- 11' 46'', ut 1436 ad 39343 & 4590 ad 489813
conjunctim, id est, ut 100 ad 292369. Vires autem quibus nodi
lunarum (ut supra explicui) atque ideo quibus puncta aequinoctialia
annuli regrediuntur (id est vires 3/7" infig.pag. 437 & 438) sunt
in singulis particulis ut distantiae particularum a plano Q Ry & his
viribus particulae illae planum fugiunt ; & propterea (per lem. 11) si
materia annuli per totam globi superficiem in morem figurae P ap
A P ep E ad superiorem illam terrae partem constituendam sparge-
retur, vis & efficacia tota particularum omnium ad terram circa
quamvis aequatoris diametrum rotandam, atque ideo ad movenda
puncta aequinoctialia, evaderet minor quam prius in ratione 2 ad 5.
Ideoque annuus aequinoctiorum regressusjam esset ad 20*^- 11^46'^
ut 10 ad 73092 : ac proinde fieret 9'' 56''' 50*^

Caeterum hic motus ob inclinationem plani aequatoris ad planum
eclipticae minuendus est, idque in ratione sinus 91706 (qui sinus est
complementi graduum 23J) ad radium 1 00000. Qua ratione motus
iste jam fiet 9" f 20*\ Haec est annua praecessio aequinoctiorum
a vi solis oriunda.

Vis autem lunae ad mare movendum erat ad vim solis ut 4,48 1 5
ad I circiter. Et vis lunae ad aequinoctia movenda est ad vim solis
in eadem proportione. Indeque prodit annua aequinoctiorum prae-
cessio a vi lunae oriunda 40'' 52'" 52*^ ac tota praecessio annua
a vi utraque oriunda 50'' 00''' I2*\ Et hic motus cum phaenomenis
congruit Nam praecessio aequinoctiorum ex observationibus astroni-
micis est annuatim minutorum secundorum plus minus quinquaginta.

Si altitudo terrae ad aequatorem superet altitudinem ejus ad polos
milliaribus pluribus quam 1 7}, materia ejus rarior erit ad circum-
ferentiam quam ad centrum : & praecessio aequinoctiorum ob alti-
tudinem illam augeri, ob raritatem diminui debet

Descripsimus jam systema solis, terrae, lunae, & planetarum :
superest ut de cometis nonnulla adjiciantur.

•«

478 ^^ MUNDl SYSTEMATE

LEMMA IV.

il Conietas esse luna stiperiores & in regione planetarum versari

C Ut defectus parallaxeos diurnae extuHt cometas supra regiones

P sublunares, sic ex parallaxi annua convincitur eorum descensus in

i regiones planetarum. Nam cometae, qui progrediuntur secundum

/ ordinem signorum, sunt omnes sub exitu apparitionis aut solito

W tardiores aut retrogradi si terra est inter ipsos & solem ; at justo

celeriores si terra vergit ad oppositionem. Et contra, qui pergunt
contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis si
terra versatur inter ipsos & solem ; & justo tardiores vel retroOTadi
si terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maxime ex motu
terrae in vario ipsius situ, perinde ut fit in planetis, qui pro motii
terrae vel conspirante vel contrario nunc retrogradi sunt nunc
tardius progredi videntur, nunc vero celerius. Si terra per^it ad
eandem partem cum cometa, & motu angulari circa solem tanto
celerius fertur, ut recta per terram & cometam perpetuo ducta con-
vergat ad partes ultra cometam, cometa e terra spectatus ob motum
suum tardiorem apparet esse retrogradus ; sin terra tardius fertur

motus cometae (detracto motu terrae) fit saltem tardior. At si terra
pergit in contrarias partes, cometa exinde velocior apparet. Ex
acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia
cometae in hunc modum colligitur. Sunto ^\^ Q A, ^ Q B^ ^ QC
observatae tres longitudines cometae sub initio motus, sitque T Q F

LIBER TERTIUS.

479

longitudo ultimo observata, ubi cometa videri desinit. Agatur recta
ABC, cujus partes ^^, BC rectis QA8lQB, QB & Q C inter-
ject^e sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas.
Producatur -^ C ad G^, ut sit -^ 6^ ad A B ut tempus inter observa-
tionem primam & ultimam ad tempus inter observationem primam &
secundam, & jungatur Q G. Et si cometa moveretur uniformiter in
linea recta, atque terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta uniformi
cum motu progrederetur ; foret angulus ^ Q G longitudo cometae
tempore observationis ultimae. Angulus igitur FQ Gy qui longitudi-
num differentia est, oritur ab inaequalitate motuum cometa^ ac terrae.
Hic autem angulus, si terra & cometa in contrarias partes moventur,
additur angulo ^? QG, &l sic motum apparentem cometae velociorem
reddit : sin cometa pergit in easdem partes cum terra, eidem subdu-
citur, motumque cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum ;
uti modo exposui. Oritur igitur hic angulus praecipue ex motu
terrae, & idcirco pro parallaxi cometae merito habendus est, neglecto
videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod a cometae
motu inaequabili in orbe proprio oriri possit. Distantia vero cometae

ex hac parallaxi sic coUigitur. Designet kS solem, ac T orbem mag-
num, a locum terrae in observatione prima, c locum terrae in observa-

'0

r

r;

i:

480 ^^ MUNDI SYSTEMATE

tione tertia, T locum terrae in observatione ultima, & 7" t lineam
rectam versus principium arietis ductam. Sumatur angulus ^ T V
sequalis angulo "^ Q F^ hoc est, aequalis, longitudini cometse ubi
terra versatur in T Jungatur ac,&i producatur ea ad g, ut sit ag
^6.acMt A G ^di A Q & erit g locus quem terra tempore observa-
tionis ultimae, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret.

Ideoque si ducatur^np ipsi T^t parallela, & capiatur angulus ^g V
angulo ^ Q G sequalis, erit hic angulus ^ gV aequalis longitudini
cometae e loco g spectati ; & angulus T V g parallaxis erit, quae oritur
a translatione terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit
cometae in plano eclipticae. Hic autem locus V orbe yovis inferior
esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viae cometarum. Pergunt haec cor-
pora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius ;
at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa, quae a parallaxi
oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem,
deflectere solent ab his circulis, & quoties terra movetur in unam
partem, abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maxime
ex parallaxi, propterea quod respondet motui terrae ; & insignis ejus
quantitas, meo computo, collocavit disparentes cometas satis longe

LIBER TERTIUS. 481

infrajovem. Unde consequens est quod in perigaeis & periheliis,
ubi propius adsunt, descendunt ssepius infra orbes martis & inferi-
orum planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas cometarum ex luce capitum. Nam
corporis coelestis a sole illustrati & in regiories longinquas abeuntis
diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae : in duplicata
ratione videlicet ob auctam corporis distantiam a sole, & in alia
duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si
detur & lucis quantitas & apparens diameter cometae dabitur dis-
tantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam planetae in ratione
diametri ad diametrum directe & ratione subduplicata lucis ad lucem
inverse. Sic minima capillitii cometae anni 1682 diameter, per tubum
opticum sexdecim pedum a Flamstedio observata & micrometro
mensurata, aequabat 2' o" ; nucleus autem seu stella in medio
capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, ideoque
lata erat tantum ii^Wel 12''. Luce vero & claritate capitis super-
abat caput cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magni-
tudinis aemulabatur. Ponamus saturnum cum annulo suo quasi
quadruplo lucidiorem fuisse : & quoniam lux annuli propemodum
aequabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi
21'' ideoque lux globi & annuli conjunctim aequaret lucem globi
cujus diameter esset 30'^ erit distantia cometae ad distantiam saturni
ut I ad ,^4 inverse & 12'' ad 30'' directe, id est, ut 24 ad 30
seu 4 ad 5. Rursus cometa anni 1665 mense aprili, ut auctor est
Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum
saturnum, ratione coloris videlicet longe vividioris. Quippe luci-
dior erat hic cometa altero illo, qui in fine anni praecedentis appa-
ruerat, & cum stellis primae magnitudinis conferebatur. Latitudo
capillitii erat quasi 6^ at nucleus cum planetis ope tubi optici
coUatus plane minor erat jove, & nunc minor corpore intermedio
saturni, nunc ipsi aequalis judicabatur. Porro cum diameter capil-
litii cometarum raro superet 8' vel 12', diameter vero nuclei seu
stellae centralis sit quasi decima vel forte decima quinta pars diame-
tri capillitii, patet stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis
magnitudinis cum planetis. Unde cum lux earum cum luce saturni
non raro conferri possit eamque aliquando superet, manifestum

2 H

^8 2 D^ MUNDI S YSTEMA TE

est quod cometae omnes in periheliis vel infra satumum coUocandi
sint vel non longe supra. Errant igitur toto coelo, qui cometas
in regionem fixarum prope ablegant : qua certe ratione non magis
illustrari deberent a sole nostro, quam planetae, qui hic sunt, illustran-
tur a stellis fixis.

Haec disputavimus non considerando obscurationem cometarum
per fumum illum maxime copiosum & crassum, quo caput circun-
datur, quasi per nubem obtuse semper lucens. Nam quanto obscu-
rius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad solem accedat
necesse est, ut copia lucis a se reflexae planetas semuletur. Inde
verisimile fit cometas longe infra sphaeram satumi descendere, uti
ex parallaxi probavimus. Idem vero quam maxime confirmatur ex
caudis. Hae vel ex reflexione fumi sparsi per sethera vel ex luce
capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia cometamm, ne
fumus a capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum
velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est
lux omnis tam caudae quam capillitii ad nucleum capitis. Igitur si
concipiamus lucem hanc omnem congregari & intra discum nuclei
coarctari, nucleus ille jam certe, quoties caudam maximam & fulgen-
tissimam emittit, jovem ipsum splendore suo multum superabit.
Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multo
magis illustrabitur a sole, ideoque erit soli multo propior. Quinetiam
capita sub sole delitescentia, & caudas cum maximas tum fulgentis-
simas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem ar-
gumento infra orbem veneris collocari debent. Nam lux illa omnis
si in stellam congregari supponatur, ipsam venerem ne dicam veneres
plures conjunctas quandoque superaret

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu
cometarum a terra solem versus, ac decrescente in eomm recessu a
sole versus terram. Sic enim cometa posterior anni 1665 (obser-
vante Hevelio) ex quo conspici coepit remittebat semper de motu
suo apparente, ideoque praeterierat perigaeum ; splendor vero capitis
nihilominus indies crescebat, usque dum cometa radiis solaribus
obtectus desiit apparere. Cometa anni 1683 (observante eodem
Hevelio) in fine mensis julii, ubi primum conspectus est, tardissime
movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe

LIBER TERTIUS, 483

suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo
augebatur usque ad Sept. 4, quando evasit graduum quasi quinque.
Igitur toto hoc tempore cometa ad terram appropinquabat. Id quod
etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur : quippe
quam Hevelius reperit Aug. 6 esse tantum 6' 5'' inclusa coma, at
Sept. 2 esse 9' f\ Caput igitur initio longe minus apparuit quam
in fine motus, at initio tamen in vicinia solis longe lucidius extitit
quam circa finem, ut refert idem Hevelius. Proinde toto hoc
tempore, ob recessum ipsius a sole, quoad lumen decrevit, non
obstante accessu ad terram. Cometa anni 161 8 circa medium mensis
Decembris & iste anni 1680 circa finem ejusdem mensis celerrime
movebantur, ideoque tunc erant in perigaeis. Verum splendor
maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modo
exierant de radiis solaribus; & splendor maximus caudarum paulo
ante in majore vicinitate solis. Caput cometae prioris, juxta observa-
tiones Cysati, Decemb. i majus videbatur stellis primae magnitudinis,
& Decemb. 16 (jam in perigaeo existens) magnitudine parum,
splendore seu claritate luminis plurimum defecerat yan. 7 Keplerus
de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb.
conspectum & a Flamstedio observatum est caput cometae posterioris
in distantia novem graduum a sole ; id quod stellae tertiae magnitudi-
nis vix concessum fuisset. Decemb. 15 & 17 apparuit idem ut stella
tertiae magnitudinis, diminutum utique splendore nubium juxta solem
occidentem. Decemb. 26 velocissime motus, inque perigaeo pro-
pemodum existens, cedebat ori pegasi, stellae tertiae magnitudinis.
yan. 3 apparebat ut stella quartae, Jan. 9 ut stella quintae, Jan.
13 ob splendorem lunae crescentis disparuit. Jan. 25 vix aequabat
stellas magnitudinis septimae. Si sumantur aequalia a perigaeo hinc
inde tempora, capita quae temporibus illis in longinquis regionibus
posita, ob aequales a terra distantias, aequaliter lucere debuissent, in
plaga solis maxime splenduere, ex altera perigaei parte evanuere.
Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna
solis & cometae vicinitas in situ priore. Nam lux cometarum regularis
esse solet & maxima apparere, ubi capita velocissime moventur atque
ideo sunt in perigaeis ; nisi quatenus ea major est in vicinia solis.

484

DE MUNDI SYSTEMATB

CoroL I. Splendent igitur cometae luce soUs a se reflexa.

Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur cometae tantopere fre-
quentant regionem solis, Si cernerentur in regionibus longe ultra
saturnum, deberent saepius apparere in partibus soli opposltis. Forent
enim terrs viclniores, qul in his partibus versarenUir; & sol
interpositus obscuraret csteros, Verum percurrendo historias
cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt
in hemisphjerio solem versus quam in hemisphierio opposito, prseter
alics proculdubio non paucos quos lux solaris obtexit. Nimirum
in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo
illustrantur a sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant,
quam sint ipso jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo
circa solem descripti pars longe major sita est a latere terrffi, quod
solem respicit ; inque parte illa majore comet£e, soli ut plurimum
viciniores, magis illuminari solent

Corol. 3. Hinc etiam manifestum est, quod cceli resistentia
destituuntur. Nam comets vias obliquas & nonnunquam cursui
planetarum contrarias secuti moventur omnifariam liberrime, &
motus suos, etiam contra cursum planetarum, diutissime conservanL
Fallor ni genus planetamm sint & motu perpetuo in orbem redeant.
Nani quod scriptores aliqui meteora esse volunt, argumentum
a capitum perpetuls mutationibus duccntes, fundamento carere
videtur. Capita cometarum atmosphaeris ingentibus cinguntur ; &
atmosphaer^e inferne densiores esse debent. Unde nubes sunt, non
Ipsa cometarum corpora, in quibus mutationes illx visuntur. Sic
terra si e planetis spectaretur luce nubium suarum proculdubio
splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic
cingula jovis in nubibus planeta; illius formata sunt, quse situm mutant
inter se, & firmum jovis corpus per nubes illas difficilius cemitur.
Et multo magis corpora cometarum sub atmospha;ris S: profundioribus
& crassioribus abscondi debent.

LIBER TERTIUS.

485

PROPOSITIO XL. THEOREMA XX.

Cometas in seciionibiis conicis umbilicos in centro solis
moveri, & radiis ad solent diutis areas ieniporihits proportionales
describere.

Patet per corol. i prop. xni libri primi collatum cum prop. viii,
XII & XIII libri tertii.

CoroL I. Hinc si cometje in orbem redeunt, orbes erunt ellipses
& tempora periodica erunt ad tempora periodica planetarum in axlum
principalium ratione scsquiplicata, Ideoque cometa; maxima ex parte
supra planetas versantes & eo nomine orbes axibus majoribus descri-
bentes tardius revolventur. Ut si axis orbis cometa; sit quadruplo
major axe orbis saturni, tempus revolutionis cometje erit ad tempus
revolutionis saturni, id est ad annos 30, ut 4^^^ (seu S) ad i, ideoque
erit annorum 240.

Corol. 2. Orbes autem erunt parabolis adeo finitimi, ut corum vice
parabol^ sine erroribus sensibilibus adhiberi possint.

Corol. 3. Et propterea (per corol. 7 prop. xvi llb. i) velocitas
cometae omnis erit semper ad velocitatem planetEc cujusvis circa
solem in circulo revolventis in subduplicata ratione duplje distantis
planetae a centro solis ad distantiam cometcE a centro solis quam-
proxime. Ponamus radium orbis magni, seu ellipseos in qua terra
revolvitur, semidiametrum maximam esse partium loooooooo : &
tcrra motu suo diumo mediocri describet partes 17202 12, & motu
horario partes 71675J. Ideoque cometa in eadem telluris a sole
distantia mediocri ea cum velocitate quEe sit ad velocitatem telluris ut
^2 ad I describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario
partes 1013641. In majoribus autem vel minoribus distantiis motus
tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diumum & horarium
in subduplicata ratione distantiarum reciproce, ideoque datur.

Corol. 4. Unde si latus rectum parabolae quadmplo majus sit radio
orbis magni & quadratum radii illius ponatur esse partium loooooooo
area quam cometa radio ad solem ducto singulis diebus describit erit

486 DE MUNDl SYSTEMATE

partium 1216373^, & singulis horis area illa eritpartium 50682}-, Sin
latus rectum majus sit vel minus in ratione quavis, erit area diuma &
horaria major vel minor in eadem radone subdupHcata.

L E M M A V.

Invenire linmtn curvam generis paraiolici, qua per data quotcun^ue
puncta transibit.

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam
quamvis posJtione datam I/N^ demitte perpendicula quotcunque ^ I/,
Bl,CK,DL,EM,FN.

Cas. r. Si punctorum H, I, K, L, M, N sequalia sunt intervalla
HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum A H, B I, CK. &c
differentias primas 6, ib, $6, ^b, 5^, &c. secundas c, 2C, y, 4^, &a
tertias d, 2d, ^d, &c. id est, ita ut sit A H—BI=b, BI—CK=2b,
CK~DL=zb, D L + E M=aI>-E M->rF N=ib. &c. dein b-

2b=c, &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, qus hic est f.
Deinde erecta quacunque perpendiculari K S, qu;e fuerit ordinatim
applicata ad curvam quaesitam : ut inveniatur hujus longitiido, pone
intervalla HI, /K, KL, LM, &c. unitates esse, & dic A II=a,
~HS=p, \p \n—IS=q, iq in + ^A'^?-, rr 'm + SL=s, ^s in
+ SM=t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum
M E, & praeponendo signa negativa terminis H S. I S, &c. qui

LIBER TERTIUS, 487

jacent ad partes puncti 6* versus A^ & signa affirmativa terminis S/C,

5 L, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe
observatis, erit RS=a + bp + cg + dr+es+/t, &c

Cas. 2. Quod si punctorum I/, /, K, Z, &c. inaequalia sint inter-
valla HI^ I K, &c. collige perpendiculorum A H, B I, CK, &c.
differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas ^, 2 ^, 3 b,
46, 5 ^ ; secundas per intervalla bina divisas ^, 2 r, 3 ^, 4 ^, &c. tertias
per intervalla tema divisas d, 2 d, ^ d, &c. quartas per intervalla
quatema divisas ^, 2 e, &c. & sic deinceps ; id est, ita ut sit b =
AH^BI , BI--CK , CK^DL ^ ^. b^2b

HI ''^= IK '3^= KL '^^- dem.= -^r^,

2^—3^ 3^ — 4^ o _, €--2 C , 2^—3^

2^= /^ » ^^^ICM' Postea d=-Jjj^y 2 d = ^^ ,

&c Inventis differentiis, dic A H^ay-^H S=py p m^IS=q, q
in + SK= r, rm + SL=s,sm + SM= t; pergendo scilicet ad usque
perpendiculum penultimum M E^ &, erit ordinatim applicata /? 6*=
a + bp + cq + dr+es+ft^ &c.

Corol. Hinc areae curvarum omnium inveniri possunt quamproxi-
me. Nam si curvae cujusvis quadrandae inveniantur puncta aliquot,

6 parabola per eadem duci intelligatur : erit area parabolae hujus
eadem quamproxime cum area curvae illius quadrandae. Potest
autem parabola per methodos notissimas semper quadrari Geome-
trice.

LEMMA VI.

Ex observatis aliquot locis contetce iftvenire locimt ejus ad tempus

qtiodvis intemteditim dattim.

Designent H I, IKy K Ly L M tempora inter observationes (in
fig. prceced.) H A, I B, KC, LD, ME observatas quinque longi-
tudines cometae, H S tempus datum inter observationem primam &
longitudinem quaesitam. Et si per puncta A^ B, C, D, E duci
intelligatur curva regularis A B C D E, & per lemma superius
inveniatur ejus ordinatim applicata R S, erit R S longitudo quaesita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur
latitudo ad tempus datum.

488

DE MUNDI SYSTEMATE

Si longitudinum observatarum parvae sint dififerentiae, puta gradu-
um tantum 4 vel 5 suffecerint observationes tres vel quatuor ad
inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint
differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque
adhiberi.

LE M M A VII.

Per datum punctum P dtuere rectam lineam B C, cujtis partes
P B, P C, rectis duabus positione datis A B, A C abscissce, datam^
habeant rationem ad invicem.

A puncto illo P ad rectarum alteru- \^ *' -

tram A B ducatur recta quaevis P D, &,
producatur eadem versus rectam alteram
A C usque ad E, ut sit P E ad PD in
data illa ratione. Ipsi A £f parallela sit
EC; & si agatur CPBy erit PC ad
PB ut PE ad PD. Q.E.F.

vc

LE M M A VIII.
Sit A B C parabola umbilicum habens S. Chorda A C bisecta tn

I abscindatur segmentum A B C I, cujus diameter sit l /jl & vertex m.

LIBER TERTIUS. 489

In\ fJL producta capiatur m O cequalis dimidio ipsius I m. yungatur
O S, & producatur ea ad ^, ut sit S ^ ceqtuilis 2 S O. Et si cometa B
moveatur in arcu C B A, dr* agatur ^ B secans AC in^ \ dico quod
punctum E abscindet de chorda A C segmentum A E tempori propor-
tionale quamproxime.

Jungatur enim EO secans arcum parabolicum A B C \n K, &
agatur fx X, quae tangat eundem arcum in vertice u & actae E O
occurrat in -X'; & erit area curvilinea AEXfiA ad aream curvilineam
A C Yfi A ut A E 2id A C. Ideoque cum triangulum A S E sit ad
triangulum ^ .SC in eadem ratione, erit area tota A S EX fxA ad
aream totam A SC Y fi A ut A E ad A C. Cum autem ^ O sit ad
6* (9 ut 3 ad i & E O 2id X O in eadem ratione, erit SX ipsi EB
parallela : & propterea si jungatur B X erit triangulum S E B
triang^Io X E B aequale. U nde si ad aream A S E X fiA addatur
triangulum EX B, & de summa auferatur triang^lum SEB, manebit
area A SB XfiA areae A SEX fiA aequalis, atque ideo ad aream
ASCYiJLAutAEsidAC Sed areae A SBXfiA aequalis est
area A S B Y fiA quamproxime, & haec area A S B Y fiA est ad
aream ASCYfiA, ut tempus descripti arcus AB dA tempus descripti
arcus totius A C Ideoque -^ jE* est ad -^ C in ratione temporum
quamproxime. Q. E. D.

Corol. Ubi punctum B incidit in parabolae verticem m, est -^ jE* ad
A Cin ratione temporum accurate.

ScAo/ium.

Si jungatur m ^ secans A C in S, & in ea capiatur ^n, quae sit ad
fi B ut 2T M I did 16 M fi: acta B n secabit chordam A C in ratione
temporum magis accurate quam prius. Jaceat autem punctum n ultra
punctum ^, si punctum B magis distat a vertice principali parabolae
quam punctum m ; & citra, si minus distat ab eodem vertice.

490 DE MUNDl SYSTEMATE

LE M M A IX.

A I C
Rectce 1 /ul & /j, M <2f longitudo ^qimntur inter se.

Nam 4 .SAt est latus rectum parabolae pertinens ad verticem /*.

LE M M A X.

St producatur S /n odN & P, ut /nN sit pars tertia ipsius m I, <&*
S P sit ad SN ut S N ad S fJLy conieta^ quo tempore describit arcum
A M C, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in cUti-
tudine ipsi S P aquali^ describeret longitudinem cequ^lem chordce A C.

Nam si cometa velocitate, quam habet in m, eodem tempore pro-
grederetur uniformiter in recta, quae parabolam tangit in /* ; area,
quam radio ad punctum 6* ducto describeret, aequalis esset areae
parabolicae A S C fi. Ideoque contentum sub longitudine in tangente
descripta & longitudine S fx esset ad contentum sub longitudinibus
A C &, S M,ut area A SCfi ad triangulum A S C/\^ est, wt S N

ad S M. Quare A C est ad longitudinem in tangente descriptam,
ut .SAt ad S N. Cum autem velocitas cometae in altitudine S P sit
(per corol. 6 prop. xvi lib. i) ad ejus velocitatem in altitudine S yi
in subduplicata ratione vSP ad S i». inverse, id est, in ratione ^9^1 ad
S N : longitudo hac velocitate eodem tempore descripta erit ad lon-

LIBER TERTIUS, 49 1

gitudinem in tangente descriptam, ut 6*^ ad SN. Igitur AC & lon-
gitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in
tangente descriptam in eadem ratione, sequantur inter se. Q.E.D.

Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine
Sfi + ^I fiy eodem tempore describeret chordam A C quamproxime.

LE M M A XI.

.5V conteta motu omni privatus de altitudine S N seu S /u + i I m
demitteretur^ ut caderet in solem, & ea semper vi tmi/ormiter con-
tinuata urgeretur in solem, qua urgetur sub initio ; idem semisse
temporisy guo in orbe suo describat arcum A C, descensu suo describeret
spatium longitvdini I m cequale.

Nam cometa, quo tempore describat arcum parabolicum A C,

eodem tempore ea cum velocitate, quam habet in altitudine S P (per

lemma novissimum) describet chordam A C, ideoque (per corol. 7

prop. XVI lib. i) eodem tempore in circulo, cujus semidiameter esset

S Py vi gravitatis suae revolvendo describeret arcum, cujus longitudo

esset ad arcus parabolici chordam A C in subduplicata ratione

unitatis ad binarium. Et propterea eo cum pondere, quod habet in

solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in solem, descri-

beret semisse temporis illius (per corol. 9 prop. iv lib. i) spatium

aequale quadrato semissis chordae illius applicato ad quadruplum

A I Q
altitudinis S P, id est, spatium i^. Unde cum pondus cometae in

solem in altitudine S N sit ad ipsius pondus in solem in altitudine

S P.mX. S P ad S ii.\ cometa pondere quod habet in altitudine S N

. A I Q
eodem tempore, in solem cadendo, describit spatium — ^r^, id est,

^Sfi

spatium longitudini /m vel Mfi aequale. Q.E.D.

DE MUNDI SYSTEMATE

PROPOSITIO XLI. PROBLEMA XXI.

Comeia in parabola moti trajectoriam ex datis tribm observatumibus
determinare.

Problema hocce longe difficillimum multimode aggressus, com-
posui problemata quEedam in libro primo, qu^e ad ejus solutionem
spectant Postea solutionem sequentem paulo simpliciorem excogi-
tavi.

Seligantur tres observationes Ecqualibus temporum intervallis ab
invicem quamproxime distantes. Sit autem temporis intervallum
illud, ubt cometa tardius movetur, paulo majus altero, ita videlicet ut
temporum differentia sit ad summam temporum, ut summa temporum
ad dies plus minus sexcentos ; vel ut punctum E (in fig. lem. viii)

— «,

incidat in punctum ^quamproxime, & inde aberret versus /pctius
quam versus A. Si tales observationes non prsesto sint, inveniendus
est novus cometae locus per lemma sextum.

LIBER TERTIUS.

493

Designent 6* solem, 7) /, r tria loca terrse in orbe magno, TA,
t B, T C observatas tres longitudines cometae, V tempus inter
observationem primam & secundam, W tempus inter secundam ac
tertiam, X longitudinem, quam cometa toto illo tempore ea cum
velocitate, quam habet in mediocri telluris a sole distantia, descri-
bere posset, quaeque (per corol. 3 prop. xl lib. iii) invenienda est,
8i t V perpendiculum in chordam Tt. In observata longitudine
media /-5 sumatur utcunque punctum B pro loco cometae in plano
eclipticae, & inde versus solem 6* ducatur linea B Ey quae sit ad
sagittam / V, ut contentum sub SB & S t qtiad. ad cubum hypote-
nusae trianguli rectanguli, cujus latera sunt SB & tangens latitudinis
cometae in observatione secunda ad radium t B. Et per punctum
B agatur (per hujus lem. vii) recta A E Cy cujus partes A E, E C,
ad rectas TA & tC terminatae, sint ad invicem ut tempora F& fV:
& erunt A & C loca cometae in plano eclipticae in observatione pri-
ma ac tertia quamproxime, si modo B sit locus ejus recte assumptus
in observatione secunda.

Ad A Cbisectam in /erige perpendiculum /t. Per punctum B
age occultam B t ipsi A Cparallelam. Junge occultam Si secantem
A Cin X, & comple parallelogrammum il\l^. Cape /cr aequalem
3 /X, & per solem 6^ age occultam <r^ aequalem T^Scr + j^iX. Et
deletis jam literis Ay E, C, I, di puncto B versus punctum ^ duc
occultam novam B Ey quae sit ad priorem B E va duplicata ratione
distantiae -5 6^ ad quantitatem S y^-vki^. Et per punctum E iterum
duc rectam A E C eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes A E
&, E C sint ad invicem ut tempora inter observationes V Sl W. Et
erunt A & C loca cometae magis accurate.

Ad A C bisectam in / erigantur perpendicula A My C N^ 10,
quorum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima
ac tertia ad radios TA &tC. Jungatur J/A^secans /O in O. Con-
stituatur rectangulum i/X/M ut prius. In / A producta capiatur
/ /? aequalis S fi + ^ i\. Deinde in M N versus N capiatur
M P, quae sit ad longitudinem supra inventam X in subdu-
plicata ratione mediocris distantiae telluris a sole (seu semidiame-
tri orbis magni) ad distantiam O D. Si punctum P incidat in
punctum N; erunt A, B, C tria loca cometae, per quae orbis ejus in

494 DR MVNDI SYSTEMATE

plano eclipticae describi debet. Sin punctum P non incidat in
punctum N ; in recta A C capiatur C G ipsi N P sequalis, ita ut
puncta 6^ & /* ad easdem partes rectse N C jaceant

Eadem methodo, qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B
inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis ^ & /3
puncta nova e, a, c, g, & e, a, k, 7. Deinde si per G, g, y ducatur
circumferentia circuli Ggy, secans rectam rC in Z: erit Z locus
cometae in plano eclipticffi. Et %i \r\ A C, a c, a k capiantur A P",
o^A *"P ipsis C G, cg, Ky respective sequales, & per puncta P", /l

<p ducatur circumferentia circuli Ffi^, secans rectam A T m X ,-
erit punctum X alius cometae locus in plano eclipticK. Ad puncta
X & Zerigantur tangentes latitudinum cometae ad radios TX &
tZ; & habebuntur loca duo comctx in orbe proprio, Denique
(per prop. xix lib. 1) umbilico S per loca illa duo describatur
parabola, & haec erit trajectoria cometE. Q.E.I.

Constructionis hujus demonstratio ex lemmatibus consequitur :
quippe cum recta A C secetur in E in ratione temporum per lemma
vii, ut oportet per lem. viii : & B E per lem. xi sit pars rectx
BS vel j9 ^ in plano eclipticse arcui A BC& chorda; A £ C inter-
jecta ; & AfP (per corol. lem. x) longitudo sit chordae arcus, quem

LIBER TERTIUS. 495

cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam de-
scribere debet, ideoque ipsi M N aequalis fuerit, si modo B sit verus
cometae locus in plano eclipticae.

Caeterum puncta B, b, /8 non quaelibet, sed vero proxima eligere
convenit Si angulus A Q t/xn quo vestigium orbis in plano ecHpticae
descriptum secat rectam / B, praeterpropter innotescat ; in angulo illo
ducenda erit recta occulta A C, quae sit ad % Tt in subduplicata
ratione SQ ^di St. Et agendo rectam S E B^ cujus pars E B
aequetur longitudini K/, determinabitur punctum ^ quod prima vice
usurpare Hcet. Tum recta A C deleta & secundum praecedentem
constructionem iterum ducta, & inventa insuper longitudine M P ; in
t B capiatur punctum b, ea lege, ut si T A^ r C se mutuo secuerint in
K, sit distantia K^ ad distantiam Y B, in ratione composita ex
ratione M P dA M N &l ratione subduplicata S B ^ASb. Et eadem
methodo inveniendum erit punctum tertium /8 si modo operationem
tertio repetere lubet. Sed hac methodo operationes duae ut plurimum
suffecerint. Nam si distantia B b perexigua obvenerit ; postquam
inventa sunt puncta F,/8i G, g, actae rectae Ff &l Gg secabunt TA
& T C in punctis quaesitis X 81 Z.

Exemplum.

Proponatur cometa anni 1680. Hujus motum a Flamstedio obser-
vatum & ex observationibus computatum, atque ab Halleio ex iisdem
observationibus correctum, tabula sequens exhibet

496

DE MUNDI SYSTEMATE

Comekt,

•

7>w

. appar.

Tem, verum.

Z^/r^. Solis,

LangUudo,

Lat. bor.

h.

/

h.

/

//

0

/

//

0

/

»

0

/ »

1680 Dec,

12

4

46

4

46

0

>1 I

51

23

A

6

32

30

8

28 0

21

6

32I

6

36

59

II

6

44

5

8

12

21

42 13

24

6

12

6

17

52

14

9

26

18

49

23

25

23 5

26

5

14

5

20

44

16

9

22

28

24

13

27

0 52

29

7

55

8

3

2

19

19

43

K

13

10

41

28

9 58

30

8

2

8

10

26

20

21

9

17

38

20

28

II 53

1681 Jan,

5

5

51

6

I

38

26

22

18

T

8

48

53

26

15 7

9

6

49

7

0

53

:s:: 0

29

2

18

44

4

24

II 56

10

5

54

6

6

10

I

27

43

20

40

50

23

43 52

13

6

56

7

8

55

4

33

20

25

59

48

22

17 28

25

7

44

7

58

42

16

45

36

tt

9

35

0

17

56 30

30

8

7

8

21

53

21

49

58

13

19

51 16

42 t8

Feb.

2

6

20

6

34

51

24

46

59

15

'3

53

16

4 I

5

6

50

7

4

41

27

49

51

16

59

6 15

27 3

His adde observationes quasdam e nostris.

Tem.

appar.

Comette

Longitudo.

ComettB Lat. bor.

h.

/

0

/ 4r

0 / M

1681 Feb. 25

8

30

b 26

18 35

12 46 46

27

8

15

27

4 30

12 36 12

Mar, I

II

0

27

52 42

12 23 40

2

8

0

28

12 48

12 19 38

5

II

30

29

18 0

12 3 16

7

9

30

n 0

4 0

IT 57 0

'9

8

30

0

43 4

11 45 52

Hee observationes telescopio septupedali, & micrometro filisque
in foco telescopii locatis peractae sunt : quibus instrumentis & posi-
tiones fixarum inter se & positiones cometae ad fixas determinavimus.
Designet A stellam quartae magnitudinis in sinistro calcaneo Persei
(Bayero o) B stellam sequentem tertiae magnitudinis in sinistro pede
(Bayero ^ & C stellam sextae magnitudinis (Bayero n) in talo ejus-
dem pedis, ac /?, E, F, G, H, /, K, Z, M, N, O, Z, a, /8, 7, ^ stellas
alias minores in eodem pede. Sintque /, P, Q, R, S, T, V, X,

LIBER TERTIUS,

497

loca cometse in observationibus supra descriptis : & existente distantia
A B partium 8oA, erat A C partium 52}, B C 58I, A D 57^^, B D
82 A, CD 231, A E 29*, C^ 571, /?^ 491^, ^ / 27^, ^/ 52 J, C/
36A, /?/ 53A. ^^ 38i ^A^ 43. ^/^31!, /^A^ 29, /^^ 23, FC

36I, ^ /2^ 18^, D H 50I, ^iV 46A, CiVT 3U, ^Z 45A, NL 31I
Zr(9 erat ad -^/ ut 7 ad 6 & producta transibat inter stellas D & Ey
sic ut distantia stellae D ab hac recta esset \ CD. L M erat ^A LN
ut 2 ad 9, & producta transibat per stellam H. His determinabantur
positiones fixarum inter se.

Tandem Poimdius noster iterum observavit positiones harum
fixarum inter se, & earum longitudines & latitudines in tabulam
sequentem retulit

Fixarum

A

B

C

E

F

G

H

I

K

Longitudines

o

26
28

27
26

28

26

27

27
27

/

41
40

58

27
28

56
II

25
42

50
23
30
17

37
8

45

2

7

Zo/. boreaL

o
12

II
12
12
II
12
12
II
II

8

17
40

52

52

4
2

53
53

ii

36

54

25

7
22

58

I
II
26

Fixarum

Longitudifus

Lat. boreal.

0 / ^

0 / 0

I.

tt 29 33 34

12 7 48

M

29 18 54

12 7 20

N

28 48 29

12 31 9

Z

29 44 48

" 57 13

a

29 52 3

" 55 48

)8

n 0 8 23

II 48 56

?

0 40 10

II 55 18

I 3 20

II 30 42

Positiones vero cometae ad has fixas observabam ut sequitur.

Die veneris Ee6. 25 st vet hor. 8i p.m. cometae in / existentis

distantia a stella E erat minor quam A, A E, major quam \ A E,

2 I

49» DE MUNm SYSTEMATE

ideoque aequalis -ti A E proxime ; & angulus Ap E nonnihil obtusus
erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad /^ perpendiculum
ab A, distantia cometae a perpendiculo illo erat k P E.

Eadem nocte Iiora 9?, cometie in P existentis distantia a stella E

erat major quam — A E, minor quam — A E, ideoque aequalis —
4ff 5i 4¥

A E, seu T7 A E quamproxime. A perpendiculo autem a stella A
ad rectam P E demisso distantia cometse erat j P E.

Die solis Fek 27 hor. 8i p.m. cometae in Q existentis distantia a
stella O sequabat distantiam stellarum O & If, & recta Q O producta
transibat inter stellas K & E. Positionem hujus rectae ob nubes
intervenientes magis accurate definire non potui.

Die martis Mart. i hor. 11 p.m, cometa in R existens stellis K

6 Caccurate interjacebat, & rectae C RK pars C R paulo major erat
quam \ C K, & paulo minor quam 5 C K+l C R, ideoque xqualis
k CAT+TVC^seuU CK.

Die mercurii Mart. 2 hor. 8 p.m. cometaa existentis in S distantia
a stella C erat \ FC quamproxime. Distantia stellae F a recta C S
producta erat jj FC; & distantia stells B ab eadem recta erat
quintuplo major quam distantia stellce F. Item recta N^S producta
transibat inter stellas /f & /, quintuplo vel sextuplo propior existens
stellse // quam stellae /.

Die saturni Mart. 5 hor. 1 15 p.m. cometa existente in T, recta
M /'^qualis erat \ M L, &. recta L T producta transibat inter B &
F, quadruplo vel quintuplo propior F quam B, auferens a. B F
quintam vel sextam ejus partem versus F. Et M T producta tran-
sibat extra spatium B ^ad partes steliae B, quadruplo propior existens
steiljE B quam stellae F. Erat M stella perexigua quae per telesco-
pium videri vix potuit & L stella major quasi magnitudinis octavie.

Die luna; Mart. 7 hor. 9! p.m. cometa existente in V, recta V a
producta transibat inter B 8c. F, auferens 3. B F versus F tV B F, &
erat ad rectam Vfi ut 5 ad 4. Et distantia cometie a recta a /3 erat

Die mercurii Mart. 9 hora 8^ p.m, cometa existente in X, recta
y X ccqualis erat 1 7 5, & perpendiculum demissum a stella 5 ad rectam

7 X erat I 7 5.

Eadem nocte hora 12, cometa existente in Y, recta 7 Y seciualis

LIBER TERTIUS, 499

erat ^ 7^, aut paulo minor, puta tV 7 5, & perpendiculum demissum a
stella ^ ad rectam 7 Ksequalis erat i 7 ^ vel 1 7 ^ circiter. Sed cometa
ob viciniam horizontis cerni vix potuit, nec locus ejus tam distincte
ac in prsecedentibus definiri.

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum &
computationes derivabam longitudines & latitudines cometse, & Poun-
dius noster ex correctis fixarum locis loca cometse correxit, & loca
correcta habentur supra. Micrometro parum affabre constructo usus
sum, sed longitudinum tamen & latitudinum errores (quatenus ex
observationibus nostris oriantur) minutum unum primum vix superant.
Cometa autem ( juxta observationes nostras) in fine motus sui nota-
biliter deflectere coepit boream versus a parallelo quem in fine mensis
Februarii tenuerat.

Jam ad orbem cometae determinandum ; selegi ex observationibus
hactenus descriptis tres, quas Flamsiedius habuit Dec. 21, yan. 5, &
^an, 25. Ex his inveni St partium 9842,1 & Vt partium 455,
quales loooo sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem
primam assumendo i B partium 5657, inveni S B 9747, B E prima
vice 412, S fji. 9503, A 413 : B E secunda vice 421, O D 10186, X
8528,4 MP 8450, MN 8475, N P 25. Unde ad operationem
secundam collegi distantiam tb 5640. Et per hanc operationem
inveni tandem distantias T X 4775 & t Z 11322. Ex quibus orbem
definiendo, inveni nodos ejus descendentem in az3 & ascendentem in
^ i^' 53'; inclinationem plani ejus ad planum eclipticae 61*^ 20' J;
verticem ejus (seu perihelium cometae) distare a nodo 8^* 38', & esse
in t ^y^""' 43' cum latitudine australi y^' 34'; & ejus latus rectum esse
236,8, areamque radio ad solem ducto singulis diebus descriptam
93585, quadrato semidiametri orbis magni posito loooooooo; come-
tam vero in hoc orbe secundum seriem signorum processisse, &
Decemb. 8"** o*** 4' p.m. in vertice orbis seu perihelio fijisse. Haec
omnia per scalam partium aequalium & chordas angulorum ex tabula
sinuum naturalium collectas determinavi graphice ; construendo
schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis magni
(partium loooo) aequalis esset digitis i6i pedis Anglicani.

Tandem, ut constaret an cometa in orbe sic invento vere move-
retur, collegi per operationes partim arithmeticas partim graphicas
loca cometae in hoc orbe ad observationum quarundam tempora : uti
in tabula sequente videre licet.

DE MVNDI SYSTEMATE

DK. 12

29

Feb. 5
Mar. 5

Disliint.
Comtl. a

Zon^-. C^//a-/.

Za/. Ci-ffar/.

itfWf. OAr.

Lal. Oh.

I>ifer.

^iSr-

8403
16669

z'737

K 13 13I

e 17 0
29 19J

*8 ii\

38 0

12 4

K .3 ..f

» .6 59}
29 20}

-8 ,6

is 27

12 3

+ I
+ 2
+ 0

+ 2

+ T

Postea vero Halteius noster orbitam per calculum arithmeticum
accuratius determinavit, quam per descriptJones linearum fieri licuit ;
& retinuit quidem locum nodorum in nis & i^ i^ 53', & inclinati-
onem plani orbitse ad eclipticam 6i''- 20' i, ut & tempus perihelii
cometx Decemb. 8^ o''- 4' : dlstantiam vero perihelii a nodo ascen-
dente in orbita cometae mensuratam invenit esse 9^ 20', & latus
rectum parabols esse 2430 partium existente mediocri solis a terra
distantia partium looooo. Et ex his datis, calculo itidem arithmetico
accurate instituto, loca cometfe ad observationum tempora computavit,
ut sequitur.

fm/rts /H

Tinipus

jeruni

Cemtla a Q

«/.

Lat. comp.

z™^.

La

Dcf. 1%

h.
446

28028

n^" 29

8

26

oBor

— 2

"^

31

6 37

61076

:= S 6

21

20

— 1

+ 1

24

6 18

70008

18 48

25

40

— I

3

25

26

5 21

7SS76

28 22

4S

27

,6

— I

+ 0

44

29

8 3

84021

K13 12

40

28

10

+ 1

S<»

+ 0

8 10

86661

17 40

S

28

II

20

+ »

4S

- 0

/an. 5

6 .|

101440

V 8 49

49

15

15

+ 0

Sh

+ 0

8

9

7 0

110959

18 44

30

24

12

54

+ 0

32

+ 0

S8

10

113162

20 41

23

44

+ 0

+ 0

iH

13

7 9

I 20000

26 0

21

22

17

30

+ 0

3.1

+ 0

2

25

7 59

145370

» 9 33

40

"7

57

55

— I

+ 1

2S

»55303

"3 17

4>

42

7

Ftb. 2

6 3S

160951

>5 1'

11

16

15

— 2

42 1 + 0

*4

5

7 4l

166686

16 58

21

•S

2Q

13

~o

41 1 + 2

25

8 41

202570

26 15

46

48

49 l + i

14

Mar. 5

•I 39

216205

39 18

35

12

5

40

+ 0

35 1 + 2

24

Apparuit etiam hic cometa mense Novembri pnecedente & Co-
burgi in Saxonia a D"- Gottfried Kirch observatus est diebus mensis
hujus quarto, sexto & undecimo, stylo veteri ; & ex positionibus

LIBER TERTIUS, 501

ejus ad proximas stellas fixas ope telescopii nunc bipedalis nunc
decempedalis satis accurate observatis, ac dififerentia longitudinum
Coburgi & Londini graduum undecim & locis fixarum a Poundio
nostro observatis, Halleius noster loca cometae determinavit ut
sequitur.

Novem. '^' 17^- 2', temppre apparente Lofidini^ cometa erat in
Sl 29^- 51' cum lat bor. i^* 17' 45''.

Novem. 5**- 15^* 58' cometa erat in nj 3^"- 23' cum lat bor. i^- 6'.

Novem, lo*** i6**- 31' cometa aequaliter distabat a stellis leonis a- ac
T Bayero ; nondum vero attigit rectam easdem jungentem, sed parum
abfuit ab ea. In stellarum catalogo Flamstediano cr tunc habuit tij
14^' 15' cum lat. bor. i^* 41' fere, t vero ttj i^p*- 3I, cum lat. austr.
o^ 34'. Et medium punctum inter has stellas fuit nj 15«^- 39'!, cum
lat. bor. o^- 33^. Sit distantia cometae a recta illa 10' vel 12' circiter,
& differentia longitudinum cometae & puncti illius medii erit 7^ &
differentia latitudinum 7'^, circiter. Et inde cometa erat in nj i^^-
32' cum lat. bor. 26' circiter.

Observatio prima ex situ cometae ad parvas quasdam fixas abunde
satis accurata fuit. Secunda etiam satis accurata fuit In tertia, quae
minus accurata fuit, error minutorum sex vel septem subesse potuit,
& vix major. Longitudo vero cometae in observatione prima, quae
caeteris accuratior fuit, in orbe praedicto parabolico computata erat
Sl 29^* 30' 22'', latitudo borealis i^- 25' f' & distantia ejus a sole

1 15546.

Porro Halleitis observando quod cometa insignis intervallo anno-
^^ 575 quater apparuisset, scilicet mense Septembri post caedem
ytilii Ccesaris^ zxiVio Christi 531 Lampadio & Oreste Coss., anno
C/iristi 1106 mense Februario, & sub finem anni 1680, idque cum
cauda longa & insigni (praeterquam quod sub mortem Casaris cauda
ob incommodam telluris positionem minus apparuisset) quaesivit
orbem ellipticum cujus axis major esset partium 1382957, existente
mediocri distantia telluris a sole partium loooo : in quo orbe utique
cometa annis 575 revolvi possit Et ponendo nodum ascendentem
in 023 2^' 2'; inclinationem plani orbis ad planum eclipticae 6i*^- 6' 48'';
perihelium cometae in hoc plano t 22^* 44' 25''; tempus aequatum
perihelii Decem. y^ 23^- 9'; distantiam perihelii a nodo ascendente in

502

DE MUNDI SYSTEMATE

plano eclipticae 9*^ 17' 35''; & axem conjugatum 18481,2 : computavit
motum cometae in hoc orbe elliptico. Loca autem ejus tam ex obser-
vationibus deducta quam in hoc orbe computata exhibentur in tabula
sequente.

TcmpHS Tcnim

*

'r.

Ij>n^

'•. comp.

Lat, comp.

Errores im

1

\" ■■j ,

Long.

Lat,

d.

h.
16

47 ^29

5'

// 8T'
0, I

17

//

45

^29

/
51

//
22

I

/
17

32 B

1

/
-0

//
22

4 //
— 0 13

5

15

37 ;T1J 3

23

0 1 I

6

0

T1J3

24

32

I

6

9

- I

32

+ 0 9

10

16

18

'5

32

0 1 0

27

0

15

33

2

0

25

7

- I

2

— ' 53

16

17

0

:f:=. 8

16

45

0

53

7A

18

21

34

18

52

15

I

26

54

23

17

0

28

10

36

I

53

35

23

17

5

^13

22

42

2

29

0

Diw 12

4

46

n 6

32

30; 8

28

0

n ^

3i

20

8

29

6B

— I

10

+ 1 6

21

6

37 !;r 5

8

12 ! 21

42

13

"•♦N 5

6

14

21

44

42

— I

58 -4-2 29 1

24

6

18

18

49

23125

23

5

^18

47

30

25

23

35

— I

53 +0 30 1

26

5

21

28

24

J3 27

0

52

28

21

42

27

2

I

— 2

31

+ 1 9

29

8

3

yin

10

41 1 28

9

58

Ki3

II

14

28

10

38

t"

33

+ 0 40

30

8

10

17

38

20 1 28

II

53

17

38

27

28

II

37

+0

7

— 0 16

7an,S

6

14

^P 8

48

53

26

15

7

T 8

48

51

26

14

57

— 0

2

— 0 10

9

7

I

18

44

4

24

II

56

18

43

51

24

12

»7

— 0

n

+ 0 21

lu

6

6

20

40

50

23

43

32

20

40

23

23

43

25

— 0

27

— 0 7

13

7

9

25

59

48

22

17

28

26

0

8

22

16

32

+ 0

20

— 0 56

25

7

59

b 9

35

0

17

56

30

b 9

34

II

17

56

6

— 0

49

— 0 24

30

8

22

13

19

51

16

42

18

13

18

28

16

40

5

— I

23

— 2 13

/ir^. 2

6

35

15

13

53

16

4

I

15

II

59

16

2

7

— I

54

I 54

5

7

4^

16

59

6

15

27

3

16

59

17

15

27

0

+ 0

II

— 0 3

25

8

41

26

18

35

12

46

46

26

16

59-

12

45

22

— I

36

— 1 24

iWbr. I

II

10

27

^l

42

12

23

40

27

51

47

12

22

28

— 0

55

— I 12

5

II

39

29

18

0 12

3

16

^^9

20

II

12

2

50

+ 2

if

— 0 26

9

8

38

0

43

4 II

45

52

n 0

42

43

II

45

35

— 0

21

— 0 17

•

Observationes cometae hujus a principio ad finem non minus
congruunt cum motu cometae in orbe jam descripto, quam motus
planetarum congruere solent cum eorum theoriis, & congruendo
probant unum & eundem fuisse cometam, qui toto hoc tempore
apparuit, ejusque orbem hic recte definitum fuisse.

In tabula pra^cedente omisimus observationes diebus Novenibris
16, 18, 20 & 23 ut minus accuratas. Nani cometa his etiam tem-
poribus observatus fuit Poiithceus utique & socii, Novefu. 1 7 st.
vet. hora sexta matutina Romce, id est, hora 5 10' Lo7idini, fiHs ad
fixas applicatis, cometam observarunt in ^ 8*^* 30' cum latitudine
australi o^ 40' Extant eorum observationes in tractatu, quem Pon-

LIBER TERTIUS.

503

thcBus de hoc cometa in lucem edidit Cellius, qui aderat & observa-
tiones suas in epistola ad D, Cassimim misit, cometam eadem hora
vidit in =^ 8^'* 30' cum latitudine australi 0^30'. Eadem hora Galle-
tius Avenioni (id est, hora matutina 5 42' Londini) cometam vidit in
^ 8^- sine latitudine. Cometa autem per theoriam jam fuit in ^^ 8*^-
16' 45'' cum latitudine australi o^- 53' Y'-

Nov. 18 hora matutina 6 30' Romcs (id est, hora 5 40' Londini)
Pontfueus cometam vidit in =^ 13^- 30' cum latitudine australi i*'- 20'.
Cellius in =^ 13^* 30' cum latitudine australi i^- 00'. Galletius autem
hora matutina 5 30' Avenioni cometam vidit in :^ 13^ 00', cum
latitudine australi i^* 00'. Et R. P. Ango in academia Flexiensi
apud Gallos hora quinta matutina (id est, hora 5 9' Londini) come-
tam vidit in medio inter stellas duas parvas, quarum una media est
trium in recta linea in Virginis australi manu, Bayero ^y & altera est
extrema alse Bayero 6. Unde cometa tunc fuit in ^^ 12^ 46' cum
latitudine australi 50^ Eodem die Bostonics in Nova-Anglia in
latitudine 425 graduum, hora quinta matutina, (id est Londini hora
matutina 9 44') cometa visus est prope =^ 14^*, cum latitudine australi
i^- 30', uti a cl. Halleio accepi.

Nov. 19 hora mat. 4^ CantabrigicB cometa (observante juvene
quodam) distabat a Spica W quasi 2^* boreazephyrum versus. Erat
autem Spica in ^ 19«'- 23' 47'' cum lat austr. 2«'- i' 59''. Eodem die
hor. 5 mat Bostonice in Nova-Afiglia cometai distabat a Spica ^15 gradu
uno, differentia latitudinum existente 40'. Eodem die in insula
yamaica cometa distabat a Spica intervallo quasi gradus unius.
Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvium Patuxent prope Hunt-
ing'Creek in Marylandm confinio Virginice in lat 38^^-, hora quinta
matutina (id est, hora 10* Londini) cometam vidit supra Spicam Tif, &
cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem
quasi 1?^' Et ex his observationibus inter se collatis colligo quod
hora 9 44' Londini cometa erat in — 1 8^ 50' cum latitudine australi
i^- 25' circiter. Cometa autem per theoriam jam erat in =^ 18*^ 52'
15" cum latitudine australi i*^- 26' 54''.

Nov. 20 D. Montenarus astronomiae professor Paduensis hora
sexta matutina Venetiis (id est, hora 5 10' Londini) cometam vidit in
^ 23^- cum latitudine australi i*'* 30'. Eodem die Bostonice distabat

504

DE MUNDI SYSTEMATE

cometa a Spica ny 4*'* longitudinis in orientem, ideoque erat in =^ 23*'-
24' circiter.

Nov. 21 Ponthmis & socii hor. mat. 7I cometam observarunt in
=^ 27^- 50' cum latitudine australi i^* 16', Cellms in ^ 2%^\ Ango hora
quinta matutina in =^ 27^* 45', Montefiarus in =^ 27«^- 51. Eodem
die in insula Jamaica cometa visus est prope principium Scorpii,
eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica. Virginis, id est, iF' 2'.
Eodem die ad horam quintam matutinam Ballasorce in India Orien-
taliy (id est ad horam noctis praecedentis 1 1 20' Londini) capta est
distantia cometae a Spica tij 78^- 35' in orientem. In h'nea recta erat
inter Spicam & Lancem, ideoque versabatur in ^ 26^* 58' cum lat.
austraH 1«'- 11' circiter; & post horas 5 & 40' (ad horam scilicet
quintam matutinam Londini) erat in ^ 28^* 12'cum lat. austr. i^ 16'.
Per theoriam vero cometa jam erat in ^ 28*'* 10' 36'', cum latitudine
austraH i^'- 53' 35''.

A^ov. 22 Cometa visus est a Montenaro in ttl 2^' 33'. Bostonue
autem in Nova-Anglia apparuit, in n^ 3^- circiter eadem fere cum
latitudine ac prius, id est, i^- 30'. Eodem die ad horam quintam
matutinam Ballasorcs cometa observebatur in ni i*'- 50'; ideoque ad
horam quintam matutinam Londini cometa erit in IIL 3^"" 5' circiter.
Eodem die Londini hora mat. 6^ Hookizts noster cometam vidit in \\,
3^- 30' circiter, idque in Hnea recta quse transit per Spicam Virginis &
Cor Leonis, non exacte quidem, sed a Hnea iHa paululum deflectentem
ad boream. Mo7itenarns itidem notavit quod Hnea a cometa per
Spicam ducta hoc die'& sequentibus transibat per australe latus Cordis
Leonis, interposito perparvo intervaHo inter Cor Leonis & hanc Hneam.
Linea recta per Cor Leonis & Spicam Virginis transiens ech'pticam
secuit in ttj ^k""- 46'; in angulo 2^- 51'. Et si cometa locatus fuisset
in hac linea in \\ 3^- ejus latitudo fuisset 2^- 26'. Sed cum cometa
consentientibus Hookio & Montenaro nonnihil distaret ab hac linea
boream versus, latitudo ejus fuit paulo minor. Die 20 ex observatione
Monte7iari latitudo ejus propemodum aequabat latitudinem Spicae np,
eratque i^' 30' circiter, & consentientibus Hookio, Montenaro & Angone
perpctuo augcbatur, ideoque jam sensibiHtcr major erat quam i^''* 30'.
Intcr Hmites autem jam constitutos 2^'- 26' & i^"- 30' magnitudine
mediocri latitudo erit i^* 58' circiter. Cauda cometae, consentien-
tibus Hookio & Afontenaro, dirigebatur ad Spicam nj, declinans ali-

LIBER TERTIUS.

505

quantulum a stella ista, juxta Hookium in austrum, juxta Montenarum
in boream ; ideoque declinatio illa vix fuit sensibilis, & cauda aequa-
tori fere parallela existens aliquantulum deflectebatur ab oppositione
solis boream versus.

Nov. 23 st vet hora quinta matutina Noriburgi (id est hora 4^
Londini) D. Zimmerman cometam vidit in ttl 8^* 8', cum latitudine
australi 2^- 31^ captis scilicet ejus distantiis a stellis fixis.

Nov, 24 ante ortum solis cometa visus est a Montetiaro in tt\^
\2^' 52^ ad boreale latus rectae quse per Cor Leonis & Spicam Virgi-
nis ducebatur, ideoque latitudinem habuit paulo minorem quam
2^- 38^ Hsec latitudo, uti diximus, ex observationibus Moftte^tari,
Angonis & Hookii perpetuo augebatur; ideoque jam paulo major
erat quam 1^-58'; & magnitudine mediocri, sine notabili errore,
statui potest 2^' i8^ Latitudinem Pontfueus & Galletitis ]^m decre-
visse volunt, & Cellius & observator in Nova Anglia eandem fere
magnitudinem retinuisse, scilicet gradus unius vel unius cum semisse.
Crassiores sunt observationes Ponthcni & Cellii, eae prsesertim quae
per azimuthos & altitudines capiebantur, ut & eae Galletii: melio-
res sunt eae quae per positiones cometae ad fixas a Montenaro, Hookio,
Angone & observatore in Nova Anglia, & nonnunquam a Ponthceo
& Cellio sunt factae. Eodem die ad horam quintam matutinam
Ballasorce cometa observabatur in tt\^ 11^*45'; ideoque ad horam
quintam matutinam Londini erat in tt\^ 13^- circiter. Per theoriam
vero cometa jam erat in tt\^ 13*^* 22' 42''.

Nov. 25 ante ortum solis Montenarus cometam observavit in x^
17!^ circiter. Et Cellius observavit eodem tempore quod cometa
erat in linea recta inter stellam lucidam in dextro femore Virginis &
lancem australem Librae, & haec recta secat viam cometae in \^ iZ^- 36'.
Per theoriam vero cometa jam erat in tt^ i 81^* circiter.

Congruunt igitur hae observationes cum theoria quatenus con-
gruunt inter se, & congruendo probant unum & eundem fuisse
cometam, qui toto tempore a quarto die Novembris ad usque
nonum Martii apparuit Trajectoria cometae hujus bis secuit plan-
um eclipticae, & propterea non fuit rectilinea. Eclipticam secuit non
in oppositis coeli partibus, sed in fine Virginis & principio Capricorni,
intervallo graduum 98 circiter ; ideoque cursus cometae plurimum de-

5o6

DE MUNDI SYSTEMATE

flectebatur a circulo maximo. Nam & mense Novembri cursus ejus
tribus saltem gradibus ab ecHptica in austrum declinabat, & postea
mense Decembri gradibus 29 vergebat ab ecliptica in septentrionem,
partibus duabus orbitae, in quibus cometa tendebat in solem &
redibat a sole, angulo apparente graduum plus triginta ab invicem
declinantibus, ut observavit Moiitenartis. Pergebat hic cometa per
signa novem, a Leonis scilicet ultimo gradu ad principium Geminorum,
praeter signum Leonis, per quod pergebat antequam videri coepit;
& nulla alia extat theoria, qua cometa tantam coeli partem motu
regulari percurrat Motus ejus fuit maxime insequabilis. Nam circa
diem vigesimum Noveinbris descripsit gradus circiter quinque singulis
diebus; dein motu retardato inter Novemb. 26 & Decemb. 12, spatio
scilicet dierum quindecim cum semisse, descripsit gradus tantum 40 ;
postea vero motu iterum accelerato descripsit gradus fere quinque
singulis diebus, antequam motus iterum retardari coepit Et the-
oria, quae motui tam inaequabili per maximam coeli partem probe
respondet, quaeque easdem observat leges cum theoria planetarum, &
cum accuratis observationibus astronomicis accurate congruit, non
potest non esse vera.

Caeterum trajectoriam quam cometa descripsit, & caudam veram

quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in plano
trajectoriae delineatas exhibere : ubi A B C denotat trajectoriam
cometae, D solem, D E trajectoriae axem, D F lineam nodorum.

LIBER TERTIUS.

507

GH intersectionem sphaerae orbis magni cum plano trajectoriae, /
locum cometse Nov. 4 Ami. 1680, K locum ejusdem Nov. 11, Z
locum Nov. 19, M locum Dec. \2, N locum Dcc. 2\, O locum Dec.
29, P locum Jan. 5 sequcni., Q locum ^an. 25, ^ locum Feb. 5, 6^
locum Fcb. 25, T^Iocum Mar. 5, & Klocum Mar. 9. Observationes
vero sequentes in cauda definienda adhibui.

Nov. 4 & 6 cauda nondum apparuit. Nov. 1 1 cauda jam coepta
non nisi semissem gradus unius longa tubo decempedali visa fuit.
Nov. 17 cauda gradus amplius quindecim longa Pontfueo apparuit.
Nov. 18 cauda 30^ longa, solique directe opposita m Nova-Anglia
cernebatur, & protendebatur usque ad stellam $, quae tunc erat
in TTf gs^- 54', Nov. 19 in Mary-land cauda visa fuit gradus 15
vel 20 longa. Dec. 10 cauda (observante F/amstcdio) transibat per
medium distantiae inter caudam serpentis Ophiuchi & stellam S in
Aquilae australi ala, & desinebat prope stellas A, «, d in tabulis Bayeri.
Terminus igitur erat in y^ 19^*, cum latitudine boreali 34^^* circiter.
Dec. II cauda surgebat ad usque caput Sagittae {Bayero a, j8,)
desinens in YS 26^''' 43', cum latitudine boreali 38^' 34^ Dec. 12
cauda transibat per medjum Sagittae, nec longe ultra protendebatur,
desinens in ^st 4^'-, cum latitudine boreali \2\^^' circiter. Intelligenda
sunt haec de longitudine caudae clarioris. Nam luce obscuriore, in
coelo forsan magis sereno, cauda Dec. 12 hora 5 40' Ronice (ob-
servante Ponthceo) supra Cygni uropygium ad gradus 10 sese extulit ;
atque ab hac stella ejus latus ad occasum & boream min. 45 destitit
Lata autem erat cauda his diebus gradus 3, juxta terminum supe-
riorem, ideoque medium ejus distabat a stella illa 2^* 1 5' austrum
versus, & terminus superior erat in K 22^-, cum latitudine boreali
6i^*. Et hinc longa erat cauda 70^- circiter. Dec. 21 eadem sur-
gebat fere ad cathedram Cassiopei/e, aequaliter distans a jS & Schedir^
& distantiam ab utraque distantiae earum ab invicem aequalem habens,
ideoque desinens in T 24«'-, cum latitudine 47^''*. Dec. 29 cauda
tangebat Scheat sitam ad sinistram, & intervallum stellarum duarum
in pede boreali Andromedce accurate complebat, & longa erat 54^* ;
ideoque desinebat in « 19*^*, cum latitudine 35^*. Jan. 5 cauda
tetigit stellam tt in pectore Androntedce ad latus ejus dextrum, &
stellam /x in ejus cingulo ad latus sinistrum ; & (juxta observationes

5o8 ^^ MUNDI SYSTEMATE

nostras) longa erat 40^* ; curva autem erat & convexo latere spectabat
ad austrum. Cum circulo per solem & caput cometae transeunte
angulum confecit graduum 4 juxta caput cometae ; at juxta terminum
alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 graduum
& chorda caudae cum circulo iUo continebat angulum g^duum
octo. yan. 13 cauda luce satis sensibili terminabatur inter
Alamech & Algol, & luce tenuissima desinebat e regione stellae k in
latere Persei. Distantia termini caudae a circulo solem & cometam
jungente erat 3«^ 50', & inclinatio chordae caudae ad circulum illum
81*^-. Jan. 25 & 26 cauda luce tenui micabat ad longitudinem
graduum 6 vel 7; & nocte una &-aItera sequente ubi ccelum valde
serenum erat, luce tenuissima & aegerrime sensibili attingebat
longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem
ejus axis ad lucidam in humero orientali Aurigae accurate, ideoque
declinabat ab oppositione solis boream versus in angulo graduum
decem. Denique Feb. 10 caudam oculis armatis aspexi gradus duos
longam. Nam lux praedicta tenuior per vitra non apparuit
Po7ithceus autem Feb. 7 se caudam ad longitudinem graduum 12
vidisse scribit Feb, 25 & deinceps cometa sine cauda apparuit

Orbem jam descriptum spectanti & reliqua cometae hujus
phaenomena in animo revolventi haud difficulter constabit, quod
corpora cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad instar
corporum planetarum. Nam si nihil aliud essent quam vapores vel
exhalationes terrae, solis & planetarum, cometa hicce in transitu suo
per viciniam solis statim dissipari debuisset Est enim calor solis ut
radiorum densitas, hoc est, reciproce ut quadratum distantiae locorum
a sole. Ideoque cum distantia cometae a centro solis Decemd. 8 ubi
in perihelio versabatur esset ad distantiam terrae a centro solis ut 6
ad 1000 circiter, calor solis apud cometam eo tempore erat ad
calorem soHs aestivi apud nos ut 1 000000 ad 36, seu 28000 ad i. Sed
calor aquae ebullientis est quasi triplo major quam calor quem terra
arida concipit ad aestivum solem, ut expertus sum : & calor ferri
candentis (si recte conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam
calor aquae ebullientis ; ideoque cilor, quem terra arida apud comctam
in perihelio versantem ex radiis solaribus concipere posset, quasi
2000 vicibus major quam calor ferri candentis. Tanto autem calore

LIBER TERTIUS, 509

vapores & exhalationes omnisque materia volatilis statim consumi
ac dissipari debuissent.

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad solem con-
cepit, & calorem illum diutissime conservare potest Nam globus
ferri candentis digitum unum latus calorem suum omnem spatio
horse unius in aere consistens vix amitteret Globus autem major
calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea quod
superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrige-
ratur) in illa ratione minor est pro quantitate materise suae calidae
inclusae. Ideoque globus ferri candentis huic terrae aequalis, id est,
pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem & idcirco annis
50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio caloris, ob
causas latentes, augeatur in minore ratione quam ea diametri : &
optarim rationem veram per experimenta investigari.

Porro notandum est quod cometa mense Decembri, ubi ad solem
modo incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splendidiorem
quam antea mense Novembri, ubi perihelium nondum attigerat. Et
universaliter caudae omnes maximae & fulgentissimae e cometis ori-
uhtur statim post transitum eorum per regionem solis. Conducit
igitur calefactio cometae ad magnitudinem caudae. Et inde colligere
videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus,
quem caput seu nucleus cometae per calorem suum emittit.

Caeterum de cometarum caudis triplex est opinio ; eas vel jubar
esse solis per translucida cometarum capita propagatum, vel oriri
ex refractione lucis in progressu ipsius a capite cometae in terram,
vel denique nubem esse seu vaporem a capite cometae jugiter surgen-
tem & abeuntem in partes a sole aversas. Opinio prima eorum est
qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar solis
in cubiculo tenebroso non cernitur, nisi quatenus lux reflectitur e
pulverum & fumorum particulis per aerem semper volitantibus :
ideoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est & sensum
fortius ferit ; in aere clariore tenuius est & aegrius sentitur : in coe-
lis autem sine materia reflectente nullum esse potest. Lux non cer-
nitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad oculos
nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt.
Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione caudae, ne

5>o

DE MUNDI SYSTEJfATB

OElum totum luce solis illustratum unlformiter splendeaL Opinio
secunda multis premitur difBcultatibus. Caudx nunquam ^'an^an-
tur coloribus : qui tamen refractionum solent esse comites insepara-
biles. Lux fixarum & planetarum distincte ad nos tiansmissa
demonstrat medium coeleste nulla vi refractiv^a pollere. Nam quod
dicitur fixas ab ^gyptUs comatas nonnunquam visas fuisse, id,
quoniam rarissime contingit, ascribendum est nubium refractioni
fortuitse. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refractiones tum
oculorum tum aeris tremuli referendx sunt : quippe quae admotis
oculo telescopiis evanescunt Aeris & ascendentium vaporum tremore
fit, ut radii facile de angusto pupillse spatio per vices detorqueantur,
de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod
scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset : &
cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis
per cceIos sine omni refractione sensibili. Nequis contcndat quod
caudcc non soleant videri in cometis, cum eorum lux non est satis
fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos
movendos, & propterea caudas fixarum non cemi : sciendum est
quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus
telescopiis, nec tamen caud^e cemuntur. Planetarum quoque lux
copiosior est, caudie vero nullse : cometx autem saepe caudatissimi
sunt, ubi capitum lux tenuts est & valde obtusa, Sic enim cometa
anni 1680, mense Deccmbri, quo tempore caput luce sua vix aqua-
bat stellas secundae magnitudinis, caudam emittebat splendore nota-
bili usque ad gradus 40, 50, 60 vel 70 longitudinis & ultra : postca
yan. 27 & 28 caput apparebat ut stella septimae tantum magnitudi-
nis, cauda vero luce quidem pertenul sed satis sensibili longa
erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima, qux cerni vix posset,
porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra : ut supra
dictum est. Sed & Feh. 9 & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat,
caudam gradus duos longam per telescopium conlemplatus sum.
Porro si cauda oriretur ex refractione materiEe coelestis, & pro figura
ccelorum deflecteretur de solis oppositione, deberet defiexio illa in
iisdem cceli regionibus in eandem semper partem fieri. Atqui cometa
anni 1680 Decanb. 28 hora 81 p.m. Z<7«(//'«/ versabatur in k S-''- 41'
cum latitudine boreali 28*' 6', sole existente in W \%" 26'. l-;t co.

LIBER TERTIUS,

511

meta anni 1577 Dec. 29 versabatur in K 8^ 41' cum latitudine boreali
28*^- 40' sole etiam existente in v^ i8«'- 26' circiter. Utroque in casu
terra versabatur in eodem loco, & cometa apparebat in eadem coeli
parte : in priori tamen casu cauda cometae (ex meis & aliorum
observationibus) dieclinabat angulo graduum 4^ ab oppositione solis
aquilonem versus; in posteriore vero (ex observationibus Tycfionis)
declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata coelorum
refractione superest ut phsenomena caudarum ex materia aliqua lucem
reflectente deriventur.

Caudas autem a capitibus oriri & in regiones a sole aversas
ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis
orbium cometarum per solem transeuntibus jacentes deviant ab
oppositione soHs in eas semper partes, quas capita in orbibus illis
progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto
apparent in partibus a sole directe aversis ; digrediente autem specta-
tore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet major.
Quod deviatio cseteris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad
orbem cometae, ut & ubi caput cometae ad solem propius accedit ;
praesertim si spectetur deviationis angulus juxta caput cometae. Prae-
terea quod caudae non deviantes apparent rectae, deviantes autem
incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, &
magis sensibilis ubi cauda caeteris paribus longior est : nam in brevi-
oribus curvatura aegre animadvertitur. Quod deviationis angulus
minor est juxta caput cometae, major juxta caudae extremitatem
alteram, atque ideo quod cauda convexo sui latere partes respicit a
quibus fit deviatio, quaeque in recta sunt linea a sole per caput
cometae in infinitum ducta. Et quod caudae quae prolixiores sunt
& latiores, & luce vegetiore micant, sint ad latera convexa paulo
splendidiores & limite minus indistincto terminatae quam ad concava.
Pendent igitur phaenomena caudae a motu capitis, non autem a regione
coeli in qua caput conspicitur ; & propterea non fiunt per refractionem
coelorum, sed a capite suppeditante materiam oriuntur. Etenim ut
in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque
vel perpendiculariter si corpus quiescat, vel oblique si corpus move-
atur in latus : ita in coelis, ubi corpora gravitant in solem, fumi &
vapores ascendere debent a sole (uti jam dictum est) & superiora

DE MUyPI SYSTEMATE

vel recta petere, si corpus fumans quiescit; vel obliqtie, si corpus
progrediendo loca semper deserit a quibus superiores vaporis partes
ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis
velocior est ; nimirum in vicinia solis & juxta corpus fumans. Ex
obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna : & quia
vapor in columnte latere prascedente paulo recentior est, ideo etiam
is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius re-
flectet, & limite minus indistincto terminabitur. De caudarum
agitationibus subitaneis & inccrtis, deque earum figuris irregularibus,
quas nonnulli quandoque describunt, liic niliil adjicio ; propterea quod
vel a mutationibus aeris nostri & niotibus nubium caudas aliqua ex
parte obscurantium oriantur; vel forte a partibus via: lacteae. qua;
cum caudis praetereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes
spectari.

Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufificiant, ex
cometarum atmosphsris oriri posse, intelHgetur ex raritate aeris
nostri. Nam aer juxta superficiem terrfe spatium occupat quasi 850
partibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris columna
cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aqux columna
pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad summitatem
atniosph£erEe assurgens cequat pondere suo columnam aqus pedes 33
altam circiter ; & propterea si columnie totius aereae pars inferior
pedum S50 altitudinis dematur, pars reliqua superior squabit pon-
dere suo columnam aquas altam pedes 32, Inde vero (per regulam
muitis experimentis confirmatam, quod compressio aeris sit ut pon-
dus atmospha;rai incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut
quadratum distantiae locorum a centro terrje) computationem per
corol. prop. xxii lib. 11 ineundo, inveni quod aer, si asccndatur a
superficie terrie ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior
sit quam apud nos in ratione longe majori, quam spatii omnis infra
orbem saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Idcoque
globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam habe-
ret in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes plane-
tarum regiones usque ad sph.-eram saturni & longe ultra. Proinde
• cum aer adhuc altior in immensum rarescat; & coma scu atmo-
sphEcra cometx, ascendendo ab illtus centro, quasi decuplo alitor stt

LIBER TERTIUS.

513

quam superficies nuclcl, deinde cauda adhuc altius ascendat, debebit
cauda esse quam rarissima. Et quamvis ob longe crassiorem come-
tarum atmosphasram, magnamque corporum gravitationem solem
versus, & gravitationem particulamm aeris & vaporum in se mutuo,
fieri possit ut aer in spatiis ccelestlbus inque cometarum caudis
non adeo rarescat; perexiguam tamen quantitatcm acrls & vaporum
ad omnia illa caudarum phaenomena abunde sufficere, ex hac com-
putatione perspicuum est. Nam & caudarum inslgnis raritas col-
ligitur ex astris per eas translucentlbus. Atmosphcera terrestris luce
solls splendens crassitudine sua paucorum miHiarium & astra omnia
& ipsam lunam obscurat & extinguit penitus : pcr immensam vero
caudarum crassitudlnem, luce parlter solari illuslratani, astra mlnlma
slne claritatis detrimento translucere noscuntur. Neque major esse
solet caudarum plurimarum splendor, qiiam aerls nostrl In tenebroso
cubiculo latltudine digiti unius duorumve lucem solls in jubare reflec-
tentls.

Quo temporis spatio vapor a capite ad tcrminum cauda; ascendit,
cognosci fere potest ducendo rectam a termlno caudar ad solem, &
notando locum ubi recta illa trajectorlam secat. Nam vapor in
termino cauds, si recta ascendat a sole, ascendere cccpit a capite,
quo tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non recta
ascendlt a sole, sed motum cometse, quem ante ascensum suum
habebat, retlnendo & cum motu ascensus sui eundcm componendo
ascendit obllque. Unde verior erlt problcmatls solutio, ul recta Illa,
qu.-e orbeni secat. parallela sit longltudinl cauds, vel potius (ob motum
curvillneum cometse) ut eadem a linea caudae dlvergat. Hoc pacto
inveni quod vapor, qui erat in termino caudae yan. 25, ascendere
cceperat a caplte ante Dcc. 1 1, Ideoque ascensu suo toto dies plus 45
consumpserat. At cauda Illa omnls quaa Dcc. 10 apparult ascenderat
spatlo dierum illorum duorum, qui a tempore perihelii cometae elapsi
fuerant. Vapor igitur sub inltio in vicinia solis celerrlme ascen-
debat, & postea cum motu per gravitatem suam semper retardato
ascendere pergebat ; & ascendendo augebat longltudinem caud^ :
cauda autem, quamdiu apparuit, ex vapore fere omni constabat, qui
a tempore pcrihelii ascenderat; & vapor, qui primus ascendit &
terminum caudre composuit, non prius evanuit quam ob nimiam suam
tam a sole illustrante quam ab ocuHs nostris diatantiam videri desiit.
2 K

5H

DE MUl^DI SYSTEMATE

Unde etiam caudre cometarum aliorum, quae brevessunt, non ascen-
dunt motu celeri & perpetuo a capitibus & mox evanescunt, sed sunt
permanentes vaporum & exlialatlonum columns:, a capltibus lentissimo
multorum dierum motu propagatre, quae, participando motum illum
capitum quem habuere sub initio, per ccelos una cum capitibus moveri
pergunt. Et hinc rursus colligitur spatia ccelestia vi resistendi des-
titui ; utpote in quibus non solum solida planetarum & cometarum
corpora, sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissi-
mos liberrime peragunt ac diutissime conservant,

Ascensum caudarum ex atmosphEeris capitum & progressum in
partes a sole aversas Keplerus zszx^^w. actioni radiorum lucis materiam
caud^e secuml rapientium. Et auram longe tenulssimam in spatiis
liberrimis actioni radiorum cedere non est a ratione prorsus alienum,
non obstante quod substanti^e crass^e impeditissimls in rcglonibus
nostris a radiis solis sensibiliter propelli nequeant Alius particulas
tam leves quam graves dari posse existimat, & materiam caudarum
levitare, perque levitatem suam a sole ascendere. Cum autem
gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque
servata quantitate materije intendi & remitti nequeat, suspicor ascen-
sum illum ex rarefactione matenEe caiidarum potius orrri. Ascendit
fumus in camino impulsu aeris cui innatat. Aer ille per calorem
rarefactus ascendit ob diminutam suam gravitatem speclficam, &
fumum implicatum rapit secum. Quidni cauda cometje ad eundem
modum ascenderit a sole ? Nam radii solares nonagitant media, quae
permeant, nisi in reflexione & refractione. Particulze reflectentes
ea actione calefactje calefacient auram zetheream cui impllcantur.
Illa calore sibi communicato rarefiet, & ob diminiitam ea raritate gra-
vitatem siiam speclficam, qua prlus tendebat in solem, ascendet &
secum rapiet particulas reflectences ex quibus cauda componitur : Ad
ascensum vaporum conducit etiam, quod hi gyrantur circa solem &
ea actione conantur a sole recedere, at solis atmosphaira & materia
coelorum vel plane qulescit, vel motu solo quem a solis rotatione
acceperit tardius gyratur. Ha; sunt causx ascensus caudarum in
vicinia solis, ubi orbes curviores sunt, & comets intra densiorem
& ea ratione graviorem solis atmospheeram consistunt, & caudas
quam longisslmas mox emittunt. Nam cauda;, qua; tunc nascuntur
conservando motum suum & interea versus solem gravitando, mo-

. LIBER TERTWS.

5.15

vebunCiir circa solem In elHpsIbus pro more capitum, & per motuni
illum caplta semper comltabLmtur & iis liberrime aclhterebunt.
Gravltas enlm vaporum in solem non magls efiiciet ut caudx postea
decidant a capitibus solem versus, quam gravitas capltum etificere
possit, ut hsc decidant a caudls. Communi gravitate vel slmul in
solcm cadcnt, vel slmul in ascensu suo retardabuntur ; ideoque
gravltas Illa non Impedit, quo minus caud^e & capita posltionem
quamcunque ad Invlcem a causls jam descrlptis, aut alils quibuscunque
faclllime acciplant & postea liberrime servent.

Caudje igltur, quae in cometarum perihelils nascuntur, in reglones
longinquas cuni eorum capltibus ablburit, & Vel inde post longam
annorum seriem cum Ilsdcm ad nos redibunt, vel potius Ibi rarefactx
paulatim evanescenL Nam postea in descensu capitum ad solem
caudx novae brevlusculse lento motu a capitlbus propagari debebunt,
& subinde in perlhellis cometarum illorum, qul ad usque atmosphieram
solis descendunt, in immensum augeri. Vapor enim in spatlls
Illis liberrimis perpetuo rarescit ac dilatatur. Qua ratione fit ut
cauda omnis ad extremitatem superiorem latlor sit quam juxta caput
cometa:. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dllatatum
dlffundi tandem & spargi per coelos universos, deinde paulatim in
planetas per gravitatem suam attrahi. & cum eonim atmosph^eris
mlscerl ratloni consentaneum videtur. Nam quemadmodum marla ad
constitutionem terrre hujus omnlno requlruntur, Idque ut ex iis per
calorem solls vapores copiose satis excitentur, qui ve! in nubes coacti
decidant in pluvils, & terram omnem ad procreatlonem vegetabllium
Irrigent & nutriant ; vel in frigidis inontlum verticibus condensati
(ut allqui ciim ratione phllosophantur) decurrant in fontes &
flumina : sic ad conservatlonem marlum & humonim in planetis
requiri videntur cometa;, ex quorum exhalatlonibus & vaporibus
condensatls quicquid liquorls per vegetationem & putrefactionem
consumitur & in terram aridam convertltur continuo suppleri & refici
possit Nam vegetabilla omnia ex liquoribus omnino crescunt, dein
magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt, & llmus
ex llquoribus putrefactls perpetuo decidit. Hlnc moles terne arid^e
indles augetur, & liquores. nlsi aliunde augmentum sumerent,
perpetuo decrescere deberent ac tandem deficere. Porro suspicor
splritum illum, qui atiris nostri pars minima est sed subtilissima &

5i6 DE MVNDI SYSTEMATE

optima & ad rerum omnium vitam requiritur, ex cometis pitecipue
venire,

AtmosphaenE cometarum in descensu eorem in solem excurrendo
in caudas dlminuuntur, & (ea certe in parte qux solem respicit)
angustiores redduntur : & vicissim in recessu eorum a so!e, ubi jam
minus cxcurrunt in cauJas, ampliantur ; si modo phsnomena eorum
Hcvdius recte notavit. Minlmx autem apparent, ubi capita jam
modo ad solem calefacta in caudas maxlmas & fulgenlisslmas abiere.
& nuclel fumo fcrsan crassiore & nigriore in atmosph^eranim partibus
infimis clrcundantur, Nam fumus omnis ingenti calore cxcitatus
crassior & nlgrlor esse soleL Sic caput cometce, de quo egimus,
in xqualibus a sole ac terra distantlis obscurius apparuit post
perihelium suum quam antea. Mense enim Dccembri cum stellis
tertise magnitudinis conferri solebat, at mense Novenibri cum stellis
prima; & secundae. Et qtii utrumque viderant, majorem describunt
cometam prlorem, Nam juveni cuidam Cantabrigiensi, Novcm. ig,
cometa hlcce luce sua qLiantumvIs pliimbea & obtusa eequabat Spicam
Virginis, & clarlus micabat quam postex Et Monlamj-o Nov.
20 st. vet. cometa apparebat major stellis primae magnltudinis,
existente cauda duorum graduum longltudlnis. Et D. Storer llteris,
qus in manus nostras incidere, scripsit caput ejus mense Deccmbri,
ubi cauJam maximam &; fulgentissimam emittebat. parvum esse &
magnltudine visibili longe ccdere cometx, qui mense Novembri ante
solis ortum appanaerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur,
quod materia capitis sub initio copiosior esset, & paulatim consu-
meretur.

Eodem spectare vldetur, quod capita cometarum aliorum, qui cau-
das maximas & fulgenlissimas emiserunt, apparuerint subobscura &
exigua. Nam anno 1668 Mart. 5 st. nov. hora septima vespertina
R. P. Valenlinus Eslancius, BrasilicE agens, cometam vidit horizonti
proximum ad occasum solis brumalem, capite mlnimo & vix conspicuo
cauda vero supra modum fulgente, ut stantes in Ilttore speciem
ejus e marl reilexam facile cernercnt. Speciem utique habebat
trabis splendentls iongitudine 23 graduum, ab occidente in austrum
vergens, & horlzonti fere parallela. Tantus autem spJcndor
tres solum dies durabat, subinde notabiliter dccrescens ; & interea
dccrescente spiendore aucta est magnitudine caudx Unde etiam in

LIBER TERTIUS.

517

Lusilania quartam fere cceli partem (id est, gradus 45) occupasse
dicitur ab occidente in orientem splendore cum iiisigni protensa ;
nec tamen tota apparuit, capite scmper in his regionibus infra
horizontem dehtesccnte. Ex incremento caudie & decremento
splendoris manifestum £St, quod caput a sole recessit, eique proxi-
mum fuit sub initio, pro more cometse anni 1680. Et in chronico
Saxonico similis legitur cometa anni 1 106, cujt4s stella erat parva
& obscnra (ut ille anni 16S0) sed splendor qui ex ea exivit valde
clariis & quasi ingens trabs ad orientem & aquilonent tendebal, ut
habet etiani Hcvclins ex Simeone Dunelmensi Monacho. Apparuit
initio mensis Pebruarii, ac delnceps circa vesperam, ad occasum
solis brumalem. Inde vero & ex situ caud^e colligitur caput fuisse
soli vicinum, A sole, inquit Mattliceus Parisicusis, distabat quasi
cubito uno, ab hora tertia [rcctius sexta] nsque ad horam nonam
radium cx se longiim entittens. Talis ctiam erat ardentissimus ille
cometa ab Aristotele descriptus lib. 1. Meteor. 6. cujus caput pri~
mo die non coyispecttim est, co guod ante solcm vcl saltem sub radiis
solaribtts ocddisset, sequatte vero die qttantitm potuit visum es/. Nam
quam mininta Jieri potest distantia solem rcliqnit, & mox occubitit.
Ob nimium ardorem [caud^e scilicet] nondum apparebat capitis spar-
sus ignis, sed procedettte tempore (ait Aristoteles) cum [cauda] jam
minus/lagraret, reddita est [capiti] cometcr sua fades. E( sple^idorem
stium ad tertiam iisque cceli partcm [id est, ad 60*'*] extendit.
Appariiit attlem tempore hyberno [an. 4. olymp, 101] <S' ascendcns
usque ad cingultim Orionis ibi evanuit. Cometa ille anni 1618, qui
e radiis solaribus caudatissimus emersit, stcllas primEe magnitudinis
iequare vel paulo superare videbatur, sed majores apparucre cometre
non pauci, qui caudas breviores habuere. Horum aliqul Jovenv, alii
Venerem vel etlam lunam a:quasse traduntur.

Dlximus cometas csse genus planetarum in orbibus valde eccentri-
cis circa solem revolventium. Et qucmadmodum e planetis non
caudatis minorcs esse solent, quj in orbibus minoribus & soli propio-
ribus gyrantur, sic etiam cometas, qui in perihcliis suis ad solem
propius accedunt, ut plurimum minores essc, ne solem attractione
sua nimis agitcnt, rationi consentaneum videtur. Orbium vero
transvcrsas diamctros & revolutionum tempora periodica, ex collatione
cometarum in jisdem orbibus post longa temporum intervalla rede-

untium, determinanda relinquo.
sequens lumen accendere potest.

DE MUNDI SYSTEMATE

Interea huic negotio propcsitio

PROPOSITIO XLII. FROBLEMA XXIL

Inventam comcta: trajcctoriam corngcre.

Operatio i. Assumatur posillo plani trajectorias, per propositi-
onem superiorem inventa ; & seligantur tria loca comet£e obser-
vationibus accuratissimis deBnita & ab invicem quam maxime
distantia ; sitque A tempus inter primam & secundam. ac B tempus
inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in
perig^o versari convenit, vel saltcm non longe a pcrigieo abesse. Ex
his locis apparentibus inveniantur, per operationes trigonometricas,
loca tria vera cometas in assumpto illo plano trajectoriie. Deinde per
loca illa inventa, circa centnim solis ceu umbilicum, per operatio-
nes arithmeticas ope prop. xxi lib. i institutas, describatur sectio
conica : & ejus area;, radiis a sole ad loca inventa ductis terminatre,
sunto D & E ; nempe D area inter observationem primam & secun-
dam, & E area inter secundam ac tertiam, Sitque T tempus toium,
quo area tota D + E velocitate cometx per prop. xvi lib. i inventa
describi debet,

Opcr. 2. Augeatur longitudo nodorum plani trajectoris, additis ad
longitudinem illam 3o' vel 30', qua; dicantur P ; & servetur plani
illius inclinatio ad planum ecliptica;. Deinde ex pra^dictis tribus
comets locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera
ut supra : deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejusdem
arese dux inter observationes descriptx qus sint d & e, nec non
tempus totum / quo area tota d+e describi debeat.

Opcr. 3. Servetur longltudo nodonim In operatione prima, &
augeatur inclinatio plani trajcctori^e ad planum eclipticae, additis ad
inclinationem illam 20' vel 30', qu£e dicanlur Q. Deinde ex obser-
vatis prsdictis tribus cometa; locis apparentlbus inveniantur in hoc
novo plano loca tria vera, orbisque per loca illa transiens ut &
ejusdem area: dua; inter observatloncs descriptae quse sint ^ & «. &
tempus totum t quo area tota S+e describi debeat.

LIBER TERTIUS.

519

Jam.sit C ad i ut A ad B, & G ad i ut D ad E, &^ad i wtd
ad ^, & 7 ad i ut 5 ad e ; sitque S tempus verum inter observationem
primam ac tertiam; & signis + & — probe observatis quserantur
numeri m & n qb, lege, ut sit 2 G — 2 C=:m G-^m£'+ nG — n y.
& 2 T — 2 S aequale mT — m^+nT — nT. Et si in operatione
prima I designet inclinationem plani trajectoriae ad planum eclip-
ticae & K longitudinem nodi alterutrius, erit 1 + n Q vera inclinatio
plani trajectoriae ad planum eclipticae & K + m P vera longitudo
nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quan-
titates R, r & /t> designent latera recta trajectoriae, & quantitates

— > ^» - ejusdem latera transversa respective : erit K + m r-^m R

+ » /t> — « R verum latus rectum, &

L+w/ — wL+;fX — «L

verum latus transversum trajectoriae quam cometa describit Dato

autem latere transverso datur etiam tempus periodicum cometae.

Q.E.I. . . V

Caeterum cometarum revolventium tempora periodica & orbium
latera transversa haud satis accurate determinabuntur, nisi per col-
lationem cometarum inter se, qui diversis temporibus apparent. Si
plures cometae, post aequalia temporum intervalla, eundem orbem
descripsisse reperiantur, concludendum erit hos omnes esse unum &
eundem cometam, in eodem orbe revolventem. Et tum demum ex
revolutionum temporibus dabuntur orbium latera transversa, & ex his
lateribus determinabuntur orbes elliptici.

In hunc finem computandae sunt igitur cometarum plurium trajec-
toriae, ex hypothesi quod sint parabolicae. Nam hujusmodi trajectoriae
cum phaenomenis semper congruent quamproxime. Id liquet, non
tantum ex trajectoria parabolica cometae anni 1680, quam cum obser-
vationibus supra contuli, sed etiam ex ea cometae illius insignis, qui
annis 1664 & 1665 apparuit & ab Hevelio observatus fuit Is ex
observationibus suis longitudines & latitudines hujus cometae com-
putavit, sed minus accurate. Ex iisdem observationibus Halleius
noster loca cometae hujus denuo computavit, & tiim demum ex locis
sic inventis trajectoriam cometae determinavit Invenit autem ejus
nodum ascendentem in n 21^- 13' 55'', inclinationem orbitae ad
planum eclipticae 2i«'- 18' 40'', distantiam perihelii a nodo in orbita

520

DE MUNDI SYSTEMATE

49^ 27' 30". Perihelium in £i S"^* 40' 30" cum latitudine austrina
heliocentrica i6^- i' 45''. Cometam in perihelio Novem, 24*^ 1 1**- 52'
p.m. tempore sequato Londini, vel 1 3**- 8' Gedani, stylo veteri, & latus
rectum parabolae 410286, existente mediocri terrae a sole distantia
1 00000. Quam probe loca cometae in hoc orbe computata congruunt
cum observationibus, patebit ex tabula sequente ab Halleio supputata.

Temp. Appar.
Gedani^ st. vct.

Decemb. ,

3<i- 1^^ 29.}

4 18 il

7 17 48

17 14 43

19 9 25

20 *9 53^

21

9\

22

26 7 58

27 6 45

28 7 39

31 6 45

7a«. 1665.

7 7 37t

13

24 7 29

7 8 37

22 8 46

Mar.

T 8 16

8 37

Observata Comettt distantia.

Loca obsen>ata.

2l Corde Leonis
a Spica Virginis

//

V- /

46 24 20
22 52 JO '

Long. ^
\jbX. aust.

g»-- /

7 I
21 39

//
o

a Corde l^onis
a Spica Virginis

a Corde Leonis
a Spica Virginis

46 2 45
23 52 40

Long. ^
Lat. aust

16 15
22 24

o
o

a Corde Leonis

ab Hura. Orionis dext.

44 48 o
27 56 40

"53 15 15

45 43 30

Long. ^
Lat. aust

360
25 22 o

a Procyone

a Lucid. Mandib.

Ceti

35
52

13

56

49
4

50
0

a Procyone

a Lucid. Mandib.

Ceti

40
40

0
0

ab Hum. dext Oi
a Lucid. Mandib.

•ionis
Ceti

rionis
Ceti

26

29

29
20

21
28

47
29

25
0

ab Hum. dext Oi
a Lucid. Mandib.

0
30

a Lucida Arietis
ab Aldebaran

23
26

20
44

0
0

a Lucida Arietis
ab Aldebaran

20
28

45
10

0
0

a Lucida Arietis
a Palilicio

18
29

29
37

0
0

a Cing. Androra.
a Palilicio

30
32

48
53

10
30

a Cing. Androm.
a Palilicio

25
37

II

12

0
25

a Capite Androm.
a Palilicio

28 7

38 55
20 32

40 5

10
20

0

a Cing. Androm.
a Palilicio

Long. fl,
Lat. aust.

2 56
49 25

o
o

Long. n
Lat aust

20 40 30
45 48 o

Long. n
Lat aust

13 3

39 54

o
o

Long. n
Lat. aust

2 16

ZZ 41

o
o

Long. b
Lat aust.

24 24
27 45

o

o

Long. b
I^t aust

9 o
12 36

o
o

Long. b
Lat. aust.

7 5
10 23

40
o

Long. b
Lat aust

5 24 45
8 22 50

Long. b
Lat aust

2 7 40
4 13 o

Long. ^^
Lat. bor.

28 24 47
o 54 o

Loca compu'
tata in (Jrbe.

V'

//

7 I 29

21 38 50

: 6 16 5
22 24 O

— 3 7 33
25 21 40

U 2 56 o
49 25 ^

1128 43 o
45 46 o

n 13

39

S o
53 o

27 52
23 37

Long. 'T 27
Lat. bor. 3

6 54
6 50

Long. T
Lat. bor.

26 29 15
5 25 50

Long. T
Lat bor^

Long. T
Lat. bor.

27
7

4
3

46
29

28 29 46
812 36

Long. «"P
Lat bor.

29 18
8 36

»5
26

I^ng. b
Lat. bor.

o 2 48
8 56 30

a8 50
26 o

2 42

56 56

LIEER TERTJUS.

521

Mense Fcbntarw anni ineuiitis 1665 stella prima Arielis, quam in
sequentibus vocabo 7, erat in r,^ ^S*^- 30' 15" cum latitudine boreali
■j^'- 8' 58". Sccuncla Arietis erat in 'i' i<^^- 17' 18" cum latitudine
boreali 8^- 28' 16". Et stella qua;dam alia septimse magnitudinis,
quam vocabo A, erat in 'p 28^' 24' 45" cum latitudine boreali
%"■ 28' 33". Cometa vero Feb. "j^ 7' 30" Parisiis (id est Feb.
^A. g' 27" Geciani) st vet trianguluni constituebat cum stellis
illis y 8i. A rectangulum ad y. Et distantia cometa; a stella y arqualis
erat distantia; stellarum y Sl A,\d est i*'- 19' 46" in circulo magno,
atque ideo ea erat i*'- 20' 26" in parallelo latitudinis stellae y.
Quare sj de longitudine stellae 7 detrahatur longitudo i" 20' 26",
manebit longitudo cometEe fp 2 7«^' 9' 49". Ausoutius ex hac
sua observalione cometam posuit In rr 27"* o' circiter. Et ex
schemate, quo Hookius motum ejus delineavit, is jam erat in
ff 26^ 59' 24". Ratione mediocri posui eundcm in '^ 27*^ 4' 46".
Ex cadem observatione Aitzoutiits latitudinem cometx jam posuit
■j^- & 4' vel 5' boream versus. Eandem rectius posuisset ^*"' 3' 29",
cxistcntc scilicct differentia latitudinum cometa & stell^ 7 aequali
diffcrentite longitudinum stcllarum 7 & A.

Fcb. 22^- •p- 30' Londini, id est Fcb. 22^- %^- 46' Gedani, distantia
cometa; a stella ^, juxta observationcm Hookii a seipso in schemate
delineatam, ut & juxta observationes Aiizoutii a Petito in schemate
delineatas, erat pars quinta distantis inter stellam A & primam arietis,
seu 15' 57". Et distantia comets a linea jungente stellam A &
primam Ari,etis erat pars quarta ejusdem partis quintas, id est 4',
Ideoque cometa erat in 'C 28*'- 29' 46", cum lat. bor. 8*" 12' 36".

Marl. i**- f'- o' Londini, id est Afart. i'' S''- 16' Gcdani, cometa
observatus fuit prope secundam Arietis, existente distantia inter
eosdem ad distantiam inier primam & secundam Arietis, hoc est ad
1^' 33'. ut 4 ad 45 secundum Hoohum, vel ut 2 ad 23 secundum
Gottignies. Unde distantia cometie a secunda Arielis erat 8' 16"
secundum Hoolcium, vel S' 5" secundum Cotlignies, vel ratione
mcdiocri 8' 10". Cometa vero secundum Gottigtiies jam modo
prxtergressus fuerat secundam Arietls quasi spatio quarts vel quintae
partis itineris uno die confccti, id est i' 35" circiter (quocum
satis consentit Auzoutius) vcl pauio minorem secundum Hookium,
puta i'. Quare si ad longitudlncm prims Arietis addatur 1', & ad

522

DE MUNDl SVSTEMATE

latitudinem ejus 8' lo", habebitur longitudo cometae T 29"- 18', &
latitudo borealis S*' 36' 26".

Mart. 7'' f- 30' Parisiis (id est Mari. -j^- S"^ 37' Gedani) ex
observationibus Auzoutii distantia cometa: a secunda Arietis jequalis
erat distantise secundEc Arietis a stella A, id est 52' 29". Et
differentia longitudinum comets & secundse Arietis erat 45' vel 46',
vel ratione mediocri 45' 30". Ideoque cometa erat in t o*' 2' 48".
Ex schemate observationum Auzoutii, quod Pctitus construxit,
Hevelius deduxit latitudinem comet^e S*'- 54'. Sed sculptor viam
cometae sub finem motus ejus irregulariter incurvavit, & Hei'eiius in
schemate observationum Autouiii a se constructo incurvationem
irregularem correxit, & sic latitudinem cometa; fccit esse 8^'- 55'
30". Et irregularitatem paulo magis corrigendo, latitudo evadere
potest S*"' 56', vel 8'='- 5 7'.

Visus etiam fuit hic comela MartH die g, & tunc locari debuit
in b o^' 1 8', cum lat, bor. g*'* 3'j circiter.

Apparuit hic cometa menses tres signaque fere sex descripsit &
uno die gradus fere viginti confecit, Cursus ejus a circulo maximo
plurimum defiexit, in boream incurvatus ; & motus ejus sub finem
ex retrogrado factus est dlrectus. Et non obstante cursu tam
insolito, theoria a principio ad finem cum observationibus non minus
accurate congruit, quam theori^e planetarum cum eorum obser\fa-
tionibus congruere solent, ut inspicienti tabulam patebiL Subducenda
tamen sunt minuta duo prima circiter, ubi conieta velocissimus
fuit ; id quod fiet auferendo duodecim mlnuta secunda ab angulo
inter nodum ascendentem & perihelium, seu constituendo angulum
illum 49*'- 27' 18". Cometa; utriusque (& hujus & superioris)
parallaxis annua insignis fuit, & inde demonstratur motus annuus
terrEc in orbe magno.

Confirmatur etiam theoria per motum cometje, qui apparuit anno
1683. HIc fuit retrogradus in orbe, cujus plamim cum plano eclipticse
angulum fere rectum continebat. Hujus nodus ascendens (compu-
tante Halleio) erat in nj 23*=*- 23'; inclinatio orbit^e ad eclipticam 83"'*
n'; perihelium in n 25*^' 29' 30"; distantia perihelia a sole 56020,
existente radio orbis niagni looooo & lemporc perihelii ynlii 3* -^
50'. Loca autem comets in hoc orbc ab Halleio computata, & cum
locis a Flamstcdio observatis collala, exlnbentur in tabula sequente.

LIBER TERTIUS.

523

1683

1

Locus Solis,

ConutiE

Lat. Bor.

Cometa

Lat. Bor.

Differ,

Differ,

Temp, Aiquat

Long. Comp.

Comp,

Long, Obs.

Observ,

Long.

<L h. /

Pt / //

V' / //

«T' / //

V' / //

gr- / //

1 //

/ "

Jul. 13 12 55

a I 2 30

2Z313 5 42

29 28 13

02513 6 42

29 28 20

+ 1 0

+0 7

15 11 15

2 53 12

II 37 48

2934 0

II 39 43

29 34 50

+ 1 55

+050

17 10 20

4 45 45

10 7 6

29 33 30

10 8 40

2934 0

+1 34

+030

23 13 40

10 38 21

5 10 27

28 51 42

5 II 30

28 50 28

+ 1 3

— I 14

25 14 5

12 35 28

3 27 53

24 24 47

3 27 0

28 23 40

053

— I 7

31 942

18 9 22

1127 55 3

26 22 52

n27 54 24

26 22 25

039

0 27

31 1455

18 21 53

27 41 7

26 16 57

27 41 8

26 1450

+0 I

—2 7

Aug, 2 14 56

20 17 16

25 29 32

25 16 19

25 28 46

25 17 28

— 0 46

+1 9

4 1049

22 2 50

23 18 20

24 1049

23 16 55

24 12 19

I 25

+ 1 30

6 10 9

23 56 45

20 42 23

2247 5

20 40 32

2249 5

I 51

-|-2 0

9 10 26

26 50 52

16 7 57

20 637

16 5 55

20 6 10

—2 2

— 0 27

15 14 1

^ 2 47 13

3 3048

II 37 33

3 26 18

II 32 I

—430

—5 32

16 15 10

348 2

043 7

93416

041 55

93413

I 12

—0 3

18 15 44

5 45 33

«2452 53

511 15

Amtr,

« 24 49 5

5 911

Atistr.

-348

—2 4

22 1444

9 35 49

II 7 14

5 1653

11 7 12

5 i6'5o

— 0 2

—0 3

23 15 52

10 36 48

7 2 18

817 9

7 I 17

8 16 41

— I I

0 28

26 16 2

13 31 10

T2445 31

1638 0

T2444 0

16 38 20

I 31

-|-o 20

Confirmatur etiam theoria per motum cometae retrogradi, qui
apparuit anno 1682. Hujus nodus ascendens (computante Halleid)
erat in b 21«' 16' 30''. Inclinatio orbitae ad planum eclipticae 17^*
56' o". Perihelium in 5S: 2^"- 52' 50''. Distantia perihelia a sole
58328, existente radio orbis magni looooo. Et tempus aequatum
perihelii Sept, ^' f^ 39'. Loca vero ex observationibus Flamstedii
computata, & cum locis per theoriam computatis coUata, exhibentur
in tabula sequente.

1

1682

Temp. Appar.

Locus Solis,

Cometa
Long. Comp.

Lat. Bor,
Comp.

Cometa
Long. 'Obs.

Lat. Bor.
Observ.

Differ.
Long.

Differ.
Lat.

d. h- /

V' 1 ti

gr. / i,

V» 1 M

^' * 0

gr- / i»

/ M

/ M

^w^. 19 16 38

Tll 7 0 7

ai8 14 28

25 50 7

^t8 1440

25 4955-012

-|-0 12

20 15 38

7 55 52

24 46 23

26 14 42

24 46 22

26 12 52 -|-0 I

+ 1 50

21 8 21

836 14

2937 15

26 20 3

29 38 2

26 17 37

-047

-|. 2 26

22 8 8

9 33 55 ^ 6 29 53

26 8 42

TT5 630 3

26 712

— 010

+ 1 30

29 8 20

16 22 40 ^\2 37 54

18 37 47

:ii:l2 37 49 18 34 5

+ 0 5

+ 342

30 7 45

17 1941

15 36 I

17 26 43

15 35 18

17 27 17

+ 043

— 034

Scpt. I 7 33

19 16 9

20 30 53

15 13 0

20 27 4

15 9 49

+ 3 49

+ 3 II

4 7 22

22 II 28

25 42 0

12 23 48

25 40 58

12 22 0

+ 1 2

+ 148

5 7 32

23 10 29

27 0 46

11 33 8

26 59 24

II 33 51

-|- I 22

— 043

8 7 16

26 558

29 58 44

9 26 46

29 58 45

9 26 43',— 0 I

+ 0 3

9 7 26

27 5 9 "l 0 44 10

8 49 10 n\^ 0 44 4

848251-1-0 6

+ 045

Confirmatur etiam theoria per motum retrogradum cometae, qui

524

DB MUNDI SYSTEMATE

^

apparuit anno 1723. Hujus nodus ascendens (computante D. Brad-
lco, astronomi^ apud Oxonicitses ^XQi{(i^^or& Saviliano) erat in '1' 14*'*
16'. Inclinatio orbita: ad planum eclipticze 49^- 59'. Perihelium
in a \2^' 15' 20". Distantia perihelia a sole 998651, existente
radio orbis magni loooooo, & tempore jequato perihelii Seplem.
i6''' 16*^ 10'. Loca vero cometre in hoc orbe a Bradleo computata,
& cum locis a seipso & patruo suo D. Poundio & a D. Halldo
observatis collata exhibentur in tabula sequente.

'7*3

Camrl. Ijmg.

Za/. Si.»-.

Cemet. Lens.

Lat. Bar.

Dilfir.

niffir.

Ti«F. ^^l.

Ob!en.at.

Oliscrvat.

Ccm/nit.

ComfiU.

lS,s.

ziti,.

Odob. \i 5

-; ,i ,-5

5 '2 '0

=:7 21 26

S 2 4'?

+ 4*9

- 47

10 6 21

6 41 "

7 +4 13

6 41 42

J 43 18

- S°

+ 55

12 7 22

5 39 58

" 55 °

5 40 19

■1 54 55

+ 5

.4857

4 59 49

14 43 5°

5 0 37

14 44 I

; 48

— 11

■5 6 35

4 47 41

15 40 5'

4 47 45

■S 4" 55

- 4

— 4

21 6 22

4 2 32

19 41 49

4 2 21

19 42 3

+ >>

— 14

22 6 24

3 59 2

20 8 12

3 59 '«

2o 8 17

_ 8

— 5

24 S 2

3 55 "9

20 55 18

3 55 11

20 SS 9

+ -8

+ 9

29 S 56

3 56 '1

22 20 27

3 5<5 42

- 25

+ «7

30 6 20

3 58 9

22 32 28

358 .7

22 32 12

- 8

+ •'

Nm. 5 5 53

4 iG 3°

23 38 33

4 t6 23

23 38 7

+ 7

+ '6

S 7 6

4 29 36

24 4 30

4 29 54

24 4 40

_ iS

— 10

,4 6 20

5 2 .6

24 48 4IS

5 2 51

24 48 16

- 35

+ 3"

20 7 43

5 42 20

25 24 45

5 43 13

25 25 17

- 53

— 3«

Dtc 7 6 45

8 4 .3

26 54 18

8 3 55

26 53 42

+ is

+ 3'

His exemplis abunde satis manifestum est, quod motus cometa-
rum per theoriam a nobis expositani non minus accurate e.\hibentur,
quam solent motus planetarum per corum theorias. Et propterea
orbes cometarum per hanc theoriam enumerari possunt, & tempus
periodicum cometae in quolibet orbe revolvcntis tandem sciri, &
tum demum orbium ellipticorum latera transversa & aphehorum
altitudines innotescent

Cometa rctrogradus, qui apparuit anno 1607, descripsjt orbem,
cujus nodus ascendens {computante Halleio) erat in b 20*'- 21';
inclinatio plani orbis ad planum echptic^e erat i^"- 2'; perihelium
erat in :s; a"'' 16'; & distantia perihelia a sole erat 58680, existente
radio orbis magni looooo. Et cometa erat in perihelio ^Of/t»^. ift-*-
j''' 50'. Congruit hic orbis quamproxime cum orbe cometx, qui
apparuit anno 1682. Si cometx hi duo fuerint unus & idem, rc-

LIBER TERTIUS.

525

volvetur hic cometa spatio annorum 75, & axis major orbis ejus erit
ad axem majorem orbis magni, ut Jc: 75x75 ad i, seu 1778 ad
100 circiter. Et distantia aphelia cometae hujus a sole erit ad distan-
tiam mediocrem terrae a sole, ut 35 ad i circiter. Quibus cognitis
haud difficile fuerit orbem ellipticum cometae hujus determinare.
Atque haec ita se habebunt si cometa spatio annorum septuaginta
quinque in hoc orbe posthac redierit. Cometae reliqui majori
tempore revolvi videntur & altius ascendere.

Caeterum cometae, ob magnum eorum numerum & magnam
apheliorum a sole distantiam & longam moram in apheliis, per
gravitates in se mutuo nonnihil turbari debent, & eorum eccentrici-
tates & revolutionum tempora nunc augeri aliquantulum, nunc di-
minui. Proinde non est expectandum ut cometa idem in eodem orbe
& iisdem temporibus periodicis accurate redeat. Sufficit si mutationes
non majores obvenerint, quam quae a causis praedictis oriantur.

Et hinc ratio redditur, cur cometae non comprehendantur zodi-
aco more planetarum, sed inde migrent & motibus variis in omnes
coelorum regiones ferantur. Scilicet eo fine, ut in apheliis suis, ubi
tardissime moventur, quam longissime distent ab invicem, & se mutuo
quam minime trahant. Qua de causa cometae qui altius descendunt,
ideoque tardissime moventur in apheliis, debent altius ascendere.

Cometa, qui anno 1680 apparuit, minus distabat a sole in perihe-
lio suo quam parte sexta diametri soHs ; & propter summam velo-
citatem in vicinia illa & densitatem aliquam atmosphaerae solis,
resistentiam nonnuUam sentire debuit & aliquantulum retardari &
propius ad solem accedere : & singulis revolutionibus accedendo
ad solem incidet is tandem in corpus solis. Sed & in aphelio, ubi
tardissime movetur, aliquando per attractionem aliorum cometarum
retardari potest, & subinde in solem incidere. Sic etiam stellae
fixae, quae paulatim expirant in lucem & vapores, cometis in ipsas
incidentibus refici possunt, & novo alimento accensae pro steUis
novis haberi. Hujus generis sunt stellae fixae, quae subito apparent,
& sub initio quam maxime splendent, & subinde paulatim evanescunt.
Talis fuit stella in cathedra Cassiopeiae quam Corftelius Getnfna octavo
Noventbris 1572 lustrando illam coeli partem nocte serena minime
vidit ; at nocte proxima {Novem. 9) vidit fixis omnibus splendidio-
rem, & luce sua vix cedentem Veneri. Hanc Tyclio Brahceus vidit

526 DE MUNDI SYSTEMATE

undecimo ejusdem mensis ubi maxime splenduit ; & ex eo tempore
paulatim decrescentem & spatio mensium sexdecim evanescenteni
observavit Mense Novembri, ubi primum appaniit, Venerem luce
sua sequabat. Mense Decembri nonnihil diminuta Jovem sequare
videbatur. Anno 1573 mense yanuario minor erat Jove & major
Sirio, cui in fine Febriiarii & AlartH initio evasit sequalis. Mense
Aprili & Maio stellis secundze magnitudinis, y«nio, yulio & Augusto
stellis tertix magnitudinis, Scptembri, Octobrt & Movembri stdiis
quartae, Decembri & anni 1574 mense yanuario stellis quintx, &
mense Febriiario stelHs sextae magnitudinJs aequalis videbatur, &
mense Martio ex oculis evanuit. Color illi ab initio clarus, albicans
ac splendidus, postea flavus, & anni 1573 mense Martio rutilans instar
Martis aut stellie Aldebaran ; Maio autem albitudinem sublividam
induxit, qualem in Salurno cernimus, quem colorem usque in finem
servavit, semper tamen obscurior facta. Talis etiam fuit stella in
dextro pede Serpentarii, quam Kcpleri discipuli anno 1604 die 30
Septembris st. veL apparere ccepisse observarunt & luce sua stellam
Jovis superasse, cum nocte prrecedente minime apparuisset. Ab eo
vero tempore paulatim decrevit, & spatio mensium quindecim vel
sexdecim ex oculis evanuit Tali etiam stella nova supra modum
splendente Hipparchus ad fixas observandas & in cataloffum refe-
rendas excitatus fuisse dicitur. Sed fixse, qus per vices- apparent
& evanescunt, qusque paulatim crescunt, & luce sua fixas tertiK
magnitudinis vix unquam superant, videntur esse generis alterius.
& revolvendo partem lucidam & partem obscuram per vices osten-
dere. Vapores autem, qui ex solc & stellis fixis & caudis cometa-
rum oriuntur, incidere possunt per gravitatem suam in atmosphBcras
planetarum & ibi condensari & converti in aquam & spiritus humidos.
& subinde per lontum calorem in sales & sulphura & tincturas &
limum & lutum & argillam & arenam & lapides & coralla &
substantias alias terrestres paulatim migrare.

SCHOLIUM GENERALE,

Hypothesis vorticum multis premitur difficultatibus. Tlt olaned
unusquisque radio ad solem ducto areas describat temoori tivcr
portionalcs, tempora periodica partium vorticis deberent eqse in
dupllcala ratione distantiarum a sole. Ut periodica planetanim tem-

LIBER TERTIUS.

527

pora sint in proportione sesquiplicata distantiarum a sole, tempora
periodica partium vorticis deberent esse in sesquiplicata distantiarum
proportione. U t vortices minores circum Saturnum, Jovem & alios
planetas gyrati conserventur & tranquille natent in vortice solis,
tempora periodica partium vorticis solaris deberent esse aequalia.
Revolutiones solis & planetarum circum axes siios, quae cum
motibus vorticum congruere deberent, ab omnibus hisce proportioni-
bus discrepant. Motus cometarum sunt summe regulares, & easdem
leges cum planetarum motibus observant, & per vortices explicari
nequeunt. Feruntur cometae motibus valde eccentricis in omnes
coelorum partes, quod fieri non potest nisi vortices tollantur.

Projectilia in aere nostro solam aeris resistentiam sentiunt.
Sublato aere, ut fit in vacuo Boyliano, resistentia cessat, siquidem
pluma tenuis & aurum solidum aequali cum velocitate in hoc vacuo
cadunt. Et par est ratio spatiorum coelestium, quae sunt supra
atmosphaeram terrae. Corpora omnia in istis spatiis liberrime moveri
debent ; & propterea planetae & cometae in orbibus specie & positione
datis secundum leges supra expositas perpetuo revolvi. Persevera-
bunt quidem in orbibus suis per leges gravitatis, sed regularem orbium
situm primitus acquirere per leges hasce minime potuerunt.

Planetae sex principales revolvuntur circum solem in circulis soli
concentricis, eadem motus directione, in eodem plano quamproxime.
Lunae decem revolvuntur circum Terram, Jovem & Saturnum in
circulis concentricis, eadem motus directione, in planis orbium
planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem
non habent ex causis mechanicis ; siquidem cometae in orbibus valde
eccentricis, & in omnes coelorum partes libere feruntur. Quo
motus genere cometae per orbes planetarum celerrime & facillime
transeunt, & in apheliis suis, ubi tardiores sunt & diutius morantur,
quam longissime distant ab invicem, ut se mutuo quam minime
trahant. Elegantissima haecce solis, planetarum & cometarum
compages non nisi consilio & dominio entis intelligentis & potentis
oriri potuit. Et si stellae fixae sint centra similium systematum,
haec omnia simili consilio constructa suberunt Unius dominio :
praesertim cum lux fixarum sit ejusdem naturae ac lux solis, &
systemata omnia lucem in omnia invicem immittant Et ne fixarum
systemata per gravitatem suam in se mutuo cadant, hic eadem
immensam ab invicem distantiam posuerit

Hic omnia rc^it non ut anima mundi. sed ut universorum

dominus. Et propter dominium suum, dominus
,,;J1^ ^'^^•''^""^ dcus Tlai^ar/xiT^o dici soleL Nam deus est

vox rclativa & ad ser\'os refertur : & deitas
tvM dominatio rlci, non in corpus proprium, uti sentiunt quibus
i\m*s c^st anima mundi, sed in scrvos. Deus summus est ens
;i:titrnijm, infmittjm, absolutc pcrfectum : sed ens utcunque perfectum
»iric dominio non cst dominus deus. Dicimus enim deus meus,
i\m^ v/jHtirr, dcus /sraelis, dcus deorum, & dominus dominorum :
^t^A non dicimuH ictcrnus mcus, aetcmus vester, aetemus Israelisy
.'irfrtrnun dr:orum ; non dicimus infinitus meus, vel perfectus meus.
Hic appollationcs relationcm non habent ad servos. Vox deus

passim ** significat dominum : sed omnis dominus

»• hui^kiu fuwtrr voccm nou cst dcus, Domlnatio entis spiritualis deum

ih (A iii irtMi oiiiiquo ifi) constituit, vera vemm, summa summum, ncta

i|i|it< iliMiilitiim nluiiKicitl. ICt r . t^. j • .• «^

hoi ..1111*11 iHiM.Tiicii vocftii. nctum. bt ex dommatione vera sequitur

yllj'*; e^^^^^^^^ ^l^""^ vcmm esse vivum, intelligentem & po-

im i/i'Wi rruiiU A,mw, A tcntcm ; cx reliquis perfectionibus summum

iv ift S vii i). Ki cudrm cssc, vcl summc pcrfcctum. -^temus est &

HiMi«iiititlmi«Mirliu-l)iummor> • ^ . . o • • • i %

iiioiuiii iiiimitmMiiDuui vo. ninnitus, omnipotcns & omnisciens, id est, durat

r-ittMiilui llll, *«M| (i\Uo piop- 1. . ^ OJ^1_»^»^»

ii.i .i.r»uhimii..miuii. iu) irtcrno m ceternum, & adest ab mnnito m

infinitum : omnia regit ; & omnia cog^oscit,
(jUir fiunt aut firri possunt. Non est aeternitas & infinitas,
Mfil •rlornus Jt infinitus ; non est duratio & spatium, sed durat
iK: adrst. Ourat sompcr, & adcst ubique, & existendo semper
i^' nbit|ut* duraliontMn & spatium constituit Cum unaqua^ue
spatii partioula sil Sf^m/*rr, & unumquodque durationis indi\-isibile
momontum //Ay//<'» cortc rorum omnium fabricator ac dominus
\\km\ oril UN^^ifUs^n:, NNStfuaM, Omnis anima sentiens di\-ersis
toinpiM'ibus» vS: in iliversis sonsuum» & motuum organis eadem
ost poiNi^iu^ inilivisibilis, Partes dantur successivai in duratione.
i\H^\islontos in s|Mtii\ noutra^ in [x^rsona hominis seu principio eius
i^nitianii^ : vS: nuihi^ minus in substantia cogitante doi. Omnis honH\
i|u,Uonus ix^s sontions, ost unus Cs: idom homo duranie vita sua in
iMunilnis v^ sinjjulis sonsuum orvjanis, Deus est unus & idcm deus
sou^piM* v^ ubiiiuo. l^^mniprxsons est non jvr rirfsiftm soJam. sed
oti.uu |HT .vArAxA*v«*;,w : nam virtus sine substaniia subsister^ nco

LIBER TERTIUS. 529

potest. In ipso^^continentur & moventur universa, ^^)^ sentiebant veteres, ut

. *- . . .• . Pythagoras apud Cueronem

sed sine mutua passione. Deus nihil patitur de Natura deorum ub. i ;

., .«« -- . Thales; Anaxagoras ; Virgi^

ex corporum motibus : illa nullam sentiunt Hus Oeorgic. m. iv v. 220,
resistentiam ex omnipraesentia dei. Deum sum- /54,^^AUegon A^.^/sib'
mum necessario existere in confesso est : Et in>tio ; ^r^ in Phaenom.

sub mitio. Ita etiam scnp-

eadem necessitate semper est & Mbigue. Unde torcs sacri ut /'««/«j in Act

. . .,. • xvii 27, 28; Johannes in

etiam tOtUS est SUl SimillS, tOtUS OCUIUS, tOtUS Evang. xlv 2; Moses in

auris, totus cerebrum, totus brachium, totus /?w pUi.^?!cxxix 7* 8,^ 9 ';
vis sentiendi, intelligendi, & agendi, sed more ^^'^i /2, ^^* nf 7^.'
minime humano, more minime corporeo, more T°\ *^i" ^\ ?ir . ^^"sr

' ^ r ' bant autem idololatne sol-

nobis prorsus incocfnito. U t caecus non habet «"^» ^""^ ^ ^stra, animas

. - *• , hominum & alias mundi

ideam colorum, sic nos ideam non habemus partes esse panes dei summi

-i ., j . ^. . .».0 & ideo colendas sed falso.

modorum, quibus deus sapientissimus sentit &
intelligit omnia. Corpore omni & figura corporea prorsus desti-
tuitur, ideoque videri non potest, nec audiri, nec tangi, nec sub specie
rei alicujus corporei coli debet. Ideas habemus attributorum ejus,
sed quid sit rei alicujus substantia minime cognoscimus. Videmus
tantum corporum figuras & colores, audimus tantum sonos, tangimus
tantum superficies externas, olfacimus odores solos, & gustamus
sapores : intimas substantias nullo sensu, nulla actione reflexa
cognoscimus; & multo minus ideam habemus substantiae dei. Hunc
cognoscimus solummodo per proprietates ejus & attributa, & per
sapientissimas & optimas rerum structuras & causas finales, & admi-
ramur ob perfectiones ; veneramur autem & colimus ob dominium.
Colimus enim ut servi, & deus sine dominio, providentia, & causis
finalibus nihil aliud est quam fatum & natura. A caeca necessitate
metaphysica, quae utique eadem est semper & ubique, nulla oritur
rerum variatio. Tota rerum conditarum pro locis ac temporibus
diversitas ab ideis & voluntate entis necessario existentis solum-
modo oriri potuit Dicitur autem deus per allegoriam videre,
audire, loqui, ridere, amare, odio habere, cupere, dare, accipere,
gaudere, irasci, pugnare, fabricare, condere, construere. Nam ser-
mo omnis de deo a rebus humanis per similitudinem aliquam
desumitur, non perfectam quidem, sed aliqualem tamen. Et haec
de deo, de quo utique ex phaenomenis disserere ad philosophiam
naturalem pertinet.

Hactenus phaenomena caelorum & maris nostri per vim gravitatis

2 I.

I I

///: MLWLf :r/::TE:jATE

9 .•;,', .1, ■."! f .\'\':.\u\ ;;r;r/it:iti'> nonflum assijjnavi. Oritur utique ha?i
n . I 'r. .1 .iIi'|m;i, /jri;f: i>^:nr;tr;it ad usquc centra solis & planetarun
»»»' /iiImIi. iljiijiijiiti/^n^! ; qii,'f:r|Uf: a^^it non pro quantitate suptrn
ihiinii |».iiiM ul.imin, in r|u;is a;(it (ut solent causse mechanicae) sec
|ii'» f|M iiiiji.iii iii.iiiii.i- \olid(r ; & cujus actio in immensas distaniisf
iiii>li'|iM I 1» iiiliiiu, il^-crrscciulo scmpcr in duplicata ratione distaT;-
h iMiiM Jii.ivii.r. in fiolcm componitur cx gravitatibus in siniT-'^^
'iilii |i.iiin iil.i'., M' rcc«-(lcii(l() a solc dccrcscit accurate in duplici:^.
I iiiMiM ili .i.inii.iium ;i(l us(|uc orl)cm Saturni, iit ex quiete aphel.:-
Miiii |i|.ini i.iiiim m.mifcstum cst, & ad iisque ultima comenr^r
•iplti li.i, M moilo .iphcli.i illa quiescant. Rationem vero hir-r
ciMiiih. pioptici.amn i*\ pluiMiomenis nondum potui deiurfr:
•'% l\\ pnilic-.c'. iuM\ iiMi^o. Cj^uiciiuid enim ex ph:enomer.:> r:*
iltiluiihn. "iv. ..V..X \ov\m\Ki ost : iS: hypotheses seu meti? '"■'?:-".
'1 w plw u.c. «.cu K|u,\!;Mtum ivo;:lt.\rum» sou mechan:c:e. in rl:.::^:' •
\ ' \vc.'.'.\ ;u^:i Iw^oiit. l:i h.ic ph:':o>opri:a r "o.*s:r : ."r?

\\\ \\\\\ \\\\\ \.\ \ \ ;*.'.» . .\^ . , .\ , . ,N, vv .v\.v. .*..%..* ^v...v. «... v.^ .. «^"^ in — ; ^r*.'- -- •

!»••.• »i.\. 1 »• ■i^ •...« V~« V ..v^. ^ - M » _ m— li^ ' \ ~ ■ " _«H , --..

• ...

A

» • 1 .

\.

\

\

■\ V.

I

f.

1

I N D E X R E R U M

ALPHABETICUS.

N. B. Citationes factcB simt ad 7iormam sequmtis exemplL III, lO: 484, 16: 514, 6
desigfiant libri tertii propositionem decimam: pagincB 484'* lineam !&"*.•
pagince $1^'' litieam ^^-

.^quinoctiorum prascessio

causse hujus motus indicantur III, 21.
quantitas motus ex causis computatur III,

39-
Aeris

densitas ad quamlibet altitudinem colligi-
tur ex prop. 22 lib. II ; quanta sit ad
altitudinem unius semidiametri terrestris
ostenditur 512, 24.

elastica vis quali causae tribui possit II, 23.

gravitas cum aquae gravitate collata 512,17.

resistentia quanta sit, per experimenta pen-
dulorum colligitur 310, 6; per experi-
menta corporum cadentium & theoriam
accuratius invenitur 355, 13.
^jiguli contactus non sunt omnes ejusdem
generis, sed alii aliis infinite minores 36,

Vpsidum motus expenditur I, sect. 9, p. 129.
I^jrese, quas corpora in gyros acta radiis ad
centrum virium ductis describunt, con-
^ fenintur cum temporibus descriptionum
I I, .1» 2, 3, 58, 65.

k^ttractio corporum universorum demonstra-
^ tur III, 7 ; qualis sit hujus demonstra-
I tionis certitudo ostenditur 388, 30.
.%tractionis causam vel modum auctor nus-
P quam definit 6, 2: 160, 18: 88, 12:
I S3o> 2.

l^apesistentia sensibili destituuntur III, 10 :
g^ 484, 16: 514, 6; & propterea fluidofere

omni corporeo 356, 19.
Hkraiisitum luci prsebent sine uUa refractione

S^®! *•
«lore virga ferrea comperta est augeri longi-

tudine 420, 25.

Calor solis quantus sit in diversis a sole dis-

tantiis 508, 25.
quantus apud mercurium 406, i.
quantus apud cometam anni 1680 in peri-

helio versantem 508, 27.
Centrum commune gravitatis corporum plu-

rium ab actionibus corporum inter se

non mutat statum suum vel motus vel

quietis p. 19.
Centrum commune gravitatis terrae, solis &

planetanim omnium quiescere III,

11; confirmatur ex cor. 2 prop. 14

lib. III.
Centrum commune gravitatis terrae & lunae

motu annuo percurrit orbem magnum

410, 16.
quibus intervallis distat a tenra & luna

469, 6.
Centrum virium, quibus corpora revolventia

in orbibus retinentur,
quali arearum indicio invenitur 43, 21.
qua ratione ex datis revolventium velocita-

tibus invenitur I, 5.
Circuli circumferentia, qua lege vis centripetae

tendentis ad punctum quodcunque datum

describi potest a corpore revolvente I,

4, 7, 8.
Cometae
genus sunt planetarum, non meteororum

484, 20 : 508, 20.
luna superiores sunt, & in regione planeta-

nim versantur p. 478.
distantia eorum qua ratione per observa-

tiones coUigi potest quamproxime 478,

penult
plures observati sunt in hemisphaerio solem

versus, quam in hemisphaerio opposito ;

& unde hoc fiat 484, 2.
splendent luce sohs a se reflexa 484, i;

lux illa quanta esse solet 481, 4.

532

INDEX RERUAf.

cingimtur atmosphaeris ingentibus 482, 6 :

484, 23.
qui ad solem propius accedunt ut plurimum

minores esse existimantur 517, 33.
quo fine non comprehcnduntur zodiaco

(more planetarum) sed in omnes coelo-

nim regiohes varie feruntur 525, 14.
possunt aliquando in solem incidere & no-

vum illi alimentum ignis praebere 525,

21.
usus eorum suggeritur 515, 19 : 526, 25.
moventur in sectionibus conicis umbilicos

in centro solis habentibus, & radiis ad

solem ductis describunt areas temporibus

proportionales. Et quidem in ellipsibus

moventur, si in orbem redeunt, hae tamen

parabolis erunt maxime finitimae III, 40.
trajectoria parabolica ex datis tribus obser-

vationibus invcnitur III, 41 ; inventa cor-

rigitur III, 42.
locus in parabola invenitur ad tempus da-

tum 485, 29 : I, 30.
velocitas cum velocitate planetarum con-

fertur4.85, 17.
Cometarum caudae

avertuntur a sole 511, 10.

maximae sunt & fulgentissimae statim post

transitum per viciniam solis 509, 15.
insignis earum raritas 513, 8.
origo& natura earundem 482, 13: 509, 19.
quo temporis spatio a capite ascendunt

Cometa annorum 1664 & 1665

hujus motus observatus cxpenditur, & cum
theoria confertur p. 519.
Cometa annorum 1680 <fe 1681

hujus motus obser\'atus p. 496; idem com-
putatus in orbe parabolico p. 500 ; & in
orbe elliptico p. 502.
trajectoria illius & cauda singulis in locis
delineantur p. 506.
Cometa anni 1682

hujus motus collatus cum theoria p. 523.
comparuisse visus est anno 1607, iterumque
rcditurus videtur periodo 75 annorum
524, 10 a fine.
Cometa anni 1683

hujus motus collatus cum thcoria p. 522.
Cometa anni 1723

hujus motus collatus cum theoria p. 523,

524-
Curvai distinguuntur in geometrice rationales

& geomctrice irrationales 107, ult

Curvatura figurarum cjua ratione aestimanda

sit 255, 14: 433, 6.

Cycloidis seu epicycloidis

rectificatio I, 4^» 49 : 154, i.
evoluta I, 50 : 154, 5.
Cylindri attractio ex particulis trahentibaJ
compositi, quarum vires sunt redproce
ut quadrata distantiarum 216, 17.

D

Dei natura p. 528, 529.

Descensus gravium in vacuo quantus sit, inci-
catur 413, 21.

Descensas vel ascensOs rectilinei spatia dc-
scnpta, tempora descriptionum & vdo-
citates acquisitae conferuntur, posia
cujuscunque generis vi centripeta I.
sect. 7.

Descensus & ascensus corporum in mediis
resistentibus II, 3, 8, 9^ 40, 13, 14.

E

EUipsis'

qua lege vis centripetae tendentis ad cfff
trum figurae describitur a corpore revol-
vente I, 10.

qua lege vis centripetai tendentis ad nm-
bihcum figune describitur a corporc re-
volvente I, 11.

Fluidi definitio p. 282.

Fluidorum densitas& compressio quas leges

habent, ostenditur II, sect c
Fluidomm per foramen iA vase factum efflu-

entium determmatur motus II ?6
Fumi in camino ascensus obitur '^plicatur

514, 20. ^

G

Gradiium in meridiano terrestri mensuni cv
hibetur & quam s,t exigiia iniequalitas
ostenditur ex theoria ITT ^^

Gravitas

divcrsi est generis a vi magnetica 403. 3.

mutua est inter terram & ejus partes «.28.

ejus causa non assignatur 530 a

datur in planetas universos \oo i?- &
pergcndo a superficiebus \,hxiM
sursum decresc.t m duplicata raiione
d.stant.arum a centro Hl, 3. deorsum
decrescit m simphci r-ifi*/^.^-. ^^

imelll.9. I "« f^fone quamprcx-

datur in corpora omnia. & proport.o.«lis
est quantitatj matena in singulis III. 7

INDEX RERUM,

533

Gravitatem esse vim illam, qua luna retine-

tur in orbe III, 4 ; computo accuratiori

comprobatur 469, 9.
Gravitatem esse vim illam, qua planetae pri-

marii & satellites Jovis & Satumi retin-

entur in orbibus III, 5.

H

Hydrostaticae principia traduntur II, sect 5.
Hyperbola
qua lege vis centrifugae tendentis a figurae
centro describitur a corpore revolvente

54, 8.
qua lege vis centrifugae tendentis ab um-

bilico figurae describitur a corpore revol-

vente 58, i.

qua lege vis centripetae tendentis ad um-

bilicum figurae describitur a corpbre re-

volvente I, 12.

Hypotheses cujuscunque generis rejiciuntur

ab hac philosophia 530, 15.

Inertiae vis definitur p. 2.
Jovis
tempus periodicum, 393, 18.
distantia a sole 393, 21.
diameter apparens 391, 5.
diameter vera 405, 22.
attractiva vis quanta sit 405, 4.
pondus corporum in ejus superficie 405, 8.
densitas 405, 24.
quantitas materiae 405, 14.
perturbatio a Satumo quanta sit 410,

5 & 6.
diametrorum proportio computo exhibetur

416, 6; & cum observationibus confer-

tur ibid. post lin. 19.
conversio circum axem quo tempore absol-

vitur 416, 2.
cingulomm causa subindicatur 48, 27.

Locus definitur, & distinguitur in absolutum

& relativum 7, i.
Loca corpomm in sectionibus conicis moto-
mm inveniuntur ad tempus assignatum
I, sect. 6.
Lucis
propagatio non est instantanea 225, 29;
non fit per agitationem medii alicujus
aetherei 372, 9.
velocitas in diversis mediis diversa I, 95.
reflexio quaedam cxplicatur I, 96.

refractio explicatur I, 94; non fit in
puncto solum incidentiae 226, 17.

incurvatio prope corpomm terminos ex-
perimentis observata 225, 32.
Lunae

corporis figura computo colligitur III, 38.

librationes explicantur III, 17.

diameter mediocris apparens 468, 31

diameter vera 469, i.

pondus corpomm in ejus superficie 469, 4.

densitas 468, penult

quantitas materiae 469, 3.

distantia mediocris a terra quot continet
maximas terrae semidiametros 469, 10 :
quot mediocres 470, 6.

parallaxis maxima in longitudinem paulo
major est quam parallaxis maxima in
latitudinem 387, 8.

vis ad mare movendum quanta sit III, 37;
non sentiri potest in experimentis pen-
dulomm, vel in staticis aut hydrosta-
ticis quibuscunque 468, 20.

tempus periodicum 469, 17.

tempus revolutionis synodicae 432, 3.

motus & motuum inaequalitates a causis
suis derivantur III, 22: p. 459 & seqq.
Luna tardius revolvitur, dilatato orbe, in peri-
helio terrae; citius in aphelio, contracto
orbe, III, 22 : 460, 2.

tardius revolvitur dilatato orbe in apogaei
syzygiis cum sole ; citius in quadraturis
apogaei contracto orbe 460, 32.

tardius revolvitur dilatato orbe in syzygiis
nodi cum sole; citius in quadraturis
nodi contracto orbe 461, 14.

tardius movetur in quadraturis suis cum
sole, citius in syzygiis ; & radio ad ter-
ram ducto describit aream pro tempore
minorem in priore casu, majorem in pos-
teriore III, 22. Inaequalitas harum
arearum computatur III, 26. Orbem
insuper habet magis curvum & longius a
terra recedit in priore casu, minus cur-
vum habet orbem & propius ad terram
accedit in posteriore III, 22. Orbis
hujus figura & proportio diametrorura
ejus computo colligitur III, 28. Et
subinde proponitur methodus inveniendi
distantiam lunae a terra ex motu ejus ho-
rario III, 27.
apogajum tardius movetur in aphelio ter-
rae, velocius in^erihelio III, 22: 460, 15.
apogaeum ubi est in solis syzygiis maxime
progreditur; in quadraturis regreditur
III, 22 : 461, 29.

534

INDEX RERUM,

eccentricitas maxima est in apogaei syzygiis

cum sole, minima in quadraturis III,

22 : 461, 31.
nodi tardius moventur in aphelio terrae,

velocius in perihelio III, 22 : 460, 15.
nodi quiescunt in syzygiis suis cum sole, &

velocissime regrediuntur in quadraturis

III, 22. Nodorum motus & inaequali-

tates motuum computantur ex theoria

gravitatis III, 30, 31, 32, 33.
inclinatio orbis ad eclipticam maxima est

in syzygiis nodorum cum sole, minima

in quadraturis I, 66, cor. 10. Inclina-

tionis variationes computantur ex theoria

gravitatis III, 34, 35.
Lunarium motuum aequationes ad usus astro-

nomicos p. 459, & seqq.
Motus medii lunae

aequatio annua 459, ult.

aequatio semestris prima 460, 32,

aequatio semestris secunda^^i, 14.

aequatio centri prima 462, 15: p. 109,
& seqq.

sequatio centri secunda 463, 12.
Lunae variatio prima III, 29.
Motus medii apogsei

aequatio annua 460, 15.

aequatio semestris 461, 29.
Eccentricitatis

aequatio semestris 461, 29.
Motus medii nodorum

aequatio annua 460, 15.

aequatio semestris III, ^^,
IncHnationis orbitae ad ecUpticam

aequatio semestris 459, 22.
Lunarium motuum theoria, qua methodo

stabilienda sit per observationes 464, i.

M

Magnetica vis 25, 23 : 293, antepen. : 403,

3: 47^20^
Maris acstus a causis suis derivatur III, 24,

36, 37-
Martis

tempus periodicum 393, 18.

distantia a sole 393, 21.

aphehi motus 411, 8.
Materiae

quantitas definitur p. i,

vis insita seu vis inertiae definitur p. 2.

vis impressa definitur p. 2.

extensio, durities, impcnetrabilitas, mobili-
tas, vis inertiae, gravitas, qua ratione in-
notescunt 387, penult: 530, 17.

Materia subtilis Cartesiatwrum ad examen

quoddam revocatur 316, 4.
Mechanicae, quae dicuntur, potentiae explican-
tur & demonstrantur p. 15 & 16 : p. 26.
Mercurii
tempus periodicum 393, 18.
distantia a sole 393, 21.
aphelii motus 411, 8.
Methodus
rationum primarum & ultimarum I, sect i.
transmutandi figuras in alias, quae sunt ejus-
dem ordinis analytici I, lem. 22, pag. 87
fluxionum II, lem. 2, p. 243.
differentialis III, lem. 5 & 6, p. 486 & 487.
inveniendi curvarum omnium quadraturas

proxime veras 487, 16.
serierum convergentium adhibetur ad solu-
tionem problematum difficiliorum p. 137,
139, 221, 255, 449.
Motus quantitas definitur p. i.
Motus absolutus & relativus p. 7, 8, 9, 10.
ab invicem secerni possunt, exemplo de-
monstratur p. 11.
Motus leges p. 13, & seqq.
Motuum compositio & resolutio p. 15.
Motus corporum congredientium post reflexi-
onem, quali experimento recte colligi
possunt, ostenditur 22, 22.
Motus corporum
in conicis sectionibus eccentricis I, sect 3.
in orbibus mobilibus I, sect 9.
in superficiebus datis & fimependulorum
motus reciprocus I, sect 10.
Motus corporum viribus centripetis se mutuo

petentium I, sect 11.
Motus corporum minimorum, quae viribus
centripetis ad singulas magni alicujus
corporis partes tendentibus agitantur I,
sect 14.
Motus corporum quibus resistitur
in ratione velocitatis II, sect i.
in duplicata ratione velocitatis II, sect 2.
partim in ratione velocitatis, partim in
ejusdem ratione dupHcata II, sect 3.
Motus

corponim sola vi insita progredientium in
mediis resistentibus II, i, 2, 5, 6, 7, n,
12 : 326, 16.
corporum recta ascendentium vel descen-
dentium in mediis resistentibus, agente
vi gravitatis uniformi II, 3, 8, 9, 40, 13,

corporum projectonim in mediis resistenti-
bus, agente vi gravitatis uniformi II, 4,
10.

INDEX RERUM.

535

corporum circumgyrantium in mediis resis-

tentibus II, sect 4.
corporum funependulorum in mediis resis-

tentibus II, sect. 6.
Motus & resistentia fluidorum II, sect 7.
Motus per fluida propagatus II, sect 8.
Motus circularis seu vorticosus fluidorum II,

sect 9.
Mundus originem non habet ex causis me-

chanicis p. 527, 25.

N

Navium constructioni propositio non inutilis
324, 10.

O

Opticarum ovalium inventio, quam Cartesius
celaverat I, 97. Ctfr/^^/Vi;// problematis
generalior solutio I, 98.
Orbitarum inventio

quas corpora describunt; de loco dato data
cum velocitate, secundum datum rectam
egressa ; ubi vis centripeta est reciproce
ut quadratum distantiae & vis illius quan-
titas absoluta cognoscitur I, 17.

quas corpora describunt, ubi vires centri-
petae sunt reciproce ut cubi distantiarum
51, ult: 127, 22: 135, 14.

quas corpora ^nribus quibuscunque centri-
petis agitata describunt I, sect 8.

Parkbola, qua lege vis centripetae tendentis
ad umbilicum figurae describitur a cor-
pore revolvente I, 13.
Pendulorum affiectiones explicantur I, 50, 51,

52, 53 : II, sect 6.
Pendulorum isochronorum longitudines di-
versae in diversis locorum latitudinibus
inter se conferuntur, tum per observa-
tiones, tum per theoriam gravitatis III,
20.
Philosophandi regulae p. 387.
Planetae
non deferuntur a vorticibus corporeis 382,

ji: 384, 22 : 526, 32.
Pnmarii
solem cingunt 392, 21.
moventur in eUipsibus umbilicum haben-

tibus in centro solis III, 13.
radiis ad solem ductis describunt areas
temporibus proportionales 394, 2 :
III, 13.

temporibus periodicis revolvuntur, quae
sunt in sesquiplicata ratione distan-
tiarum a sole392, 2 : III, 13 & I, 15.

retinentur in orbibus suis a vi gravitatis,
quae respicit solem, & est reciproce ut
quadratum distantiae ab ipsius centro

ni, 2, 5.

Secundarii

moventur in ellipsibus umbilicum haben-

tibus in centro primariorum III, 22.
radiis ad primarios suos ductis describunt
areas temporibus proportionales 390,
3: 391, 24: 394, 14: III» 22.
temporibus periodicis revolvuntur, quae
sunt in sesquipHcata ratione distantia-
rum a primariis suis 390, 3 : 391, 24 :
III, 22, & I, 15.
retinentur in orbibus suis a vi gravitatis,
quae respicit primarios, & est reciproce
ut quadratum distantiae ab eorum cen-
tris III, I, 3, 4, 5.
Planetarum

tempora periodica 393, 18.

distantiae a sole 393, 21.

orbium apheUa & nodi prope quiescunt

III, 14.
orbes determinantur III, 15, 16.
loca in orbibus inveniuntur I, 31.
densitas calori, quem a sole recipiunt, ac-

commodatur 405, 33.
conversiones diumae sunt sequabiles III,

axes sunt minores diametris, quae ad eos-

dem axes normaHter ducuntur III, 18.
Pondera corporum

in terram vel solem vel planetam quemvis,

paribus distantiis ab eorum centris, sunt

ut quantitates materiae in corporibus

III, 6.
non pendent ab eorum formis & texturis

402, 8.
in diversis terrae regionibus inveniuntur &

inter se comparantur III, 20.
Problematis
Kepkriani solutio per trochoidem & per

approximationes I, 31.
Veterum de quatuor lineis, a Fappo memo-

rati, a Cartesio per calculum algebraicum

tentati, compositio geometrica 77, ante-

penult
Projectilia, seposita medii resistentia, moveri

in parabola colligitur 22, 3 : 54, 5 :

221, 23 : 256, 23.
ProjectiHum motus in mediis resistentibus

II, 4, 10.

536

INDEX RERUM.

Pulsuum aeris, quibus soni propagantur, de-
terminantur intervalla seu latitudines

II, 50- 373» 32.
Haec intervalla in apertaram fistularum

sonis aequari duplis longitudinibus fistu-

larum verosimile est 374, 3.

Quadratura generalis ovalium dari non potest
per finitos terminos I, lem. 28, p. 106.

Qualitates corporum qua ratione innotescunt
& admittuntur 387, 16.

Quies vera & relativa p. 7, 8, 9, 10.

R

Resistentise quantitas

in mediis non continuis II, 35.

in mediis continuis II, 38.

in mediis cujuscunque generis, 327, 7.

Resistentiarum theoria confirmatur

per experimenta pendulorum II, 30, 31

sch. gen. p. 307.

per experimenta corponim cadentium II,

40 : sch. p. 346.

Resistentia mediorum

est ut eorundem densitas caeteris paribus

314, 19- 315» 26: II, 33, 35, 38:

355» 23.
est in duplicata ratione velocitatis con)or-

um quibus resistitur caeteris paribus

239» 3 : 308, 9 : II» 33».35» 3^ : 35'» ^-
est in duplicata ratione diametri corporum
sphsericorum quibus resistitur caeteris
paribus 311, 22: 312 antepenult. : II,
33» 35» 38 : sch. p. 346.

Resistentia fluidorum triplex est; oriturque
vel ab inertia materiae fluidae, vel a
tcnacitate partium ejus, vel a frictione
274, 3. Resistentia quae sentitur in
fluidis fere tota est primi generis 354,
32, & minui non potest per subtilitatem
partium fluidi manente densitate 356, 8.

Resistcntiae globi ad resistentiam cylindri
proportio in mediis non continuis 11,

34. In mediis comprcssis p. 341,
lemm. 7.

Resistentia globi in mediis non continuis II,

35. In mediis compressis II, 38. Sed
quomodo per experimenta invenienda
sit, prop. 40.

Resistentia, quam patitur a fluido frustum
conicum, qua ratione fiat minima 323,
antepenult

Resistentiae minimx solidum 324. i^cnult.

Satellitis

Jovialis extimi elongatio maxima helioccn-

trica a centro Jovis 404, ult
Hugeniani elongatio maxima heliocentrica

a centro Satumi 405, i.
Satellitum
Jovialium tempora periodica & distantiae a

centro Jovis 390, 12.
Saturniorum tempora periodica & distantiae

a centro Satumi 391, ult. 392, i.
Jovialium & Satumiomm inaequales motus

a motibus lunae derivari posse ostenditur

in, 23.

Satumi

tempus periodicum 393, 18.

distantia a Sole 393, 21.

diameter apparens 392, 19.

diameter vera 405, 22.

vis attractiva quanta sit 405, 4.

pondus corpomm in ejus superficie 405,

8.
densitas 405, 24.
quantitas materiae 405, 14.
perturbatio a Jove quanta sit 409, 25.
diameter apparens annuli quo cingitur

.392, 13.
Sectiones conicae qua lege vis centripetae

tendentis ad punctum quodcunque da-

tum describuntur a corporibus revolven-

tibus 65, 20.
Sectionum conicamm descriptio geome-

trica,
ubi dantur umbilici I, sect 4.
ubi non dantur umbilici I, sect 5 ; ubi

dantur centra vel asymptoti 95, 18.
Sesquiph*cata ratio definitur 36, 6.
Sol

circum j^lanetamm omnium commune gra-

vitatis centmm movetur III, 12.
tempus ejus periodicum circa axem suum

411, 5 a fine.
diameter ejus mediocris apparens, 468, 30

&31.
diameter vera 405, 22.
parallaxis ejus horizontalis 405, 15.
parallaxin habet menstmam 410, 16.
vis ejus attractiva ciuanta sit 405, 4.
pondus corpomm in ejus superficie

405» S-
densitas ejus 405, 24.

quantitas materiae 405, 14.

vis ejus ad perturbandos motus lunx 396,

15 : III, 25.

vis ad mare movenduni III, 36.

INDEX RERVM.

537

Sonorum

natura explicatur II, 43, 47, 48, 49, 50.
propagatio divergit a recto tramite 361, 9:

fit per agitationem aeris 372, 10.
velocitas computo colligitur 372, 17 ;

paululum major esse debet aestivo quam

hyberno tempore per theoriam 373, 26.
cessatio fit statim, ubi cessat motus cor-

poris sonori 374, 26.
augmentatio per tubos stentorophonicos

374, 9-
Spatium

absolutum & relativum p. 6, 7, 8.

non est aequahter plenum 402, 27.

Sphaeroidis attractio, cujus particularum vires

sunt reciproce ut quadrata distantiarum

217, 4.
SpiraHs, quae secat radios suos omnes in

angulo dato, qua lege vis centripetae

tendentis ad centrum spiralis describi

potest a corpore revolvente, ostenditur

I, 9 : II, 15, 16.

Spiritum quendam corpora pervadentem & in

corporibus latentem, ad plurima naturae

phaenomena solvenda, requiri suggeritur

530, 23.
Stellarum fixarum

quies demonstratur 410, 27.
radiatio & scintillatio quibus causis refer-
endae sint 510, 8.
Stellae novae unde oriri possmt 525, 28.
Substantiae rerum omnium occultae sunt 530,
21.

Tempus absolutum & relativum p. 6, 7.
Temporis aequatio astronomica per horo-
logium oscillatorium & ecHpses satellitum
Jovis comprobatur 8, 8.
Tempora periodica corporum revolventium in
elHpsibus ubi vires centripetae ad um-
bilicum tendunt i, 15.
Terrae

dimensio per Norwoodum 412, ult ; per
Picartum 413, 5 ; per Cassinum 413, 7.
figura invenitur, & proportio diametrorum,
& mensura graduum in meridiano. III,
19, 20.
altitudinis ad aequatorem supra altitudinem
ad polos quantus sit excessus 415, 20 :
421, antepenult &c
semidiameter maxima & minima 415, 25;

mediocris 415, 20, &c.
globus densior est quam si totus ex aqua
constaret 406, 20.

axis nutatio III, 21.

motus annuus in orbe magno demonstratur

III, 12, 13 : 522, 28.
eccentricitas quanta sit 460, 10.
apheHi motus quantus sit 411, 10.

V

Vacuum datur, vel spatia omnia (si dicantur
esse plena) non sunt equaliter plena
356, 19 : 402, penult.
Velocitas maxima quam globus in medio
resistente cadendo potest acquirere II,
38, cor 2.
Velocitates corporum in sectionibus conicis
motorum ubi vires centripetae ad um-
biHcum tendunt I, 16.
Veneris

tempus periodicum 393, 18.
distantia a sole 393, 21.
apheHi motus 411, 11.
Virium compositio & resolutio p. 15.
Vires attractivae corporum

sphaericorum ex particuHs quacunque lege
trahentibus compositorum expenduntur
I, sect. 12.
non sphaericorum ex particuHs quacunque
lege trahentibus compositorum expen-
duntur I, sect 13.
Vis centriftiga corporum in aequatore terne

quanta sit 413, ult
Vis centripeta definitur p. 3.

quantitas ejus absoluta definitur p. 4.
quantitas acceleratrix definitur p. 4.
quantitas motrix definitur p. 5.
proportio ejus ad vim quamHbet notam, qua
ratione coHigenda sit, ostenditur 45, 10.
Virium centripetarum inventio, ubi corpus in
spatio non resistente, circa centrum im-
mobile, in orbe quocunque revolvitur I,
6 : I, sect 2 & 3.
Viribus centripetis datis ad quodcunque punc-
tum tendentibus, quibus figura quaevis a
corpore revolvente describi potest; dan-
tur vires centripetae ad aHud quodvis
punctum tendentes, quibus eadem figura
eodem tempore periodico describi potest

. . 50» 3- .
Viribus centripetis datis quibus figura quaevis

describitur a corpore revolvente ; dantur

vires quibus figura nova describi potest,

si ordinatae augeantur vel minuantur in

ratione quacunque data, vel angulus

ordinationis utcunque mutetur, manente

tempore periodico 54, 10.

538

INDEX RERUM,

Viribus centripetis in duplicata ratione dis-
tantiarum decrescentibus, qugenam figurae
describi possunt, ostenditur 59, 23 :
163, 10.

Vi centripeta,

quoe sit reciproce ut cubus ordinatim appli-
catae tendentis ad centrum virium maxi-
me longinquum, corpus movebitur in
data qua\ns coni sectione 51, 6.
quae sit ut cubus ordinatim applicataj ten-
dentis ad centnim virium maxime long-

inquum, corpus movebitur in hjrperbc

221, antepenult.
Umbra terrestris in eclipsibus lunae augen>

est propter atmosphajne refractionc

463, 5, a fine.
Undarum in aquie stagnantis superficie prof

gatarum velocitas invenitur II, 46.
Vorticum natura & constitutio ad exami

revocatur II, scct. 9 : 481, 21 : 526, 3:
Ut, Hujus voculae significatio mathemati

definitur 34, 19.

PRINTED BV ROBERT MACLEHQSE.

c

1 V

^

1 1